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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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BINDINGLISTAUG 1 1923 



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University of Ottawa 



littp://www.archive.org/details/s2bulletindessci45fran 



BULLETIN 

DES 

SCIENCES MATHÉMATIQUES. 

(PREMIÈRE PARTIE.) 



COMMISSION DES lUUTKS fiTUDES. 



MM. Emile IMCAKl), Président. 
P. APPELL. 
E. BOREL. 
J. HADAMAKD. 
, E. GOURSAT. 
M. BRILLOUIN. 
D. TOxMBECK, Secrétaire. 



AVIS. ' 

Toutes les comiminicalions doivent être adressées à M. Emile Picard, Secré- 
taire perpétuel de' l'Académie des Sciences, quai Conti, n" 25, Paris, VI'. 



6U82-21 Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VII.LARS el C'',qudi des Grands-Auguslins, 55, 



BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES, 

PLBLIKE SOIS l,i:s A tSl'ICKS Dl' MINISTIÎRK DK l/lNSTKlICTION PUBLIQIJ K. 

BULLETIN 

DES 

SCIENCES MAÏIIÉMATIQUES, 

RÉDIGfi PAR MM. È. PICAUD ET P. APPELL, 



tVEC I.A CUI.I.ABOIIATIUN lll 



MM. BRILLOUIN, E. CARTAN, J. DRACH, E. COURSAT, C. GUICHARD, J. IIADAMARD, 
G. KŒXIGS, G. LOUIA, S. RINDI, H. VILLAT, V. VOLTERRA, ETC., 

ERN. LEBOiN, Secrétaire de la Rédaction. 
Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

puitucAiiOA ro\i)i;i!; e\ 1870 i'Au m. g. dauboix, 

CONTINt;ÉK DE 187I A 1876 PAR MM. G. DARBOUX ET J. HOiJEL, 
DE 1876 A 1886 PAR MM. G. DAUBOUX, J. HOtJEL ET J. TANNERY, 

DIC 1886 A 1905 PAR MM. G. DARBOUX ET J. TANNERY, 

DE 1905 A 1910 PAU MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNERY, 

ET DE 1910 A 1917 PAR MM. G. DARBOUX ET É. PICARD. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME XLV. - ANNÉE 1921. 

( LV° VOLUME DE LA COLLliCllO.N . ) 



PREMIERE PARTIE. 




^"^ 



r \^ I ^ l 
PARIS, ^-^"^l 

GAUTHIEU-VILLARS ET C'«, ÉDITEURS, 

LIBRAIRES DU BUKKAU DliS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Graiids-Au(;uslins, 55. 

1921 



CK/i 



^Jyé 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



PUKMIRHR PÂKTIR. 



COMPTKS K F. NI) US I:T ANALYSES. 



OEUVRES COMPLÈTES DE TuoM \s JAN STIELTJES, publiées par les 
soins de la Société mathématique d'Amsterdam. T. II. i vol. in-4, 
6o3 pages. Groningen. P. Nôordhoir, 1918. 

Le Tome I des OEuvres de Stleltjes a paru en 191 4, et une 
analyse en a été faite dans ce Recueil par Darboux ('). Le Tome II 
fut publié en 19 18, édité avec le même soin que le premier volume 
par la Société mathématique d'Amsterdam. On se rappelle que 
Thomas Stieltjes, originaire de Hollande, vint en France en i885 
et publia dans des recueils français la plus grande partie de ses 
OEuvres mathématiques. Après sa naturalisation, il fut nommé 
professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse, et mourut dans 

cette ville en 1894. 

Bien avant la publication des OEuvres, la correspondance 
d'Hermite et de Stieltjes avait été éditée, grâce au zèle de 
MM. Baillaud et Bourget (-). Cette correspondance commencée 
en 1882 avait duré jusqu'à la mort de Stieltjes; elle porte haute- 
ment témoignage du talent malhématique et de l'activité du pro- 
fesseur de l'Université de Toulouse. On peut dire que tous les 
Mémoires de Stieltjes, avant de paraître, avaient fait l'objet de 



(<) Voir Bull, des Se. math., 2" série, t. XXX[X, i" partie, août igio, 

' {^) Correspondance de Hermite et de Stieltjes ^ Paris, Gaulhier-Villars, 
1905, en deux volumes). 



6 PREMIERE PARTIE. 

quelque lettre échangée avec l'illustre doyen des mathématiques 
françaises à cette époque, et il est extrêmement intéressant de 
retrouver dans la correspondance le premier jet, en quelque sorte, 
des découvertes malhémaliqu(;s de Stielljes. Comme je h- disais 
en 1905, en présentant cette correspondance, il semble que dans 
ces lettres le langage abstrait de l'analjse perde de sa sécheresse 
et que la mathématique y devienne plus humaine. Tout lecteur 
des deux beaux volumes des Œuvres devra avoir sous la main la 
Correspondance de Stieltjes et d'Hermite, monument peut-être 
unique par son originalité dans l'histoire des sciences. 

Le présent Volume renferme, entre d'autres travaux, le grand 
Mémoire de Stielljes sur les fractions continues, qui est son œuvre 
la plus importante. Ce fut le chant du cygne; Slicltjes succombait 
peu de temps après l'avoir écrite, emporté par uu mal implacable. 
Bien curieuse est une lettre écrite d'Algérie, où Stieltjes était allé 
chercher quelque adoucissement à sa maladie. Il y fait connaître 
à Hermite un théorème sur les suites de fonctions analytiques, 
qui jouait dans son étude un rôle essentiel. Il est sûr de son résul- 
tat, mais cependant il a quelque crainte. « J'ai dû l'examiner avec 
d'autant plus de soin, écrit-il ('), qu'a priori il me semblait que 
le théorème énoncé ne pouvait exister et devait être faux. » On 
sait que, depuis lors, de nombreuses généralisations du théorème 
de Stieltjes ont été données, et dans des voies diverses, par 
MM. Porter et Vitali, puis par M. Landau, et enfin par M. Montel 
dans ses beaux travaux sur les suites normales de fonctions ana- 
lytiques. 

Les papiers laissés par Stieltjes contenaient trois Mémoires dont 
rintérêt a semblé suffisant pour justifier leur insertion dans ce 
Tome. Diverses notes terminent le volume; plusieurs d'entre 
elles ont été trouvées, écrites de sa propre main, en marge de 
certains de ses Mémoires imprimés. 

Tous les géomètres seront reconnaissants à la Société mathé- 
matique d'Amsterdam des soins qu'elle a apportés dans la publi- 
cation des œuvres d'un mathématicien, dont le talent si original 

fait honneur à la Hollande et à la France. 

Emile Picaud. 

(') Correspondance, t. II, p. Sôg. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 7 

OCAGNR (M. d'). — Principes usukls dk NoMor.nvpiiiK, avec application 
à dii-ers problèmes concernant r Artillerie et r Aviation. Conférences 
faites à la Section technique de rAnilleiie (février 1919); 1 vol. in-8°, 
(S- pages. Paris, Gaulhier-Villars el G'*", 197.0. 

M. d'Ocaijne, inspecteur général des Ponts et Chaussées, pro- 
fesseur de Géométrie pure et appliquée à l'Ecole Polytechnique, 
est unanimement reconnu aujourd'hui, au moins en France, 
comme le spécialiste le plus qualifié de l'application de la Géomé- 
trie à la science du calcul tel qu'il intervient dans les diverses 
branch.es de la technique. 

Il a institué à cet cfTet un nouveau corps de doctrine, par lui 
baptisé Aomograp/iie., qui embrasse dans leur ensemble tous les 
modes possibles de représentation plane applicables à des équa- 
tions à un nombre quelconque de variables, corps de doctrine 
que le juge le plus compétent en la matière, à notre époque, 
Maurice I-evj, n'a pas hésité à placer au même rang que la Géo- 
métrie descriptive et la Statique graphique ('). 

Cette synthèse générale « attrayante, a dit Tannery (-), parla 
variété des problèmes résolus, parfois amusante par l'ingéniosité 
des solutions, où la science du géomètre trouve à s'employer 
d'une façon inattendue », a eu pour couronnement une classifi- 
cation rationnelle de tous ces modes possibles de représentation, 
englobant rt jD/'/ort non seulement ceux qui ont déjà été mis en 
usage, mais même tous ceux qui pourront jamais l'être en vue de 
telle ou telle espèce d'équations. 

Parmi tous ces modes possibles, il en est un d'une importance 
capitale, devenu de nos jours d'un emploi tout à fait courant : 
c'est celui dont M. d'Ocagne avait fait connaître le principe dès 
l'année 1884, par l'étude duquel il a préludé aux travaux de 
grande ampleur d'où est sortie la Nomographie, et qui est aujour- 
d'hui bien connu sous le nom de méthode des points alignés. 

En imaginant cette méthode, M. d'Ocagne a, le premier, fait 
concourir le principe de dualité, si fécond dans le domaine des 
mathématiques pures, à des fins strictement pratiques. Il a 
d'ailleurs eu recours, pour l'application de ce principe, à un sys- 



(') Génie civil, 1899, p. 420, el Bévue générale des Sciences, uyi^. p. 74- 
(') Bulletin des Sciences mathématiques, 1899, p. 172. 



8 PREMIÈRE PARTIE. 

tème spécial de coordonnées Lan geai tielles, dites par lui coor- 
données parallèles^ qui, lorsqu'on ne se borne pas, comme le 
font les purs mathématiciens, à en user comme d'un moyen de 
démonstration, mais qu'on s'en sert en vue d'établir certaines 
constructions graphiques, offrent d'incontestables avantages. 

En transportant la représentation graphique des équations, du 
domaine ponctuel dans le domaine tangentiel, — ce qui, a priori^ 
n'apparaissait nullement comme naturel, — M. d'Ocagne a oluenu 
un résultat tout à fait capital, savoir : rendre possible la repré- 
sentation d'équations à j)lus de trois variables (c'est-à-dire la 
construction de tables à plus de deux entrées), alors que cette 
représentation était mathématiquement impossible dans le domaine 
ponctuel, à moins que l'équation à plus de trois variables consf- 
dérée ne fût susceptible, moyennant l'inlroduction de certaines 
variables auxiliaires, d'être remplacée par une suite d'équations 
ne contenant pas chacune plus de trois variables. 

Les équations à quatre variables, auxquelles s'applique la 
méthode de M. d'Ocagne, sont d'un type extrêmement fréquent 
dans la pratique; la première qu'il ait représentée de la sorte est 
l'équation complète du troisième degré. 

La Nomographie, introduite par M. d'Ocagne dans ses cours de 
l'Ecole Polytechnique et de l'Ecole des Ponts et Chaussées, est 
aujourd'hui enseignée dans la plupart des Instituts techniques de 
la France et de l'étranger, comme l'attestent d'assez nombreux 
résumés rédigés en diverses langues, l'un entre autres publié en 
allemand avant 191 4 par le D' Schilling, à l'invitation expresse 
du professeur F. Klein ('). Le fait, pour une doctrine née en 
France, de sa diffusion en Allemagne, est une preuve évidente de 
sa valeur et de son utilité. 

M. d'Ocagne avait, avant la guerre, fait connaître lui-même un 
très grand nombre d'applications de ses méthodes à diverses tech- 
niques. Invité, pendant la guerre, par M. Painlevé, alors chargé, 
comme Ministre, des inventions intéressant la défense nationale, 
à poursuivre l'étude de toutes les applications possibles de la Nomo- 
graphie aux diverses techniques de guerre, M. d'Ocagne, qui 



(') Ueber die Nomographie von M. d'Ocagne, par le D' Friedrich Schilling, 
professeur à l'Université de Gôllingen (Leipzig, Teubner, 1900). 



r.OMPTIîS RRNOUS KT ANALYSES. 9 

avait d'abord servi au front comme lieutenant-colonel du Génie, 
s'est trouvé conduit à organiser une section spéciale de Nomo- 
graphie, rattachée d'abord à la Direction des Inventions, puis à la 
Section technique de l'/Vrlillerie, où il a formé un groupe d'offi- 
ciers placé sous ses ordres à la pratique de ses études; c'est 
l'exposé des principes, réduit à l'essentiel, qu'il a conçu à leur 
intention et qu'il a, naliirellement, illustré par [)lusieurs des appli- 
cations spéciales étudiées à cette occasion, qui a fourni la matière 
de la nouvelle brochure que nous analysons ici. l'armi ces appli- 
cations spéciales, il convient de mentionner à part celles qui 
concernent le calcul des éléments initiaux du tir de l'Artillerie, 
corrigés, d'un seul coup, de toutes les influences qui en modifient 
la valeur. Ces nomogrammes du tir, construits pour les pièces de 
tous calibres et pour toutes les charges, ont fait l'objet d'un rap- 
port officiel du Général commandant l'Artillerie de la 5" armée 
au Général en chef, à la date du 21 février 1917. Ce rapport cons- 
tate que l'emploi de ces nomogrammes a réduit le temps de la 
préparation du tir d'un quart d'heure environ à moins de cinq 
minutes, et supprimé toute espèce de chance d'erreur dans cette 
détermination. Il est d'ailleurs important de noter que ces tables 
à triple entrée n'ont pu être construites que grâce à l'application 
du principe des points alignés qui a, par conséquent, permis 
d'atteindre là un résultat pratique du plus haut intérêt, absolument 
inaccessible à la vieille méthode de représentation cartésienne 
dont tous les procédés antérieurs à ceux de M. d'Ocagne n'étaient 
que des variantes. 

Un lecteur voulant s'initier à la Nomographie, prise dans toute 
sa généralité, devra se reporter aux Ouvrages détaillés de 
M. d'Ocagne : Traité de Nomographie^ Calcul graphique et 
Nomographie. Mais à celui qui veut uniquement s'assimiler les 
parties de la doctrine d'une pratique tout à fait courante, la 
nouvelle brochure donnera toute satisfaction. 

P. AppELL. 

-igiroiTîr~ 



10 PREMIÈRE PAHTIE. 

GLOBA-MIKIIAILENKO (B.)— Gontriiuhion a l'épuoe dks mouvkments 
n'uiVK MASSE KLUiDK EN HOiATioN. Th'cse présentée à la Faculté des 
Sciences de l'Université de Paris pour obtenir le titre de Docteur 
es sciences niatliéniatiques (Tlièse de tlocloral d'Etal), soutenue le 
7 juin itjio sou-, la piésideiice de M. Boussiiiesq. i vol. in-4", v-6<j pages, 
7 ligure? dans le texte. Paris, Gautliier-Villars et G'*, 1920. 

M. Globa-Mikhaïlenko, qui a soutenu autrefois une thèse de Doc- 
torat d'Université : Sur quelques nouvelles Jlgares d équilibre 
d\ine masse Jluide en rotation [Jourtial de M aLliènialiq ues ^ 
'j" série, vol. 11) ( ' ), a présenté récemment en 1920 une tlièse 
pour le doctorat d'Etat, également insérée au Journal de Mathé- 
matiques. Son Mémoire comprend trois Parties distinctes. 

La première Partie a pour objet l'étude des figures d'équilibre 
d'une masse fluide en rotation, soumise aux seules forces capil- 
laires et assujettie soit à la condition de rester cylindrique, soit à 
celle d'être limitée par deux disques parallèles, d'égal rayon, 
ayant comme axe commun l'axe de rotation du liquide, la dislance 
entre les disques restant fixe. Les conditions de stabilité de ces 
figures y sont déterminées, ainsi que les figures infiniment voi- 
sines, donnant naissance à de nouvelles séries de figures, 
s'amorçant pour une valeur bien déterminée de la vitesse angu- 
laire. Les figures cylindriques d'équilibre, correspondant à cette 
valeur de la vitesse angulaire, sont des figures de bifurcation au 
sens de Poincaré. Les résultats obtenus prouvent que la théorie 
générale des figures de bifurcation, avec le principe d'échange 
des stabilités, est applicable non seulement au cas dés forces 
newtoniennes ou, en général, au cas où il existe une fonc- 
tion de forces, mais aussi au cas tout à fait difFérent où la masse 
liquide est soumise à une pression superficielle proportionnelle à 
la courbure moyenne et ne dépendant d'aucune fonction des 
forces. Les figures étudiées ici présentent encore une particularité, 
à savoir, qu'elles peuvent présenter un cas de figures de bifurcation 
où plus de deux séries de différentes figures d'équilibre se ren- 
contrent. Ce cas a été prévis par Poincaré, mais il n'avait pas 
encore été rencontré. La méthode générale a été appliquée. 
L'énergie potentielle de la masse liquide a été calculée; les condi- 
tions de maximum de cette énergie ont été déterminées pour 

(') Koi/- l'analyse de celte Thèse, par M. PanI Appell, dans le Bulletin des 
Sciences mathématiques, 2' série, t. XL, 1916, i" partie, p. a36-238. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ii 

établir les conditions d'équilibre stable. Les figures de bifurcation 
se présentent quand la deuxième variation de l'énergie s'annule. 

A la fin de cette Partie, le problème direct suivant a été résolu : 
Trou\'er toutes- les figures d'équilibre^ cylindriques et non de 
révolution, que peut affecter une masse liquide indéfinie^ sou- 
mise aux seules forces capillaires et tournant autour dUin axe 
fixe avec une vitesse angulaire constante. L'équation différen- 
tielle du périmètre de la section droite a pu être intégrée, et l'équa- 
tion finie de ce périmètre a ét^ établie. Cette équation contenant 
une intégrale hjperelliptique, tous les calculs elTectifs sont presque 
impossibles. Ce dernier cas présente moins d'intérêt pratique, car 
les figures sont instables. 

La deuxième Partie étudie des figures d'équilibre d'une masse 
fluide homogène en rotation, soumise aux seules forces newto- 
niennes et limitée par deux surfaces distinctes, ne se coupant pas, 
c'est-à-dire les ligures ajant un creux au milieu. En se bornant au 
cas des figures limitées par des surfaces du second ordre, l'auteur 
établit que seule la couche cylindrique de révolution peut être une 
figure d'équilibre. A chaque valeur de la vitesse angulaire corres- 
pond une valeur bien déterminée du rapport des rayons des deux 
cylindres limitant le fluide. Pour une série discontinue de valeurs 
de la vitesse angulaire, la figure cylindrique devient une figure de 
bifurcation et peut donner naissance à de nouvelles séries de 
ligures d'équilibre. Toutes ces figures sont instables, si l'on 
n'assujettit pas la masse fluide à la condition de rester cylin- 
drique. La méthode employée est analogue à celle de Poincaré. 

Enfin, la troisième Partie n'est qu'une remarque sur les oscilla- 
tions simples synchrones des molécules d'une masse fluide en rota- 
tion, soumise aux seules forces newtoniennes et affectant comme 
figure stable la forme d'un ellipsoïde. L'auteur attire l'attention 
sur un passage singulièrement obscur du célèbre Mémoire de Poin- 
caré du Tome VII àesActamalbematica. Il critique les conclusions 
de Poincaré et formule des objections graves contre sa méthode de 
calcul. J'ai indiqué, dans les Comptes rendus an 26 octobre 1920, 
une autre voie permettant d'étudier des mouvements osci'latoires 
et d'arriver à une comparaison avec les résultais de Poincaré. Ce 
point demande évidemment de nouvelles études. 

P. Appell. 



12 PREMIÈRH PAHTIE. 

BERZOLARI (L.). — Gkometria anai.itica. Tome I : // metodo délie 
coordinate. Seconda Kdizione riveduta e acciesciuta di un' appendice 
sugli elementi del calcolo velloriale, con 6i incisioni. (Manuali iloepli, 
série scienlifica 388-38() bis e ter.) [Géométrie analytique. Tome I : 
La méthode des coordonnées. Seconde édition revue et augmentée 
d'un appendice sur les éléments du calcul vectoriel, avec 6i figures. 
(Manuels Hoepli. série scientifique 388-38() bis et ter.)\ i vol in-8, 
xili-495 pages. Milan, Iloepli, 1920. 

Lu plus grande partie de l'excellent Traité de JNI. Berzolari, qui 
reproduit des leçons de Géométrie analytique professées à 
l'Université de Pavie, est consacrée, comme il était naturel, aux 
coordonnées cartésiennes et à leurs applications. Mais dès le début 
se manifeste le souci de préparer l'étude, qui occupe le dernier 
tiers du Livre, des coordonnées projcctives et des projectivités. 
L'Ouvrage est avant tout, comme l'indique le sous-titre, une étude 
générale des méthodes : la partie applications, suffisamment déve- 
loppée pour que cette étude soit profitable, a moins d'extension, 
en général, que dans nos cours correspondants. Ecrit suivant un 
plan très systématique, avec le soin constant de bien marquer 
l'enchaînement des concepts, d'aplanir à l'étudiant toutes les diffi- 
cultés, ce Livre rendra d'appréciables services. 

On peut y distinguer trois sections. Dans la première 
(Chap. I-III), l'auteur donne quelques notions préliminaires : 
énumération des formes géométriques fondamentales, éléments 
impropres, loi de dualité, projections orthogonales et, en appli- 
cation, la méthode de Môbius pour obtenir la formule fondamen- 
tale de trigonométrie sphérique. Il étudie enfin les coordonnées 
dans les formes fondamentales de première espèce. 

Nous passerons rapidement sur la deuxième section (Chap. IV-XII) 
consacrée à la Géométrie cartésienne : étude très complète de la 
droite et du plan, notion sur des courbes et surfaces simples, sur 
les lieux géométriques. Il faut signaler que les applications, même 
les plus simples, du calcul infinitésimal, ne sont pas développées 
ici; nous avons l'habitude d'une liaison plus intime entre les deux 
enseignements. Il n'est naturellement pas question de la théorie 
des enveloppes et un lien manque entre les équations ponctuelles 
et tangentielles, que l'auteur a définies parallèlement. 

Dans la troisième section du Livre, l'auteur envisage d'abord les 
projectivités entre formes de première espèce; c'est ici, à propos 



CO-MPTKS RENDUS HT ANALYSES. i3 

des éléments doubles de deux formes projectives superposées, 
qu'il introduit les éléments imaginaires. Ensuite, après avoir étudié 
les coordonnées homogènes, il passe, par une transformation 
linéaire, aux plus générales coordonnées projectives. Enfin, des 
fondements de la théorie des transformations homographiques, il 
est amené à l'étude des courbes etsurfaces du second degré, déve- 
loppée dans le Tome II de l'Ouvrage. 

Un appendice est consacré à la méthode vectorielle : définition 
des produits, étude de leurs propriétés, application à un certain 
nombre de questions de Géométrie analytique. L'auteur prend 
pour définition du vecteur AB celle récemment proposée par 
Burali-Eorti : c'est l'opérateur qui, appliqué à une terne arbitraire 
de points P, Q, R, produit le nombre 

vol(BPQR) — vol(APQR), 

les volumes des tétraèdres étant pris algébriquement. On pourra 
trouver que c'est compliquer à plaisir des notions simples; vaut-il 
mieux les reprendre toujours sous la même forme? 

Joseph Pérès. 



HATTON (J.-L.-S.). — The theorv ok the Imaginary in Geometry 
togplher witli the Trigononietry of the Imaginary (La théorie de 
llmagiiiaire en Géométrie avec la Trigonométrie de l'Imaginaire). 
I voL iii-8, viii-ai6 pages. Cambridge, University Press, 1920. 

Soit un problème portant sur des éléments géométriques réels 
et supposons trouvée une solution. Il peut arriver, dans certains 
cas, que cette solution devienne imaginaire et que cependant 
le résultat continue à être réel. Il peut même arriver que certaines 
données deviennent imaginaires sans que le problème cesse d'avoir 
un sens réel. Dans l'un ou l'autre de ces cas, comment faudra-t-il 
modifier la solution ? 

On voit ainsi que la géométrie de l'imaginaire n'est pas un 
simple jeu de l'esprit, mais peut s'appliquer à des problèmes par- 
faitement réels. 

Pour résoudre les questions posées plus haut, M. Hatton part 
du principe suivant : Tout élément imaginaire doit être représenté 
réellement. Par eicemple, un point imaginaire sera défini comme 



t4 PUIÎMIÈRK PAHTIK. — MÉLANGES. 

point double d'une involution réelle siir une droite réelle, cette 
involution n'ajant d'ailleurs pas de point double réel. De celte 
façon, pour se donner un ])oint imaginaire (ou plutôt deux points 
imaginaires conjugués), on se donne une involution réelle. 

M. Halton a eu des prédécesseurs, parmi lesquels Poncelet, von 
Staudt, Esson, qu'il cite, et Marie, qu'il ne cite pas. Son Ouvrage 
n'est donc pas complètement original, mais il est intéressant parce 
qu'il traite le sujet d'une façon systématique. Tl se limite à la 
théorie des points, droites et coniques dans le plan, et à un petit 
chapitre final sur la géométrie de l'espace. Il contient un grand 
nombre d'exercices résolus ou proposés. Pas assez, à notre avis, 
se rapportant à des problèmes réels pour lesquels, en définitive, 
la théorie est faite. 

E. Cahen. 



MELANGES. 



SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE CONSIDÉRÉE PAR M. G. HUMBERT ; 

Par m. le Lieutenant L. GODEAUX. 



M. G. Humbert (') et, après lui, M. L. Remy (-) ont étudié, en 
utilisant la théorie des fonctions thêta, la surface qui représente 
les couples de points d'une courbe de genre 3, de manière 
qu'un point de la surface corresponde à deux couples de points 
formant un groupe canonique. Ces géomètres ont considéré, 
comme « modèles projectifs » de la surface, des surfaces du 
sixième ordre possédant un point triple et un certain nombre de 
points doubles. Un autre modèle projeclif de la surface a également 
été rencontré incidemment par M. Sevein ( ') : c'est un plan triple 
possédant une courbe de diramation d'ordre l'i. 

( ' ) Sur une surface du sixième ordre liée aux fonctions abeliennes de genre 
trois {Journal de Liouville^ h" série, t. II, 189^,- p. 26 i-a^S ). 

(') Sur certaines surfaces algébriques liées aux fonctions abeliennes de 
genre trois {Journal de Liouiille, 6" série, l. IV, iqo8). Sur une classe de sur- 
faces algébriques liées aux fonctions abeliennes de genre trois {Annales Ec.N. 
sup., 3° série, i. XXVI, Paris, 1909). 

(') Sulle superficie che rappresentono le coppie di punti di una curva alge- 
brica {Atli R. Accad. Torino, t. XXXVIII, 1902-1908, p. i85-20o). 



MÉLANGES. i5 

Nous nous proposons, dans cette Note, de construire, comme 
modèle projectlf de la surface envisagée, une surface d'ordre 12, 
à sections hvperplanes de genre 10, située dans un espace linéaire 
à () dimensions, et possédant 28 points doubles coniques. Ces 
points doubles se distribuent, par groupes de 12, dans des 
hjperplans touchant la surface suivant des courbes elliptiques 
d'ordre 6. Nous utiliserons, à cet effet, les méthodes algébrico- 
géométriques, et nous nous appuierons sur les résultats obtenus 
par M. Severi, au mojendes mêmes méthodes, dans son travail cité. 

1. Soit A une courbe de genre 3, à modules généraux, que 
nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, être une 
courbe plane du quatrième ordre, sans point double. Soit F la 
surface algébrique qui représente les couples de points non 
ordonnés, de la courbe A, un point de F étant l'image d'un seul 
couple de points de A. La surface F a les genres géométrique 
y;)„=:3, ai'ithmétique />a= o, linéaire /^^'^ =: 7 ('). 

Soient P,, Po les points de A qui ont pour image un point P 
de F; P3, P4 les points de A qui, avec P,, Po, forment un groupe 
canonique de cette courbe (c'est-à-dire, actuellement, qui sont 
situés sur la droite P1P2); P' le point de F image du couple P3, P4. 
Le point P' est déterminé d'une manière univoque par le point P, 
et réciproquement. Les couples P, P' forment donc, sur la sur- 
face F, une involution L d'ordre 2, ou encore ils déterminent 
une transformation birationnelle T de F en elle-même. 

Pour qu'un point P coïncide avec son correspondant P', il faut 
que P, coïncide avec P3 par exemple, et Po avec P4. Il y aura donc 
autant de points de coïncidence pour I2 que de groupes canoniques 
de A formés de deux points doubles, c'est-à-dire que de bitan- 
gentes de la courbe A. On sait que celles-ci sont au nombre de 28, 
donc : 

L' involution l.^ possède 2% points de coïncidence. 

(') SiiVEiu, lue. cit. Conlemporainement, par voie analytique, ces valeurs des 
invaridnls avaieiil été déterminées par M. de Fhanchis, Suite varietà <x? délie 
coppie di punti di due curve o di una curva algebrica {Rend. Cire, malem., 
Palerino, t. XVII, igoî). Au sujet des surfaces représentant les couples de points 
d'une ou de deux courbes algébriques, voir aussi Seveui, Suite corrispondence 
fra i puati di una curva algebrica e sopra certe ctassi di super/icie [Mem. H. 
Accad. Torino, n" série, t. LIV, 1903). 



i6 PREMIÈRE PAirriH. 

La surface <ï>, image de l'involulion L, n'est autre que la surface 
dont MM. Humbert, Severi et Remj ont considéré des modèles 
projectifs. 

2. Aux quatre points d'un groupe canonique de A corres- 
pondent six. points de F. Lorsque le groupe varie dans une série 
linéaire gl, ces six points décrivent une courbe C de genre 'j et de 
degré 6, qui est une courbe canonique de F (Severi, /oc. cit.). 
Aux 00^ séries gl canoniques de A correspondent oo^ courbes G 
formant un réseau | C| (/>-= 3). 

Par construction, le système |C| est composé avec l'invo- 
lution lo. Soient F les courbes qui correspondent aux courbes C 
sur $. Puisque l'invoUition Ij ne possède qu'un nombre fini de 
points de coïncidence, les courbes F sont des courbes canoniques 
de <ï> et le réseau | Fj, de degré 3 et de genre 4, est donc le sys- 
tème canonique de cette surface. Celle-ci a par conséquent le 
genre géométrique t:^:^ 3 et le genre linéaire 7:"^= 4- 

Le genre arithmétique -n^ de <ï> est lié au genre arithmétique 
pa= 3 de F par la formule 

dans laquelle cr = 28 (' ). On a donc 7î^= 3. 

La surface $ a les genres 71^= 7:,,= 3, tï'" = 4- 
Si nous rapportons projectivement les courbes F aux droites 
d'un plan, la surface <I> se transforme en un plan triple ayant une 
courbe de diramation d'ordre 12, considéré par M. Severi. 

3. Ges points étant rappelés, nous allons construire une surface 
d'ordre 12, de Sf,, modèle projectif de <I>. 

Soient respectivement |2G|, |2F| les systèmes bicanoniques 
de F et de <ï>. 

Le système l2r| a, d'après le théorème de Riemann-Roch, la 
dimension au moins égale à 6. De plus, il est simple. En effet, s'il 
était composé, ce ne pourrait être qu'au moyen de l'involution 
d'ordre 3 formée par les groupes de points communs aux 
courbes F. Mais alors, les courbes bicanoniques 2 F seraient repré- 

( ' ) L. GoDEAUx, Mémoire sur les sur/aces algébriques doubles douées d un 
nombre fiai de points de diramation {Annales de la Faculté des Sciences de 
Toulouse, i9i4)« 



MÉLANGES. 17 

semées, sur le plan triple considéré plus haut, par des coniques 
doubles et la dimension de | 2r| serait au plus éj^ale à 5, ce qui est 
impossible. 

Si r^6 est la dimension de ] aFj, rapportons projeclivement les 
courbes 2 F aux hjperplans d'un S,-. On obtient une surface 
d'ordre 12, à sections de genre 10, biralionnellement identique 
ù <t. Or, une courbe (simple), d'ordre 12 et de genre 10, est située 
dans un es])ace ayant au plus cinf[ dimensions (' ). Les hjperplans 
de S;- ont donc au plus la dimension 5, c'est-à-dire /• — i = 5- On 
en conclut que /• = 6. 

Le système |2C| n'ayant pas pour points-base les points de 
coïncidence de L, la surface <î> possède 28 points doubles coniques 
(points de diramation) [-). 

On peut pie)i<li<\ coiniiie modèle projectif de la surjace O, 
une surface d'ordre 12, à sections hyperplanes de genre 10, 
de Se, possédant 28 points doubles coniques. 

Observons en passant que I2GI a la dimension 6. En effet, 
si I 2C 1 avait une dimension R >> 6, il existerait sur $ un sj^stème 
linéaire de degré — 2 et de genre 3 (^), ce qui est absurde. On en 
conclut que j 2C| est composé avec I2 et que le bigenre de F et 
celui de <I> sont tous deux égaux à ^ ( '' ). 

4. Il existe, sur la courbe A, une infinité de séries linéaires 
d'ordre 4, ^'4, non spéciales. A chacune de ces séries correspond, 
sur F, une courbe C| appartenant à un système continu |Gi \ com- 
prenant le système linéaii^e j C |. 

Il est aisé d'évaluer le genre et le degré d'une courbe G|. 

A un groupe de la g[ correspond, sur la courbe Ci correspon- 
dante, un groupe de 6 points variable dans une série linéaire. 
Celle-ci pos-sède 2 points doubles chaque fois que la g\ en 
possède un. Or, celle-ci possède 12 points doubles, donc la g\ 
existant sur C, possède 24 points doubles. On a donc, si x est le 

(') GoMESSATi'i, Liinitl di variabililà délia diinensione e dell ordiiie d'una 
g^^ sopia una curva di dalo génère {Atti R. ht. i eneto, t. I.WIV, 1914-1915). 

(^) L. GoDEAUx, toc. cit. 

(') L. GoDEAUx, loc. cit. 

('') Voir à ce sujet notre travail: Les surfaces bicanoniques doubles ayant un 
nombre fini de points de diramation {Bull, de l'Acad. R. de Belgique, 1919). 



r8 premiè;re partie. 

genre de C|, 

2((') -+- :r — i) = 24, 

OU iC =: 7. 

D'autre part, d'après la formule de Sehubert ( '), deux séries ^\ 
ont en commun 6 couples de points, donc les deux courbes C, 
correspondantes ont ])oinls communs. 

Le système canonique de F appartient à un système continu 
complet jC| I de degré 6 et de genre 7. 

5. La transformation T échange entre elles les courbes du sys- 
tème |C| \. En effet, soit G' la courbe en laquelle T transforme une 
courbe C,. Lorsque C, varie d'une manière continue dans | C, | 
jusqu'à coïncider avec une courbe canonique C, C décrit un sys- 
tème continu |C'| contenant cette courbe C. Par conséquent, 
C ayant même degré et même genre que C|, le système |C'| est 
contenu dans le système complet [C,]. 

A une courbe G, correspond, sur la surface 4>, une courbe 
d'ordre 12 et de genre 7, possédant 3 points doubles. Gette 
courbe peut être considérée comme étant de genre virtuel 10 et de 
degré virtuel 12; elle varie dans un système nécessairement 
linéaire, puisque la surface $ est régulière. Lorsque G,, variant 
d'une manière continue dans |G,|, devient une courbe cano- 
nique G, la courbe correspondante sur <î> devient une courbe bi- 
canonique 2!'; par conséquent, à une courbe G, correspond, 
sur $. une courbe bicanonique (possédant 3 points doubles). 

Supposons qu'il existe une courbe G|, non canonique, trans- 
formée en elle-même par T. Il lui correspond, sur <ï>, une courbe 
bicanonique ayant une infinité de points doubles, c'est-à-dire une 
courbe T' suivant laquelle un hyperplan touche la surface <I>. La 
courbe F' a par conséquent l'ordre 6 et, étant située dans un S5, 
elle est rationnelle ou elliptique. 

Si la courbe G, envisagée passe par points de coïncidence 
de lo, le genre x de la courbe F' est donné par la formule de 

Zeulhen 

4 (.r — i) -I- = 12. 

Sia:" = i, o=:i2, etsi:c = o, 0^16. 



(') Voir, par exemple, F. Severi, Lezioni di Gcometria algebrica, 1908, 
p. 236 (Padova, Draghi ). 



MÉLANGES. 19 

Observons que, parmi les séries gl non spéciales de A, il y en 
a 63 qui sont les lieux des points de contact de coniques quadri- 
tanj^entes à A. Considérons une de ces séries. On sait que, parmi 
les 00' coniques qui touchent A aux points de chaque groupe de 
cette série, il j en a 6 qui dégénèrent en deux droites bitangentes 
à A. La courbe C| correspondant à cette série sur F passe donc 
par 12 points de coïncidence de l,. Cette courbe est invariante 
pour T, car, autrement, T changerait cette courbe C| en une 
courbe C, de \C^\ rencontrant la première en 12 points, alors que 
|C, I a le degré 6. 

Il existe donc ()3 courbes du système |C||, non canoniques, 
invariantes pour T, et il leur correspond, sur <I>, 63 courbes ellip- 
tiques du sixième ordre, le long de chacune desquelles un hyper- 
plan touche (^. Chacun de ces hyperplans contient 12 points 
doubles de la surface. 

Il ne peut d'ailleurs exister une courbe de |C( |, non canonique 
et distincte des précédentes, invariante pourT. S'il en existait une, 
elle passerait par 12 ou par 16 points de coïncidence de L. Dans 
le premier cas, elle coïnciderait nécessairement avec une des 
63 courbes rencontrées plus haut, puisque |C| | a le degré 6. Dans 
le second cas, la courbe devrait comprendre comme partie une des 
63 courbes, ce qui est absurde. 

En résumé : 

La su/ face rej)résenlant tes couples de points d\ine courbe 
de genre 3, à modules généraux^ de telle manièie quà un 
point de la surface corresponde deux couples de points for- 
mant un groupe canonique de la courbe^ est birationnellement 
identique à une surface cVordre 12, à sections hyperplanes de 
genre 10, de Se, possédant 28 points doubles coniques. Il existe 
63 hyperplans passant chacun par 12 points doubles et tou- 
chant la surface suivant des courbes elliptiques du sixième 
ordre. 

6. La relation fonctionnelle reliant une des 63 courbes du 
sixième ordre aux sections de la surface se déduit immédiatement 
de la remarque, faite plus haut, qu'à une courbe C, quelconque 
correspond une courbe bicanonique de <I> (à 3 points doubles). 
Si l'on désigne par F' une des 63 courbes du sixième ordre, par 



20 PREMIERE PARTIE. 

r,, Fa, . . . , r,2 Içs 12 courbes ralionnelles de degré — 2 équiva- 
lentes aux 12 points doubles de <I> que contient Thjperplan de F', 

on a 

:i 1 ' -h Ti + Ta -f- . . . -h r, j = '2 r. 

Remarque. — De ce qui précède, on pourrait déduire des pro- 
priétés des systèmes de courbes tracées sur la surface <I>, notam- 
ment celle-ci : L'existence d'un système linéaire de courbes sur <ï> 
entraîne en général celle de 12^ autres systèmes linéaires. Les 
doubles de ces 128 systèmes, augmentés éventuellement de 
quelques-unes des 28 courbes rationnelles équivalentes aux points 
doubles de <I», sont équivalents. Mais ces propriétés sont communes 
à toutes les surfaces régulières représentant des involutions douées 
d'un nombre fini de points de coïncidence, appartenant à des sur- 
faces irrégulières. Nous les réserverons pour un travail d'en- 
semble. 



SUR LE THÉORÈME DE MENABREA ; 
Par m. LIÉNARD. 



Le général Menabrea a établi en 1 858 (C. R. Acad. Se, t. XLVI, 
p. io56) un théorème important de Résistance des matériaux, que 
l'on peut énoncer comme suit : 

« Dans un système hyperstatique suivant la loi de Hooke (') et 
soumis à des forces données, les valeurs que prennent tes forces 
(ou les couples) de liaison surabondantes rendent minimum le 
potentiel interne II du système, considéré comme fonction de ces 
forces de liaison surabondantes. » 

En fait, le général Menabrea établit simplement que dR = o. Il 
ajoute ensuite, sans autre explication : « Il est facile de s'assurer 
que les équations [obtenues] correspondent au minimum et non 
au maximum. » Les démonstrations de l'existence d'un minimum, 



(') Déplacements et rotations fonctions linéaires des forces et couples. Dans ce 
qui suit, j'emploierai les mots forces et déplacements dans le sens généralisé 
qu'on leur donne en mécanique poui" les équations de Lagrange. 



MÉL'ANGES, 21 

données depuis i858 par Menabrea ou d'autres auteurs, sont elles- 
mêmes insuKisanles, comme l'a bien remarqué M. de Fontvio- 
lant ('). 11 est seulement établi que les dérivées secondes de H de 

. r O'-a . . . ,. . , . 

la lorme -.-^ sont positives, ce qui est une condition nécessaire, 

mais non suffisante, de minimum. 

Pour établir qu'il y a réellement minimum, je m'appuierai sur la 
propriété suivante des formes quadratiques : 

SoitF(y,, J2? •••jymj^t, ^3, ...,•;,/) une fonction quadratique 
des variables y et 2, et soient j)f, p-2^ ... les dérivées partielles 
de F par rapport à jki , .12, • • • , et ^, , r/2, . . . , ^n les dérivées par- 
tielles par rapport à :;| , ^2, • • • , 2^ : 

, ^ àF(y,z) ÔF àF 

Les équations (i) sont linéaires par rapport aux y et aux 5, et l'on 
peut en tirer les z en fonctions linéaires homogènes des y et des q. 
Substituant les expressions obtenues dans F, F devient une fonc- 
tion quadratique des )' et des q : 

F(y,z)^^(y,g). 

Or, on démontre (voir plus loin) que i^ se réduit à une somme 
d'une fonction quadratique des y seuls et d'une autre fonction 
quadratique des q seuls : 

(2) F{y,z)^^(y,g)^^(y)^'Hg)- 

La loi d'inertie bien connue des formes quadratiques montre 
que, si la forme F est définie positive, il en sera de même 
de 'f (j') + '}(7)? 6' P^'^ suite, séparément, de 'f (y) et de '){q)- 

Supposons maintenant que les y et les z soient les forces appli- 
quées à un système isostatique et que F soit le potentiel interne 
correspondant, essentiellement positif. En vertu du théorème de 
Castigliano, les dérivées partielles p et cj seront les déplacements 
correspondant respectivement aux forces y et z. 

Supposons en outre, pour arriver au théorème de Menabrea, que 

(') Bertrand de Fontviolant, iV/e'^/ioc/es modernes de la Résistance des maté- 
riaux {Bulletin des Sciences mathématiques, oclohvt, novembre et décembre 
1918, et Gauthier-Villars, 1920). 



11 PRKMIERE PARTIE. 

les y sont les forces données appliquées à un système hypersta- 
tique, tandis que les z seront des forces remplaçant les liaisons 
surabondantes supprimées en vue de rendre le système isosta- 
tique. D'après (2), F se réduit à ^{y) quand les q sont nuls, et au 
contraire à •\{q) quand les y sont nuls. Autrement dit, le poten- 
tiel F du système rendu isostalique est la somme du potentiel 
interne »(y) du système hyperstatique soumis aux forces don- 
nées j', et du potentiel du système rendu isostatique et soumis, 
après suppression des forces y^ aux forces z remplaçant les liai- 
sons surabondantes; ce dernier potentiel '}(ç) étant exprimé en 
fonction des déplacements q correspondant aux forces z. La 
forme '^-^{q)-, définie positive, a pour minimum la valeur zéro qu'elle 
atteint seulement quand tous les déplacements q sont nuls; il est 
ainsi bien établi que le potentiel F est minimum lorsque les 
forces z sont précisément égales aux réactions surabondantes 
qu'elles remplacent. 

Notes complémentaires. — Rappelons la démonstration de la 
propriété utilisée. La forme quadratique F (y, z) peut s'écrire 

(3) F(^, z) s A(^) ^ B(y, z) + C(z), 

A(j^) et G(s) étant des formes quadratiques en y ou en z-, et B 
étant linéaire homogène par rapport aux y d'une part et aux z 
d'autre part. Introduisons la fonction auxiliaire (transformation 
de Lagrange) 

(4) W=2?^-F 

1 

Or, le fait que B est linéaire homogène en v, tandis que C est 
quadratique, entraîne les identités 



L'expression de W devient 

(5) W = G(^)-A(^) 



z =2C. 



MÉLANGES. ^3 

W est l'excès du potentiel interne dû aux seules forces z sur le 
potentiel dû aux forces données y pour le système rendu iso- 
statique. 

D'autre part, en diflerentiant l'équation (4), où je considérerai 
W comme fonction des j et des </, il vient 

Les termes en dz disparaissent identiquement en vertu de (i). 

Les différentielles restantes, dft, dy., -...dqi, ..., dq„, étant 

indépendantes, on peut identifier les coefficients des dy et des dq, 

ce qui donne 

d\\(y,g) àF(y^z) _ 
(6) dj^ -^ ôy -^ 



ou 

(6') 7^+^=«' 

et 

à\y(y,g) 
(7) ^ = — ô^ 

Les équations (7) sont symétriques des équations (i). On passe 
d'un système à l'autre par permutation des lettres F et W d'une 
part, s et ^ d'autre part. La même permutation n'altère ni l'équa- 
tion (6), ni l'équation (4), qui peut s'écrire 

W(jr, 5r)4-F(j', ^)=.2^^• 
ll y a donc réciprocité complète du rôle des fonctions F 
et W, et, si l'on décompose la fonction W en une somme 
A, (y) + B, ( j, q) + Ci{q) comme il a été fait pour F [éq. (3)], 
on établira sans peine la relation suivante, symétrique de (5), 

F{y,z} = Ci(q)-k,(y), 

relation qui justifie l'équation (2). 

Les équations (6') et (7) "montrent que la fonction W(r, q) 
jouit de propriétés analogues à celles qui constituent pour F le 
théorème de Castioliano : 



24 PREMIÈRE PARTIE. 

(( La dérivée, changée de signe, de la fonction W par rapj)ort 
à une force jK, représente le déplacement p correspondant, tandis 
qu'une dérivée p^ rapport à un déplacement q^ prise avec son 
signe, donne la valeur de celle des forces z à laquelle correspond 
le déplacement q. » 

La proposition ci-dessus paraît [)lus curieuse qu'utile, faute de 
pouvoir écrire directement l'expression de W(j', q) sans passer 
par l'intermédiaire du potentiel F (y, z). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Hilton (H.). — Plane algebralc curves. Un volume gr. in-8 de 
xvi-388 pages. Oxford, Glarendon Press, 1920. Prix : 38 s. 

BuHL (A.). — Géométrie et Analyse des Intégrales doubles (Collec- 
tion Scientin, n° 36). Une brochure petit in-8 de 67 pages. Paris, 
Gauthier-Villars et G'*, 1920. Prix : 6 fr. 

FuBiNi (G.) et VivANTi (G.). — Esercizi di Analisi niatematica 
{Calcolo infinitésimale). Con spéciale rigiiardo aile applicazioni ad use 
degli allievi dei Polilecnici ( Grande biblioteca lecnica, n° 13). Un volunae 
gr. in-8 de vin-575 pages. Torino, S.T.E.N. (Società Tipografico- 
Editrice Nazionale), 1920. Prix : lire 58. 

Stuyvaert (M.). — Statique. Dynamique. Un volume in-8 de 
2o5 pages avec 58 figures dans le texte. Gand, Van Rysselbergue et 
Rombaut, 1920. Prix : 20 fr. 



COMPTliS RENDUS ET ANALYSES. 
COMPTES RENDUS ET ANALYSES 



VIVANT! (Giuuo). — Lezioni di a.nai.isi infimtksimai.k. Parfe Prima. 
Seconda edizioiic, riveduta ed aini)liala. [ Leçons d'Analyse infinitésimale. 
Fremièie partie. Seconde édition, revue et augmentée], i voL gr. in-8, 
vii-326 pages. Torino, S. Lattes e C; 1920. 

Pour marquer ici le caractère du livre de M. \ ivanli, il ne sera 
pas inutile de traduire quelques lignes de la préface : «J'ai cherché », 
dit l'auteur, « à donner aux sujets traités une disposition ration- 
nelle, de manière à rendre claire à l'esprit du lecteur la raison 
logique de l'ordre dans lequel se succèdent les diverses théories. 
Je me suis limité à quelques indications sommaires sur les tvpes 
les plus généraux de fonctions mis en évidence par les récentes 
recherches analytiques, fonctions discontinues, nondérivables, etc. 
dcni à mon avis l'étude doit être reportée, même pour les jeunes 
gens dirigés vers 'la carrière scientifique, à un cours complémen- 
taire ultérieur; je n'ai pas manqué pourtant d'énoncer soigneu- 
sement dans chaque cas les conditions restrictives sous lesquelles 
les divers résultats sont valables. En ce qui concerne les définitions 
de la Géométrie différentielle, j'ai eu soin de montrer qu'elles 
représentent dans chaque cas la traduction la plus naturelle, en 
langage mathématique, des concepts fournis par les notions de la 
vie courante ». 

Tous ces principes ont été appliqués |)ar l'auteur avec un sens 
pédagogique très sûr. Il expose, dans son excellent livre, les élé- 
ments du Calcul infinitésimal et s'attache avant tout à en dégager, 
avec clarté et précision, le contenu logique: les concepts fonda- 
mentaux de l'analyse y sont définis el étudiés en toute rigueur, et 
un tel enseignement donnera à l'étudiant une base solide pour des 
études théoriques ou pratiques. Sans doute un premier cours de 
Calcul infinitésimal, commun, comme c'est le cas en général, aux 
^étudiants de mathématiques, aux étudiants de sciences expéri- 
mentales et aux techniciens, pourra, sans être moins précis et sans 
Bull, des Sciences mathém., 2° série, t. XLV. (Février 1921,) > 



*•' PKEMIÈRK PAUTIK. 

dissinuilcr les difficiillés, faire plus large la pari de rinluiliou; l«;.«, 
applications, géométriques ou autres, des théories développées 
pourront leur être plus étroitement rattachées. Mais cela ne 
diminue point l'intérêt de traités développant, d'un point de vue 
plus théorique, les élrments du Calcul infinitésimal : il faut leur 
laisser place, à côlé d'un eouis plus pratique, si Ton veut tpie 
renseignement corresponde aux besoins d'élèves d'api iiudes et de 
vocations souvent bien diverses. 

Dans la première Section de son i.i\rc, M. Vivanli expose 
d'abord quelques questions préliminaires : il revient ainsi sur 
l'introduction des nombres irrationnels et complexes, sur la notion 
de limite d'une succession; en ce qui concerne les ensembles, il se 
borne au minimum indispensable (définition et existence des 
points limites, notion de limite supérieure et inférieure d'un 
ensemble). Il étudie ensuite le concept de fonction : oscillation 
dans un intervalle, continuité, cas des fonctions élémentaires, notions 
sur les diverses sortes de discontinuités. Après quelques pages sur 
les séries siuiples d'une variable (convergence uniforme), et une 
soigneuse étude de la comparaison des infiniment petits, il consacre 
enfin quelques paragraphes aux fonctions de deux variables 
(domaines simples et leur frontière: toute ligne continue fermée 
est frontière d'un tel domaine; continuité des fonctions de deux 
variables). 

Dans l'étude de ces théories préliminaires, si importante poul- 
ie fondement logique de l'analjse, l'Auteur a su très précisément 
se limiter aux développements utiles pour le but qu'il s'était pro- 
posé ; ce n'est pas un des moindres mérites de son ouvrage que la 
simplicité de lignes qui met très nettement en relief le plan logique 
de l'édifice. 

La suite de ce premier volume du traité de Calcul infinitésimal 
de M. Vivanti est divisée en deux parties : l'une consacrée aux 
dérivées et intégrales des fonctions d'une variable, l'autre aux 
dérivées et intégrales des fonctions de plusieurs variables. 

L'Auteur y réalise, surtout au début, la fusion complète des 
deux Calculs : différentiel et intégral. 11 obtient ainsi, en certains 
points, une plus grande brièveté de l'exposition; d'autre part, 
l'étudiant est ainsi plus vite en possession des procédés essentiels 
du Calcul. Mais on perd peut-être une partie de ces avantages à 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 27 

élahlir- iiur séparalion, trop complète et non moins inutilenu-nl 
sjstcmalicpic. entre le cas de une et celui de plusieurs variables. 

En ec qui concerne les fonctions d'une variable, l'Auteur délinil 
succcssivemciil les dérivées cl dilférenticlles et les intégrales, 
définies et indéfinies, pour grouper ensuite l'élude de leurs pro- 
priétés. INous ferons ici une légère remarque : dans un livre 
d'enseignement, la représentation intuitive des concepts introduits 
doit précéder, et non suivre, leur définition logique. Les quelques 
pages qui suivent sont consacrées aux formes indéterminées; il y 
aurait peut-être eu avantage à rapprocher cette étude de celle des 
développements en séries entières, et à ne pas passer sous silence 
l'application de ces développements aux indéterminations et à la 
recherche des parties principales. L'étude, effectuée ensuite, des 
méthodes élémentaires d'intégration, puis des extensions de la 
notion d'intégrale (fonction à intégrer devenant infinie, intervalle 
d'intégration s'étendant à l'infini) donne occasion à quelques déve- 
loppements, bien adaptés au caractère élémentaire du Livre, sur 
les fonctions elliptiques et les intégrales eulériennes. Enfin, pour 
en terminer avec le cas d'une variable, il reste à l'Auteur, après le 
calcul des différentielles successives, à donner la formule de Tajlor 
et ses applications aux développements en série des fonctions élé- 
mentaires. 

Comme nous avons déjà eu l'occasion de le dire, la dernière 
partie du volume est consacrée aux fonctions de plusieurs variables. 
La définition de leurs dérivées et différentielles j est accompagnée 
des développements habituels sur l'inversion des signes de dériva- 
tion (avec l'exemple classique pour montrer que cette inversion 
n'est pas toujours possible), sur les fonctions composées et homo- 
gènes. La théorie des fonctions implicites est alors traitée avec 
quelque détail : définition et propriétés des déterminants fonc- 
tionnels, étude complète de la résolution d'une relation entre deux 
variables, cas généraux et conditions pour que des fonctions de 
plusieurs variables soient ou non indépendantes (ici l'Auteur s'est 
parfois justement limité à énoncer les résultats ; il les a toujours 
précisés, ce 'qui était plus important, par quelques exemples). 
L'Auteur établit ensuite la formule de Tajlor pour plusieurs 
variables, et l'applique à l'étude des maxima et minima; quelques 
indications sont données sur les problèmes d'exiréma liés. 



>8 PREMIERE PARTIE. 

11 reste enfin l'éliaie des inlé^iales i)nilLi|»les ; elle esl préct-cJcc 
comme il convient, de nohons siii- les lonclions ch'-linies p-.w des 
intégrales dépendant d'un piuanuMi-e : conlinuilc, dériNalioii, cas 
où les limites d'intégration sont infinies. Alors, après avoir |)it'cisé 
logiquement la notion d'aire, M. \ ivanti expose la définition des 
intégrales doubles et leurs relations avec les intégrales curvilignes, 
qui sont introduites ici (formule de Green). Comme il s'est con- 
tenté de dire que l'on définira de même les intégrales multiples, 
on est un peu surpris de le soir établir, pour le cas général, la for- 
mule du changement de vaiiable : il est vrai que la démonstration, 
très heureusement présentée, n'est pas plus coni|)liquée, et que 
l'Auteur insiste ensuite plus particulièrement sur le cas de deux 
variables, auquel il s'était borné jusque-là. 

J. PérI-is. 



WHITEHEAD (A.-N.; — An enqi iry conckumn(; the i>rixciples ok natubal 
Knowledge [Enquête sur les principes de la connaissance de la nature |. 
I vol. in-8, xii-.ioo pages. Cambridge, Univeisity Press, 1919. 

The CONCEPT OF NATURE [Le concept de nature]. 1 vol. in-8, x-202 pages. 
Cambridge, UniversilN Press. 1920. 

Mathématicien, logicien, et philosojdie, M. Whitehead était 
remarquablement qualifié pour étudier à nouveau, dans son 
ensemble et sous toutes ses faces, le redoutable problème relatif à 
l'origine des notions d'espace et de temps. Ses deux récents 
ouvrages nous apportent, sur ce sujet, non seulement une très 
solide étude critique, mais une œuvre constructive, extrêmement 
originale et suggestive. 

La question de la relativité tient naturellement une grande place 
dans l'étude de M. Whitehead. On sent que les travaux d'Einstein 
ont exercé une influence directe sur sa pensée et ont même aidé 
celle-ci à se préciser durant l'année qui a séparé la publication 
des deux volumes auxquels nous nous référons. Toutefois, si 
M. Whitehead pose les mêmes problèmes qu'Einstein, s'il adopte 
(ou peu s'en faut) les formules et déductions mathématiques du 
grand savant suisse, il refuse de se rallier à sa philosophie. 

M. Whitehead raille agréablement la foule des admirateurs 



COMPTKS lUîNDUS KT ANAI.YSKS. .49 

(rEinsU'in, dont les espiile sont siii'lout séduits par les côlés para- 
doxaux des lliéories nouvelles, et pour qui la relativité se résume 
dans celte sensationnelle manchette d'un j^rand journal londonien : 
L'espace pris en flagrant délit de courbure. M. \\ hitehead, 
quanta lui, n'admet pas plus l'espace courbé d'Einstein que l'es- 
pace non-cou rl)é de la mécanique ordinaire. Dans la conception 
classique dt; l'espace, ilu lrn)|)s, de la matière (et de l'étlier), il 
voit un reste des préjugés que la Physique grecque nous a légués. 

D'autre part, les systèmes fondés sur cette conception sont 
xiciés, selon lui. par une lausse théorie de la connaissance. On 
\oudrait que la Science fût le résultat de la réunion de deux élé- 
ments : l'un apporté par les sens, l'autre ajouté par l'esprit. Ainsi, 
nous nous trouverions connaître deux mondes distincts, dont l'un, 
celui des sens, ne serait qu'un monde de rêve, tandis que l'autre, 
celui de la Science, serait purement conjectural. M. Whitehead ne 
veut ni de l'un ni de l'autre, et il nous propose d'étudier avec lui 
le véritable monde, le seul réel, c'est-à-dire le monde formé par 
l'ensemble des faits objectifs qui constituent ce qu'il j a de 
certain dans nos sensations. 

Partant de cette idée, M. Whitehead montre sans peine que 
l'on ne saurait regarder comme un élément primordial de la 
Science, ni le point (comme le voudraient les géométries axioma- 
tiques, lesquelles se proposent de fonder toutes les propositions 
géométriques sur les axiomes relatifs aux points, droites, plans), 
ni, non plus, /instant. Nous n'observons jamais ni point, ni 
instant, mais seulement des choses et des durées. C'est par un 
procédé logique de passage à la limite (analysé en grand détail 
par M. Whitehead) que nous parvenons à la notion d'instant et à 
celle d'espace instantané (espace au temps t). Rassemblant 
ensuite en un seul tous les espaces instantanés que nous pouvons 
conce\oir, nous en tirons notre idée d'espace permanent (ou, 
plutôt, d'espace conçu hors du temps). 

La mécanique classique suppose (sans le dire) que tous les 
espaces permanents, ainsi déduits des observations, sont identiques 
entre eux, et constituent Vespace absolu. Mais cette inférence 
est illégitime. En étudiant le processus logique qui engendre 
l'espace, on constate qu'à des observateurs différents correspon- 
dront des espaces différents. L'espace instantané présent d'un 



3o PKEMIEHK PARTIE. 

observateur Inreslre, jjar exemple, ne saurail eoïnci<Jer axée aucun 
espace inslanlané d'un liahilant de Mars; il en résulle qu'un évé- 
nement actuel |)Our le premier pourra être passr (tu J iilur pour 
le second; les mesures de temps des deux observateurs ne sont 
donc pas comparables. Ainsi s'expliquent, en particulier, les para- 
doxes de la théorie de la relativité restreinte (Lorentz) sans que 
l'on soit obligé d'attribuer à la vitesse de la lumière un rôle unique 
et privilégié parmi les autres phénomènes physiques. 

D'ailleurs, s'il n'existe pas de classement absolu des événements 
dans le temps, il n'en existe j)as davantage dans l'espace. Les évé- 
nements, le* objets (M. VVhitehead montre comment nous passons 
de la perception des événements à la notion d'objet) impliquent, 
comprennent, certains champs d'activité; et l'éNénement qui se 
déroule dans un tel champ en reçoit un certain irni>etus. C'est 
ainsi que M. Whitehead explique les propriétés du champ de 
gravitation d'Einstein. Dès lors, tandis que, pour Einstein, ces 
propriétés sont dues à la courbure de l'espace-temps (à quatre 
dimensions), elles tiendraient uniquement, selon Whitehead, aux 
propriétés de l'espace et des temps artificiels que construit le 
physicien (par voie d'abstraction) aiin de pouvoir énoncer en 
termes simples les lois de la Mécanique. Et cette conclusion, 
remarque M. Whitehead, est conforme au bon sens. Car il est 
raisonnable de regarder le concept d'espace et de temps comme 
le résultat des généralisations les plus simples tirées de l'expé- 
rience, plutôt que comme l'aboutissement d'une suite de transfor- 
mations d'équations difTérentielles. 

Pierre Bovtroux. 



MELANGES. 3f 



MELANGES 



SUR LA THÉORIE DE L'INTERPOLATION DE STIRLING ET LES ZÉROS 
DES FONCTIONS ENTIÈRES: 

l'AU M. K. OGUMA. 
( Pul)lié par les soins de M. J. Mad;iniaicl. ) 



M. i^ôlja (' ) a recherché les racines des fonclions entières 
V(z)=l g{t)co'izl lit et \{z)= f g{t)i\nzt dt: 

M. Kakeja {•) a tait une étude approfondie des racines des fonc- 
tions de la forme 



W(2)= j" 



g(t)<s{z, t)dt. 



On trouve aussi un théorème d'Hurwitz sur les racines de la 
fonction U(v) dans le Mémoire de M. Pôlja. 

Je me propose, dans cette ^^ote, de donner quelque» «générali- 
sations du théorème d'Hurwitz; mais, puisque ma méthode de 
démonstration dépend de la formule de l'interpolation de Stirlini;, 
je traiterai d'abord la théorie de cette interpolation. 

I. 

1. Lenime I. — Soit 

..., fi-n), ..., /(-2), /(-'J, /(o), /(i), /(■;>0, .... /(«), ... 
une suite de nombres qui satisfont aux conditions 

f{-n) = f(n), |/(/i)|<K r«-o, I, 2, ...), 



(') G. PÔLYA, Ueber die Nullstellen gewisser ganzer Funktionen {Mathe- 
matische Zeitschrift, t. II, .1918, p. 302). 

(^) S. IvAKEYA, On ze'o points of function defined by some dejinite intégral 
{Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan, 3" série, t. II, 
if)2o, p. i58). 



32 PUKMIÈKIi l'Airnii. 

où k. désigne une constaule réelle et positive, indépendante de n. 
Si Ton pose 

la série (série de Laplace-S lù'ling) 






est uniformément et absolument convergente pour toute valeur 
de c, el la fonction '■o{z) représentée par cette série est une fonc- 
tion entière et paire qui satisfait aux conditions 

?(«)=/(") (/i =0, ±1, ±2, ...) 

et 

I cç(^)| <-(«!"•-+- e--^'-) {\z\ = r). 

Car, puisque la formule ( ' ) 

SÎ(Z2 — i2)...(s2— n — I ) 



cos:i3 = I -+- 



2:(-o' 



(in)\ 

n = l 

est valable pour toute valeur de c, la formule 

■^ p^(p- -f- 1^). . .( p2-j- n — ( 



cos( r.i^) = i 



Ad (2rt)! 

n -1 



est aussi valable pour toute valeur réelle de p. 
A l'aide de l'identité 



is"/.isk[-h(7)*(\") --.-.] 

= •22" K. 



on obtient 



= •22" K 

De plus, on a 



(') \\)ir Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. II, vol. 2', p. 67. 



MKLANGES. 



33 



Donc 



I/o 1+2 



z-( z- [-) 


. . . ( ^1 _ rt — r ) 






(irt)! 




V r2(/-2-t 


- i"M. . .( '■--+- 'i — 


.^ 



-"./o I 



('^.rtj! 



= K cos(T.ir). 

l*ar conscquenl, la série ( i ) converge unifonnénieiiL et absolument 
pour toute valeur de :; ; donc 'f{:-) est une fonction entière et 
paire telle que 

loi:;) I < K cos( -v'/- 1 = —( e'"'''-+- e "'' ) ; 

et il est facile de démontrer que 

z{ n) = fi Tl) ( « = O, I, 2, . . .)• 



^. Théorème I. — Si t{z) est une fonction entière et paire 
qui satisfait à la condition 

|/U)1 <e>'l = l, o<). <log;>. pour 1^1 >"R. 
cette fonction peut être représentée par la formule de Stirling. 
En eft'et, à l'aide de Fidentité 



z{z^- 


l2)...(52_v_r ) 










x(x'^ — i^-) . 


. . ( a:' — V — I ) (x — V ) 




z(z* — 


i2) ... ( 2^— V — r 1(2 — 


O 



x( x^ — i-)..Jx'^ — V — I h 
I 2(2Η l2). ..( z^—n^) 



on obtient 

/l 2 ) =. /, 



-i[ 



X — 3 X(x'^ 1-}...(X^ — II-) 

2C2»— 1.2). .. ( 32— V _,^ ■ 



(27 — II'. 
3 ( 22 — I 2 ) . . . 



82V-./^ 



( Z VI . 

_ o2V 



(•2V).! 



Ô^Vn 



I r 2( 2Η l") . . . ( 22— «2) f{X)dx 



I r 2(2 

i-ij xi X 



1 ^ I . . . ( .r* — «== ) .r — 3 



le contour de riniégration C„ désignant le cercle | ;î | = ^ 



34 PREMIÈRE PARTIE. 

Pniscjue la loiicliony ( ^ ) est paire, on a 



j\z)=f,-.-y 






o-'V„^R„>-., 



27 


i 


<' 


l^uisqiie 




l/<^ 


et 







-f^)-(-f^)i 



i n'. )^f(x) dx 



\f{x)\<-i.V-M^ o<;jL<-.., |a-|^«, 

|a^2_^î I //'-+- -j — T?'' pour /^ = o, I, . . ., n, 



nous avons 



(n!)2/(x) 



a^far^— i*) . . .{x^— /!'' ) 



|)ulll' X 



^n+i)./ej 



in:)- 2 



("-Oi" 



'^^T-"V) 



(/i!)2.(2n)! -2 



► « -h U. /( -H — -)- I 



( 4 « -+- 1 ) 1 

( 4 /? -4- I ) - 

/> étant une constante réelle et positive. Donc 



Il ni I n„( s ) I _ A Il m = o. 

» — » '^n = oo \ n -I — 

I 4 /' -f- 1) ^ 



3. Théorème I bis. — Soitf(z) une fotictiun entière et paire 
qui satisfait aux conditioîis 

|/(,01^K («=o, I, 2, ...), 

où K est une constante indépendante de n. Pour que cette 
fonction fi'-) puisse <Hre représentée par la formule de S tir- 



MKLÂNGKS 
Uni: [ I ), il faut que crUe fonction satisfasse à la condition 

r>uisquc la loiulion /\ c ) est paire cl salisfait aux conditions 

!/(/( )| ^ K (/i = o, I, 2, .. .), 



la série 



OiZ) -^/n-^ 



;2(\s-— I*). . .1 3-— M — 



— o^"f. 



est absolument convergente pour toute valeur de 3, donc on peut 
la mettre sous la forme 



Us)=f, 



t\ 



-^ I 2 ) . . . ( Z2 — rt 



(■'.Al — 1)1 



;-"-'/. 



3( ;.■■! — r-i )...(--—" — I 



(1/1)1 



-( z — n) 0-" f» 



<j(z)-^ \J.fx-\- > 



^1 z^ — \-)...y z- — n 



-n — 0(3-- 



( ■> n — I 



-o^"-i/, 



en posant 

H- [/„- (7) /,.-,+(r )/..-- ■-/-]• 

Or, pour que f{z) puisse être représentée par la formule de 
Stirling (de Gauss ou de Bessel), il faut que 

/(z) = cç(3; 
pour toute valeur de z; donc, d'après le lemme I. nous devons 



(>) Il faul remarquer que la fonction /( z) = cti z ne salisfait pas aux condi- 
tions \f{n)\<K {n = o, \, ■!, ...), mais elle peut être représentée par la for- 
mule de Stirling. 



36 PREMIÈRE PARTIE. 



avoir l'inégalité 



1^ 

\f(z) |1 -feif-i- e-T^'-). 



ï. Théouèmi; II. - Soil h\z, t) une fonction antirrc et paire 
(le z, contenant le paramètre réel /, définie par la formule de 
Stirlins qui converge uniformément pour | :; | <; x», « ^^^ 6 (a, ^ 
étant deux nombres réels etjinis). Si g{t) est une fonction pour 

laquelle j g{t) dt et j \g{t)\dt existent^ la fonction 

f{z)= g{t)¥(z.t)dt irt£:a<3^6) 

peut être représentée pai la formule de Sterling ('). 
Eu elTet. puisque la sérir 



Ffz. = «o 0+ \««(0 -^ r^ 

n = \ 

est uniformément convergente dans l'intersalle a^t ^b, ou ohiicui 

f(z)=^ g{t)¥(z,t)dt 

" , . 

, V t Z^( Z-— l- ). . .y Z^— H I ) 

= èo-H^è„ — 






n = l 



(■'-«)' 



g( t) a„( t ) dt { /i = o, 1 , 2, . . . ) 

pour toute valeur de z. Donc 

/(o> = 6o, /(^i)=/(i) = è„+^, 
ce qui donne 



Par exemple, si l'on pose 



F(3, <) = cosX^3 ( — 7:^X1-), a = rt= — i, |3 = 6 = r 

I 



- v/ 1 — ^* 



(') Il est facile de généraliser ce théorème à d'autres interpolations, si nous 
changeons convenablement les conditions sur F(.;, t). 



MÉLANGES. 3; 

nll ohticill 

où .1(1 1^:;) désigne la ioncliun de Bessel d'ordre zéro. 
Si Ton |)Ose 

F(z, = JniÀ/3) (—-£1^71), a = « = o, 3 = 6 = 1. 

<-l 

< = cosO, 

on il 

71 

/'( z) = I ' Jo(X3cusO|cos6 sin2p-i6 rfO 

Jp(s ) étant la fonction de Bessel d'ordre p. 
Ainsi la Jonction 

z-piç,(\z) (p^o, — -SI£t.) 

peut être représentée par la formule de Stirling pour toute 
valeur de z. 

II. 

o. Soit /Y::) une fonction entière et paire qui peut être repré- 
sentée par la formule de Stirling 



pour toute valeur de z. 

Supposons, par exemple, que 

/(o)>o, /(u<o, /(2)>o, /(3)<o, ...: 

alors on a 

sign ô2"/o =(-'/'• 

(') Voi/- NiKi.sKN, Ilaiidl)uclt der Tlieorie der Cylinderfunktionen. p. iSi 



38 PREMIÈRE PARTIE. 

Considérons le poijnonie /o,, (;) de degré a/? 



/2.( ^) = /o+ ^8Vo + . . .+ ^^— ^^ .^"/„. 

Puisque /2„(/?) =/(/>) (j9 = o, ±1 I, ..., ± //), le polynôme 
/■2„{z) a 2/î racines réelles ± :■[',',' ( /> = i , a, .... n) telles que 

p — l<zf,i<P (/J = 1, 2, ., ., /»)• 

De l'idenliré 

^2,!+2 ( S = /i« - ' -^ ^ -, — 0-^"+-V", 

(2/1 -h -i). •' 

on déduit 

sign/,„^,(3y';,) = sign(^^])2[(^u;,)2_,îJ...[,^7;,)^-n2]?:i'-2^ 

= (—!)"-/'+> (—1 )«-»-> = (— l)/'. 

Mais, puisque 

sign/2„H_2(^ — I) = sign/(/) — I) == (— i)/' i, 

le polynôme /o„^2(^) ^i :^. z^ + a racines réelles 



telles que 






En général, on oblienl 

/? — !<...< zf,is^,,„ : -/;„i,„-2 <•■•< -î'îi ^/^ ('« = '. ■*, •••): 

par conséquent, Tensemble z^!,' {n ^= \'., 2, ...) admet un el un 
seul point de condensation ^'/", de sorte que // — i^z'P^ <C /'• 
Donc, par un théorème d'Hurwitz ( ' ), on peut conclure que 
toutes les racines de ïim J^niz ), c'est-à-dire de /( z). sont réelles 

et simples et chacun des intervalles { p — \ , p) { p^=o, zt: i , =t 2, .. .) 
contient une racine. Mais puisque y(^y> — 1)^0, la racine z'^ est 
contenue dans l'intérieur de l'intervalle (p — i-, p)- Ainsi nous 
avons le théorème suivant : 



(') A. HuKwiTZ, Ueber die Nullstellen der Besselschen Funhtion ( Mathe 
matische Annalen, t. XWHI, 1889, p. 24'i). 



MÉLANGES 89 

TiiKoiikMK 111. — ^'oil /( z ) une Jonclion entirre el pane, qui 
peut être représentée par la formule de Stirling pour toute 
râleur de z. Si toutes les valeurs 

/(ou /(.), /(■->■). /(3), ... 

sont réelles el ont des signes alternés, toutes les racines de la 
Jonclion sont réelles et simples^ et chacun des intervalles 

..., (—3, —9.), (— 9., — i), (— i,oj, (0,1), (I, i), (9., 3), ... 
contient à son intérieur une et une seule racine ( * ). 

6. En combinant les théorèmes I el III, on peut établir le 
théorème suivant : 

Théorème IV. — Soit /( z) une Jonction entière et paire qui 
satisfait aux conditions 

\f{n)\<K (rt = o. I, i., ...), 
|/(3)|<e>.l^i, X<.., 



(') D'une manière semblable, 011 peut démontrer les deux théorèmes suivants : 

1" Soit fis) une fonction entière et impaire qui peut être représentée par 
la formule de Stirling pour toute valeur de z. Si toutes les valeurs f{i), 
f{2),f{3), ... sont réelles et ont des signes alternés, toutes les racines de la 
fonction sont réelles et simples, et c/iacun des inten-cdles 

... (-3, —■>), (-2, -i), (.. -O. (2, 3). ... 

contient à son intérieur une et une seule racine. 

•j° Soit f{z) une fonction entière qui peut être représentée par la formule 
de Newton 

/V - ^ /• ^ V M^- ^){z-1)^...{z-n + ^) , 

./(s) = /„+2- ;r^ ■'-: 



^"f,. = /, - ( 1 'A-, + (.".) /„-.-•• •+ (- >)"/o 

pour toute valeur de z. Si toutes les valeurs f{'>). ,/(' ji /<-')./( 3 ), ... sont 
réelles et ont des signes alternes, toutes les racines de la fonction sont réelles 
et simples, et cliacun des intervalles 

(.., I), (I, a), (2, 3), ... 
contient à son intérieur une et une seule racine. 



4o PREMIÈRE PAHTIE. 

K (Hant une constante réelle et positive^ indépendante de n. 
Si toutes les valeurs 

/(O), /(t), /(■'.), ... 

sont réelles et ont des signes alternés, toutes les racines de la 
fonction f( z) sont réelles et simples, et chacun des intervalles 

.... (—2,-1), (—1,0), (0,1), (l, 2j, ... 

contient à son intérieur une et une seule racine. 

D'une manière semblable, en combinanl les lliédrènu-s 11 «i III. 
on obtient le tliéorème siii\anl : 

iHÉopiîME V. — Soit F(;, t) une fonction entière et paire 
de j, contenant le paramètre réel t, définie par la formule de 
Stirling qui converge uniformément pour |c|<<x), a'^t'^b 
(a, b étant deux nombres réels et finis). Soient g{t) une fonc- 

lion pour laquelle j g(t)dtet j \g(t )\ dt existent, et /(:■) 
•- • ti 

ta fonction définie par V intégrale 

g{t)?{z,t)dt (a^%<^^b). 



r 



Si toutes les valeurs 

/(o), /(O, A'2). ... 

sont réelles et ont des signes alternés, toutes les racines de la 
fonction f{z) sont réelles et sim/des. et chacun des intervalles 

..., (—2,-1), (—1,0), (0,1), (1,2), ... 

contient à so/i intérieur une et une seule racine. 

En particulier, dans le cas où 

¥{z, t) = co^-tz, rt = a= — I, 6=^ = 1, 

nous avons le théorème d'Hurwitz- ( ' i. 
(') Voirie. Mémoire de M. Pôlya déjà cité. 



MKLANGES. 

SUR UNE GÉNÉRALISATION DU PROBLÈME DE BARLOW; 

l'Ali M. C. DE JANS. 



I. Le pidljlèiuc^ (lil de Harlow it |)(tiir u\)'\v\ ]a délerininalion du 
(han^cmenl épromé par un champ luagnclique uniforme, après 
riiUroduction dans cclui-ri d'une couche sphérique en fer doux 
d'épaisseur invariable. Sa sidution. donnée dans les ouvrages clas- 
siques ('), s'adapte également au cas d'une couche diélectrique 
homogène et isotrope, limitée par deux surfaces sphériques con- 
centriques, et placée dans un champ électrostatique primitivement 
uniforme. Ce problème a été généralisé en deux sens : d'une part, 
on a considéré le cas d'un nombre quelconque de milieux, séparés 
par des sphères concentriques {-): dautn» part, on a remplacé la 
sphère creuse initiale par une couche comprise entre deux ellip- 
soïdes homofocaux (=*). Nous nous proposons d'étendre la question 
au cas où les surfaces de séparation consistent en de pareils ellip- 
soïdes en nombre arbitraire. 

La solution s'appliquera indifféremment au cas de milieux dié- 
lectriques ou de milieux magnétiques; mais, pour fixer les idées, 
nous raisonnerons sur des milieux de la première sorte. 

Désignons par -E, , Eo. . . . , E„ les ellipsoïdes homofocaux, 
numérotés de i à « dans l'ordre de leur succession de l'intérieur 
vers l'extérieur. Appelons s, le pouvoir inducteur spécifique du 
diélectrique remplissant l'ellipsoïde E,. t/, celui du diélectrique 
enfermé entre les ellipsoïdes E/,_, et E/„ £,,+, celui du diélectrique 
occupant l'esjjace extérieur à l'ellipsoïde E„. Nous supposons tous 
ces diélectriques homogènes, isotropes, et à l'état neutre; éven- 
tuellement, le vide sera considéré comme un milieu dont le pouvoir 



(') Voir, par exemple, E. Mascakt et J. Joubi;i!T, Levons sur l Électricité et le 
Magnétisme, t. I, Paris, 1.S82, p. 43-3 et suiv. 

{-) Jbid., p. 171-1-5. 

C) A. -G. GuEENHiLi-, Sur le magnétisme induit d'un ellipsoïde creux 
(Journal de Physiijue théorique et appliquée, t. \, 1881, p. 294-3(i3). 

Bull, des Sciences mathém.. 1' série, t. \LV. ( Février 19:21.) 5 



4u IMtlîMIEHK PAKIIi:. 

inducteur, diiiis un syslènic d'unités C(ju\euahl(', (;.sL mesure par 
l'unité. 

Imaginons le système précédent introduit dans un champ élec- 
trostatique uniforme, que nous appellerons le champ initial ou 
indiicleiir. el (jue nous supposerons défini par sa fonction poten- 
tielle \ „. Il s'agit de déterminer la loiictiun potentielle V du cliamp 
final, c'est-à-dire du chanq) modilié par l'étal de polarisation du 
système diélectrique. 

Dans le cas le plus général, le champ inducteur jjeut être regardé 
comme résultant de la superposition de trois champs, respectivement 
parallèles aux axes principaux des ellipsoïdes. 11 suffira donc de 
résoudre le problème dans l'hypothèse où le champ initial est 
dirigé successivement sui\ant chacun des trois axes. 

"2. JNous ferons usage d'un système bien connu de coordonnées 
elliptiques. Soient «, 6, clés longueurs des demi-axes d'un ellipsoïde 
quelconque E, homofocal av^ec les ellipsoïdes donnés; supposons 

( { ) a -^ b <c c- 

Si, en particulier, a/,, b/,, cu désignent les demi-axes de l'ellip- 
soïde E/((A = I, 2, . . ., /^i, ces grandeurs satisfont également aux 
inégalités (i). 

Définissons une fonction jj par les constantes réelles 

ex= - ( a^ 4- b- -t- c- ) — a"^ , e^ = - ( <7- -i- 6- -f- c'^ ) — 6- , 

62 = -r ( «- -H 6- -^ C- 1 — C'-. 

Cette fonction p possède une période réelle acoj et une période 
purement imaginaire ato^; nous définirons une constante W3 par 
l'égalité 

Wj-t- (Jjj-^ W3= O. 

Si maintenant x, y. z sont les coordonnées cartésiennes d'un 
point de l'espace, par rapport à un système d'axes Ox, O.)'- 0-^5 
coïncidant respectivement avec les axes c//,. b/,, C/i des ellip- 
soïdes E/,. on sait qu'il existe trois arguments u, c, tr, qui rendent 
la fonction p réelle, que Ton peut choisir de manière à avoir 

{■^) e-i < pw <:e3<pv <ei<pu, 



M r<: LANGES. 43 

«'t (llll (loilllCUl 

X- 



3 ) < y^ = 



pu — £", I ( jii' ei) { pir — Cl ) 

p?< — 63 ) { pv — t?:, ) 1 jxr — ('3 ) 
leJs— <?, M e;j — e.> 1 

pu — e2){pv — e.2 I ( p»' — ^î ) ^ 
I ^2— ^3 ) ( 62— ei 1 

Nous prendrons ces ar^unienls comme coordonnées ellipliques 
du point ( X. y, z). 
L c(jiiation 

( 4 1 II == oonst . . 

dans laquelle la constante acquiert toules les valeurs réelles com- 
prises entre o et w,, représente tous les ellipsoïdes du système 
homofocal. Nous désignerons par u/^ la valeur de cette constante 
sur lellipsoïde E/,. 

Si (4 ) est l'équation de l'ellipsoïde E, on a 

(5) pu = a'-h ei= b^-^ 63= c'^-h e-î. -p'a = — >.abc. 

3. On sait que la fonction \ est complètement déteruiinée par 
les conditions suivantes : 

1° Elle est uniforme et continue dans tout l'espace; 

2° Elle satisfait à l'équation de Laplace dans toute l'étendue d'un 
même milieu ; 

3" Elle se réduit à \ ,, à distance infinie; 

4" En deux points infiniment voisins, situés de part et d'autre 
de la surface de séparation de deux, milieux, les composantes nor- 
males de l'intensité de champ sont entre elles dans le rapport 
inverse des pouvoirs inducteurs spécifiques ; 

5" L'intensité de champ ne peut devenir infinie. 

Le problème sera donc résolu, si nous parvenons à construire 
une fonction \ satisfaisant à ces conditions. 

4. Supposons, en premier lieu, le champ Initial parallèle aux 
petits axes des ellipsoïdes; l'expression de V,,, dans laquelle nous 
pouvons faire absti'action d'une constante arbitraire addilive, sera 



44 PHEMIÈIUÎ PARTIE, 

de la forme 

A élanl une constante déterminée. Posons 

P = \/pu — e, . (_) — ^pv — Cl- K = \^p^v — ei . 

Ces fonctions satisfont à une équation de Lamé; on sait que la 
fonction 

■"d/t 






j satisfait également, et que le |)roduit des trois fonctions P,. O. 
R sera une solution de l'équation de Laplace. Ce produit, 
d'ailleurs, n'est, à un facteur constant près, autre chose que 






D'autre part, la fonction \ ^,= A.r satisfait également à l'équation 
de Laplace. Si donc a et ,3 représentent des constantes arbitraires, 
la fonction 

sera une solution de cette écjuation, uniforme dans tout l'espace. 

Nous allons lâcher de déterminer les constantes a et ji de 
manière que la fonction (6) satisfasse aux autres conditions imposées 
à la fonction potentielle. Les constantes en question pourront, bien 
entendu, avoir des valeurs différentes dans les divers diélectriques 
considérés. 

Nous poserons, pour abréger. 



= /"- 



/a 



P' 

nous appellerons A /, l'expression de la fonction A dans le mdieu de 
pouvoir inducteur î^, et nous écrirons, conformément à l'équa- 
tion (6), 

(7) Va= \x(y./,— [3/J;, 

pour // = 1 , 2, . . .. 7i -|- I . Les fonctions Y/, sont continues. 



MfiLANGES. 4J 

cliacuiif «laiiï. le (liéleclnquc (jiil lui c<)ii'e.s[)(>ii(l. La ((iiiliiiiiilé de 
la l'oiuiion V exige ([u'à la séparalion de doux milieux on ail 

V/, = \ //-+-! : 

|>ar c()nsé(|iieuU si 1/, esl la valeur de I pour u = il/,, 

' '"^ ' ^/i — [î/; '// = a/j+i — \i/i+i h, ■ 

ContoriiK'menl à la condition V' du n° 3, on a encore 

ce ([ni donne 

o. 11 nous reste à satisfaire aux deux dernières condiLions du n° 3. 

A un point quelconque (a, i^, «v), faisons correspondre trois 
vecteurs unitaires a. b,C; le premier, norm al à l'ellipsoïde i^=cons t., 
et dirigé vers l'intérieur de ce dernier; le deuxième et le troisième, 
respectivement normaux aux hyperboloïdes à une et à deux nappes 
t' = const., iv = const., et dirigés dans les sens où les grandeurs 

UC — OJi . 

es — : — et tr — ■ Wo sont croissantes. 
i 

Dans ces conditions, le gradient de la fonction ^ est donné par 

la formule 

MO, grad \ = i- (a ^ /jH- - ,,.u. - b ^ /p.r - pu ^ c ^^ v/p" - P^) , 

dans laquelle on a posé 

ni- = — I pu — jn- I ( pv — pw M p^v — pu i. 

La condition 4" du n'* 3 exige donc que ron ait, sur l'ellip- 
soïde E/,. 

\ >)U /u = i,i. \ àu I u = uu 

Or. de (3) et de (7), on déduit 

du au |_ \ pu / J 



En posant 

( r.'. I S = — 

)) u 



S=--^-I. 



/((î PREMIER li PAirriH. 

et en désignant par S/, la \alcur que prend celte fonction pour// = u/,. 
la relation (i i ) devient 

pour A =1 1 , 2, n. 

Pour exprimer enfin que l'intensité de champ doit rester partout 
finie, désignons par F/,, G/,, H^ ses composantes suivant les vecteurs 
I ri rectangulaires a. b, C Si nous posons 



/i X, ;., y ) = A i/ ''- -P^^ ' ^'-.P'- " ■■' >- - ^-^^ ' J'>- -'^\ 

V ( ^1 — ^2 M Cl — ^3 ) I JJ À — J) [J. I ( J) À — p V ) 

la formule (lo) donne, par multiplication scalaire successiv(; a\({c 
les vecteurs a, b. C. 

( F/, = — a ^lad \' =/(//, V, w M 3t/, -t- p/, S ) . 

(^ ' i ) < G/, = — b grad \' = /i p, n^, « M ot/, — ^,,\ i . 

f H/, =^ — c grad V =/( n', «/, v')i a/, — |i/, I ). 

Attendu que //, c, w sont soumis aux inégalités (2). la fouet iou / 
a des valeurs finies dans les formules précédentes. 
Tant que u satisfait à la condition 

o S M <; f,) 1 . 

les fonctions S et 1 restent finies; si donc les constantes a/, et '1>h 
sont finies et déterminées, les équations (if) fourniront pour les 
composantes de l'intensité de champ des valeurs également finies 
et déterminées, en tous les points de l'espace, excepté peut-être 
ceux qui répondent à a = coi. Ces derniers points appartiennent 
à l'aire et au contour de l'ellipse focale du système homofocal; ils 
sont donc intérieurs à l'ellipsoïde E,, et par suite les formules (i4) 
qui leur correspondent seront affectées de l'indice A = i . Sous la 
réserve faite au sujet des constantes a^ et J'i^, la condition 5° du n" 3 
sera donc vérifiée pour toutes les valeurs de h supérieures à i . 

Pour u =(0,. les valeurs de S et de I deviennent infinies; la con- 
dition pour F,, G(, H, de rester finies exige donc que l'on ail 

^i5) 3i=o. 

Nous avons satisfait à toutes les conditions imposées à la fonction 
potentielle. Le problème que nous nous étions proposé sera donc 



MÉLANGES. 47 
résolu [)ar la ioriuulc {-), dans le cas du (;liaiii|) iiiilial paiallèU; 
aux petits axes des ellipsoïdes, si nous prouvons que les équa- 
tions (8) et (i3) fournissent piuir les constantes 7.,. a^ a„ 

et jSo. ^s P'i+f *^1*'^ valeurs finies et déterniiirées. 

6. Avant de procéder à celte démonstration, nous ferons quelques 
remarques relativement aux fonctions l et S. 

Il est d'abord évident que la première esl positive, et croissante 
avec a; comme d'autre part Uh décroît quant h augmente, on a, 
r/ étant un entier positif. 

•/, > I// + y> O. 

Considérons maintenant la fonction S. 
On trouve, en tenant compte de la formule 

- p" « = 3 jj- u ■+- e-i e:j — (\. 
l'équation 



du p'2« 

la valeur du second membi'e est positive; et comme, pour u =.o, 
la fonction S s'annule, on a, pour a ^ o, 

S/, > S/,+,/> o. 

7. Les équations (9) et (i5) donnent immédiatement les valeurs 
de ^nAr\ 6t de ,3, ; pour déterminer les 111 autres constantes a et (3, 
nous avons les in équations linéaires (8) et (i3). Il s'agit de 
démontrer que le déterminant de ce système est toujours différent 
de zéro. 

Pour cela, posons 

S/;-)-l _ _ . 



nous aurons les équations simultanées suivantes, aux inconnues 

fi/i S/j -H a/j — ^A+i -:/( S/, — «/, + , T/, = o , 



r, ^< ^< f-' 



' P/, I/j -H a/j -f- P/;+i I/j — a/,+ 1 = o 

avec a,^_^, = i, [i, := o, et où h prend successivement les 
valeurs 1,2,...,/?. 



48 PRKMIEKE PARTIE. 

Ap|)clons D,j le déleriiiiiiani de ec système. cp,„ le rniiieiir 
pi'incijial tonné des ^>,/?î — i premières ligues horizontales el do 
2/?? — I ^)remièjes eolonues verlicales de D», et ']>,„ le résultat de la 
substitution, dans la dernière ligne horizontale de cp,„. de — l,„ii 
la place de S,„. 

Si 1 on forme le déterminant D„ el cpion le développe sui\anl les 
éléments de la derniéi-e colonne, on verra cjue 

Or, si l'on dévclop|ie un dét(;rminant '^,,1 suivant les mineurs 
contenus dans ses ficiix dernières colonnes verticales, on obtient 

et, par la substitution précitée, qui n'aHecte pas 'o,„^^^ el '-!>w_i , on 
en déduit 

< 19 ' 4'"' = ' ''«-1 ^>ii »?/K-l -i- "/H-l' S„,_i-|- l,„ )'\m \- 

En tenant compte de ce ([ue Ion a 



les formules (18) et (19) permettent de calculer aisément o„ et 'i>„. 
en faisant parcourir à m la série de valeurs 2. 3, .... «. On obtien- 
dra alors D,i par l'équation (17 t. 

Les quantités e^, qui |)euvent représenter des pouvoirs induc- 
teurs spécifiques ou des coefficients de perméabilité magnétique, 
étant toujours positives, les nombres ta ne sont jamais négatifs. 
Comme d'autre part nous avons observé que les grandeurs I^, S/,, 
!/„_) — • I,M, S/„_, — S,„, sont constamment positives, et qu'il en est 
de même de cp, et de -i,. les valeurs que les formules récur- 
rentes (18) el (19) fournissent pour cc„ el 'lu ne sont jamais néga- 
tives ni nulles. Par consécjuent. le déterminant D„ ne s'évanouit 
pas, d'où il résulte que les constantes a/, et '^h sont, sans exception, 
finies et déterminées. 



<S. Si nous observons encore que l'on a 



( ei — «2 M «1 — e-i) 



MELANGES. 49 

la suliilion du |)n>l)lrnio de Barlow sera, pinirlc «as cinlsagé, con- 
leiiiir dans les lorniulcs 



(lui dOlenninenl la i'ouclion pulciiLiellc du cliani|j final dans les 
différents milieux, les constantes a et [ii étant déterminées par le 
système (i6), et le point potentié par ses coordonnées elliptiques u, 
r, (v. Si l'on veut exprimer .r en fonction uniforme de ces coor- 
données, on aura recours à la relation 

ai u CTi t' 7| ir 

X = C'^iW, jîioi 

1! U rs V n ix' 

Les composantes de l'intensité de champ suivant les directions 
des vecteurs a, b, C sont données par le système (i4)- H l'ésulte de 
la première équation de ce système, que la densité de la couche 
électrique ou magnétique fictive, due à la polarisation des milieux, 
est. sur l'ellipsoïde E^, égale à 



■>-])' Un 



fi II/,, »', ^^^). 



U. On [)eut traiter de la mènie manière les cas où le chamj) 
initial est parallèle aux axes moyens. Oy. ou aux grands axes. O^. 
du svstème homofocal. Dans le premier de ces cas, on obtiendra 

V, =a.A^. 



(•>.i) y -' { (es— ei) {e^—e,} \ 

f V,^i=Ayji /fii lr,,-i{u + uH)-e,u][: 

I ( («3— <?i)(e3— ^2 » ' 

les constantes a,, a., a„, [i.. I^i^, |ii„+, étant déterminées par 



)o PREMIÈRE PAirni:. 

le système (i()i. dans lc(|iiel I/, icpiéseiile mainlenani l'inlr-ralc 

du T,3 — !: ( U/t -H 0>;, ) — /?., u,, 



. 'o J>" — «3 " . («:.— ?, j 



(^3— e.) 



Si le champ iniilal est parallèle aux grands axes des ellipsoïdes 
donnés, on trouve pour la tonclion potoulielle les formules sui- 
vantes : 



\, =a,AG. 






\ ,i+i = A 5 I I — !l^i±i . r / , — j; ( (i _4_ 0J2 ) — e wH I ; 

I (e.>— ^3 Me. — e,)' '- ■ ^'' - J^' 

les constantes sont déterminées par les équations (i(3), dans les- 
quelles I^ désigne l'intégrale 

/* ' (lu _ y, 2 — ^1 "/, -+- CJ, I — e-i U/i 
. (, pu — ^2 ~ (ei — e2)(e3—e.2) 

Dans ces deux cas, les intégrales I restent finies pour u = w, : 
uuiis, comme S devient infinie pour cette valeur de m, la compo- 
sante normale de l'intensité de champ deviendrait infinie si l'on 
n avait 3, = o; c'est pourquoi l'équation (i5) subsiste. 

On peut remarquer que les systèmes (20), (21) et (22) se dédui- 
sent l'un de l'autre par des permutations circulaires effectuées 
d'une part sur les lettres r, )-, ;. et d'autre part sur les indices i, 
.), 2 dont les signes de Weierstrass sont affectés. 

10. Cette symétrie parfaite des formules disparaît quand on se 
sert des fonctions de Jacobi et de Legendre, que nous allons main- 
tenant introduire. Posons 

De la formule 

sn2( gu ) = — ^^ 

pu é'2 



MÉLANGES. ">' 

il siiil , «Ml ('>^;ii(l à (5), 
(23) sn(^«) = ^. 

Supposons <pie n. 6, c dési<;n«Mil les deiui-axes de l'ellipsoïde 
// z= consl., Irjicé par le point pol<'Uli(''. Si nous posoiiN 

( •> i ) sin = -. cosO = -? 

ce 

il vient, m'àce à la relation (aS), 

( x^) Il = —Vi A. I. 

et l'on obtiendra immédiatement la valeur de a au moyen des tables 
de Legendre. Il en sera de même pour les valeurs u/i de ce para- 
mètre sur les surfaces de séparation des différents diélectriques, à 
condition de poser 

p- a/i 

i iC) ) sin 0/, — — j cos 0/, = — j 

C// Cl, 

et d'affecter de l'indice h les symboles a et f) de l'équation (aS). 
Examinons les trois cas qui ont conduit aux formules (20), (21) 
et (22). On se servira des relations 



îl ( /< -f- (o, ) = vM -I- r, ,. H — ( .s- = I , >., 3 ) , 

/ A' Va /. . , = la ^e,u^- ^^ " 
I " 2 pu — e-i 

de la dernière équation (5) et de l'équation (23). On trouve, dans 
le cas où le champ initial est parallèle aux petits axes ia des ellip- 
soïdes homofocaux, c'est-à-dire où l'on a 5=1 dans la première 
formule (27), 

1= ' rA_lE(/.,e>l. 

^2^2 yac g \ 

11 vient donc 

et l'on a d'ailleurs 



(29) p' ui, = — laiibiiC 



PREMIERE PARTIE. 



(.]('> deux dernières formules pernietlcîul de rjilcider les ((iiis- 
lantes a^ el 3/, nu moyen du système (i()), et lOii iiiir;i. pcuir delei- 
minei" la tonelion poleulielle. la loiinule 

(3o) \,= at j =</.- ^ r^^ - ^ E(/., 0)1 ;. 

dans laquelle h prend succcssivemenl les valeui> i . a, ...,// + i , 
et où l'on a a„ , . = 1,3 



n+l — * 5 i-») — *^- 

Pour effectuer les eaieiils numériques, on commeneera par 
déduire les constantes /., /»', g des parauiètres caracléristiques 
du système homofocal donné; on cherchera H/, au moyen des rela- 
tions (26), l/i par le secours des tables de Lejçendre, et p'u/, 
par (29); le système (16) fourniia alors les valeurs des a et des [i. 
On calculera ensuite les lonj;ueurs des demi-axes de l'ellipsoïde 
houiofocal mené par le point jiolentié, etl'on déleiniinera langle 6 
par les formules (24)- L'équation (3o), écrite avec lindice qui 
convient au milieu dans lequel le point précité se trouve, fera 
alors connaître le niveau potentiel du champ final en ce point. 

11 . Si le champ initial est parallèle à l'axe moyen des ellipsoïdes 
homofocaux, on obtient de même, en faisant s = 3 dans la première 
relation (27). 

encore avec a„^, = 1 , Ji, 1:;= o, A = i , 2, . . .. /i + i . Pour déterminer 
les constantes a et [^ au moyen du système (ifi), on a ici, au lieu 
de (28), les équations 

tandis que les égalités (29) subsistent. 

Le coefficient de — [3^ dans la formule (3i) peut aussi s'écrire 

_ j_ dFjk. 6) 

Enfin, dans le cas où le champ initial est parallèle aux grands 
axes des ellipsoïdes donnés, on fera s= 2 dans la première équa- 



MÉLANGES. 



53 



tidii i^'A- ). »i Ton (il)lii'ndr;i 



y?.) 



\i, = A z ■ a./ 



-^[F(A-.0)-K(/.. 0] 



iiM'c les inèmc's \aKuii) tjm; ci-dessus pour a,,^| et [ii,. Les cons- 
lanies a cl ^3 se calculent par le système (i6), en y faisant 



el en donnanl encore à p' u/, la valeur {'Mj). 

On pcul meUre le coefficienl de — ^^. dans la formule (i^i), 
>()us la forme 

12. Les f(n-mules qui précèdent conduisent immédiatement aux 
relations connues pour le cas de deux ou de trois milieux diélec- 
triques ou magnétiques. 

Dans le cas de deux milieux (^/? = i), on a, si le chamj) initial est' 
parallèle au petit axe de l'ellipsoïde donné. 

Les constantes a, et ,^2 sont déterminées par les équations sui- 
vantes, où nous employons les intégrales de Legendre : 



h- 



i, a^h^r^ 



h-, — >i'i 



«1^1 g 



i., OibiCi 



^j__rA__iE,/.,o,/| 

'i — a\ laici A' J 



La fonction potentielle du champ propre de lellipsoïde polarisé 
sera, à Tintérieur de cet ellipsoïde, 



et. à rexlérieur, 

(35i V:, = 



V'i = (ot, — i)A.r. 



( c'i — go I ('é'i — e,j I 



[ w ( '< -f- 0)1 ■) -i- eju — r, 1 j 



,4 PREMIÈRE PARTIR. 

ce MUillcs loriniilcs connues (l(''lini,s.s;inl le cliiiinp dun clliitsoKlf 

i»()liiii.sé nniloinK-incnl cl parallèlenu'ul ;i son petit axe. 

La t'ornuile (34) concorde avec les rolalions établies par Poisson 
et Maxwell (' ). En eflet. s'il s'agit d'un elli|)soïde de perméabilité a. 
introduit dans un champ magné! i(pie régnant dans le vide, l'inten- 
sité d'aimantation cpiil prendra sera 



^ — - — a, A 



et la formule (34) donne, poui rinlensil»' du elianip à l'intérieur de 
l'ellijisoïde, la valeur 

ai — I 4zN 

H =-(a,- i)A:= 

*i [^ — • 

Mais nous avons posé 

g 
valeur que nous pouvons mettre sous la tonne 

dz 



«i=i [ 



la quantité 2 u^ est donc l'intégrale que Maxwell désigne par <I>o. Or, 
nous avons 

ô{a]) b\-a\\_g " a,c,J' 

par suite, en vertu de la première égalité (33), 
a,— 1 il — ;^ , ^.'(■-'-«1 ) 

= ^«lOiCi ; 

ai e, ^(.^i) 

il vient donc, avec la notation de Maxwell, en observant que Ei = p. 
et £0= I. 

résultat qui concorde avec l'équation (.")) de cet auteur. 

La fonction potentielle du champ d'un ellipsoïde ])olarisé paral- 



(') J. Clkhr AIaxweli., Traité d'Électricité et de Magnétisme ( lra(.luc;ion 
fianraise de G. Séligmann-Lii), t. II. Paris 1889, 11° 'i37, p. 7? et suiv. 



MELANGES. 5) 

lèlcint'iil à Taxe moyen ou au grand axe se déduit dus roninilcs (34) 
cl ( >5j parles permutations tournantes indiquées plusliaut (n"9). 
La formule (35), ainsi que ses analogues, a été déduite par 
M. E. Mathv ( ' ) des équations qu'il a établies m signes de 
Weierstrass pour l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un |)oint 
extérieur (- ). 

On traite le cas d'un ellipsoïde conducteur, isolé et saus charge, 
placé dans un champ électrostatique, en faisant ei = oo dans les 
relalions |)récédenles, et l'on retrouve ainsi des résultats bien 
connus. 

13. Pour terminer, nous signalerons la forme que prennent les 
formules générales quand les ellipsoïdes homofocaux sont des 
ligures de révolution. C'est un cas de dégénérescence des fonctions 
elliptiques et des autres fonctions introduites dans nos calculs. 

En désignant par e/, l'excentricité numérique de l'ellipse méri- 
dienne de l'ellipsoïde E^, par e celle de l'ellipse méridienne de 
lellipsoïde homofocal mené par le point potentié, on a 



= c/i eu = ce . 



Uuatre cas sont à flistinguer 



i'* Ellipsoïdes aplatis, champ inducteur parallèle à Taxe de 
révolution. — Les constantes a et jj se calculent au moyen des 
quantités 



p' «/, = — 'ia,, c\, I/, = — ( ■ '' ... — arc sin eu ] , 



et il vient 



V' — -A 



-— — arc sin c 

«?2 



2" Ellipsoïdes aplatis^ champ inducteur perpendiculaire à 



(') Coniposante>i de la force magnétique d'un aimant ellipsoïdal uni- 
forme {Journal de Mathématiques pures et appliquées, *)" série, t. III, 1907, 
p. 207). 

(■^j E. Mathy, Expression des composantes de r attraction d'un ellipsoïde 
homogène sur un point extérieur, au moyen des fonctions ^,et !^ (Journal de 
Mathématiques pures et appliquées., 5' série, t. II, 1S9G, p. .112 eL 3i4). 



If) PKEMIÈIUi; PARTIE, 

taxe de résolution. — Ici on a 



p' «/, = — 2 cil, c'I . I /, = -—^ ( a rc si n e/, — e/, y/ 1 — e/J . 

\'/, = A c a/, — -!^ ( arc -iiie — e /• — '-') • 



3" Ellipsoïdes allongés., chanij) indiictpnf i>(iraliple à l'a.ic 
de î'évolution. — Oa ol>lienl 



\u = A 



a/, 






'V, . 



4" Ellipsoïdes allongés.^ champ inducteur perpendiculaire à 
l'axe de révolution. — Dans ce cas, on trouve 



P ui, = — 'i.a\cu 



V/, = Aj- 



\i,= 



isr^ \\—el 






' — g/t 

I -4- g/, 



Enfin, lorsque les ellipsoïdes donnés dégénèrent en un système 
de sphères concentriques, on trouve les équations suivantes, qui 
conduisent, en particulier, à la solution du problème de Barlow 
sous sa forme classique : 



V/, = AiF ( a/, 



^u- 



3a3 



Toutes les formules précédentes supposent a„^., = i et ,3) = o. 



COMPTES RRNDUS ET ANALYSES. 5y 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



LEVEUGLE (R.)- — Phkcis de Calcul c.kométrique. Avec une Pré/ace 
de M. II. Fehr, I vol. gr. in-8, LVi-joo pages et 6G figures, Paris, Gau- 
ihier-Villars et C", 1920. 

l^es Ouvrages quelque peu modernes sur le Calcul vectoriel 
n'étaient guère jusqu'ici, en France, que des traductions d'ouvrages 
ctrangers. Telles sont la traduction de Burali-Forli, faite par S. 
Lattes, et celle de Coffin, faite par A. Véronnet. 

Plus lointainenient, il conviendrait de citer une traduction de 
Bellavitis faite par C.-A. Faisant et, chose plus remarquable 
encore, une Théorie îles Oualernions due au même et reeretté 
géomctre. De telles publications, tout en ayant conservé bonne 
renommée, sont ensevelies dans l'oubli matériel en ce sens que 
ceux qui peuvent y avoir effectivement recours doivent être bien 
rares, les éditions étant épuisées depuis longtemps. 

Voici une œuvre moderne et essentiellement française; elle est 
si riche en problèmes et exemples qu'on peut, au premier abord, 
la trouver d'analyse bibliographique difficile ; mais, quand on s'est 
proposé de la parcourir soigneusement, on y discerne des idées 
directrices particulièrement heureuses et bien choisies. H. Grass- 
mann et Sir ^^ . Ilamilton sont les créateurs plus particulièrement 
invoqués; le pi-emier avait surtout en vue la Géométrie; le second, 
la Physique et, ces sciences se dirigeant aujoiird'hui et plus que 
jamais l'une vers l'autre, on voit les beaux thèmes que M. Leveugle 
avait à développer pour expliquer l'allure moderne de la Physique 
mathématique. 

l^AusdeluiLingsleltrc de Grassmann a été réclamée par des 
analystes purs, notamment par MîNL Goursat et Cartan, qui ont 
déclaré la prolonger en leurs études sur les intégrales multiples; 
l'analyse vectorielle et les quaternions d'Hamillon, avec leur allure 
si semblable à celle des déterminants, s'imposent de plus en plus 
dans l'électromagnétisme et la gravifique appuyés précisément 

Bull, des Sciences malliéni., 2' série, t. XL\ . (Mars 1921.) 4 



58 PREMIÈUE PAUTIE. 

sur la lliéoric des formes inlégrulcs, parce (|u*il y a, au lond (Je 
tout ceci, des invarianls intégraux dont l'analyse est celle des 
déterminants fonctionnels. Telles sont, il me semble, les idées 
fondamentales dont on pourra se pénétrer élémenlairemenf en 
lisant IVeuvre du colonel Leveugle. 

Le détail esl ()lus malaisé à peindre briè\ement. Le Livre débute 
avec le point, le ])araliélo<;ramme el le s|)ath ou parallélépipède 
oblique. C'est la comj)araisou des sjialhs. <jue Ton peut attacher à 
des points, qui permet un jjremicr calcul direct avec ces points; 
celui-ci donne alors loiil naturellement le calcul harvcentrique de 
Mobius. 

Bientôt nous trouvons le vecteur non localisé, puis le l)i[)Oinl 
ou vecteur glissant et le tripoint qui correspond aussi à l'idée d'aire 
triangulaire glissant sur son pi'0|)re |)lan. 

Avec la multiplication combinatoire ou alt<'rnée, les analogies 
se rapportant aux déterminants commencent à apparaître; une 
interversion de facteurs change le signe du produit et celui-ci ne 
change pas si, à la valeur de l'un des facteurs, on ajoute un mul- 
tiple quelconque d'un autre facteur. Cette analogie se prolonge 
dans le bipoint pour lequel on a 

AB = — BA, AA = (). 

Le produit scalaire de deux vecteurs est analogue au tra\ail 
par rapport à la force et au déplacement, mais il y a aussi un pro- 
duit vectoriel admettant un complément spatial perpendiculaire 
aux facteurs. 

Comme premières applications suivant ces considérations, citons 
le passage des coordonnées barycentriques aux coordonnées plucké- 
riennes de la J^oite et surtout la géométrie projective avec ses 
coniques, indilleremment considérées comme courbes du second 
degré ou de la seconde classe, ainsi qu'avec ses quadriques réglées. 
Le calcul est celui de formes algébriques toujours en relation 
immédiate avec les figures. 

C'est encore, et tout naturellement, à la notion de produit qu'est 
rattachée la notion de quaternion. Seulement, nous sommes ici 
en présence de facteurs fondamentaux i. j\ k. tels que i-, y-, A- 
soient égaux à — i et non à zéro. L n produit vectoriel, formé dans 
ces conditions, comprend une partie scalaire et une partie vecto- 



COMPTÎiS lUÎNDUS KT ANALYSES. ,«) 

rlolle |>rnj)i<'i)iciil dite, ai>(';c d'iiillcurs à mcUn- sons ("oinir <riiii 
<lrlenniiiiinl ; rasseinljlai;c cousliLiK' le quatciiilon. 11 esl lapido 
nionr liomologtiù a\('C la forme exponenllclle des imaginaires cl 
admet une image spliéi-ique 1res simple. Ses applications à la 
(jîéomélric cl à la jMccani([uc sont intuitives; le plan, la sphère, 
1 inver.Mon sont dune élude immédiate; il en est de même pour 
les symétries, le lliéorcme difalplicn sur la composition des 
dépla(;emenls hélicoïdaux, le mouxement central d'un j)oint. Voici 
les conrbes gauches avec le triédre mohile. les rormules de Frenet, 
la courbure des surtaces, toutes choses directement inspirées de 
(irassmann ainsi que M. H. Fejir Taxait déjà montre dans sa Thèse 
(^(îeorg et C" , (ienève, a' édition, 190^ ). 

Nous passons ensuite à l'étude des tondions vectorieUes 
linéai)es. c'est-à-dire telles que 

Une telle construction n'a de sens que j)ar l'intervention d'une 
multiplication nouvelle dite dyadique. d'où des dyades dont 
Tassenihlage donne des formes dyadiques. Une transformation 
linéaire ordinaire rexient à la multiplication d'un certain vecteur 
|>ar une certaine djadique et nous voilà encore, par une \oie 
nouvelle, dans les plus harmonieuses combinaisons de détermi- 
nants et. de même, dans les propriétés les plus générales des 
quadriques. 

La Physique moderne, celle des Lorentz, Einstein, (itc. fait un 
usage courant d'expressions linéaires, ou en forme de déterminant, 
mais dépendant d'opérateurs de dérivation. Tel est, par exemple, 
le Nahla dllamilton 

,) 



V= i 



ôx 



+ J -T- ^ k 



dy 



ôz 



d'où le gradient Tu. \.r V d'un vecteur d'espace peut [)rendre la 
forme quaternionienne 







i 


J 


k 


d\ ,)Y 


,)Z\ 


,) 


() 


à 


()x ' i)y 


é-.)^ 


&j- 


'77 


ôz 






\ 


\ 


L 



d où la <li^-ergencc\ le rurl^ le rotor et toutes les transformations 
d'intégrales multiples 1 foruiules de Stokes. de (ireen, etc. ) remar- 



6o PRIiMIEiUÎ PARTIE. 

quables, au pnîinici- clicl, ])récisùinent parce que ces transforma- 
tions ont toujours en un sens physique el que celui-ci, à llieure 
actuelle, s'accuse de plus en plus en se <;én(''i'alisant. 

M. R. Leveuj;lc a (lailleurs terminé sou b<:au Li\rc |)ar drlc- 
gants emprunts à la llicorie du potentiel newtonicn, à celle du 
mouvement d Un solide autour d Un point fixe, à l élasticité qui 
conduit naturellement à la tliéoi-ie ondulatoire de la lumièie et 
finalement à sa théorie électromagnétique. 

Que de belles choses, que d'élégants prcdjlèmes (particulière- 
ment dans le domaine de la géométrie synthétique) nous avons dû 
passer sous silence! Ifeureuseuient, les nombreux lecteurs que 
trouveront ces belles pages sauront aisément profiter de tout 
rensenible. 

J.a Préface de M. If. l^ehr nous rappelle, d'une |)arl. les contri- 
butions à la Géométrie vectorielle qui sont dues à léminent doyen 
de la t'aculté des Sciences de (îenève: d'autie part, l'inlassable 
dévouement montré par celui-ci pendant toute la guerre envers les 
internés en territoire suisse, leur permettant de reprendre contact 
avec leurs familles et leurs études. Le présent livre ne pouvait être 
présenté sous de meilleurs auspices, tant au point de \ue scienti- 
fi(pie qu'au point de vue moral. 

A. BlHL. 



a c er» 



OPPERMANN (V.). — Preauers éléments d'une théorie du quadrii.atérk 
co.MPLET. I vol. gr. iii~8, "C) pages. Paris, Gauthier- N'illars et G"; 1919. 

f^our apprécier, comme il le mérite, ce petit Livre, il faut, 
l'intérêt du sujet étant assez restreint, envisager les services qu'il 
peut rendre dans l'enseignement de la Géométrie. Le caractère 
élémentaire des méthodes utilisées, la rigueur, la précision el la 
clarté de l'exposition permettent de recommander l'étude de cet 
Ouvrage aux élèves des classes supérieures de nos Lycées. Il sera 
pour eux, par sa forme monographique, plus attrayant qu'un ordi- 
naire recueil d'exercices, et sa valeur éducatixc n'est pas moindre : 
la variété des méthodes mises en œuvre et des connaissances 
appliquées l'assure. Le Livre est complété par une annexe biblio- 
graphique, avec d'excellentes analyses des Mémoires cités. 



COMPTES UKNDUS ET ANALYSES. d 

Nous donnerons pour |(Minin(;i" tjut'lques indications sur les 
(juoslions Irailccs. Aj)r«''s a\oir i-appclr les pr-opi-iétés les plus élé- 
nienlaires el inditpic la classilicalion des (|uadiilalères complets, 
1 auleui- cludic les faisceaux conjuj;ués définis respectivement par 
les cercles conjui;ués des (juatre trian<^les et les cercles conslruils 
>ur les trois dia^^onales; il établit ensuite les propriétés relatives 
au.v médianes t-t aux bissectrices; enfin, a[)rès d'intéressantes 
a[)plicalions de l'étude de la parabole inscrite, il indique les 
relations entre les faisceaux de cercles précédents, les systèmes de. 
trcjis cercles avant pour centres d'homothétie les sommets du 
quadrilatère et les cercles de Monge des coniques inscrites. 

JosKi'u 1'éiu:s. 



RIGNANO ( E.). — Psychologie du raisonnement, /'édition française, 
I vol. iri-8, xi-54 i pages. Paris, Alcan, 19ÎO. 

Le raisonnement rend au savant des services tout à fait ana- 
logues à ceux que la machine prête à l'ouvrier; il opère en elFet 
sur les données de rexpérieiices (et tout le monde sait que l'expé- 
rience n'est étraniière à aucune science, pas même aux mathéma- 
tiques pures), en les métamorphosant graduellement dune façon 
non moins régulière et radicale que le fait l'outil pour les maté- 
riaux industriels. En conséquence, la connaissance de la nature 
et de la structure du raisonnement ne doit pas être considérée 
comme étrangère à la préparation du savant, de la même manière 
qu'un ouvrier intelligent ne peut pas ignorer la composition des 
machines qu'il emploie. 

Toutefois, combien petit est le nombre des investigateurs 
connaissant les armes qu'ils utilisent dans leurs luttes de chaque 
jour contre l'ignorance ou l'erreur! Au contraire, combien grand 
est le nombre d'entre eux qui affectent un mépris réellement 
injustifié pour la logique théorique (le code du raisonnement), en 
citant, pour justifier ce sentiment, les erreurs grossières commises 
précisément par des personnes auxquelles on doit des règles clas- 
siques pour la découverte de la xérité! .le n'essayerai pas de con- 
vaincre ces personnes que, en agissant de la soile, elles se mettent 
du côlé du toi't ; je me borne à affirmer, sans crainte de démenti, ([uc 



(,> PREMFEIUi: PARTIE. 

loiilf rcf-hcrclir, n\ ani |»()ui- but (réclaircir l'ossence et le foiirlioii - 
ncrncnl du raisoniicmciil, doil rlro oonsidriT-c par tout nialli(''iiia- 
ticien vraiiiifiil di^iic de ce nom. coninic l'aisanl parlie do Tcn- 
semlilc de ses occiipalloiis cl (pic la connaissance des rcsnltat^ 
d'une telle rc<li( relie ne peut qne lui cire exlrénienicnl iilile. 
Cette opinion, qne nous a\(>iis depuis nonilire d'années, est 
devenne plus vi^oiiieusc cl plus justifiée une fois la lecture finie 
de rimportanl volume (pie nous annr»n(;ons, et qui est dû à la 
plume savanU; du dii-ectcur de Scicntùi, la revue si lavorahlcmenl 
(Connue dans !»•> niilirii\ scientili(pics des deu\ mondes. 

Personne ne doit sY-tonnci- (pie. pour l'aire un peu de lumière 
sur la psyclioloj^ie du raisonnement, railleur ail cmployc' presque 
600 pages grand in-8. D'abord il s'agit de (pu-slions d'une déli- 
catesse et d'une dif'ficullé conq^arahlcs à celles qui se rencontrent 
dans les théories les plus élevées de l'Analyse mathématique; il 
s'agit, ensuite, de questions qui depuis un siècle ont été Tobjet de 
recherches très sérieuses et cpii ont donné naissance à des discus- 
sions, savantes autant qu'opiniâtres, que notre auteur rapporte en 
les examinant de son point de vue; il ^^ agit, enlin, de questions 
relices à un nombre considérable de phénomènes ayant trait aux 
fonctions les plus nobles de l'entendement humain; et, pour 
s'assurer la victoire sur ces obscurs problèmes, il faut bien 
souvent, non seulement laisser de cùté l'homme, mais descendre 
jusqu'aux derniers anneaux de la chaîne des êtres vivants; de 
même que, d'ailleurs, il est extrêmement utile d'examiner les 
phénomènes (pii accompagnent le sommeil de l'homme sain ou les 
manifestations de l'àme meurtrie des aliénés. 

L'auteur, avant voulu considérer son thème dans toute son 
ampleur et dans tous ses détails (et, de cette décision, il faut se 
féliciter, car, en conséquence, il a été amené à écrire un \éritable 
traité complet de psychologie), a été obligé de commencer par 
l'élude de l'origine des sentiments de tout' être animé; de cette 
manière, il a été amené à la conclusion (pie le motif dominant tous 
les phénomènes offerts par la matière vivante est l'aspiration de 
tout être de revenii- à l'état considéré comme normal: de ces pré- 
mices découle que la mémoire se trouve au fond de tonte action 
des êtres vivants. En montant plus haut dans l'échelle animale. 
M. Rlgnano étudie, dans deux longs Chapitres, le phénomène de 



COMPTIÎS «EN DUS lî T ANALYSES. 63 

l'attention cl Iraile cnsiùle la qtiosiion foiidanientalc : Qu est-ce 
(jue le raisonnement? il y rùpoiul en monlranl que c'est une suite 
d'opéralious et (rcxpéiiences seulement pensées. Pour justifier 
cette opinion, je vais rap])orter un exemple assez curieux qu'il a 
donné : il s'agit de prouver qu'il y a sans doute à Londres deux 
personnes ayant le même nombre de clieveux; c'est une consé- 
(pience du fait que le nombre des habitants de cette immense 
métropole est plus grand que le nombre de cheveux qui ornent la 
tète la mieux fournie. Or, si l'on expose tout au long ce raisonne- 
ment, on voit qu'il comprend ces opérations : i" détermination 
du nombre de cheveux de chaque personne habitant à l'ombre de 
la tour de Saint-Paul; ?." rangement de ces personnes dans l'ordre 
déterminé par la suite des nombres trouvés; .)" constatation que 
dans la série résultante il v a certainement des éléments doubles. 
Or, pour toucher le but, il n'est pas du tout nécessaire d'exécuter 
matériellement ces pénibles opérations; il suffit de reconnaître 
que cela est possible; dès lors, le discours marche sur des rou- 
lettes ; et la même chose arrive dans tout cas analogue, comme il est 
facile de le voir à laide des nombreux exemples que M. Rignano 
a cherchés et trouvés dans les sciences les plus diflerentes. 

Naturellement, le raisonnement ne s'est pas arrêté à ces formes 
élémentaii'es ; il a suivi (peut-être précédé et préparé) l'évolution 
de la Science; de concret il est devenu abstrait, l'intuition a cédé 
sa place à la déduction rigoureuse : ce sont des faits, d'une impor- 
tance hors ligne pour le progrès de nos connaissances, sur les- 
quels notre auteur a écrit deux Chapitres bien nourris ({ue nous 
signalons à l'attention de nos lecteurs. En continuant son évolu- 
tion, la techniffue du raisonnement, particulièrement sous l'in- 
fluence des triomphes des mathématiques, s'est encore perfec- 
tionnée et, avec un élan étonnant, a atteint des hauteurs prodi- 
gieuses ; à ces phases ultérieures de la vie du raisonnement, l'au- 
teur — qui parle des mathématiques en connaisseur parfait — a 
consacré trois longs ChajHlres qui, si nous ne nous trompons 
pas, seront ceux auxquels b'S lecteurs du Bulletin s'intéresseront 
sans exception, car on y parle exclusivement de foimes de raison- 
nement qui sont employées dans les mathématiques; je n'essayerai 
pas d'en présenter un résumé, de crainte de les gâter; je me 
permets scidement de citer les développements relatifs à la 



C4 PREMIÈRE PAFITIE. 

I^ogiqiie inalln''in;iti(juc, poui- iemi»r(|iu'r q\ic ]M. Rignano fsl. 
envers eelle hianelie du saNoir luiinain, (riinc si'vérilé })eut-êtr<* 
outrée, car même si, jusqu'à préseni, elle n'a pas mené à quelque 
grande découverte, il ne faut pas oublier qu'il s'agit de procédés 
récents, employés par un nombre très restreint de savants; et, d'ail- 
leurs, si cette méthode est un tour logique (jui rend impossible 
l'emploi non déclaré de nouveaux principes (postulats), c'est bien 
quelque chose qui mérite ra|)probalion de la pari des théoricien^ 
du l'aisonnemeu't. 

Le raisonnement dont nous avons [)arlé jusqu'à ce moment 
mérite l'épithéte de pur ou naï/\ car on ne l'emploie que dans le 
but de chercher la vérité, sans se préoccuper de la nature des 
résultats auxquels on parvient. Mais la logique a été et est encon; 
employée ad probanduni une thèse à laquelle on veut parvenir 
coûte que coûte. C'est le raisonnement intentionnel^ dont 
M. Rignano parle dans les Chapitres X et XI de son Ouvrage; de 
nos jours, il est employé par les a\ocats dans leurs plaidoyers, 
tandis que, dans les siècles passés, il a servi aux métaphysiciens 
grands et petits. Des personnalités rangées dans ces deux classes, 
les plus intéressantes sont, sans doute, les dernières, car 
Al. Rignano place dans leurs rangs des hommes tels que Descartes 
et Pascal. 

Les savants présentent des caractères intellectuels bien difl'é- 
rents lorsqu'on les considère au moment où ils marchent à la 
conquête de la vérité : il y a des synthétiques et des analytiques, 
des intuitifs et des logiques, des romantiques et des classiques. 
des audacieux et des timides, des visuels et des auditifs, des positi- 
vistes et des métaphysiciens; quoique ces classifications, comme 
toutes celles qui se rapportent au mécanisme de l'intelligence, ne 
soient pas du tout absolues, car un penseur dans des circonstance 
différentes agit différemment, toutefois, il est nécessaire de les 
connaître et notre auteur a été bien inspiré en v consacrant un 
Chapitre qui, s'approchant plus que les autres de l'homme vivant, 
réussit à être un des plus intéressants de son Ouvrage. Il se 
tourne ensuite vers la Pathologie du raisonnement, en traitant 
d'abord des rêves et ensuite des différentes formes de folie, natu- 
rellement par rapport au sujet de son choix. Il revient après à la 
Physiologie, pour s'entretenir sur la distinction fondamentale 



MELANGES. G5 

qu'on jK'iil faire entro raisonnement conscient cl raisonnement 
Inconscient, en sefTorçant, avec raison, damoindrir, aillant que 
faire se peut, la valeur que quelques auteurs ont cm j)ou\oir 
attribuer aux actes inconscients. 

L'auteur clôt son Livre par (jiielques considérations pliiloso- 
phiques ayant pour but d'ctablir les rapports existant entre le 
raisonnement et le iinalisme de la ^ie, en faisant remarquer le 
contraste tia<;ique qui existe entre notre vie, toute inspirée par le 
Iinalisme du bonheur, et le monde extérieur, qui n'a ni ne peut 
avoir aucune finalité ; sur ces remarques si éle\ ées il ne nous est pas 
j)ermis de nous arrêter, car elles sont tout à fait étrangères au 
programme du Bulletin et aussi pour ne pas provoquer, de la 
part du lecteur, la sévère semonce : Ne sutor ultra crepidam. 

(ji\o LfnuA. 



MELANGES. 



SUR L'ÉVANOUISSEMENT D'UNE BRANCHE DE FONCTION UNIFORME 
AUX POINTS D'UNE LIGNE SINGULIÈRE; 



l'Ai; M. P. FATUU. 



On sait qu'une branche de fonction analytique, holomorphe 
dans un domaine D, ne peut pas y prendre la valeur zéro en une 
infinité de points ayant au moins un point limite intérieur à D, 
à moins d'être nulle dans tout son domaine d'existence; les zéros 
de la fonction dans le domaine D sont alors (en laissant de coté la 
fonction identiquement nulle) en nombre fini ou en infinité 
dénombrable, leurs points limites dans ce dernier cas appartenant 
à la frontière de D. Jusqu'à quel point cette propriété s'étend-elle 
à l'ensemble des valeurs d'une branche de fonction uniforme aux 
points d'une ligne singulière ? Cette question a été souvent contro- 
versée. M. Painlevé, dans son Mémoire sur les lignes singulières 



<.(i PREMIERE PARTIE. 

fies fonc(ion> iiniilytiqucs (Annales de Toulouse, iH88^, ii 
(l(''montrc \v r('suhal suivanl : « Etant donné un arc de courbe 
i-cctilîable C. cl une fonction analytique délinie et régulière d'un 
c(Mé Àe C. continue sur G et prenant la valeur zéro en chacun de 
ses points, cette fonction est identiquement nulle. » Ne peut-on 
pas arriver à la même conclusion avec d<s li vpothèses moins res- 
Irictives? En pjiilienlier, l'ensemble des zéros dune fonction uni- 
lorme sur une li;;ne singuliért; est-il toujours dénombrable? Nous 
allons voir cpie les progr'ès acc(miphs dans e<'s dernières années 
dans l'étude des fondions de \ariable réelle et de certaines pro- 
priétés des fonctions analytiques qui sont li(''es à celles des fonc- 
tions discontinues d'une variable réelle, permettent de donner à ces 
questions une réponse à peu près définitive. 

Nous supposerons tout d'abord (pie la fonction considérée est 
représentée par une série entière dont nous envisagerons les 
valeurs limites aux points de la circonférence du eeicle de conver- 
gence; cette circonférence est en général une coupure essentielle 
pour la fonction, mais nous n'aurons pas à nous inquiéter de 
savoir, dans ce qui suit, si tous les points de la circonférence sont 
ou non singuliers. 

Nous devons maintenant préciser ce que nous entendons par 
zéro de la fonction f {z) ou f{z-) — const. sur la ciixonférence 
V.{ 1^ I =^ I ). Soit m un point de C. A un nombre quelconque fini 
ou infini. 

i'' Nous dirons que m appartient à l'ensemble E [/(:;) = A] 
s'il existe un clicniin (ligne de Jordan simple), intérieur à C et 
aboutissant en m. sur lequel y*(c) tend vers la valeur limite A. 

2° Nous dirons que m appartient à l'ensemble e\f{z) = A] s'il 
en est encore ainsi avec cette restriction que le chemin considéré 
est le rayon Om. 

3** Nous dirons que m appartient à l'ensemble t[f[z) = \\ 
si yf^) prend la valeur limite A sur tous les chemins qui abou- 
tissent en m, qui sera alors un point de continuité de la fonction. 

Tels sont les trois points de vue auxquels il semble le plu> 
naturel de se placer pour définir les zéros de f{z) — A. Il est 
évident qu'en général, à cause de l'indétermination de/(^) sur C, 
les ensembles E, e. t ne sont pas identiques, et que d'autre part 



MÉLANGES. r.7 

nii il s\ iu1)oli(|iioiiiont 

Toulofois, dans des cas ('■tendus, on [)eut aflinner que E = e. Il 
siillil j)oiu' cela (jue /"(::) soil horm-e ou possède seulenienl deux 
valeurs e\ce|)lic»nnelles à rinh'i'ieur de (;. G est ce qui résulte d'un 
important tliéorème de MM. Lindel()f et Montai ('), d'après lequel 
l'existence de la valeur limite V sur un chemin quelconque abou- 
tissant en /// entraîne alors l'existence de cette même valeur limite 

sur tout chemin faisant un an<;le << -^ avec le rajon. Quant à 

l'ensemble s, il sera <;ènéralement plus i-eslieint (jue les deux pré- 
cédents, à moins que /'( z ) ne soit continue sur (]. 

Ceci posé, nous allons examiner quels sont, dans tous les cas 
possibles, les propriétés des ensembles E, e, î. 

Tout d'abord, les ensembles E, e, et même l'ensemble s, ne sont 
pas nécessairement dénombrables. J'ai montré en efFel, dans ma 
Thèse (- ), que si l'on se donne arbitrairement sur C un ensemble 
l'ermé et de mesure nidle s, il est possible de former une fonction 
liolomorphe et bornée dans (î, continue sur C et prenant la valeur 
zéro en tous les points de z. Si l'on renonce à la continuité en tous 
les points de G, on forme aisément, par application de la méthode 
de condensation des singularités, un exemple analogue où l'en- 
semble â|/'(c):=o] est non dénomin-able dans tout intervalle, 
/{z) étant ponctuellement discontinue sur G, mais continue en 
tous les points de z. 

Dans tous ces exemples, s est de mesure nulle. En est-il néces- 
sairement toujours ainsi ? .l'ai seulement démontré, dans ma Thèse, 
que SI f{z) est holomorphe et bornée à l'intérieur de G, le com- 
plémentaire de l'ensemble e[f{z-) = o] est de mesure non nulle 
dans tout intervalle. Il en est de même a fortiori pour l'ensemble 

La démonstration (lu fait c|ue l'ensemble e\f[z)=^o\ est lou- 



(1) LiNDEi.ôF, Sur un principe général de l'Analyse et ses applications à la 
théorie de la représentation conforme (Acta Societatis Scientiarum Fennicœ. 
l. XLVI, 1915, p. 10). — MoNTEL, 5;//' la représentation conforme (Journ. de 
Math., 7' série, t. Ht, 1917, p. 19). 

(^) P. Fatôu, Séries trigonométriques et séries de Taylor {Acta inathenia- 
tica, t. XXX, 1906, p. 3o.j). 



r)8 PREMIERE PARTIE. 

jours (le mesure uuUe, (juaud fi z) csl foruire, a vXd donnée par 
MAI. I"\ et M. Riesz dans une Couiuninicalion iaile au i" f^onj;rès 
des uialhéuuuieiens Scandinaves ('). Leur dénionslratiou (|ui 
s'appuie sur les résultais de ma Thèse suppose établis les tiiéo- 
rèmcs de M. Lebesgue concernant l'existence des dérivées des 
fonctions à variation bornée. J'ai donné moi-même une démon- 
stration beaucoup plus rapide el élémentaire dans un article qui 
paraîtra prochainement au Bulletin delà Société mathématique 
de France. Comme elle tient en cpu-lqnes li<^nes, il n'y a pas d'in- 
convénient à la reproduire ici. 

Supposons, ce qui ne diminue pas la généralité, y(o) = i; en 
vertu d'une formule bien connue de M. .Jensen, on a 

(i) — / logRrfo =-- /i logr — log/'i/'i. . .r„= log .. — , 

en posant 

R = |/f ,•«'•?) I 

et en appelant z-,, To, .... r„ les modules des zéros de J\z) inté- 
rieurs au cercle de rayon /•(o<^r<Ci). Si nous séparons, dans 
rintégrale du premier membre, les éléments positifs correspon- 
dant à R > I des éléments négatifs ( R <C ')' ï^o*^'^ obtenons 

— f logRc/= -f loglrfï-log- ...— — 

(»U 

(a) ~f logRf/'^ = J-r logl^ç+Iog-^ -...-^• 

Dans cette dernière égalité ne figurent que des quantités posi- 
tives. Sif{z) est bornée, ou plus généralement si l'intégrale 



•^1 s 1 = R 



reste bornée quand r tend vers i (a, nombre positif arbitraire ). il 
en sera de même a fortiori du premier membre de (2). Donc les 
deux ternies du second membre de (2 ) restent également bornés 

(') V. et M. l^iEsz, leber die Randiverte einer Aiialytisclien Funktion. 
p. :>8-.'1o. Stockholm, 1916. 



MfiLANGliS. 69 

pour /•—>!. Or, si l'on avail 

lilll |/(/T'?)| = o 

r= 1 ■ 

|»(iiir un ensemble de valeurs de cp de mesure |a > (». à l(iulnoud)n; 
posilli' P correspondrait un nombre r' < 1 tel (jue. pour /■ , /•'. 
riuéi;alité 

\J\rei-^)\<~ 

ail lieu dans un ensemble de mesure > -> el l'inléoraledu second 
uiembre de (2) sérail alors supérieure à 

•XT. 2 - 

Klle tendrait donc vers l'infini avec On a donc 

I — r 

ij. = o. c. Q. V. i>. 

[Le fait que le second terme du second meudjre de (2) rcsle 
borné entraîne d'autre part, comme on le voit aisément, la eonver- 
•icnee du produit infini Wi'ni 0^1 de la série S(i — /•„ ). Nous ren- 
voyons, pour plus de détails sur ce sujet, à notre article du 
Bulletin de la Société mcithéma tique. \ 

Ainsi, lorsque j\z) est bornée dans C, l'ensemble e\f{z) = A| 
est de mesure nulle, et il en est de même en vertu du théorème de 
M. Lindebif, de l'ensemble E \j'{z)^=^h\. Si l'on suppose seulement 

que l'intégrale / R'^ <f/cp est bornée, le premier ensemble est 

encore de mesure nulle (même pour A = co ) ; d en est probable- 
ment de nu^'me pour E, mais la chose est plus difficile à démon- 
trer. 

Remarquons d'autre pari que, pour /( ; ) bornée, les valeurs 
limites radiales existent presque partout, ainsi que je l'ai 
démontré dans ma Thèse; l'ensemble des valeurs distinctes ainsi 
(d)tenues est non dénombrable, puisque la somme d'une infinité 
<lénombrable d'ensembles de mesure nulle est encore de mesure 
nulle. 

Plaçons-nous uiaintenant dans le cas où /{z") est non bornée 



70 PRRMlÈRIi PAIITIE. 

dans C, mais possède deux valeurs exeeplionnelles finies et ne 
devient jamais égale, par exemple, à o ei à i. La pi(>j)riété suhsisic 
dans ce cas, comme on le voil en eniploxaiit la mrlliode de démons- 
tration de M. Picard |)our les fonctions entières. Soit v(.r) la fonc- 
tion (pii exprime le rapport des pèri(»des de l'intégrale 



/ 



dx 



\/u{ii — i) (" — ^ ) 



La fonction v(.>c) ayant sa partie imaginaire positive et n'admettant 
que les trois points critiques o, i et oc, le tliéorème démontré pour 
les fonctions bornées s'applique à la fonction 

qui est liolomorplic à l'intérieur de C d dcsieni bornée par une 
transformation homographique. Soit alors A nn nombre quel- 
conque et supposons que /{z) tende vers A quand z tend vers le 
point J^ de C suivant une ligne déterminée, mais quelconque; 
^appartient donc à l'ensemble E [/(;) = A] ; le point 7j=zf(z) 
décrivant alors une ligne aboutissant au point A, le point 
T = v(Z) = 'f (^) décrira une ligne aboutissant en un point déter- 
miné v(A); ceci est encore vrai quand A est égal à l'une des 
valeurs critiques o, i ou ce; car ces points sont, pour toutes les 
branches de v(Z), des points critiques réguliers pour lesquels il 
n'y a pas d'indétermination; à deux points distincts Ç et ^' de E, il 
pourra correspondre ainsi deux valeurs distinctes de v(A), si les 
chemins décrits par Z comprennent entre eux un point critique 
de v(Z); mais les valeurs distinctes v /'^ ( A ) ainsi obtenues sont au 
plus en infinité dénombrable et déduites de l'une d'elles par un<' 
substitution homographique à coefficients entiers. Nous voyons 
ainsi que l'ensemble E [/(:;) = A] est la somme d'un nombre lini 
ou d'une infinité dénombrable d'ensembles E,-(-E2-l-. . .-|-E^-h. . . 
en posant E^=: E ['^ (:;) = v'/'UA)]. Comme tous les E^ sont de 
mesure nulle, d'après ce que l'on a démontré pour les fonctions 
bornées, il en est de même de E. 

Plaçons-nous maintenant dans le cas tout à fait général où l'on 
suppose seulement que /(z) est holomorphe à l'intérieur de C. Il est 
alors facile de démontrer que l'ensemble z [/(;;) = AJ est de mesure 



MKLANGKS. 71 

nulle; >ii[)|)ns()ns. en «'llel, (ju il ^(»ll ilf lucsiue '/>»); il cxisic 
alors un poinl ^ de (1 Ici (|iic, [lom loiil arc de la circonlc-i'ciicc 
ayant pour niili«^u C, 1 onscinhle des points de î (pii \ st»nl contenus 
soit tie mesure non nulle. i*our s'en eonvainere, on peut appliqni'j' 
un théorème de M. I^ebesone, d'après lequel la densité âc e est, en 
certains points, é<;ale à i; on peut le voir aussi d'une manière toiil 
èlémenlaire en divisant la circonférence en deux parties éj^itles, 
choisissant celle dans laquelle la densité moyenne de ; est la pbis 
ij;rande, divisant de nouveau cet arc en deux parties égales et ainsi 
de suite; les arcs obtenus tendent vers un |)<»inl limite Z où la den- 
sité de s est ^ -^ et qui répond à la (jueslion. 

Considérons*e domaine S limité par un arc ni/i de G ajanl ^ 
pour milieu et une portion de circonférence de centre Z passani 
[>ar ni <'t 71; on peut faire la rejjrésenlation conforme de sur un 
cercle de rtiyon i au moyen de fondions élémentaires, de manièie 
que les points des contours se correspondent un à un et que les 
ensembles de points de. mesure nulle se correspondent également 
sur les contours. On en conclut, en appliquant ce qui a été 
démontré plus haut, que, B désignant un nomlitc quelconque dis- 
tinct de A, la fonction -— est non bornée dans puisqu'elle 

prend la valeur -r ~ en un ensemble de tioints de mesure non 

nulle sur le contour. Faisant tendre ensuite la longueur de mn vers 
zéro, on ol)tiendra une suite de points r,, z-^- • ■ • tendant vers ^ et 
intérieurs à C, tels que la suite /'( ;, 1, /'( z--, ), ■ • ■ ait pour limite B ; 
enjoignant ces points deux à deux par des segments de droite, on 
aura une ligne 5, Go. . . r„ . . . , aboutissant en ^, sur laquelle 
J'{z ) n'aura pas la \aleur limite A, contrairement à l'hypothèse. 11 
faut en conclure que l'ensemble £ | /"( c 1 ^ A | est de mesuie 
nulle. 

^ Au contraire, les ensembles E[/Y;;) = A| et même e\f(z)=^A\ 
peuvent avoir des mesures quelconques. C'est ce que l'on peut 
prouver par des exemples. Dans un Mémoire sur les équations 
fonctionnelles, paru au Bulletin de la Société mathématique 
(1920, 3" Partie, Chap. VU), j'ai démontré que la fonction de 
Kœnigs qui vérifie l'équation fonctionnelle de Schrcider : 

/[R(cj] = 5/(0 [5= R'(o), o<|5l<i, H(o) = oJ, 



72 PHKMIÈHE PARTIK. 

dans lucfucllr- R(5) csi une foncUon lallonnellc (Irlini^^sanl une 
substitution à cercle fondamental (|c|50' joiiil des propriétés 
suivantes : par chaque point de la circonférence | ^ | ^= i , on peut 
mener une courbe intérieure au cercle C et faisant un angle quel- 
conque avec la circonférence sur laquelle j^f^) tend vers l'inlini; 
en outre, presque partout, ce chemin peut être confondu avec le 
rayon lui-même. On aura donc ici 

mes E [./*( j) = ocj = mese [f{z) = co] = ar. 

[La fonction /"<:: ) prend une infinité de fois ttjutes les valeurs 
finies au voisinage de chaque point de la circonférence. | 

Nous devons maintenant nous demander s'il existe des fonctions 
possédant des propriétés analogues; mais cette fois avec une valeur 
limite finie, par exemple zéro. 

On parvient à construire une telle fonction en considérant un 
cas limite de l'équation fonctionnelle précédente, celui où la sub- 
stitution à cercle fondamental admet un point double singulier de 
multiplicateur égal à i , les substitutions itérées ne convergeant sur 
aucun aie de la circonférence; cela exige que l'on ait pour le point 
double y. considéré ( situé sur la circonférence) 

R(a) = a, H'(a) = i, R"(a; = o. 

Dans ces conditions, il existe une fonction holomorphe dans le 
cercle C, non t-ontinuable au delà de ce cercle, qui vérifie l'équa- 
tion fonctionnelle d'Abel 

/[Pi(z )] =/( z ) -h const. 

La fonction F(;) = ef^^' jouit de la propriété que tout point de 
la circonférence limite appartient à l'ensemble E[F(^)= o]. C'est 
ce; que nous allons maintenant démontrer. Pour arriver rapidement 
au but, sans oblloer le lecteur à se référer au Mémoire cité, nous 
traiterons la question dans xin cas particulier. 

Nous allons d'abord étudier l'itération de la substitution 

(3) t,= t-\--i + -^=(^{t) 

qui laisse invariables, comme le montre un calcul élémentaire, le 
demi-axe réel négatif, et le domaine constitué par les points du 



MliLANGES. 73 

[ilaii «'vIciit'iiiN il (•!• (Icmi-ax(\ I^a siihslilulioii inverse délini<' [)ai' 



2 

ol iiiiirorme |)Oiii" ] /| | > 4- 

Ce(-i posé, faisons l'itération de Q( t) dans le domaine A d(''(ini 
|.ar 

On a, (la près (3) et (4), 

"1 = t-^'^ -f- ., ' , >T +2, 

i.- — I— K 

I 



Cette dernière égalité montre que -[ est du signe de -z" et moindre 
en valeur absolue. On aura ensuite par Itération 

( 5 ) Tn > T -4- 2 n i: a -h •> ft > 2 ( « -f- I ). 

(6) h',|>h.:.I>...>h'„|>..., 

ce qui montre que les points /«=':«+«':'„ tendent uniformément 
vers l'infini en restant dans A et que l'argument de fn tend vers zéro. 
On déduit éualemenl de là les inégalités 



(7) 



Il I 1^ I I I 



< 



I 



-n-1 



2 \ 1 n / 

On obtient ensuite, d'après (3), 

(8) <„=:?-+-2«H i ^-...^ . 

t ti t/i—i 

et, en remarquant que /„ a pour valeur asymptotique 2/? pour n 
très grand, on est conduit à écrire ce qui précède de la manière 
suivante : 

(,) ,„_ ,. _y _L = , + ! -y -^-^^- 

.^ ip / ^mi i-p t,, 

1 1 

Bull, des Sciences mathéni., 2' série, t. XLV. (Mars 19^1.) 5 



74 PHI*: M m: 111': PAiniH:. 

( )r la strie > est iiiuloriiK-mcnt converiicnte nuand / reste 

^^ xnt,, " 1 

1 

dans une parlie bornée de A. On a en eflel. d apiès (5), 

\-in t„\ > 4 «2, 
et. d'après (71 et (8), 

\?.n — t„\ < |/|-^lo-/*. 

Les termes de la série considérée sont donc intérieurs à ceux de 

1 ' • . "V \ t\-\-\osn ,,,, . . , 

la série convergente 7 — — — — — • hlle représente ainsi une tonc- 
'^ J^ 4/1- ' 

tion holoniorphe en tout point de A, sauf à iinfini. 

D'après (()). on peut écrire, en appelant n(/) cette dernière 

l'onction et K la constante d'Euler. 

t,i 'in log« = - — / -f- - -f- H(0-^ £«(/ '== *( T) -i- '«(0; 

£„( i) tendant vers zéro avec -• On a ainsi 
^ Il 

Cio) <I>(0 = lim ( f,t— 2n log«), 

OU, en changeant / en ^, = Q ( t) et n en n — i , 

fï>( /j) = lim tn — 2/J -h -< log ( /J — 1) , 

doù, par soustraction, 

La fonction <ï>( /) vérifie donc l'équation fonctionnelle d'Abel. 
Je dis que ^{t ) est holoniorphe dans tout le plan, sauf aux points 
du demi-axe réel négatif. 

En elfel, soit D un domaine ne contenant aucun point de ce 
demi-axe, mais intérieur en partie au domaine A de tout à l'heure; 
les fonctions /« = Q«(«) sont holomorphes dans D et n'y prennent 
jamais les valeurs réelles négatives d'après une remarque faite au 
début; elles forment ainsi, d'après M. Montel, une famille normale 
dans D; et, comme elles convergent uniformément vers l'intini 
dans une partie de D. il en est de même dans ce domaine tout 

entier. D'ailleurs, si tn tend vers l'infini, ta— i — ^«-1=7 — 

'n—\ 

tend vers zéro, donc la partie réelle de /„ — f„_, tend vers 2; elle 



MELANGES. 75 

csl donc >» i à parlir (11111 ccrlaiii run<;; eu faisaul /t = i , 2, ... 
siu^ccssivcnit'nl, on voll |)ar adililion que la parlK! réelle de U„ — l ) 
<'sl inlnii<' posilixe a\ec n. Par eonsé(|uent. l<^s domaines consé- 
quents de I) sont intérieurs à A à partir d'un eei'lain ranj; ; la série 

de tout à riieure, N ^ " ~ " > est uniiornié nient eonveroente 

dansD; <!)(/) est donc holnnioi-phe dans 1) et y vérifie toujours 
Téquation d'Abel. J'ai démontré, dans mon jNlémoire cité, que 
Ion a pc^ur (I>( / i les égalités asymptoticpies 

«i>i t) = t + O(logr), 
I 



(piand t s'éloiyne à Tinlinl dans A; mais je ne m'en servirai pas ici. 
Je vais seulement démontrer le résultat suixant. «-ssentiel pour la 
suite (d'ailleurs moins <;énéral que les précédents) : t restant 
dans A, si sa partie n'-elle est bornée supérieurement, il en est de 
même de la partie rc'-elle de <!>(/ ). D'après l'égalité 

E I 

'i>i / ) =z — 1- / H h H( n, 

1 t 

il suffit de prou\er le t'ait énoncé pour la fonelion 11( / i. ( )r, on a 

Ad llltn 
1 

l,, = ~„ -}- i ~ n = 'in -{- r, „ -f- j ",, , 
r.„ é'tant positif d'après ( o ). Il vient alors 

'in — t„ _ — r,„— i-.„ _ ('— T,,,— /-„ ) (-„— i-'„ > 
•2 n t „ ■>. n (-„-+- i -.'„) 'i " ( " « -^ "-'n ). 

\ -infn 1 i.nizj.^-it)- 
«t, par suite, 

c'îl[HU )J <0, C. (J. F. D. 

Considérons alors la drt)ite 

- = -() I -o> 4 ), 

et sa transformée par la hranclie de la fonction inverse de Q( t) 
qui, à l'infini, est de la forme 



76 PREMIER!-: PAUTIK. 

( iCilc Iraiisfonuce est une coiirhe sim[)le ( braiiclic fie niljiquc 
circulaire ) a\cc une asympLole parallèle à l'ave imaginaire, cl 
slluée à i;aiiclic de la droile -:=:^':„. Sui- celle droile. on a 

el, sur sa Iranslorniée, 

en Ncrlii de ( i i). Doue, dans la bande comprise entre ces deux 
courltes, ou aura 

A — '2 -.^[«IMO]:. A. 

Ces résnllals de calcul elanl élahlis, elleeUujns malnlenant le 
changenuMit de variables 

On \ei'ra lacilement ( en considérant aussi la variable inlerniédiairc 

»T'=y/^ = " I que la transformation ( i 9. ) lait correspondre au 

plan des t, où l'on a tracé la coupure ( o — ce) de l'axe réel, l'Inté- 
rieur du cei'cle | :; | << i , pour une détermination convenalib- 
dey/, et à deu\ points t. /, liés par la relation /,=:Q(/). deux 
points r. ::, liés par 

(i3) zi = R( z) = ^:^ —• 

A. t = co correspond r=i, racine triple de li(;)=:c, et (iS) 
délinlt bien une substitution, à cercle fondamental, singulière et de 
première espèce. A la droile t = To va correspondre une courbe 
Intérieure au .ercle, formée de deux arcs symétriques par rapport 
à Taxe réel et faisant un angle de 45" avec le rajon o i au 
point ; = I . Soil T le domaine intérieur à cette courbe; nous con- 
sidérerons d'autre part l'onglet U compris entre cette courbe el sa 
transformée par la branche de fonction R_,(^) égale à i 
pour :? = 1 : cette courbe enveloppe la première sauf au point ;; ^= i ; 
elle est également formée de deux arcs symétriques tangents aux 
précédents au point 5 = i (Jifi'. i). Le domaine T + U est alors 
le transformé de T par la brandie considérée de R_,( c); l'autre 
branche de cette fonction donne comme imai;e de T un domaine T_, 



MÉLANGES. 77 

r\l(''ii<'nr an premier, avant en oonunnn avec la clreouft-rcnce le 
|)oint frontière ^ = — i avec un ani;le «le ijo" en ce point, 
La l'onction 

qni vérifie l'équation 

est holomorplie pour | ;; | < i ; sa partie réelle dans U est coni|)rise 
entre A et A — 2. 

Soit z un point quelconque intérieur au cercle C dont les cou 
séquents c„ =: R/, ( •^) tendent vers le point ;; = i [comme il résulte 

Fig. .. 




de ce qu'on a vu au sujet des points /,j = Q„('/)|; ils sont tous, 
à partir d'un certain rang, intérieurs au domaine T. Si z n'est pas 
dans T, soil Zp le dernier conséquent de z qui soit extérieur à T; 
comme Zpj^, est dans T, Zp est dans U ou dans T_^,. Donc ; est 
dans un domaine antécédent de T_, ou de U; donc les domaines 
T, U, T_, et les domaines antécédents de L et de T_, couvrent 
tout l'intérieur de C. 

Considérons en particulier les domaines T_„ antécédents deT_,; 
ces domaines tendent vers la circonférence quand l'indice n d'ité- 
ration croît indéfiniment, et cela uniforiiiément; sinon, il existerait 
des antécédents de certains points de r_i de j-ang indélinimenl 



78 PUKMIKKK PAUTIK. 

croissant avant an moins nn p<»inl limite ^ inlérioiir à C. o.l les 
domaines C'ons(''(juents d'un petit (m-i-cIc de centre ^ ne ponrraienl 
pas, comme cela doitèlre, tendre iiniloiinément vers le points = i, 
puisqu'une inlinité d'entre r.u\ auraient des points communs 
avec T_,. De plus, les fouettions algébriques K_« ( •; ), inverses des 
itérées de R'^^), sont uniformes dans T_, et même dans un 
domaine plus étendu I); en eifet, les points critiques de ces fonc- 
tions sont les conséquents des points critiques de R_( (z ). 

à savoir z = - et c = 3, et tendent vers le point c = i en restant 

sur le segment (-> 3 ) de l'axe réel, donc extérieurs à T_,. Les 

fonctions R.„(;:) sont donc liolomorphes et bornées dans leur 
ensemble dans D et forment une famille normale dont les fonc- 
tions limites ne peuvent être que des constantes de module i , 
puisque leurs points représentatifs dans D, c'est-à-dire les 
domaines antécédents de D, tendent vers la circonférence | ^ j = i ; 
donc les dérivées de ces fonctions tendant uniformément vers zéro 
dans T_, et sur son contour, ce qui veut dire que les longueurs 

des contours des domaines T „ tendent vers zéro avec - Ces 

n 

domaines sont simplement couverts et simplement connexes ; ils 

sont sans points communs deux à deux; cela résulte pour deux 

domaines de même rang T_''j et T_^,^ de l'uniformité de R„(3), et 

pour deux domaines de rangs différents T_''„ et T;5,„+„.) du fait que 

T_, est extérieur à T et T,, contenu dans T. Enfin, ces domaines 

ont chacun avec la circonférence un point frontière commun, 

à savoir un point a „ antécédent de ;; = i . On verra de même sans 

difficulté que les domaines Li_« sont des domaines simplement 

couverts n'empiétant pas les uns sur les autres ni sur les 

domaines T__„. On se rendra compte, par une figure schématique, 

du pavage qui en résulte pour l'intérieur de C. 

Soit maintenant v un point de la circonférence distinct des 

points en infinité dénombrable a'J',^ et considérons une ligne 

simple intérieure à C aboutissant en ÎT, par exemple le rayon OîÇ; 

quand z tend vers J^ sur ce rayon, il traverse des régions T. „ ou V_ „ 

dont le rang ;i croît indéfiniment; en effet, si « << /?o, le point v 

est à une distance >- /' > o des points des domaines T_„ et U_„ en 

nombre fini pour lesquels /i </io; supposons que l'on traverse un 



\l KL ANGES. 79 

domaine T_„ el soient a et [i le premier el le dernier point de 
rencontre du rayon avec le contour de ce domaine; on peut rem- 
placer le sef;ment de rayon a|i par l'un des deux arcs du contour 
(h; T „ de mèuu's extréimtés, à savon' ct'liii cpii ne coiilicnl ])as de 
j»oint de la ciiTonlcrence ; on pourra avoir à modifier de celle 
façon une inlinilé de lois le cliemiu initial; mais comme, d'après 
ce qui précède, les longueurs des arcs de courbe, par lesquels on 
remplace certains se<;nients du rayon, tendent vers zéro quand ou 
se rapj)roche de ^ sur le rayon, le nouveau chemin, (pii est une 
courbe de Jordan simple formée d'arcs algébriques, aboutira tou- 
jours au seul point "C. Sur ce dernier chemin, hi partie réelle de la 
fonclion /"( :;) tend vers — x. 

En elFet, d'après l'équation d'Abel poui- /"( c ), on a 

/(c„,)=/(^)-2, 

Or, à l'intérieur el sur le contour de L , on a 

Donc à l'intérieur des L ..„ ou sur le contour des L _„ (ou des T_„) 

on a 

\—î{n ^ 1) Ic'R [f(z)]S A - u/i, 

et, comme n croît indéfiniment quand z tend vers "^ sur le chemin 
considéré, 

Le raisonnement est en défaut pour les points a_„. En ces 
points il y a encore des chemins sur lesquels f{c-) tend vers — ce, 
mais ce sont des chemins lanoenls à la circonférence. Il suffit de 
démontrer la chose pour le point ; = i ; elle résultera de proche 
en proche de l'équation d'Abel pour les points antécédents. 

Or, on pourra toujours trouver une chaîne d'arcs antécédents 
obtenus par la branche de fonction R.,(r) égale à i pour ; = i 
qui réponde à la question. Pour le démontrer, on reviendra au 
plan de la variable / et l'on fera l'élude de l'itération de la fonction 



comme on a fait eeUe de ritératlon de Q( /)• Par un choix conve- 



8o PREMIKHE PARTIE. 

nable de Tare initial, on protivcra facilenKMil fjiic la chaîne d'arcs 
antécrdcnts obtenue s'éloigne; à l'infini vers J(;s 7 urgalifs, avec un 
argument limite égal à -. Pour plus de détails, ou |)oiirra consullei' 
le Mémoire cité. 

En revenant au [)lan des z, on aura ainsi un eheuiin tangent à la 
circonlérenee au point ; = ! et sur Icfpiel .tl \f{^- )\ lend vers — ce, 
eomiu(; il rcsiilU; toujours d(; Téqualion d'Ahel. 

Enfin, on verra, par des considérations analogues, qu'aux 
points ;; = I et aux points antécédents aboutis:%ent également des 
chemins, normaux cette lois à la circont'érenci; sur lesquels la 
partie réelle de /'{'■) tend vers -|-oo. 

Posons maintenant 

F(^) vérifie l'équation lonclionnelle 

F[R(c;]=:e-^F(^). 

C'est une fonction li(jlonunplic pour | :: | << i , jamais nulle dans 
son domaine d'Iiolomorphie, et qui, en tout point de la circonfé- 
rence 1^1 = 1, possède la valeur asjmploli(pie zéro suivant cei- 
tains chemins. Elle n'a, d'ailleurs, pas d'autre valeur asjmptotique 
que o et oc. 

Si l'on veut une fonction avant une propri(U<'' analogue, mais 
pour laquelle zéro ne soit pas une valeur exceptionnelle, il suflit 
de multiplier F(::) par une fonction holomorphe et bornée 
pour I :: I << I , avec une inlinité de zéros. 11 existe de telles fonc- 
tions, par exemple 

JLl 1 — a,,z 



Il serait intéressant de sasoir si les chemins de détermination 
nulle pour F(;) peuvent, en certains points, être confondus avec 
le rayon; cela exigerait une étude très délicate de la décroissance 
des dimensions des domaines T.,,, et jusqu'ici je n"v ai pas réussi. 

On peut étendre les résultats obtenus pour des fonctions déli- 
nies dans un domaine circulaire à des fonctions délinles dans un 
(loiiuùue limité par des arcs de courbe rectiliables, à laide de la 
représentation confornu?; on sait, par les travaux de MM. Cara- 



MELANGES. 8i 

ihroilory et Osgood, qu'il v a alors corresjxindance des points des 
conlours; de plus, MM. V. cl AI. Riesz onL démontré, dans le 
Alémoire cité, qu'il y a correspondance des ensembles de mesure 
nulle. On peut donc, en résumé, énoncer les résultats sul\aiils. 

Considérons un arc de courbe reclifiable L, une fonctioik analy- 
tique /"(;) définie et réguliéi'e d'un côté de L; soit E l'cnsembl<- 
des points de L auxquels aboutissent des lii;nes sur lesquellesy ( ; j 
lend vers la valeur limite A finie ou infinie ; z l'ensemble des points 
deLoùy'(c) est continue et prend la valeur A suivant tous les 
chemins qui y aboutissent (E>s) : 

i" Si /"(::) est bornée ou possède seulement deux \aleuis excep- 
tionnelles finies, E est toujours.de mesure nulle, mais peut rive 
non dénombrable; il en est de même pour s. 

■i'^ Dans le cas général, t est toujours de mesure nulle, mais E 
peut être de mesure quelconque et comprendre, par exemple, tous 
les points de L. 



SUR LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 
EN NOMBRE INFINI; 

Pau m. Pal'i, I'I. \M\M'. 



M. Helge von Kocli s'est proposé d'étendre les théorèmes d'exis- 
tence des intégrales des systèmes d'équations difTérentielles au cas 
où les fonctions inconnues et les équations sont en nombre Infini. 
Dans un article Sur les systèmes d'ordre infini cV équation s 
différentielles^ publié en 1899 dans les Of\ersigl af Konol. 
\ etenskaps Akadenxiens F'ôrliandlingar (arg. 5(5, p. S^j ), de 
.Stockliolm, 11 a fait cette extension en se plaçant au poln! de% ne 
du calcul des limites de Cauchv. 

Il a étudié d'une part les systèmes déquatlons linéaires homo- 
gènes, et d'autre part certains s} stèmes non linéaires. Le théorème 
d'existence relatif aux systèmes linéaires peut s'obtenir alsémeni 
en appliquant la m«''tliode des approximations successl\es de 
M. Picard. Ce mode de dcMiionslration a lavantage de s'applicpier 
au cas où la variable est réelle et les fonctions humant en coef- 



8> premii-:re partie. 

licienls simplenicnt continues. Si ces fondions sont lioloinorplios, 
la variable élanl supposée dans un cei-lain cercle du |)lan cotn- 
r)lexe, les expressions obtenues pourles inléi;rales monlrenl iiunn'-- 
dialenienl (pu- <es dernières sont linl()niiir|)lies dans le même 
ditiuaii^'. 

I. 

Prenons un s>slème d*(''cpialions did'éienlu'llo linéaires du type 

I —r— = 0\ -(- «Il ari-H c/i-, ^2-^- • •+ «i«^/i — • • -, 
1 cit 



(0 



f/.r.> , 

— -: = bn -\- C?-2i Xi -^ a-ii X-i-^. . . -H a,;j ^n H- • 
al 



dxp 



où iP(, x-ii • . ■ 1 JC,i, . . . sont les fonctions inconnues; / la variable 
indépendante; «,,, •'•■,àpin •••; ^\i '--if^p^ ... des fonctions 
données de celte variable. Nous supposerons que. dans l'inler- 
valle 

ces fonctions sont continues et satisfont aux inégalités 

(•2) \o,,n\^U,,l>n |6/,|^B?/p, 

B étant une constante, et 

Ml, 11-2, ..., M;,, ...; Pi, l'î, ..., r„. ... 

deux suites de nombres positifs telles que la série 

S = «it'i-H «2 ("2-!-. . .-!- M„r„-t-. . . 

soit eonvergenle. 

Nous allons déterminer, dans ce même intervalle (o, h), un 
sNslème d'intégrales prenant pour ^ = o les valeurs initiales 
données 



MELANGES. 85 

Nous siipposentus que ces dernières rendent eonvergenles la srric 

^ = '^i kl I + t'-, I :r« 1 -f-...-|-p„|,r;;| +.... 

Prenons arbilraiicment un SAStème de fouclions continues dans 
linteivalle (O. //) '.y,, y.,, ...^y„, .... Désigiu)ns par M„ la 
hornc supcncinc de \yii\ dans cet inlervallc; nous supposons 
les j',, cIkiisics (If laeon à rendre eonver<;eule la s(''ii(; 

M = Ml e, -H .M. Vi^...-+- M„ (■„ -t- 

Formons les fonctions x^\ oc''^ ■, .. .^ xj , . . ., définies par les 
conditions suivantes : 



dt 



— l>\ -+- «iiri+. . .A-auiYn 



3) 



dx 



dt 



!L. = h,,-r- a,,^y^ — .. .^ a,,nyn 



x\^ (o) = x\, 

x',}Ui^) = xj„ 



c'est-à-dire 

/ r' 

1 x\^'( t) = xi -h I [A, -H c/i, r, -f- ... -Hrt|„^r/;-+- • • -1 «'/, 

'■'> i 'r' 

i x',y{t ) = xf, -+■ I [ b,, -L rt,,i.r 1 -^- . . , -f- a,,„ y„ -¥- ...]dt. 



Les seconds uienibn-s des équations ( >) sont bien converj^ent^' 
dans tout l'intervalle ( o, h)\ car, par suite des liv|)olliéses, 

Donc 



dx\ 



dt 



M/,(B-f-M) 



et, d'après les relations ( \ i, 

'^j} ~ max. I x'i) ' I -, I .r^ I -r- f B -4- INl ) /( //;;. 

Les fonctions x ^^ Xjl , . . . satisfont donc à une condition 

anal(j|^ue à celle que nous avons imposée aux: ],, . . ., y p. . . .: 
la série 



84 PUKMIEIUÏ PAiniE. 

csl (■onvrr^cnt.f, car 

iKi ''« = "/« I ■'^?, 1 4- ( B + M ) /t Un i'^ ; 

le membre de droite est la somme des leiines ;;énéraux des denv 
st'-ries convergentes ï et S(B-f- M) A, 

On peut donc opérer sur ces fonctions x\*\ ..., a? '', ... comme 
sur les fonctions y,, . . . , }-^,, ..., cl poursni\re indéfiniment la 
loiination de ces fondions successi\es d'après les formules 



1 x'I'Ut) = x'l -h i [ 

; ' 

1 r' 

f «^^ 



ùi^aiix'l' ''-r-. . .-h a,„ .r','/ "-^...Jf/^ 

(6) 



11 est facile de voir que, pour chaque valeur de /?, a:^'p tend vers 
une fonction limite lorsque v augmente indéfiniment. Regai- 
dons x^'/,^ comme la somme des v premiers termes d'une série dont 
les termes successifs sont 



-IV— I) (VI „'V-1I 



Cette série 

est absolument et uniformément convergente pour o^t$h. 

D'après le mode de formation des fonctions x"'^ [formules (4) 
et (6 )], les fonctions z-'"^^ sont définies par 



pui 

(8) 



^1' — / I "/M -< I ■ ■ • -^ "/)/i -^pi -1- . . . \ ac 



à |)arlir de v = 2. 

I.a fonction à intégrer pour avoir z-]' satisfait à l'inéçalité 

! «/'i i-f i' — Ji] -^ . . . ^ ap„ [>,/ — y„] + . . . I 

1 «/; i-'i ( .uV • ^ M ,)+... + up v„ ( ;ji;/ ^ M„ ) ^ . . . , 



MELANGES. 



85 



La série M cl la scv'\c. (5) étant convergentes, le second ineinl)i-e 
est de la forme 



«,j. 



( )n voit donc (iiie 



La fonnnle (S ), a|)[)liqnée pour v = 2, montre ([iie 



dt 



1 u,)i'i Ahi t -4- Upi2 A/zj/ 



U/,i',i XUnt 



dt 



^ AS M/,/, 



On verrait de même que Ion a. en général, 

I ^; I ^ Asv-i „^^ _ = _ M^, ___ . 

Les termes de la série (7) sont donc, an facteur constant -u,, 

près, inférieurs aux termes de même rang de la série è^' ] celte 
série est donc bien absolument et uniformément convergente ; nous 
désignerons par Xp sa somme : 

OTp = ar^i -\- z,} ^z,} + . . . -f- z\l'> + . . . = lun x'',T. 

Remarquons en outre que ces séries (7), pour les difïerentes 
valeurs de /?, sont comparables à des séries qui ne diffèrent que 
par le facteur Up. On voit donc immédiatement que, e étant un 
nombre positif arbitraire, on peut lui faire correspondre un 
entier N tel que, pour 

on ait 



pour toutes les valeurs de l'entier /?, et quel que soit t dans Tinter^ 
valle (o, h). 

Nous pouvons alors voir que, dans la p'*™* relation (6), la fonc- 
tion à intégrer tend uniformément, pour v infini, vers 

[>p -\- api a^i -}- . . . -i- Opn -''il -H . . • . 



Sr. PREMIÈRE PARTIE. 

En cllcl, la (liH'ciL'uce f^nlre les deux foiK^ions est la série 

rt^;,[.ri — x'\''] ~. ..+ «/,„ [^„—. ri;')] ... 

inférieure en module. pourv^N, à 

On \()il donc (jue Ton a 

lxi(t) = x'l-i-l \bi -^ uiiXi-i-...^ a,„x,i-~-. ..\df, 

(9) \ ; ' 

Le système de tonetions x^. • • ., x,i^ . . . satishut dune bien aux 
équations ( i) et aux conditions initiales données. 



II. 

Si l'on impose en outre aux fonctions inconnues la condition 
suivante (analogue à celle que vérifient les fondions y^^ y2i • • • i 
Vn, ..., à partir desquelles on forme les approxiuiations succes- 
sives) : M,j désignant le maximum de | x« | dans l'intervalle, la 
série 

doit être con\ergente, il est aisé d'établir cpie la solulion est 
unique. 

Soient, en effet, .rj. . . . , x,i, ... et j-,, . . . , jk„, . . . deux 
solutions du système (1) répondant aux mêmes conditions ini- 
tiales. Les fonctions Zf = Xt — ^i,, ..., l,t = -^n — J'/n ••• véri- 
fient le système linéaire homogène 






MELANGES. 87 

s anuiilcjil j)i)iii- / =0 cl satistoul à la coiidilioii impose»' aux 
solutions j„ cl j',,. La s(''i-if 

(il) viiii + r_,|;.,|_....^^-„|?«l+... 

<',si (loiif convcr'^ente dans loul I uilcrvalle (Mjiisidérc ; elle y délinii 
une lonetion ^[t). Soil h <^li\ appelons u. la hornc su|)éileure 
4le \{t) dans rinler\alle (o. Il ); dans vv,\ inlei-valle, on a 



dt 



i "/> ^'i i ;i I -+- • • • — "/' '■« I ;// 1 -T- • . • = «/' ; ^ = y- "/>• 



Comme ?/)(o) = o, on a aussi 

pour toute \aleur de />: eU pac conséquent, 

\{t) = Z i-,, I i/, I ^ a A' ï u/. i^/> = S ;/ A'. 

Si h' a été choisi plus petit que -; par exemjiie A= — , on voit 
que zit)'^-t ce qui est contradictoire avec le lail que 'j. est la 

borne supérieure de ^{l)- H faut donc nécessairement ([ue 'j. = o. 
donc ;(f)^<>; la série (11) étant à termes tous positifs, on a 
aussi 

Les solutions x,, . . ., x,,, ... et ii. • • • • J'//, • • • «oïncident 
donc dans tout lintervalle (o, h). Il suflit de diviser l'intcr- 

\alle (o, //) en inter\ ailes successifs inférieurs à ^ (égalité exclue) 

pour voir que les deux solutions coïncident dans tout l'intervalle 
considéré. 



REMARQUE SUR LES PROBABILITÉS CONTINUES; 
Par m. Mai riik i"RÉCHET. 



M. B. llostinsky a publié dans ce Bulletin (2' série, I. \L1\ , 
1920) une application très intéressante au problème de laiguille 
d'un théorème de Poincaré. Dans ce but. il a (tendu ce théorème 
au cas de plusieurs variables. Je voudrais faire l'cmarquer qu'il a 



8S PIIEMIÈRE PARTIE. 

conseivé cependaiil une hypothèse de Poincaré qui n'esl pa^ indis- 
pensable. 

J^e théorème de Poincaré peut être énoncé sous une fonne 
indépendante de la notion de probahililé comme suit : « Elanl 
donnée sur un intervalle A une fonction ./ (0), si l'on divise A 
en 'in parties égales, peintes alternativement en rouge et en blanc, 
rinté<;rale de f{x) sur l'ensemble 1 des divisions rouges et l'inté- 
grale (\(' f{x) sur l'ensemble .1 des divisions blanches, tendent veis 
Ja nioilié de l intégrale lotale (Juand n croît indéfiniment. » l'oin- 
caré démontre ce résultat en supposant seulement que f(H) a une 
déri\ ée et que cette dérivée est bornée sur A. 

Cette condition est inutile. 

M. Emile Borcl a en elfet démontré le même théorème dans son 
remarquable Ouvrage sur le Calcul des Probabilités en supposant 
seulement (pie/(^ ) est uniformément continue sur A. 

Bien qu'on puisse s'en tenir à ce résultat au point de vue de la 
ihéfuie des probabilités, il n'est peut-être pas inutile, au point de vue 
de la Théorie des fonctions, de remarquer qu'un raisonnement 
tout aussi simple peut se contenter de Yhypothèse minimum, 
celle qui consiste à supposer que /(O ) est Intégrable, autrement dit 
que V énoncé a un sens. 

Soient, en effet, Ma. mt, les bornes de /( H) dans le Z.'^™* couple 
(riutervalle. La différence entre les intégrales de/(0) sur les deux 
intervalles de ce couple est en valeur absolue au plus égale 

à — (Ma— nih). 
in 

Donc 
est au plus égal à 

s et s étant les sommes de Darboux qui convergent vers l'inté- 
grale supérieure et l'intégrale inférieure de /(^) sur A, lorsque n 
croît indéfiniment. Si /YB) est Intégrable. cette différence tend vers 
zéro : ni l'hypothèse de Poincaré, ni celle de M. Borel ne sont 
indispensables. 



— — — 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 8.> 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



[nstitut Mathkmvtique Mittag-Leffc.er. — I plaquelle in-8° de \i pages 
et une photographie de la Villa Mittag-Lefiler (siège de l'Institut). 
Upsala, Ahnquist et \Vilisells, ig-to. 

Pour voir de son vivant rinslilut Malliémalique, fondé par lui 
et par sa femme, commencer son activité, le Professeur Mittag- 
Leftler, qui avait fait parvenir à l'Académie Royale des Sciences 
Suédoise un don d'un million de couronnes dont les revenus 
(5 pour loo au minimum) devraient être consacrés à l'entretien de. 
l'Institut Matliémalique, a réuni, le 9 février 1919, le Comité 
directeur de l'Institut en vue de constituer cet Institut et d'en 
établir les statuts. 

i;iustitut Malliémalicpie Mittag-Lefiler, créé dans l'intérêt et 
pour la plus grande gloire de la Suède, et qui a trouvé son modèle 
dans l'Institut Pasteur à l»aris, vient de faire paraître le compte 
rendu de cette réunion constituante et l'a fait suivre de quelques 
documents complémentaires. 

Nous ne réimprimerons pas ici le détail des statuts qui ont été 
adoptés en cette réunion, car ils reproduisent, sous une forme 
officielle, les dispositions du testament dressé et signé le 16 mars 
i9i() par les époux ÎMittag-Lefller. Nous renverrons le lecteur, 
pour la connaissance de ces dispositions, à VExlrait que nous 
avons donné de ce testament dans le numéro d'octobre i9i<^, aux 
pages 3 1 6-320. Ces dispositions qui intéressent exclusivement les 
quatre pays du Nord : Suède, D-anemark, Finlande et Norvège, 
lorsqu'il s'agit de bourses à allouer ou d'ouvrages à honorer, inté- 
ressent tous les savants du monde lorsqu'il s'agit de « découvertes 
réelles dans le domaine des Mathématiques pures ». 

Rappelons aussi que les documents contenus dans la Biblio- 
thèque de rinstilnt Mathématique peuvent être consultés par les 
savants de toutes nationalités, mais sur place seulement. 

Nous ajouterons, au texte antérieurement publié, les renseigne- 
ments nouveaux suivants par lesquels se termine la brochure : 
liiill. des Sciences mal/iém., r série, t. \LV (Avril 1931). 6 



()o PUEMIEUE PARTIE. 

« Sa Majesté le Pi<»i (jiislave V a fait parvenir, le i i février 
1919, ..., plein pouvoir au Professeur iMillay-Lefller eoninic 
président du Comité et directeur de l'Institut. » 

« Sur la proposition du Professeur Mitta};-Leffler, le Comil<'' a 
nommé, en sa séance du .') (»(lol)r(' i9i<>. le Professeur N.-E. jNcir- 
lund comme vice-directeur. » 

« Le 9 octobre 1919, M. Mittaji^-Lefller a j)résenté à T Académie 
Royale des Sciences la grande villa à Djursliolm avec dépendances 
pour èlre tenue à la disposition de son Institut Mathématique. » 

Lan. 



VIVANTI (GiULio). — Lkzioni di An.vijsi iNKixrrKSiMAi.E. Seconda edizione 
riveduta cd nm|iliata. Fascicolo secoiido, a complemeiUo dell' opéra. 
[Leçons d'AnaUse inluiitésimale. Seconde édition, revue et augmentée. 
Second fascicule, complétant l'ouvrage.] i vol. gr. iii-S", 370 pages. 
Torino, S. Lattes e G.; \(y>.o. 

En analysant, ici même ('). le premier fascicule des Leçons 
(V Analyse infinitésimale de M. ^ ivanti, nous avons eu l'occa- 
sion d'indiquer les caractères généraux de cet excellent Ouvrage. 
Nous pouvons donc passer imjnédiatement au détail des questions 
•raitées dans le second fascicule. Le \ olume est divisé en trois 
Parties consacrées respectivement : aux applications géométriques 
de l'Analyse, à la théorie des équations dilTérentielles et des équa- 
tions aux dérivv'es partielles, aux éléments du Calcul des varia- 
tions. 

Les applications géonirtriijiies occupent la moitié du ^ olume. 
Elles ont été très largement développées, pour elles-mêmes et non 
point seulement pour y trouver riUuslration des théories de l'Ana- 
lyse. L'exposé de M. \ ivanti est donc assez complet, et cest ainsi 
que, pour ne citer qu'un exemple, les diverses applications des 
coordonnées homogènes y sont envisagées. Voici, d'ailleurs, le 
programme traité. 

En ce qui concerne d'abord les courbes planes, l'auteur étudie 
les questions suivantes : tangentes et normales, points multiples 

(') Voir cette Analyse à hi piigc 2.3 de ce Tome, I"^' Partie (niinicro de février). 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. IM 

et branches inllnlcs, concavilt", loiigiieiirs et aiics. envclopix's cl 
courbures, clcmcnls de la iheoru." du contacl. Il s'occu|)e cnsuilc 
successivement des courbes gauclics (courbures) et des surfaces : 
plans tangents, aires et vohimes. enveloppes; il termine par une 
ctude de la courbure des surfaces, 1res simplement présentée et 
assez approfondie, puisqu'elle comprend la définition de la cour- 
bure de Gauss, comme ia[)porl d'aires de la surface et de son 
image sphérique. 

Sur toute cette portion du Livre, dont on a[)précieia la |)ailaite 
tenue logique et où des exemples, nombreux et l)ien choisis, 
viennent éclairer l'exposition, nous n'aurions à formuler que des 
réserves de détail. Par exemple sur la définition adoptée pour 
l'asymptote, définition qui n'est peut-être pas la plus avantageuse, 
au point de vue théorique comme pour la recherche pratique. 
Peut-être aussi n'v aurait-il pas eu d'inconvénient à passer plus 
rapidement sur quelques points : ainsi sur des vérifications par le 
calcul de propriétés d'invariance ( à la page 38^ « les points din- 
llexion sont indépendants du choix des axes de coordonnées » ). 

Mais il sera plus intéressant d'insister ici sur l'originalité prin- 
cipale de toute cette étude géométrique : la place faite à l'Analyse 
vectorielle. Déjà, dans la j)remière édition du Livre, un Appen- 
dice était consacré à cette théorie et à ses applications géomé- 
triques. C'est maintenant parallèlement à la méthode des coor- 
données, sans aucune prétention d'autonomie, que l'auteur 
développe la méthode vectorielle. 11 donne, au début du \olume, 
quelques notions générales du Calcul vectoriel, étudiant les pro- 
priétés des produits, l'opérateur i, établissant la formule de Tajlor 
pour les vecteurs, définissant et Indiquant les propriétés du gra- 
dient; dans la suite, la plupart des questions géométriques envi- 
sagées sont, après avoir été traitées du point de vue classique, 
reprises par l6s méthodes vectorielles. On ne pouvait mieux sou- 
ligner au lecteur les avantages de ces méthodes, ni lui en faciliter 
davantage l'assimilation. L'étude des champs de vecteurs (diver- 
gence et rotationnel) n'est pas abordée et ne pouxait 1 être. 1 au- 
teur ayant laissé de côté (exception faite, dans le premier \ olume, 
de la formule de Green dans le plan) les relations entre Intégrales 
curvilignes, intégrales de surfaces et intégrales triples; il est jjour- 
tant bien désirable (ju'une théorie aussi essentielle en Physique 



(yi PREMIERE PARTIE. 

Iroiive place dons les Cours, même assez élénienlaires, de Calcul 
inliuilésimal. 

La Section suivante du Livre est consacrée, comme il a déjà été 
dit, à la théorie des équations diJJérentieUes et des équations 
aux dérivées partielles ; en ce qui concerne ces dernières, seules 
les ('■quations du premier ordre^ linéaires ou non, sont étudiées. 
L'auteur ne s'occupe pas des théorèmes d'existence. 11 aborde 
donc l'étude théorique des divers types généraux d'équations envi- 
sagés en partant d'une solution contenant les arbitraires néces- 
saires (intégrale générale pour une équation dilTérentielle, intégrale 
complète pour une é(jualion aux dérivées partielles); il souligne 
comment la recherche d'autres solutions conduit à la détermina- 
tion des intégrales singulières et aussi, pour une équation aux 
dérivées partielles, à l'intégrale générale. L'interprétation géomé- 
trique des résultats obtenus n'est pas négligée et après ces géné- 
ralités qui ont été plus développées que dans bien des Traités ana- 
logues (par exemple pour le cas des équations dillérentlelles d'ordre 
supérieur), M. Vivanti effectue l'étude détaillée des équations 
dont l'intégration est élémentaire. Il est bien inutile d'énumérer 
ici les divers types traités. Signalons seulement au passage que, 
dans l'intégration des équations différentielles linéaires homogènes 
et à coefficients constants, l'auteur emploie une méthode qui évite 
toute introduction d'imaginaires; l'avantage est minime, mais la 
méthode, fort élégamment exposée, ne laisse pas d'être instructive. 

Les développements donnés, à la fin du Volume, sur le Calcul 
des variations^ sont amplement justifiés par l'importance de cette 
théorie. L'auteur s'est d'ailleurs borné, comme il convenait dans 
un Ouvrage assez élémentaire, aux notions les plus simples : il 
forme les conditions du premier ordre pour l'exlremum libre d une 

r'' ■ 

intégrale / J i^-, }''.}') '^-^ ^^ pour les problèmes d extreinum lié 

<- ,1 
correspondants; il termine ]>ar quelques brèves indications sur 

diverses extensions : transversalité, intégrales paramétriques, cas 

de plusieurs inconnues, intégrales multiples. On voit que l'exposé 

de M. Vivanti, simj)le sans être jamais superficiel, constitue une 

excellente introduction à l'étude des Traités spéciaux. 

J. Pénks. 



MELANGES. 



MEf.ANGES. 



SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE 
ET LA THÉORIE DES FONCTIONS AUTOMORFHES; 



Pau m. V. SMIRNOFF. 



PREFACE. 

Elant (loniK'c une (''qualion diffrionLielle 

(I) y"-^p{^)y'-^q{x)y = o, 

si Ion (Jési<;ne par y, le qiiolienl de deux intégrales indépendanles 
de celle équalion, la considéralion de la variable indépendante a', 
comme fonction de rj, sera appelée le « problème dinversion de 
l'équation (I) ». Ce problème nous conduit à la fonction 

(H) .f^^C-^), 

en général multilorme. Les cas d'uniformité de cette fonction sont 
d'un intérêt particulier. Dans ce cas elle sera, comme on le sait, 
une fonctioi:: automorphe ou l'une de ses dégénérescences. Le 
groupe des substitutions linéaires que subit Tj, x décri\ant les 
contours fermés, sera le groupe de cette fonction automoiplic. 
(^e groupe sera appelé le « grouj)e de l'équation (I) ». 

Le problème d'inversion pour l'équation différentielle de (iauss 
a été étudié par Scliwarz (^Joui'nal de Crelle^i. 7o). Dans ce cas, 
la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction (0) soit 
uniforme est que la différence des racines de l'équation fondamen- 
tale déterminante relative à chaque point singulier soit égale à zéro 

ou à une traction — > où n est un nombre entier. 
Il 

Nous éludions ici le problème d'inversion pour une équation 

ayant quatre points singuliers et ses intégrales régulières. La condi- 



.,4 PREMIÈRE PARTIE. 

lion siisindiqiiée crimiforniilé de la fonction ( Il ) n'csl dans ce cas 
(iiic nccessairr. Nons cxaininons sculcincnt If cas où la didcreucc 
des racines de r('-(|iialion londanienlalc di'lcrniinanlc csl égale à 
z<''i'o en (liaque point singulier. (îe cas est analogue au cas de* 
l'(V[uation de Legendre dans la théorie générale de l'écjuation de 
(îanss. L'i'quation en question peut être ramenée à la ((jrnie 



(III) 



^^[w.r-«)(.-...;g]-(.-.À)r = o, 



où o, c/, 1 cl X sont les points singuliei's el /, un paramètre arhi- 
traire. Nous nous bornons an cas de réalité de a et /.. Dans ce cas le 
quotient des intégrales r^ transforme la partie du plan .r, située 
au-dessus de l'axe réel, en un (piadriJatère sim[)lemenl connexe, 
sans points de ramification, limité par (piatre arcs des circonfé- 
rences dont les angles sont nuls, inversemenl. à tout (piadrilatère 
dé ce genre correspond une équation (III ). Nolie problème con- 
siste à l'étudier, la fonction (II) et le giou|)C V de l'i-quation (111) 
dépendant du paramètre A. 

l'oincaré, dans son Mémoire célèbre : Sur le groupe des ('-qua- 
lions différentielles linéaires [Acta mathemalica. t. Y\ ). a 
donné la méthode dite « de continuité », pour la résolution, des 
qjiestions de ce genre, et cette méthode nous a guidé dans l'étude 
de l'équation (111). 

Pour l'appliquer il faut d'abord établir les théorèmes d'oscilla- 
tion pour l'équation, ce que nous faisons dans le Chapitre I. 
L'équation ( III) a été traitée à ce point de vue par Hilbert (6r/"M//^/- 
ziige dcr allgemeine Théorie der linearen Integralglei- 
chungen) par la méthode des équations intégrales ( '). Nous em- 
ploAons ici la méthode classique de Sturm. 

Dans le Chapitre 11 nous établissons tous les cas d'uniformité 
de la fonction (II). 

Dan> le Chapitre III nous étudions le groupe F de l'écpia- 
tion (III) dépendant du paramètre A et traitons la question de la 
détermination de l'équation (IH), quand le groupe T est donné. 

Ce Mémoire est extrait de ma Thèse : Le problème d'inver- 
sion de V équation différentielle linéaire du second ordre aicr 

(') loir aussi KTinig. Ma/ h. Annalen, t. 71. 



MÉLANGES. 



9> 



([uatre points singuliers (Pelroorado, igicS), qui conlienJ encoïc 
Irludt; du cas j^énéral d'une équation avec quatre points singuliers. 
En' raison des événemenls survenant dans ma patrie en ce 
luonienl. j<' suis trop complètement privé de littérature mathéma- 
llcpic j)Our pouvoir taire les citations nécessaires. 

Siinpheiopol (^(liiiiu'c), août \\yio. 



GHVPITRE I. 

1. L'équation difTérentielle linéaire du se(;ond ordre avec quatre 
|>oinls singuliers réguliers peut être ramenée à la forme 



(i) 



-^[:r(.r-«)(.r-0^] +(:r+A)j = o, 



si les racines des équations fondamentales déterminantes sont 
égales. Nous supposerons a et A réels et a compris entre o et i . 
La dernière supposition ne diminue pas la généralité du problème. 
Dans le voisinage du point a? = o, l'équation (i) aura les intégrales 
suivantes : 



( 2 j 



^7o(j", >•> = i-+-2«a.t'', 



jKo(^, >^) = Jo(-^, ^0 loga:-+- spo(^, >■;, 



OÙ Oo(^? >'0 ^^^ ^^^^^ série ordonnée suivant les puissances 
entières et positives de x. Dans le voisinage des points singu- 
liers X ^=^ a. I et 00, nous aurons : 



3) 



y a {x, À ) — I -+- V 6/,(:r — a/'-, 

ya(x, \) = J„(x, \)log(x — a)-i-Oa(T, X 

^, (^, X) = i-+-^c/,{x — \y', 

yi (x, }.) = yi{x, X)log(r — i; + cpi .r,\ 

* = 2 



(>6 PREMIÈRE PARTIE. 

Les coefficients au, />/i, Ck el dk •'onl des polynômes en ). et l'on 
peut dt'nionlrer que j'o(x, X), yaix^ X) j',(.r, A; et J', (:r, À) sont 
des fonctions entières transcendantes de A. Soit en effet p le rajon 
de converoence de la série y^{x^ \) ('). Si/» est assez ^rand, 

U^A I < 7 77' t^" ' est une quantité nosilixe (i\c inférieure à o. 

I (? — ^) ' 

Posons ^ = /;?,où| ni\<^ù — z. Les séries 2, (ik'n'^ '"l ^l f^'^'^ni'^' ' 

représentent des fondions entières transcendantes de "a, car elles* 
convergent uniformément par rapport à A, c'est-à-diic (jueles con- 
ditions initiales de l'intégrale >'o(-3?, )>) au point ordinaire x =^ m 
sont des fonctions entières transcendantes de A, et il est bien connu 
que, dans ce cas, l'intégrale elle-même sera une fonction entière 
ti-anscendante de )>. En général, soit y{x^ a) une intégrale de 
l'équation (i). Elle aura, dans le voisinage du point r ^ o, la 
forme 

''^ O^Jyoi^y À) log^r 4- (p(.r, X;, 

et si les valeurs v(.r, À) et y' {x^ A) sont des fonctions entières 
transcendantes de À pour un certain point x = w, o)(A) et csiar, a) 
sont aussi des fonctions entières transcendantes de À. Nous dési- 
gnerons par )„(x, a), yu{x^ a), J'') (•/', a) et r„(.r. A) des inté- 
grales logarithmi(}ues quelconques, qui sont des fonctions entières 
transcendantes de A. 

Soit j(j", \) une intégrale réelle sur le segment (o, a) de l'axe 
réel, et soit 

son expression dans le voisinage du point x ^^ a. 

INous la prolongeons à travers le point jc = a, en prenant pour 
x'^ a l'expression 

f,>{\)ya{T, l)\og{x — a)-^^{x, 1). 

Nous dirons que c'est le prolongement réel. 

Soit r, le quotient de deux intégrales indépendantes de l'équa- 
tion (i). Si nous décrivons un contour fermé, en parlant d'un 
point ordinaire de l'équation (i), r, subit une substitution linéaire 



(■) ? 



MÉLANGES. 97 

— ^r- I/ensemble de toulcs ces siihsliuillons forme le troupe V 

yr, -ht, ft 1 

(le ré([iiation (i). Pour c[ue ce >;roiij)e soit l'iichsien, il faul et il 
suflil (ju'il exisie une iiiLégrule holoniorphe en deux points singu- 
liers voisins ou qu'il existe une intégrale liolomorphe en deux 
points non voisins, à condition que son [)rolongement soit réel à 
travers le point singulier intermédiaire (' ) 
Le changement de variables 

a(x — }) I 

(4) ar, = — — — , jKi= y 

X — a -^ Xi — a-^ 

transforme l'équation (i) en elle-même, en permutant les seg- 
ments (o, rt), (i, go) et (a, i), (go, o). De là découle que s'il existe 
une intégrale liolomorphe aux points j? = o et jp = «, il existe 
aussi une intégrale holomorphe aux points a: = oo elx = i, et s'il 
existe nne intégrale holomorphe aux points x = a et x = i ., il 
existe aussi une intégrale holomorphe aux points o; = go et x = o. 
11 est évident que l'intégrale ne peut pas être holomorphe aux trois 
points singuliers. Si le groupe F est fuchsien, mais s'il n'existe 
pas d intégrale holomorphe en deux points singuliers voisins, 
l'intégrale holomorj)he en un point singulier quelconque, prolon- 
gée réellement à travers un point singulier voisin quelconque, sera 
holomorphe au point singulier suivant. 

-^ous aurons ainsi, pour que le groupe F soit fuchsien, les trois 
conditions suivantes : 

i" L'intégrale j^o( ^5 ^0 ^st holomorphe au point j: = «; 
2" L'intégrale j^rt(-2^« ^^ est holomorphe au point ar = i ; 
3" ro ("T, >•>) prolongée réellement à travers x =^ a est holomorphe 
au point a? =; I . 

2. Etudions la première condition. L'équation (i) nous donne 

\ x(x — a){x — i) , ' ' =— j (x -^l)y^,(x, a) dx 

( {iiS.x^a). 

Soit /. •< — a. Le deuxième membre de cette formule est positif, 

(') Voir Klein, Math. Ann., l. 40. 



.,)S PREMIERE PARTIE. 

laiiL (^iw y„( .r. '/,) > ô. INIais y„(x,'J.) ne jj<'iil dcvciiii- ii('gali\c 

(jiM- SI aupar.iNiiiil -= — j- — - dovenail ncf^ativc. Ue la découle que 

si A ■< — ((,J'^)^.r, A) n'a pas dt; racines dans l'intervalle (o, a). 
Invcrscnicnl, si la xalcur de A esl assez j^^randc, j^Q(:r, A) aura des 
racines dans un inlersallc (|ue'lc<)nc[uo (a', h'), contenu àlintéricur 
de (o, a). En eUcl, on peut ramener l'équation (i) à la forme 
y'-\-rj(x)y = o. el, si la valeur de X est assez grande, le coeffi- 
cient q{x) sera plus grand (ju'un lutmbre positif donné à l'avance, 
et le ihéoréme connu de Slurni nous donne le résultat désiré. 

Désignons par ^■^,•,(x. À) la dérivée de j'o(r, a) [)ar rapport à À. 
Elle vérilir 1 «Vpiatiou 



^ \x{x — a}{.v~ II- — — ^-(a"^- t.)yQ,Xx, k) =— y^{x, /.). 

Cette équation et léquaticui (i ) nous donnent 

Soit X = m, la racine de y^^^x, \) dans l'intervalle (o, a). La for- 
mule (()) nous donne 

c'esl.-à-dire cpie Les racines de j^ix, A), contenues dans l'intervalle 
(o, a) diminuent (juand A croît. Ces racines sont simples et 
elles ne peuvent ni disparaître ni apparaître à l'intérieur de l'in- 
tervalle (o. a). 

Faisons le {prolongement analytique deyo{x. A) le long de l'axe 
réel et soit 

a('/.)K«(a.-, A)log{a — x) -^Oa(^, >0 

l'expression de cette intégrale dans le voisinage du point x^=(i. 
Le coefficient a(Àj ne peut pas être égal à zéro identiquement, car 
dans ce cas la formule (()) nous donnerait 

/ [j'o(x, l)y^dx = o, 

et a(A') esl une fonction entière transcendante de A. 



MELANGES. W 

Snpp<)S(»iis que, A croissanl, a( A) ne s'annule pas. Dans ce cas 
le nomhre de racines de j'o(iP, ).) dans rinler\alle (o, a) ne cliani;e 
pas. Soit A = a' une racine de a().). (Vesl une racine sim|)le, car 
dans le cas contraire la formule ( (> ) nous donnerait 



/■ 



l/o(^i ''-')]' dx — o. 



La fonction cSaiiP, /. ) ne dillèrc que par un niulti|)licateur constant 
de ya(X^ A), et la formnle ( ')) nous montre que le si<;ne de '^«(.r, À') 

coïncide avec le sione de — -:— . , Sup|)OSons j)ar exemj)le que 
ce soit le sif;ne -+-. 

De l'expression de ^>'o(^, A) dans le voisinage du point x = a, on 
voit quej>'o(x, A) est positive, si A et x sont moindres et assez 
voisins respectivement de a' et a, et a, [)our ces valeurs de A, 
un nombre déterminé de racines dans l'intervalle (o, a). Ces 
racines diminuent quand ). tend vers À', et leur nombre sera le 
même si A =. a'. A croissant encore, ces racines diminueront et 
resteront dans l'intervalle (o. a). On peut fixer ^ = «"■<« et 
choisir A = a">> a' assez voisin de A' et tel que ro(^^ i >• ) < o. 

Faisons ensuite tendre x vers a. Nous obtiendrons la valeur 
X = a" <ia telle que jKo U'", ^>") > o. L'intégrale )'o (x, A") doit par 
suite avoir au moins une racine dans l'intervalle («", «"), et, 
comme nous pouvons fixer a" assez voisin de «, celte racine est 
différente des racines susdites. Ainsi, quand A en croissant passe 
par la racine de a(X), le nombre des racines dejVo(j:^, a) dans 
l'intervalle (o, a) augmente d'une unité. 

Supposons, en effet, que le passage X par )/ introduise deux 
racines nouvelles x' et x" . Elles tendent vers a, si A tend vers A 
en décroissant, et le théorème connu de Sturm nous apprend 
C[ae l'intégrale ra{x, A) a une racine comprise entre x' et x" 
et tendant par suite vers a\ mais c'est absurde, cary„(r/, ).') = i et 
yaix^ A) est une fonction holomorphe de x et A dans le voisinage 
X = a el/,^= a'. Nous obtenons ainsi le théorème suivant : 

Théorème I. — Il existe une infinité de valeurs du |)aramètreX, 

— rt < >.7: < ~^-:^ < • • • < >w,7i < • . , 

telles que l'intégrale j'qI .r. A,,,; ) (« = i, 2, . . .), prolongée le long 



n,() PREMIÈRE PARTIE. 

<le l'axe réel, soil liolomorphe an point x = a el ail (n — i) 
racines dans l'intervalle (o, «), el les valeurs X,,,: sont les seules 
racines réelles de léqualion 

(7) ^0') =o- ■ 

Soil ,3(À ) jKi {oc', A ) log(i — x) -+- o, {x, /. I la forme de l'inlégralc 
Yaix, a) ])rolongée le long de l'axe réel, dans le voisinage du 
point X = ^ . On peut démontrer, d'une façon analogue à la précé- 
dente, le théorème sui\ant : 

Théorème II. — Il existe une infinité de valeurs du para- 
métre A, 

— a > X_->X-,„> . . . > l-n~> • . • , 

lolles que l'intégrale ya{^-, '^'-nr.) (n = ï, 1, ...1, prolongée le 
k)ng de l'axe réel, soit holomorphe au point x^=\ eV ait {n — 1) 
racines dans l'intervalle (a, i), el les valeurs A_„,î sont les seules 
racines réelles de l'équation 

(8) ?C),) = o. 

Si )v << — rt. Voix, a) n'a pas^ de racines dans l'intervalle (o, a), 
et si X >> — rt, y„ix.. A ) n'a pas de racines dans l'intervalle (rt, 1). 
Dans le théorème I. nous pouvons évidemment prendre fai^i ^0 
au lieu de )o(jr, "ai el, dans le théorème II, y\ix. A) au lieu de 
ja(.r, A). Si A«7:< a' < A(h+i)7:, l'intégrale j-'q (^,a'j a n racines dans 
l'intervalle (o, «i, et, si A_«7t> a'> À_(«+i)7t^ Xaix., a") a n 
racines dans l'intervalle {a. i 1. 

3. Étudions mainlenant la troisième condition, signalée à la fin 
du n" 1. Faisons le prolongement réel de l'intégrale ^o(-^? ^^j -^^ 
travers x =^ a, et soit 

Y ( À ) 7, ( j:. A; log ( I — .r ) -T- •!/! (X, X ) 

son expression dans le voisinage du j)oint x =^ 1 . \ous désignerons 
par j'j, (ic, }>) dans l'intervalle («, 1 ) le prolongement réel àey^ (x, À) 
à travers x = a dans l'intervalle ( o, 1). 

La formule (Oj était démontrée pour xlla. Pour .r > a nous 



MELANGES. f.., 

avons 

[il y^^i .T. '/. p . '/ )', > ("./•,/. ) , , "1 
— J-»/. { -r, /. 1 '■ -. y<i ( .r, A ) 

= / l jû(-'-, 't-)Y<ix^ c, 

OÙ C est une constante. Elle est la limite <If la pieniirrc paitic dr 
cette formule, quand x tend vers « en décroissant. Mais cette 
limite sera la même si x tend vers a en croissant, c'est-à-dire 

et par suite la formule (6) est établie pour jc > a. Elle nous montre, 
comme dans le paragraphe précédent, que ■'<>*'' ne peut pas être 
égale identiquement à zéro, a ses racines simples et que, si yi A) =: o. 

le signe de ■}( ( i , a) coïncide avec le signe de — ^-y^ 

Soient A et À deux racines consécutives de *;'( A). Ees intégrales 
yii{x, A) et j'o(x. A) sont holomorphes aux bouts a: := o et .r = i , 

>'„ ( o, A ) = ro < •»• A ) r=: I et au bout j; ^ I . les valeurs de ces inté- 

, , , V , F , . . Vd'fO)'] 

grales 'j, ('^, A ) et 'i/| ( s, A ) sont de signes contraires, car — ^-p—^ I 

et — -r^ - sont de signes contraires. De là découle que l'inter- 
valle (X, a) contient au moins une racine des équations ( -^ ) ou (8). 

Prenons deux racines consécutives "a^t; et ).(„^.()TCde l'équation (^). 
Les valeurs y\{ci^ A„n) ^-t j'(,(<7, À(„^,)„) sont de signes contraires, 
et les intégrales y\{x^ '^^h-k) et jo* -f, A;,,^.,),;) n'ont pas de racines 
dans l'intervalle (a, i), car elles sont holomorphes au point .r = a 
et X^n+i)ii> ^^"Tt> — ^- j^oiis pouvons donc affirmer que y(A/,t:) 
et y( A(„_,.,j„) sont de signes contraires, c'est-à-dire que v(À) a une 
racine dans l'intervalle ( A„t^, A('//+))h). 

Considérons maintenant l'intervalle ( A. '//^i),^, "k^nr^). L ne inté- 
grale réelle quelconque J'(^, A_/(„), logarithmique aux bouts de 
l'intervalle (a, i), a. dans cet intervalle, (/. -f- i) racines. Posons, 
en effet, 

■f]{x, A-/,,:) = — ; ^ -, 

et soient jr, et:r/,_, la première et la dernière racine de ^'«(x, A.At:) 



I09. PREMIÈRE PARTIE. 

dans riiiler\all(' («, i). v,(a. 'j._/,ti) esl une fouclion iihiiioIoiic 

de j!' et 

■f,(a, h-A-i:) = •/;( i, À_/,„) = o. 

l*iH' conséquent, _y{x, À.at:) a une racine dans Tinlervalle (a, .r,) 
cl une racine dans l'intervalle (x/,_f, i| et noire assertion (;.->t 
démontrée. Les int('j;rales ^'^){■T, A_//7t) et _)'o(.^, X_(„^,;7r) n'cuil 
pas de racines dans l'inlervalle (o, ci), la première a(/î-f-i) et la 
seconde (n -\- 2) racines dans l'intervalle («, i ), et par suite v()v_„„) 
et y(A_,«+()7t) sont de sij^nes contraires, c'est-à-dire quey(A) a une 
racine dans l'intervalle 0^^(,i+\)tz' ^- //ti'- D'une façon analogue, on 
peut démontrer que y()-) a une racine dans rintervallc (A 7^. At;), 
et nous obtenons ainsi le théorème suivant : 

Théorème III . — 11 existe une infinité de valeurs 

X=--X(") (/t = 0, ±1, ±'>., ...) 
. . . < À- ,„+,)„ < X(-«' < x_„^< ... 

telles que lintégrale ro(^i *A^'" ), prolongée réellement à travers 
:r = rt,seraholomorplie au j)oint.r = i , etles),^"'(/«^o. in i , ±2. ...) 
sont les seules racines réelles de l'équalicni 

(9) v(>.)=o. 

Les théorèmes L 11 et 111 nous donnent toutes les valeurs réelles 
de A, pour lesquelles T sera un groupe fuchsien. 

4. Soit Vj(.r, a) le quotient des deux intégrales indépendantes 
de l'équation (1). Il transforme le demi-plan R. situé au-dessus 
de l'axe réel, en un quadrilatère K, simplement connexe, sans points 
de ramification, limité par quatre arcs des circonférences, qui se 
louchent successivement [fig. i )• 

.Nous dirons que le quadrilatère K correspond à l'équation (1). 
Inversement, à tout quadrilatère de la forme indiquée correspond 
une équation de la forme (i ). Les sommets A, B, C et D corres- 
pondent aux points x = o, r/, 1 et oc. Si nous avions choisi un 
autre quotient r^\(x. ).), nous aurions le rpiadrilalère qui peut être 

déduit à\\ précédent par une transformation liiK-aire r, . = — ■ ^• 



MÉLANGES. mi 

« 

luverseniouL, a deux qiiatliilaLères qui pcuvenl èlre (Icduils luu 
de l'autre par une lelle transformation, correspond une mrine 
équation de la forme (i) ou les équalions, doni les variables indé- 
pendantes sont liées par une transfoiinalion linéaire, el Ton peu! 
[(•ujours supposer (pie e'esl le premier cas, qui a lieu. 

Posons par exemple r, ( r, A)=.^- ^ et considérons le se^- 

uient (o, a) de l'axe réel du plan ./•, y, ( o, A ) i= o et y, (.r, a) a les 
mêmes racines que J'oi-r-i X). 13e là découle que : si a << )x,, au seg- 
ment (o, a) correspond sur le plan r\{.v^ A) l'arc, qui forme seule- 
ment une partie delà circonférence; si a rr^ a,;^, au segment- (o, a) 

Fig. .. 
Cy 




correspond la circontérence n fois répétée; si À/iTi"'^ A ■< A(,/^i)7t, 
à ce segment correspond la circonférence a fois répétée et un arc 
qui forme une partie de la circonférence. En vertu de la transforma- 
tion (4) nous pouvons affirmer cpie les mêmes choses ont lieu pour 
le segment ( i , oc). 

Les cas analogues, A > a.tt, a = a „,: el A_/,7i > A > )._(„+,,„, 
ont lieu pour les segments (a, i ) el (o, co). Ainsi les côtés de K 
ne sont superposés que si ). est contenu dans l'intervalle A_„^A^).Tt. 
Nous appellerons cet intervalle « l'intervalle d'inversion uni- 
forme A ». 

Si A appartient à cet intervalle, les côtés opposés de K ne 
peuvent se couper. Si, en effet, les côtés AB el CD par exemple 
se coupaient en un point M, la fonclion ./■ = o[r^ ), inverse de la 
fonction /j (.r. A), serait holomorphe à rintérieur du triangle AMD 
et multiforme sur le contour, mais c'est absurde. Dans ce cas on 
peut démontrer d'une façon analogue que le quadrilatère K est la 
partie du plan située à l'intérieur (ou à l'extérieur) du con- 
tour ABCDA. 



loi PREMIÈRE PARTIE. 

Les sommets sont situés sur une même circonférence T. Si un 
des sommets est rejeté à l'infini, les côtés contijj;us à ce sommet 
sont les lif^nes droites parallèles, el T est aussi une li^ne droite. En 
général, par le molcircon/t'rence, nous désignons une circonférence 
réelle ou une ligne droite. L'orthogonalité de T et des côtés de K est 
la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe T soit fuch- 
sien (' ). Si A ii'apj)arlicnt pas à l'intervalle A, K est une surface à 
plusieui's feuillets sans point de ramification, et les deux côtés 
opposés sont superposés. 

Si nous faisons le pj-olongem'ent analytique de la fonction r, (.r. À) 
à lra\crs l'un des scgnicnls de Taxe rrc], nous aurons la transfor- 
mation conforme du demi-plan R|, silui- au-dessous de l'axe réel, 
en un quadrilatère K,, qui jK'utètre déduit de K par une inversion 
par rapport au côté de K, correspondant au segment susdit. En 
faisant successivement le prolongement analytique de ■/i(jc, /) à 
travers tout le segment de l'axe réel, nous obtiendrons ainsi sur 
le plan r,i.r, X) le réseau des quadrilatèio. Si la fonction inverse 
de la fonction t,(./-. A) : 

(lo) X = o(r,, X I. 

est uniforme, deux quadrilatères adjacents quelconques forment 
la région fondamentale du groupe F, et le réseau est la région de 
discontinuité propre de ce groupe symétrique. 



CHAPITRE II. 

j . L'étude de x comme fonction de y, (x, À) sera appelée le pro- 
blème d'inversion de l'équation (i). Quand celte fonction (lo) 
est uniforme, c'est une fonction automorphe, et son groupe est 
le groupe Y. Ce cas ne peut se présenter que si A appartient à l'in- 
tervalle A. En vertu de celle circonstance nous avons appelé cet 
inter\alle « l'intervalle d'in\ersion uniforme ». Dans ce Chapitre, 
nous examinerons cet intervalle de plus près et supposerons tou- 
jours que A appartient à A. 

(') l'oii- F<li::n uiul [-"nicKK, Théorie der aulomorphen Funclionen, t. II. 



posons pitr exemple 



MÉLANGES. 



T,(X, >.) = 



ra(^, À) 



Los soniuK'ls A, BelC- de K Jinroni l(>s coordonnées r; -t= o, r, = ce 

7ry.(X)!3(À)-f-tY(X) 



el 71 = 



^(>>) 



Le soinniei D sera situé sur le se<:- 



menl \C et sa coordonnée sera aussi fonction analytique de À. 
Posons A:=Xf"^Tous les sommets seront situés sur l'axe réel, 
car y()J"^ ) = o, cet axe étant orthogonal à tous les côtés de K, et 
la fonction (lo), .r ■= z>{x,V'>^) sera la fonction fuchsienne, pour 
laquelle l'axe réel est la ligne singulière. Faisons maintenant 
décroître X et examinons rintervalle A', défini par les inégalités 

Dans cet intervalle, a(À) < o et fi(À) < o, À^„ excepté où 
.'ii()w7t) = o. Pour déterminer le signe de y(À). remarquons que 
]\^{x.'>^tS) a. tlans l'intervalle (a. i), une racine (Chap. I, n" 3) 
et est positif dans le voisinage du point ./• = a. 

Fif. 2. 
B 




De là découle que j^j'(À_7j) >• o et par conséquent v( A) >."o 
pour A_„<X <;),("'. Ainsi, si ). est contenu à l'intérieur de A. 
K aura la forme indiquée sur la figure 2. Si A = a_^, nous aurons 
la figure 3. Dans ce cas, les sommets D et C coïncident avec les 
sommets A et B, et la fonction ./■ = '^(r,. a_-) sera une fonction 
fuchsienne, j)our laquelle l'axe réel n'est ))as une ligne singulière. 

Les coordonnées des sommets C et D. les centres des arcs AD 

el (J;D el les rayons de ces arcs varient d'une façon continue 

avec A. Les ])rolongeinenls des côtés AD et BC ne peuvent pas se 

couper. Ceux des côtés CD et AB ne se coupent pas, si la valeur 

Bt(/(. des Sciences ma(/ie'rn., i" série, t. XLV (Avril n)2i). 



io(3 PREMIÈRE PARTIE. 

de), osl assez voisine à )J"^, el ise cimjx-nl eerlainement. si celle 
valeur est assez voisine à A_Tf Dans le paraf;rapl)e suivant, nous 
(lénionlrerons. qu'à deuv valeurs (liiréi-enU> «le A correspondeni 
aussi des valeurs dinérenles de langle cp sous lequel se coupent les 
prolongements des côtés CD et Ali. Ainsi, rinteinalle A' se partage 
en deux parties (/>_„, A_(o) ) et ()^_(o), ^^"'M. ). = X_(o) correspondant 
au cas où les prolongements susdits se touchent. Si "k est contenu 
à l'intérieur de l'intervalle (X-(n), V"^ ), ces prolongements n'onl 
pas de points communs, mais, si ). décroît de A^roi fi )v- it- l'angle cp 
croît de o à -. INous désignerons par A_ ;p„, la valeur de ).. corres- 

Fig. 3. 
B 




pondant à la valeur cp = cpo- Les valeurs A_/5, (o ^ 'f ^~ ) constitueni 
lintervalle ( /_7t, A^(oi )• 

D'une façon analogue, l'interNalle A", défini par l'inégalité 
>Jo)^ À^' Att. se partage en deux parties (A''^A(0)), (A(o).>>7:)- 
A = /(O) correspondant au cas où les prolongements des côtés B(î 
et AD se touchent. Si A se trouve à l'intérieur de l'intervalle 
(X("^,Ao)^- ces prolongements n'ont pas de points communs, et, 
si A croit de A(„) à A„, ils se coupent sous un angle 6, (jui croît 
constamment de o jusqu'à tt. Si A appartient à A", les prolonge- 
ments des côtés CÎD et AB n'ont pas de points communs. 

Ainsi tout l'intervalle A se partage en trois parties : \,. A^ 
et A;,, définies respectivement par les inégalités : A-^^ = >*- = A— :o; • 
"a_(0) < ' À <^ X(o) ; ^(0) =)^ = ^^if Si A appartient à Ao. les prolonge- 
ments des côtés du quadrilatère K n'ont pas de points communs. 
Cet inter\alle contient la valeur A = a'"^. Si A appartient à A,, les 
prolongements des côtés de K, correspondant aux segments (o, a) 
et (i. ce) de l'axe réel du plan ./', se coupent et les prolongements 
des deux autres côtés ne se coupent pas. ln\ersement, si À appar- 



MÉLANGES. 107 

tienl à A3, les prolonî^ements dos côtés, correspondant aux sci;- 
inonts (a, 1) et {00 , o). se coupent et les prolonf;enients des deux 
autres côtés n'ont pas de points cnininuns. 

2. JNiuis (léniontrerf>n> maintenant le I iK'orèinc ('•nonce an 
paragraphe précédent . 

Théorème IV. — ■ \ deux \alcurs dillérentes de A. appar- 
tenant à rinlervalle A. ne |)euvent pas cdrresponfirc les mêmes 
valeurs de ranj;le o (ou '!/). 

Pour ne pas interrompre l'exposition dans la suite. Taisons auj)a- 
ravant deux remartpu's. 

Première remarque. — S'il y a sur le plan deux triangles, 
chacun à un feuillet, limités par des arcs de circonférences, dont 
les sommets et les angles de ces sommets sont les mêmes, ces 
deux triangles se confondent. Cette assertion peut être démontrée 
soit par les considérations géométriques, soit par le lien qui existe 
entre de tels triangles et la théorie de l'équation diUerentielle de 
(îauss. 

Deuxième remarque. — - Deux équations dilTérentielles linéaii'cs 
du second ordre quelconcpies peuvent être ramenées Tune à 
1 autre r)ar une transformatiiui de la forme 



(l-2) 






et la fonction wl/» peut être obtenue par l'(''liminalion de Tj des 
fonctions (10). correspondant aux équations données. Si cette 
fonction est linéaire, nous dirons que les équations données ne 
sont pas distinctes. Si, à deux équations de la forme (i), corres- 
pond un même quadrilatère K, et si, dans les deux cas, aux points. 
.f=o. I et ce correspondent les mêmes somm'ets de K. l'élimina- 
tion de r, nous conduit dans ce cas à la fonction to(a:j, qui fait la 
représentation conforme du demi-plan sur lui-même, les points 
.r = o, I et y~ restant lixes. c'est-à-dire que les deux équations 
données sont identiques. 

Revenons maintenant à la démonstration du théorème 1\ . Sup- 
posons qu'à deux valeurs A = A et a' corresponde une même 



,o8 PREMIERE PAItTIE. 

valeur de 'o. Aux ('qualions 

correspondent les <|na(]iilalèi'es de la (ii^ure \. Les Irianj^les A,r),^l , 




et AoDoM., ont les angles o, o et '^. Transfornion> le plan du cpia- 
drilatère AoBjCoDo. en nous servant de la formule rj, ■=^-^ ^^ 



et choisissons les coefficients de façon que le trianoie AaDjxMa 
coïncide avec le triangle A,D,Af) (première remarque). Celle 
transformation est équivalente à un choix nouveau du quotient v,, 
des intégrales de l'équation (rj >• 

Soient K, le quadrilatère A, B, C, D, . et Kj le quadrilatère cor- 
respondant à l'équation (lo). obtenu après la transformation. 
Représentons Ko dans le plan de K, . Le côté A2D., coïncidera avec 
le côté A|D,, les côtés AoB^ et D^C^ viendront sur les côtés A, B, 
et D, C, . Le sommet Cj ne peut pas coïncider avec C( en vertu de- 
là seconde remarque. Nous pouvons supposer que C^ se placera 
sur le côté C,D,, car dans le cas où Co se placerait sur le prolon- 
gement de C,D,, nous aurions transformé non le quadrilatère 
A2B0C2D2, mais le quadrilatère A,B,C,D,. Nous obtiendrons 
ainsi la figure 5, où Bj et C3 sont les sommets Bj et Co transformés. 

L'élimination de x entre 'i\(x, "/') et r,,(.r, a") nous conduira à 



MÉLANGES. 109 

la lonclioii r,, ;^ p( 7, ). falsanl la rc[)iéscnlalif>n conCormc de K, 
sur Ko, et, d'après celle Iransloi-ination, les soimncls A,, B;}. C3, D, 
correspondent respeclivenienl aux^ soniincts \ ,. B, , C, , D, . Fai- 
sons l'inversion de K, |)ar rapport aux colcs V|B,, A,D, et D,C,. 




ISous obtiendrons ainsi une réi^ion E, composée de quatre quadri- 
latères. La fonction p{'fi) est holomorphe dans E, les sommets 
exceptés, elle prend chacune de ses valeurs une fois et transforme E 
dans la partie, qui est composée de Ko et de ses inverses par 
rapport aux côtés A, B-, . A, D, et D, C3. Ainsi les fonctions 

sont des fonctions liolomorphes et limitées dans E et prennent cha- 
cune de leuis valeurs une fois. 

En vertu du principe de M. Montel, on peut extraire de cette suite 
une suite convergeant vers une fonction limite P('r\). La conver- 
gence est uniforme dans chaque région, située à Tintérieur de E, 
et P(yj ), holomorphe dans E. prend chacune de ses valeurs une 
fois ou est une constante ('). Ce dernier cas'^ne peut pas se pré- 
senter, car les valeurs de '^ni'f,) (/^ = i, 2, . . .), si r, est située sur 
les côtés A,B, ou D,C|. sont situées respectivement sur les 



(') Caratheodory, Math. Ann.. t. 72. — Koebe, Journal de Crelle. t. Ii5. 
Smirnoff, Bulletin de la Société math, de Charl<o\v, 1917. 



no PREMIÈRE PARTIE. 

cùlés V,lîa ou D,(^;,. La foiiclion P(r, ) Iran^lunnc Taxe V,D, en 
lui-même, cl deux cas seulemenl peuvent se présenter. 

Premier cas. — Il existe sur lare \(l)| nu pmut y, :^ y,, id 
(uie Yj„ = l*( ■/■,(, )• Nous ayons dans If \r(jsinaj;c tU' ce point 

?(■'". ) — '^0 = o.\(r,— r,o ) -+- a^i r, — r,„ j2 -f- , . . , 

où «) est un uiuuhre réel et j)o.sltif. ci 

?i>i'0 — ■'■,0= «^''/('^ — '^1.) + 

De là découle que rt, = i, car dans le cas coulrairc lim pô('^io) = " 

OU co , mais c'est absurde, car, nous avons vu cpu' la loucllon 
limite P(Ti ) est holomorphe à l'intérieur de E et pren<l cliacunc de 
ses valeurs une fois (M. Nous avons ainsi 

P('^.) — '^0 =(■'■, — •'■.0 ) + «/.<' '^—'^,o)^' -H... (■/.■>l), 

où ak est le premier coefficient après c/|, distinct de zéro. Ce coel- 
ficient se présentera certainement, car dans le cas contraire K, 
et R2 coïncideraient. Pour o« (r, ) nous avons 

p» (■'■,> — ■'■,0 = ( -^ — 'lo ) -^- « «/. 1! r, — ■'■(O )^ -f . . . , 

cest-à-dire lim o^*'(Y,n ) = ^, mais c'est absurde, et nous pouvons 

n— a> 

affirmer que le premier cas ne peut pas se présenter. 

- Deuxième cas. — Quand le point Yj décrit l'arc DA dans un 
sens, le point o(y,), décrivant le même arc dans le même sens, 
se trouve toujours en avant cm en arrière du ponit /, . Prenons à 
l'intérieur de l'arc AD un point Yj=:y,o et soit y,„ = p„ (y,o > 
(^/i = 1 , 2, . . . ). Les points yjo, y,, , y.o, ... sont situés sur l'arc AD 
l'un d'après l'autre et ils tendent par suite vers un point déter- 
miné y/. La fonction p(Y|) transforme lare y,„y, , en y, |Y|2, ce der- 
nier en YjoYj;,, .... De là découle, par exemple, que 

P(r,o) = P(-M) = P(r,0=-.-= ^', 

mais nous avons vu que la fonction 1^(y, ) ne peut prendre. chacune 

(') Les dérivées de la fonction limite sont les limites des dérivées des fonc- 
tions, qui tendent vers la fonction limite. 




MELANGES. m 

(le ses \iilcurs (|u iiiic t(ii>. \insi le ilciiMèmc cas ne peiiUpi^s udu 
|)liis se pi'eseiiler- el le Hiedième l\ est dénioiilré. 

'.\. ( .(iiiMdei'ous iiiaiiilenanl le :;i(»ii|)e V el le pidljlènie d'inver- 
SKtii (le iéciiialion ( i ). Supposons d'aboi-d que A appartienne à 
linlervalle \-,. Le (piadrilatère K aura la forme si<;nalée sur la 
lii;ure G. Les inversions successives des (piadrilatères par rapport 

Fig. G. 



J 
/ 



à ses eôlés ilonneronl toujours des quadrilatères nouveaux, et le 
réseau de ces quadrilatères formera une réi;ion simplement con- 
nexe A, limitée ]^ar une courbe L. Si A= A^"', cette courbe sera 
la circonférence; dans les autres. cas ce sera une courbe non anr,- 
Ivlique. Dans le premier cas la fonction (lo)sera une fonction 
luehsienne el dans les autres cas ce sera une fonction kleinéenne 
avec la lii^ne singulière L. 

Le groupe T contiendra les suljslilutions paraboliques, livper- 
l)oliques et loxodromiques, le cas A^a'"^ excepté. Dans ce der- 
nier cas, les substitutions loxodromiques manquent. Il n'existe 
aucune relation entre les substitutions du groupe F ('). 

Faisons l'inversion de K par rapport à son côté CD , et soient A et B' 
les images des sommets A et B. Nous obtiendrons ainsi l'hexa- 
gone ABCA'B'DA, qui est la région fondamentale du groupe W 
Les côtés AB et A' B' sont liés par la substitution g- = Sr' S7', où S-j 
et 83 sont les substitutions, correspondant aux circuits autour 
des points j? = a et x = 1 , sortant d'un point du demi-plan B, 
et T est la substitution hyperbolique. 

(') Voir Klkin und Frii:ke, Théorie der auloinorpkeii Funct., t. I. 



ii> I>R[iMIÈRE PAHTIK. 

Exiiiiiinoiis iiiiiiiilcuaiil I inlcrvallc A,. Le cas '/, = '/. _ a ('•tt- iN'-ia 
c;)nsi(l('Té. Dans c;e cas. la (oinic de K est signalée sur la (ij^iirc .'>, 
la tonclion (i<>) esl la foncliou liiclisicnnc sans la ciiccmlcTcncc 
singulière, cl <7 est la substitution i(lenti(|ue. 

Les inversions successives de l\ donneront toujours des (juadri- 
latères nouveaux, si nous comptons h-s in\eisions par rapport aux 
cotés AB et (]D coinnie une même inNcrsion. Par consécpient, 
toutes les relations entre les substitutions du groupe F sont, dans 
ce cas. des conséquences tie la lelation S..S:(;= i. 

Prenons encore, tians rinlersalle A,, la valeur À = â_(o,. Dans ce 
cas, A est une région simplement connexe, limitée pai- une infinité' 
de circonférences, la fonction (lo) est une fonction kleinéenne, 
o-estla susbtitution païaholique et il n'existe aucune relation entre 
les substitutions du groupe ï. 

Examinons enfin le cas général. La fonction (^lo) ne peut être 

uniforme que si o = - { n = 2, 3, . . .). c'est-à-dire \ — X /r.> • Dans 

ce cas, A est la région à connexion infinie, limitée par une infinité 
de circonférences, la fonction ( 10 ) est une fonction kleinéenne, et 7 
est une substitution elliptique de la période /i. Si nous transformons 
l'hexagone AB(1 V'B'I) V par les substitutions 7, t-, . . ., o-"^', nous 
obtenons une région annulaire, limitée par /\n arcs de circonfé- 
rences. Les inversions successives de cette région donneront tou- 
jours de nouvelles régions annulaires, et nous pouvons par consé- 
quent affirmer que toutes les relations entre les substitutions du 
groupe r sont des conséquences de la relation ( SoS;()"= 1 . 

L'intervalle A;, présente les mêmes circonstances que A,. La 
fonction (10) est uniforme, si a = A^t, X-j_;„) ou À ,-^ (n = 2, 3, . . .). 

Au lieu des côtés AB et CD, il faut considérer les côtés BG et AD 
et au lieu de la substitution t la substitution T:=::S7',Sr* où S, 
correspond au circuit autour du point x = o. 

Les considérations précédentes nous conduisent au théorème 
suivant : 

Tfu'oi'ème V. — 11 existe une \aleur a==)J"^, pour laquelle 
la fonction (lo") est une fonction fuchsienne avec une circon- 
férence singulière. 11 existe deux valeurs )>_(oj et ).(0) telles, 

que A_;o) < X^»^ < }.(„), et, si ). appartient à l'intervalle ( A_ro), ^m»))' 



MELANGES. u3 

). ^z a'»' CYceplé, la roactloa (lo) est une loncliou klcincenne avec 
lin domaine (rexislence limité par une courhe non analytique L. 
Si A=)._ ou ). . elle est une fonclion klcinéennc avec un domaine 
d'exislence simplcmenJ eonnexc, limité par une infinité de cir- 
cont'érences. Il c\i.ste deux valeurs À = X;t ^A^o clK = )._7r < A_ O) 
pour lesquelles la fonclion (lo) est une l'onction f'uchsienne sans 
( iicont'érence singulière, et les relations suivantes ont lieu : 

S, S:j = I ( >. = À_„) ; Si Sî = I ( À = À-). 

Dans l'intervalle i ). r.i ^-foi) il existe une inlinilé de. valeurs crois- 
santes A ^ , A -, A -,..., tendant vers A_r») et telles que. 

"(t) -(i) -Ift 
si A = A _ {/i = 2, 3, ... ). la l'onction (lo) est une fonclion klei- 

-ij.) . 

néenne avec un domaine d'existence à connexion infinie, limité par 
une infinilé de circonférences, et le groupe F contient des substi- 
tutions elli[)tiques de période n. Ces substitutions ont la forme 
S(S2S3)*S '(/'='• 2, ...,n — i), où S est une substitution arbi- 
traire du groupe r. 

Dans l'intervalle (A „). ).,:), il existe une latinité de valeurs 

croissantes A ^ , a _ , a _ tendant vers ). o et telles que 

(f) (?)' (^) 

si A = A _ (n = 2, 3, . . .), la fonction (lo ) est une fonction klei- 

néenne avec un domaine d'existence ayant les mêmes propriétés 
que dans le cas A = A ^^ , et le groupe F contient les substitutions 

elliptiques S (Si S2)*S~' ( /»= i . 2, . . ., /i — T) de période n. Les 
cas mentionnés épuisent tous les cas où la fonction (10) est 
uniforme. 

Fig. 7. 

X X(X) X(jtj X(5tj . Xjgj A'' A,gj i_, ' 3' 'â' 



Nous indiquons sur la figure 7 les valeurs susdites de À. 



CHAPITRE m. 



I . Dans ce Chapitre, nous examinerons de plus |)rés le groupe F. 
Si A appartient à rinlervalle Ao, les prolongements des côtés de K 



Il/, 



PREMIERE PARTIE. 



roniicnl le ii((iiv<;ui (|ua(liilalèr(; l\', (jiic nous apjtcllcrons le « qiia- 
(liilaLùre <i)in|)li'Mii('iilairc n.On |)(iii toujours sujiposer que le 
point /i = X se trouve à linléiieur de K' ( /ig. (j ). Si nous faisons 
l'inversion do K et K par ra|)porl à ses eôlés, nous obtenons deux 
réseaux des quadrilatères, séparés par douze cercles. Si nous 
laisons encore l'inversion par raj)port aux cotés, situés sur ces 
cercles, nous obtenons deux réseaux de quadrilatères, séparés 
par trente-six cercles, etc. Nous obtiendrons ainsi à la limite deux 
réseaux A et B, séparés par nue courbe L. Si A^^iA"^, L est une 
circonférence, et dans les autres cas ce sera une courbe de Jordan 
non analytique ( ' ). 

Cette courbe est la limite tic chaînes de cercles tangents 
successivement. Chaqu<- cliaine fait la partie de la précédente, 
chaque cercle (], étant remplacé par les trois cercles (j{, C'[ et Cj', 
comme l'indique la figure 8. Nous voulons démontrer que les aires 




des chaînes tendent vers zéro, c'est-à-dire que la région A est une 
région quarrable. 

En faisant un nombre quelconque d'inversions, nous rempla- 
çons le cercle CJ, par exemple par une chaîne de cercles avec les 
extrémités A et B. Nous démontrerons qu'il existe un nombre posi- 
tif q <i\ , tel que le rapport des aires de cette chaîne et du cercle G', 



(') I\LKiN und h'RiKK, Théorie cler autoni. Finir/., l. 1. 



MÉLANGliS 



I ) 



soit inlV-rieiir à 7 après un nonibiv UbM'Z j;nuul a"inv< tmom^. la 
Uan.slonnall..n y., = ar, + /> ne change pas ce rapporl. el par s.iil.- 
nous pouvons supposer que le point V a la coordonn«''e rr-^o, (jue 
la ligne des centres de C, et C\ est l'axe réel, et (jue le diamètre 
de C, est égal à i. Menons par le point V.deux clTconlérences C 
ta G', orthogonales à la circonférence C',, qui découpent le ([uarl 
lie cette circonférence. Nous obtenons ainsi les triangles VDL et 
AD,E, {fig. 8j. Démontrons que les cercles C, el C,' ne peuvent pas 

a\oir de points communs avec ces deux triangles. Soil -(/;?> 1 ) 
le diamètre du cercle C, . Faisons la transformation ^.^-' el 

soit r,, ^ Y, j -(- i'r,', . 

Les circonférences C, , C;, C et C ' seront sur le plan y^ des lignes 
droites Y,; = 1. Y., = m. y/; =- m, r/', = m. Les cercles C[ et C,' 
doivent se placer à Tintérieur de la bande limitée par les lignes 
droites y,; = i et y/, = m, et par conséquent leurs diamètres sont 
moindres' que (m- i). Mais les triangles ADE et AD,K, sur le 
plan Y., sont des parties de la bande suslndlquée. situées au-dessus 
de la ligne r,\ = m et au-dessous de la ligne y/, = -/«, et, par 
.uite, les cercles c; etCj'n* peuvent pas avoir de points communs 
simultanément avec ces deux triangles. 

Supi)osons, par exemple, que le triangle ADE (y/-. 8) n'ait pas 
de points communs avec C", et C;. En faisant un nombre sullisant 
d'inversions par rapport à des circonférences passant par le point \, 
nous pouvons remplir par des quadrilatères du réseau B une partie 
arbitrairement grande de la lunule AD et, par conséquent, pour 
le cercle C',, nous pouvons prendre, pour le nombre <j (l..al nous 
Nouions démontrer l'existence, un nombre q,, qui satisfasse iW'iné- 
j.alité- + -<7o<'. car Taire de la lunule est égab- à ;;^ - ' • 
Le même nombre qo convient aussi pour le cercle C,. 

Considérons maintenant le cercle C", . En faisant une inx ersion par 
rapport à ce cercle, nous obtiendrons à Fintérieur trois cercles. A 
deux de ces cercles, analogues à C; et C;, sont applicables les raison- 
nements précédents. En faisant l'inversion par rapport au troisième 
cercle, nous obtiendrons encore trois cercles, etc. 11 est évident 
que les aires des cercles, situés au milieu, tendent vers zéro, et par 
suite nous pouvons affirmer que le nombre 7,, vaut aussi pour le 



ii(\ PREMIÈRE PARTIE. 

(■(•tclc (y|.De l'exislonce de ce noiuln-n f/„ (Jcconlc immédialc- 
nieiit quf les aires des chaînes des ecrcles, e'est-à-dlre les sommes 
des carrés des rayons des cercles coinj)Osant les chaînes, tendent 
vers zéro. 

2. Toute équation de la forme (i) est entièrement déterminée, 
si l'on a donné les valeurs de a et A, et nous désignerons une telle 
équation par le syndjole [a, a], en supposant toujours a et A 
réels et o < a <r i • 

Si le changement de variables de la forme 

(i3) xi= ,,^_^^^ > y\ = "H{3^)r 

transforme léquation [rt, a] en une équation de même forme, 
l'équation transft)rmée est aussi [a. a] ou [i — «, — (i-f-X)], et 
Ton peut supposer que a, [i, y et o sont réels. .Si ao — ^'' ^ o, 
les quadrilatères, correspondant aux équations liées par la trans- 
formation (i3), sont liés par une transformation linéaire. 
Si ao — [iv <^ G, ces quadrilatères sont liés par une transformation 
linéaire de la seconde espèce, c'est-à-dire par une transformation 

iir ar. -h b . — , ... .. 

de la lorme 'Oi ;= — = > ou t, est la quantité imaginaire conju- 

cr^ -^ d 

guée de t;. Les assertions inverses sont aussi évidemment exactes. 
Dans le cas ao — [iy << o, le quadrilatère, correspondant à une équa- 
tion, est lié par une transformation linéaire de la première espèce 
avec chaque quadrilatère, adjacent au quadrilatère qui corres- 
pond à l'autre équation. En considérant les valeurs de x et x,. 
correspondant aux sommets des quadrilatères, et la correspon- 
dance entre ces sommets, on peut trouver facilement la substitu- 
ai; -h & 1 r 1 1' - • r r 

tion Xt= V et la lorme de 1 équation transiormee, ce que 

nous ferons dans la suite. 

Revenons maintenant à la considération des quadrilatères K 
el K', et soient [a, a] et [6, [j.] les équations correspondantes. 
-Nous supposons toujours ([ue les sommets A, C et D des deux 
quadrilatères correspondent aux valeurs iP = o, i et oo, et par 
conséquent K' est la représentation conforme du demi-plan R, , 
situé au-dessous de l'axe réel. Nous appellerons [a, a] et [6, u.] 
les équations correspondantes. Si nous faisons varier )., b et a 



MÉLANGES. i'7 

vuricronl aussi. Dciuonlions qu'à doux valeurs ditïV'renlcs df A ne 
peut pas correspondre une même valeur de b. 

Supposons, au contraire, que |a, V\, [h, [x'] et [a, a"], \h, [/] 
soient deux paires d'équations correspondanles. Soient y; le quo- 
tient des intégrales des équations [rt, Vj.et [6, [x'], K et K' les 
quadrilatères correspondants, A et B les réseaux des quadrdateres 
sur le plan rj, et L le contour de ces réseaux {voir n« 1). Si nous 
faisons n inversions de K et K' pir rapport aux côtés libres, 
nous obtiendrons une chaîne, qui se compose de 4-3" cercles. 
Soient C,f(A = i. 3, ..., 4.3") les circonférences de ces cercles, 
p* leurs "rayons et 5„, o'„ et K le contour de cette chaîne etjes 
parties contenues respectivement dans A et B. Soient enfin^rje 
quotient des intégrales des équations [a, a'] et [b, [x] et R, K', 
A, B, r, C?, pF, ^, oi", et ô; les quanlités analogues aux précé- 
dentes pour le point v L'élimination de x nous conduit à dei|x 
fonctions ^ = cp (■<) et 7, -= 'l{r,), qui transforment K et K' dans K 
et R, les sommets de K et K' correspondant aux sommets de K 
et TT. Par conséquent, ces fonctions sontjinal_ytiques respective- 
ment dans A et B, les transforment en A et B, ont les mêmes 
valeurs sur L et la transforment en L. Soit yi = 4>(t.) la fonc- 
tion qui, dans A, se confond avec '^(r.), dans B avec 'hir,) et 
prend sur L les valeurs communes de o (r,) et 'l(r,). *(/,) est 
holomorphe à l'intérieur de A et B, un pôle excepté, contenu 
dans K', et fait une transformation continue du plan en lui-même. 
Soit r,o un point quelconque, contenu à l'intérieur de K. 11 est 
évident que 

Mais nous avons 

où -^^f' est un point quelconque fixe sur Q' . Par suite. 



ii8 PREMIÈRE PARTIE. 

(Ml p est la <lislanre minimmii de y,,, au contour o,, (cl par suite 
pS la (lislaiicc de t,„ an contour ô„). 
iNoiis avons dcmontn'^ que 






h ; • 1 



mais la premicre partie de la formule ( i \) ne dépend pas de «, et 
pax" suite 

(13) / !— (I(, = / !— ilr.—y> ( n = 1 . 2, . . .). 

En vertu de cette formule, nous pouvons éerire 

c'est-à-dire (|ue la fon( tion o[r^ ) est prolongeable à travers la ligne L, 
les sommets de K, peut-être, exceptés. D'une manière analogue, 
on peut démontrer que la fonction '}(y,) est aussi prolongeable. 
Mais les valeurs de ces fonctions sur L se confondent, et par 
conséquent on peut affirmer que <f>( y, ) est analytique sur tout le 
plan, les sommets de K, peut-être, exceptés. Mais, en ces som- 
mets, elle est continue et par suite aussi holormorphe. Ainsi <!>( r, i 
est analjti(|ue sur tout le plan et le transforme dans lui-même. 

l'ar conseciuent t, = — ~, et u est aise de démontrer que lequa- 

1 ' YTf) -f- in 

tion [a, a] doit coïncider avec [«, )> |. cest-à-dire a= ).', mais 
cela contredit riiApothèse. 

Considérons, par exemple, l'équation [«, À-"^], K' peut être 
déduit de K par une inversion par rapport à la circonférence, qui 
passe par les sommets de K et K', et un quadrilatère K', quel- 
conque, adjacent à K , peut être déduit de K par la transforma- 
lion linéaire, et l'équation correspondant à [«, A'"^] sera léqua- 
lion [r/, ).'^o;j elle-même. 

Supposons maintenant ((ue les équations correspondantes soient 
|rt, X] et [i — «, [^|- Transformons l'équation [i — «> [J^] pai" 
une transformation (i.)), en prenant .r, ^ i — x, en l'é([uation 
[«, — (i-L|j.)]. En éliminant les variables indépendantes, nous 
obtiendrons la fonction y] = o(7)), qui transforme K' en K, et la 



MÉLANGES. tu, 

f'onciioii r,=z'l(r^), qui transforme Iv en K', de manière (|ue les 
sommets A, \i. C el D correspondcnl aux sommets C, B, A et D. 
La fonction C5(r,) transforme l> m \ et c(7,) transforme A 
en B. En répétant la démonstration du présent para<;raphe, on 
peut démontrer que o(y, i et '}('/■,) sont la même fon<;tîon 

linéaire y, = --^ ^- Par conséquent. ré(juatlon \a, ■ — (iH-[j.)| 

doit coïncider avec [r/, X|, l'équation [i — a, [jl] doit être liée 
à l'équation |rt. A| par une ti-ansformation de la forme (i3) et 
a = — (i + A). 

Dans le paragraphe suivant, nous démontrerons que si \a, a| 
et [ù. u| sont des équations correspondantes, et si \ varie de A_(oj 
à X(oj, b et [JL sont des fonctions continues de A, et b varie de i à o. 
Des considérations du présent parai^raphe découle immédiatement 
que b est une fonction monotone de A, et par suite l'équa- 
tion \b, [j. I peut être liée à léquatiou \a. ), | par une tiansforma- 
tion de la forme (i.^)) seulement dans deux cas : quand a:=)J" 
et quand 6 = i — «. Dans le premier cas, b = a. Ces deux cas se 

confondent si « = - • 

'2 

3. Faisons d'abord une remarque. Si nous opérons une transfor- 
mation de la fonction dans l'équation ( i), en posant ^^ = " 

où p{ a: ) ^= jTi X — a) { X — i ). cette équation prendra la forme 
li-z \{x -^k) p{x) -k-\p' {.r)Y — "xp" ix) p{x) _ 



) 



iix"' Winx)^ 



D'un théorème connu de Sturm. on peut conclure facilement 
qu'il existe deux nombres fixes ni et m . indépendants de r/. tels, 
que toute intéi;rale de l'équation ii()i a au moins une racine 
dans l'intervalle (o, rt i. si A > /??'. et dans l'interA'alle ( <7. i) 
si À < m" , c'est-à-dire que l'intervalle d'inversion uniforme A 
reste toujours à l'intérieur de l'intervalle fixe ( in\ m' \. 

Revenons maintenant à la considération des é([uations corres- 

pondantes. |a, A| et | b. u.\. bi nous posons •/•; = -^— - — r— > comme 

au n" 1 du Chapitre 11, R et K' se trouvent à l'intérieur d'une 
bande de largeur — -a(A). dont un des côtés est l'axe imagi- 



120 PREMIÈRE PARTIE. 

jiaiie. Si A varie dans l'intervalle Aj. on peul évidemiiieul Irouvei 
une pari le du plan y, ([ui n'appartienne ni à K ni à l\', ni aux qua- 
drilatères adjacenis, et en faisant une transformation linéaire 
convenable du plan yi avec des coefficients constants, nous pouvons 
affirmer que K et K' se trouvent à linlérieur d'une circonférence 
lixe. et que les quadrilatères adjacents sont à distance finie. 
A variant dans l'intervalle A^ (Jiff. y i. Ainsi, sur la figure 9, les 

Fig. 9. 




côtés AEB et AE,B et les sommets A et B sont fix.es. les coor- 
données des autres sommets sont des fonctions analvtiques de A. 
Supposons maintenant que A, variant dans l'intervalle Ao, tende 
vers une valeur a', distincte de À „, et A_(W)). A cette valeur ).' 
correspondent une position déterminée de R et K' et des valeurs 
déterminées b = b' et u = u.'. ^»ous désignerons par A'. B', x. . les 
points de la figure 9 pour le cas A = //. 

( -1 suivre, i 



COMPTES UENUUS ET ANALYSES. 
COMPTES RENDUS ET ANALYSES 



DRZEWIECK[ (S.)- — Théorie générale de l'hélice. Hélices aériennes 
et hélices marines, i vol. io-8°, xii-184 pages, avec 43 figures dans le 
texte, 9 planches et 4 tables hors texte. Paris, Gauthier-Villars et G"", 
1920. 

Le Livre que nous présente M. S. Drzewieckl, au sujet de 
l'hélice, est le fruit de longues et minutieuses études expérimen- 
tales effecluées par un vrai technicien, qui a introduit successive- 
ment les diverses hypothèses qu'il a été amené à faire, après les 
avoir solidement étayées sur des faits. On sait que l'aviation 
doit à M. S. Drzewlecki d'excellentes hélices, d'un rendement 
rationnel. Nous pouvons donc avoir toute confiance dans la valeur 
de son exposé théorique. 

Ce dernier est conçu de manière à pousser aussi loin que pos- 
sible, jusqu'à l'application numérique précise, les conséquences de 
l'hypothèse suivante : chaque élément de l'aile d'une hélice peut 
être considéré comme se comportant à la façon d'un élément de 
planchette exposé à un courant d'air, et subissant par conséquent 
une résistance fournie par la formule générale 

dans laquelle W désigne la vitesse relative du vent par rapport 
à cet élément, S sa surface, et K/ le coefficient bien connu, qui 
dépend de l'incidence i du vent relatif, de l'épaisseur de l'élément, 
de sa forme et de l'état de sa surface. Cette résistance R/ se décom- 
pose en deux parties : la poussée utile Rj normale à la trajectoire 
réelle de l'élément, et la traînée^ ou résistance nuisible R^;, dirigée 
parallèlement à cette trajectoire. Le rapport 

-^ = col6 = - 

caractérise la finesse de l'aile, c'est-à-dire sa facilité de pénétration 
dans le fluide. 

Bull, des Sciences inalhéni., >' série, l. XLV. (Mai kjh). 8 



i-ri PllEMIEUK PAUTIlî. 

L'lij[)Olhcse ainsi admise, qui sert de point de départ, va être 
utilisée par l'auteur jusque dans ses dernières conséquences. Elle 
ne permet évidemment pas de faire la théorie rigoureuse de l'hélice 
par l'application des équations classiques de la mécanique des 
fluides, où il est impossible de séparer les uns des autres les élé- 
ments du corps étudié, chaque élément influcnrant tous les autres 
et ne pouvant être isolé j)our fournir une part, bien' déterminée à 
l'avance, de l'eirel total. Pourtant, du point de vue pratique, la 
théorie ainsi constituée sera cependant satisfaisante et rendra un 
compte suffisamment approché des faits, d'autant (jn'à aucun 
moment l'auteur ne perdra de vue la réalité et mettra constamment 
ses formules en accord avec l'expérience. 

Si Ton désigne par cl)(=27:a?) la vitesse angulaire autour de 
Taxe, d'un élément de l'hélice, situé à la disiaucc /■ de cet axe, 
par / la largeur de cet élément, par V la vitesse d'avancement de 

l'hélice parallèlement à l'axe, par ; := tang'i le rapport y^ fia 
quantité 311 = — est le module V l'auteur, partant des hypothèses 

précédentes, calcule aisément les puissances élémentaires utile ou 
motrice : la puissance utile correspond au travail efl'ectué dans le 
sens de l'axe, la puissance motrice est celle absorbée pour vaincre 
le couple résistant autour de l'axe dans la rotation de vitesse angu- 
laire 0). On trouve 



dVni = — f\v''(i -+■ ,'-'■-.1 v/i ^ "' - '/"■•. 



d'où le rendement de l'élément 



P 



dV„ 

d\*.n 



Il y a lieu, naturellement, de chercher à avoir un rendement 
aussi élevé que possible ; pour cela, il est important de donner, au 
coefficient de finesse pi, la valeur la plus petite compatible avec les 
exigences de la résistance des matériaux. D'autre part, le rende- 
ment est d'autant meilleur que l'élément est plus voisin du moyeu : 
après avoir passé par un maximum dans une région très voisine du 
moyeu, il décroît rapidement quand on s'en éloigne. Il est donc 



COMPTKS UKNDUS KT ANALYSKS. \jl3 

bon (lo lie pas prendre d'ailes Irop «grandes. En prall([ue, pour ces 
raisons, on utilise des hélices aériennes d'un rajon correspondant 
à 3 = 3 à (i, et des iiélices marines correspondant à ^ =: 2 à 5. La 
théorie sera faite, pour faciliter le calcul, en prenant une fois pour 

toutes /• Nariant de — à R, en désignant par R le rayon de l'aile (on 
posera Z = ;)1lR). 

Chaque hélice sera calculée [)our fonctionner dans certaines 
conditions définies par le modale de construction 011. Il faudra 
s'attacher à ce que le module de fonctionnement en soit aussi 
voisin cpie possible. 

Pour réaliser une hélice, il faudra juxtaposer les uns aux autres 
un grand nombre d'éléments analogues à celui envisagé primitive- 
ment ci-dessus. Cette juxtaposition peut se faire de bien des 
manières, chaque élément ajant sa largeur propre, son incidence 

[V tan" ^3 1 
on a par définition H = ^ — " ' . • 

Il devient naturel d'envisager des hélices à pas constant^ et des 
hélices à inclinaison constante. L'auteur examine successivement 
ces différents cas, et il se propose de faire la détermination effec- 
tive de l'hélice pratique de l'hélice, en supposant connu le module 
de construction 011 et la puissance motrice que devra absorber 
l'hélice (ou encore la puissance utile à produire). On suppose 
d'abord, pour le calcul pratique, que la largeur / çle tous les élé- 
ments est constante (l'influence de celte largeur supposée variable 
sera examinée ultérieurement, et sera trouvée très faible). Avec 
diverses simplifications logiquement très acceptables, l'auteur par- 
vient à l'expression globale de la puissance utile et de la puissance 
motrice de l'hélice à incidence constante 



P« 



I« désii^ne l'intécrale 



I, 





5K 


en 


i — 


:^i.J 


zCi: 




■> 


2-+- 


■^h] 


r 

• 0,2Z 


z"" 


•A 






-r- Z 


^dz. 



dont, dans toute la suite, M. Drzéwiecki fait un usage constant et 
très opportun ; a désigne le nombre d'ailes de l'hélice, e est un 



124 PHEMIEKIî l'Ain lE. 

coefficient numérique, égal à 6 pour les hélices aériennes, à 3 pour 
les hélices marines. De là on tire le rendement 





1, 


? = 


1 




-^'1: 



L'auteur discute ces formules et montre, dans la pratique des 
calculs, une extrême habileté et une grande élégance. A noter la 
simplification fort judicieuse qui est tirée de l'emploi du logarithme 
du rappori Q de comptabilité^ Q = Z(L-h iji.1;, ). Des abaques 
et des tables rendent les applications numériques tout à fait 
faciles. 

Les hélices à pas constant sont ensuite étudiées; les calculs sont 
sensiblement plus compliqués que dans le cas de l'incidence cons- 
tante, mais les résultats numériques sont extrêmement voisins. Il 
en est de même si l'on admet que la largeur / des éléments soit 
variable (de façon, évidemment, à donner des profils naturels tels 
que ceux adoptés dans la pratique courante). Les valeurs obtenues 
pour le rendement sont si pratiquement semblables que la conclu- 
sion s'impose d'établir tous les projets d'hélices en admettant l'in- 
cidence constante et la largeur constante, quitte à tenir compte 
ensuite des nécessités de la construction pour modifier ces élé- 
ments. Parmi les résultats pratiques obtenus, notons que le « rayon 
caractéristique » de l'hélice est environ les trois quarts du rayon 
maximum. 

Après ces développements extrêmement utiles et clairement 
exposés, l'auteur nous montre les effets de la perturbation apportée 
par une aile d'hélice dans le fluide qu'elle traverse; ce trouble 
vient modifier, en abaissant le rendement, la façon dont se com- 
porte une seconde aile qui entre dans la région perturbée par la 
première aile. D'où la nécessité, depuis longtemps reconnue par 
l'usage, de ne pas utiliser d'hélices ayant un grand nombre d'ailes. 
11 faut rémarquer les expériences et les mesures délicates et ingé- 
nieuses, imaginées par l'auteur pour mettre en évidence l'état du 
tluide au voisinage d'une aile (Chap. IX). 

Un Chapitre spécial est consacré à la compensation de l'aile, 
c'est-à-dire à l'étude de la modification qu'il faut apporter à la 



COMPTES UKNDUS KT ANALYSES. ia5 

construction, j)oiir que les elFels de la force centrifuge annulent 
autant que possible le moment fléchissant pour chaque tranche 
d'aile, de façon à assurer à l'aile la meilleure solidité. L<!s courbes 
de compensation obtenues montrent qu'une hélice parfaitement 
compensée peut être facilement construite en UK'tal mince; la 
chose est moins aisée pour une hélice en bois, à cause de la plus 
faible densité. 

Les derniers Chapitres sont consacrés à l'étude des moulinets, 
c'est-à-dire en somme des hélices réceptrices. On trouvera dans 
ces pages des détails sur la théorie générale, avec application 
à l'établissement d'un moulinet auto-régulateur imaginé par 
M. DrzevviccUi, et qui est utilisé pour faire tourner de petites 
dynamos installées à bord d'avions en vue de fournir le courant 
nécessaire à la T. S. F., à l'éclairage, etc. 

Une intéressante Note de M. Pillard termine le Volume ; elle 
donne, pour une hélice à largeur variable, la façon de procéder 
à l'analyse de l'engin si l'on en connaît les résultats d'essai, et en 
étudie le problème d'adaptation de l'hélice sur un appareil. 

Tel est, en résumé, ce Livre très judicieusement établi, qui inté- 
ressera le mathématicien, et qui donnera à l'ingénieur tous les 
résultats essentiels que celui-ci est en droit de demander à une 
théorie véritablement pratique. 

H. ViLLAT. 



iiG PREMIÈRE PARTIE. 



MELANGES 



SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE 
ET LA THÉORIE DES FONCTIONS AUTOMORPHES; 

Par M. V. SMIRNOFF 

{suite et /in). 



Nous voulons démontrer crue, A tendant vers )>'. i> et u. tendent 
vers b' et a'. Dans le eas contraire, À tendant vers a', nous pour- 
rions extraire deux suites de valeurs b et jx, Z?„ et u.« (/i = i , 2, ...), 
qui tendent vers les valeurs b" et ^". dont l'une au moins est 
distincte de // et y.'. Nous désignerons, pour plus de clarté, 
par Y, (a:, a, X) et ri(.r, b, [jl) les quotients des intégrales des 
équations \a, a] et [b, u] dans le cas de la figure 9. Supposons 
d'abord que la valeur b" soit distincte de o et i . Prenons le demi- 
j)lan R, situé au-dessous de l'axe réel, ajoutons le long des seg- 
ments (oc, o), (o, b")j (b", i) et (i. yz ) quatre exemplaires du 
demi-plan R et excluons les points j:- = o, b", 1 et gc . Soit S la 
surface ainsi obtenue. Découpons de cette surface le cercle y,, 
décrit autour du point x = b\ dont le rayon p,,, qui diminue 
et tend vers zéro quand ti augmente, est tel que b,i se trouve à 
l'intérieur de y„. Soit S„ la surface ainsi obtenue. Les fonctions 
Yi(j7, b,,^ iX/i ) sont liolomorphes sur les surfaces S„(/<=i, 2. ...) 
et bornées. Nous pouvons donc, en vertu du principe de M. Montel 
supposer, sans diminuer la généralité, que 'f^{x, b„, u„ ) tendent 
sur S vers la fonction limite H(ip), holomorphe sur S. Dans chaque 
région, située à l'intérieur de S, y\(x, />„, a,<) tend vers sa limite 
uniformément et les dérivées r/'''(.r, b,i, iji^^) tendent vers W"(x). 
La fonction Yi(.3?, />«, 'J-n) satisfait à l'équation 

r/" -^ /'l" \" _ i( T ^ iJ.„ ) ^ 1 [.r(x — hn)(x — i)]' 



x{x — b„){x — \) j. [x{x — b,t){x — i)J- 
el par suite H'(x) satisfait à la même équation avec b" et a' au lieu 



MÉLANGES. 127 

(le hi, et \j.„. Nous verrons plus loin que H(./') n'est pas une cons- 
lanle; par conséquenl H(a-) = T|(.r, h\ ^' ) et cette fonction 
transtornie le demi-plan R, dans le quadrilatère K", analogue àK'. 
Mais, \ tendant vers )/, les sommets C et D et les côtés An,D, 
DG, G et CF, B tendent vers des limites déterminées. Par exemple, 
le côté AH,D tend vers le côté A', H', D'j du. quadrilatère corres- 
pondant aux valeurs b = 1/ et u =: 'j.', et les valeurs de la fonc- 
tion limite \^{jo) sur le segment (00 , o) doivent se trouver 
sur ce côté A, E'jD'j. Les valeurs de la fonction \\{x) sur les seg- 
ments (00, o) et [b\ 1), par exemple, doivent se trouver sur les 
côtés A'H'jD' et B'FjG', et, par conséquent, H (.a?) ne peut pas 
être constante. De là découle aussi que le quadrilatère K" doit 
coïncider avec K', correspondant aux valeurs b = // et a = |jL'. 
c'est-à-dire que nous devons avoir b"=b' et fj." --=^ '^.\ ce qu'il 
fallait démontrer. 

D'une façon analogue, nous pouvons démontrer que b" ne peut 
pas être égal à o ni à i. Si, par exemple, nous supposons b'z=o, 
nous avons seulement trois intervalles sur l'axe réel et H(.r) 
vérifie l'équation 






2(JL" 



U'i X — 1) 



Par conséquent, H(ic) est le quotient des intégrales de l'équation 
différentielle de Gauss et les différences des racines des équa- 
tions fondamentales déterminantes pour cette équation sont 



a = y/ 4 a -i- 1 (pour a:- = 0); ^ = O (pour a? =1); 
y = o (pour X — -Ji). 

Si y. était purement imaginaire, H (a;) prendrait sur le seg- 
ment (o, ij une infinité de fois ses valeurs, mais c'est absurde, 
car les fonctions 'r\{x^ bu-, ]J-ii) prennent chacune de ces valeurs 
une fois. Si la valeur y^'ju.'-f-' était réelle, la fonction ^^{x) 
devrait transformer le demi-plan R| en un triangle de sommets 
réels,- dont les côtés devraient se trouver sur les côtés B'F'jC, 
C'G', D' et D'II'i A'. Mais c'est impossible, car ces côtés ne peuvent 
pas former de triangle. D'une façon analogue, on peut exclure le 
cas b"=^ o. Ainsi, nous avons démontré la continuité de b et li, 
quand A varie à l'intérieur de l'intervalle Ao. 



128 PREMIERE PARTIE. 

Supposons maintenant que À tende vers )._(o,, qui joue dans ce 
cas le rôle de A', A la limite, le côté C'G', D' touchera le côté 
A'E'j B', et nous pouvons démontrer que dans ce cas b et a tendent 

respectivement vers i et — -' . Soit l' le point de contact de C'G', D' 

4 ' ' 

et A'E', B'. La démonstration précédente est valable dans ce cas. Si 
nous supposons que b" est distinct de o et i, les côtés A'E, B', 
B'F', C, C'G', D' et D'H'j A' doivent former un quadrilatère, mais 
ils forment deux triangles : A'D'I et B'C'I'. Si nous supposons 
b"=o, les côtés B'K'.C, C'G'jD' et D'H'.A' doivent former, 
comme nous l'avons vu, un triangle, mais c'est impossible, si C'(j',D' 
touche A'E, B'. Par conséquent, b tend vers i et la fonction \\{or) 
vérifie l'équation 

\\"'{x) 3 V \\"(t) y __ ' -•>;/' ■>'/ 

et transforme le demi-plan R, dans le triangle A'D T. Les angles 

de ce triangle sont égaux à zéro et nous devons avoir \J f\ <i!' -\- i = o, 
c'est-à-dire fJ-" =^ 

' 4 

D'une façon analogue, on peut démontrer que, si \ tend vers \ç^)^ 
^ et p. tendent respectivement vers o et — - . Dans ce cas, les côtés 

4 

B'F, C et A'H'jD' se touchent. Soit K' leur point de contact. La 
fonction H(:r) transforme le demi-plan R, dans le triangle C'K'D'. 
Les considérations des deux derniers paragraphes nous conduisent 
au théorème suivant : 

Théorème VI. — Si, dans l'équation [a, a], a croît d'une ma- 
nière continue de a„(0) à ).fo), dans l'équation correspondante 
[Z>, [j(.], les valeurs b et a varient d'une manière continue et 6, 
toujours décroissant, varie de i à o. 

Pendant cette variation, l'équation [è, u.] peut être déduite de 
l'équation [a, )>] par une transformation de la forme (i3) seule- 
ment dans les deux cas suivants : 

1 " A = X("^ et, dans ce cas, b = a\ 
3" b = i — a. 

Ces deux cas se confondent si « = -• 



MÉLANGES. 129 

i. Soient S,, Sa et S3 les substitutions du j^roupe F de l'équa- 
tion \n, â|, correspondant aux lacets simples, sortant d'un j)oint 
de demi-plan R et entourant les points x = o, a et i . Ces substi- 
tutions sont les substitutions génératrices du groupe F, et nous 
les appellerons les « substitutions génératrices du premier genre », 
pour les distinguer des substitutions génératrices du second genre, 
auxquelles correspondront les lacets sortant d'un point du demi- 
plan R, . 

Les équations correspondantes [a, A] et | ^, [jl] ont évidemment 
le même groupe F. Soient S,, S^, S3 les substitutions génératrices 
du premier genre du groupe de l'équation [a, X]. Pour l'équation 
[6, [jl], S7', S~', S~' seront les substitutions génératrices du second 
genre. Supposons qu'il existe encore une équation [c, v], qui ait le 
même groupe F, v appartenant à l'intervalle d'inversion uniforme. 
Le groupe F ne contient pas de substitution elliptique et ses 
points singuliers forment la ligne L, qui partage le plan en deux 
régions A et B. Soient j", la variable indépendante et y) le quotient 
des intégrales pour l'équation [c, v]. Nous avons :ri = co, (r)), où 
cp,(r,) est une fonction analytique dans A ou B. Supposons par 
exemple que ç, (rj) soit analytique dans A, et soit x = o(ri) la fonc- 
tion (10) pour l'équation [a, ÂJ. En éliminant Yi, nous obtiendrons 
une fonction analytique a?) = y (x). Aux mêmes valeurs de x corres- 
pondent des valeurs de v^, liées par des substitutions du groupe F, 
et par suite des valeurs identiques de Xf. Cette fonction y (x) peut 
avoir les points singuliers x = o, «, i et oc. 

On peut facilement trouver à l'intérieur de A des lignes aux- 
quelles correspondent des lacets simples décrits autour des points 
x=o, a, I et Gc, et par conséquent'/ (x) est une fonction uniforme. 
Mais, inversement, à des valeurs identiques de Xf correspondent des 
valeurs identiques de x, et y (x) prend chaque valeur, Xf = o, c, 1 
et 00 exceptés, une fois. Nous pouvons donc affirmer qu'un des 
points X = o, a, i et go est un pôle simple et les autres sont des 
points ordinaires de la fonction y (.r ), et par suite cette'fonction est 

de la forme -/, = - — —~. Nous avons démontré ainsi que, si une 

équation [c. v], v appartenant à l'intervalle d'inversion uniforme, 
a le groupe F, elle est liée par une transformation de la forme (î3) 
à l'équation [a, X] ou [6, ij.]. Remarquons encore que les points 
singuliers du grovipe sont les points fixes des substitutions non 



lîo PKHMIERE PAHTIE. 

elliptiques du groupe et les points d'accumulation de ces points 
(ixes et, par suite, ils sont définis par le groupe lui-même. 

Les considérations pi'écédentes trouvent leur place dans tous les 
cas où la fonction (lo) est uniforme. Supposcjns que dans l'équa- 
tion ['^',a|, )v = "a , tt [/i= I, 2, . . . ). Les |)olnts singuliers du 

groupe r morcelleront dans ce cas la région B en une infinité de 
cercles. Si une autre équation [c, v], dont l'inversion conduit à la 
fonction a^, := (p, (y)) uniforme, a le même groupe i' que l'équation 
[rt, ).], la fonction 'f(('^,) est analytique dans la région A, et, en 
répétant la démonstration précédente, nous pourrons démontrer 
que l'équation [c, vj est liée à l'équation [r/, K\ par la transfor- 
mation (i3). 

Jusqu'ici nous avons suf)posé que le groupe V est le groupe 
d'une équation de la forme (i). Il est facile d'obtenir les condi- 
tions nécessaires et suffisantes pour qu'un groupe donné F soit le 
groupe d'une telle équation. Y doit contenir évidemment trois 
substitutions paraboliques, qui seraient les substitutions généra- 
trices de r. Soient S,, So et S3 ces substitutions génératrices du 
premier genre, correspondant aux lacets autour des points jc = o, 
a et I . Leurs points fixes doivent être dilférents (') et, en faisant 
une transformation linéaire convenable du plan 7,, nous pouvons 
supposer que ces points sont respectivement r, = i, oc et o. 

Les substitutions S), So et S3 auront la forme 

(20) = ^l> (S,); ri=^r,-i-c (S91; — = --4-^/ (S3). 

r, 1 — 1 r, — 1 r, 1 r, 

Le quadrilatère correspondant doit avoir pour deux côtés des 
lignes droites parallèles et ses sommets doivent se trouver aux 
points y| = i, oc, o et m, où m est un nombre réel, compris 
entre o et i . Posons c = c'H- ic". De considérations géométriques 

très simples, on peut tirer a= • f-» = , c esl-a- 

dire que a et b doivent avoir la forme 

K, , K., 

(21) « = — ' = ~ , 



(') On peut trailer facilement les cas À = a__ ei >> = a_ séparément. 



MÉLANGES. i3i 

où K, et Ko sonl dos valeurs réelles de même sij;nc el que 
l'équaliou 

(0.2) abc -4- ac -\- hc — ab = o 

doit èlre vériliée. 

Celte équation e\|)riine que la subslilulion 8,8283, correspon- 
dant au hicel autour du point .r = ^, est'paraholique. Son point 

fixe est m = — '— . H est aisé d'obtenir encore les conditions sui- 

a -+- b 

vantes d'inégalité, qui expriment que les côtés opposés du quadri- 
latère n'ont pas de points communs sur le plan t] : 

b c' / • /^ \ 

(■23,) 7 < - (^' c >o); 

a c ■ > ^ \ 

(23,) ■ T< (sic<o). 

^ " a -X- o i- 

Inversement, on peut facilement démontrer que, si a, h et c 
vérifient les conditions (21), (22) et (23), il existe un quadri- 
latère de sommets t. = o, — —. , i et co, el tel que, pour l'équation 

a -X- o 

correspondante, les substitulions^(2o) soient les substitutions géné- 
ratrices du premier genre. Les conditions pour que les prolonge- 
ments des côtés ne se coupent pas ont évidemment la forme 

(•24i) 7 < - (^' c ^^o); 

(242) T< (sic<o). 

Des considérations précédentes, nous tirons le théorème suivant : 

Théorème VIL — La condition nécessaire et suffisante pour 
qu'un groupe donné Y soit le groupe d'une équation [a, XJ est 
que ce groupe contienne trois substitutions paraboliques généra- 
trices a-,, (7o et cTj telles, qu'après le choix convenable d'une substi- 
tution S, les substitutions Sa-, 8 ', SctoS ' el S73S"' aient la 
forme (20), a, b et c satisfaisant aux conditions (21), (22) et (23). 

Si, en outre, la condition (24) ^ li^u, il existe en général deux 
équations distinctes ( ') de la forme (f^I avec le groupe donné V. 

(1) Nous appelons distinctes des équations qui ne peuvent pas cire trans- 
formées l'une dans l'autre par une transformation de la forme (i3) 



1^,. PREMIÈRE PARTIE. 

Dans tous les autres cas, sous la condition d'inversion uniforme 
de l'équation, il existe seulement une équation de la forme (i) 
avec le groupe donné F. 

Si le groupe F est un groupe fuchsien proprement discontinu 

sur la circonférence qui lui correspond, il doit contenir deux 

substitutions génératrices t, et To. qui pourraient être ramenées à 

la forme 

I I 

où a est une quantité réelle dont le module est plus grand que a. 
Dans ce cas, il existe une seule équation de la forme (i) avec le 
groupe donné F. 

o. Dans tous les paragraphes précédents, nous avons supposé 
que le paramétre de l'équation diflTérentielle appartient à Finter- 
valle de l'inversion uniforme. Dans ce paragraphe, nous signale- 
rons quelques résultats qui concernent le cas général. 

Considérons d'abord le cas où la condition (24) est satis- 
faite. Dans ce cas, nous obtiendrons deux quadrilatères et deux 
équations [rt, a] et [Z>, ;j.], A et a appartenant à l'intervalle d'in- 
version uniforme. A chacun de ces quadrilatères, nous pouvons 
appliquer l'adjonction transversale du plan. Pour cela, il faut 
joindre deux points, situés sur les côtés opposés du quadrilatère, 
par une ligne qui se trouverait à l'intérieur du quadrilatère, faire 
la coupure / le long de cette ligne, faire la même coupure sur 
un exemplaire du plan et adjoindre cet exemplaire du plan au 
quadrilatère le long de cette coupure / [voir la Thèse d'Ihlenburg 
(Gottingen)]. 

On peut appliquer cette transformation à une paire de côtés 
opposés un nombre arbitraire de fois. Chaque quadrilatère donne 
ainsi naissance à deux séries des quadrilatères, et nous aurons les 
équations correspondantes : [a,,, a'"'], [«_,;, A^^"^], \bn-, ;J-'"^] 
et [b n, [J-^'"^] (/' = •, 2' 3, ...) ('). L'équation [a„, >^'"']- par 
exemple, est Féquation qui correspond au quadrilatère, dans 
lequel les côtés AB et CD sont superposés n fois. Les équations 

(') Les désignations )>'", X—" sont distinctes de la même désignation du Cha- 
pitre I. 



MELANGES. i3i 

\((,i. )S" I <•! \tt^ii. X'^"'] ont les mômes substitutions génératrices 
([uc ré{ju;ition [«, X] et les é(juations [6«, [J-^'"] et [^_„, [-«■''"■ | 
ont les mêmes substitutions génératrices que l'équation [/^, a]. 
Ainsi nous avons obtenu toutes les équations d(; la forme (i) avec 
le groupe donné V. 

En eflet, dans le cas présent, V n'a pas de substitution ellip- 
tique et ses points singuliers forment une ligne L, qui partage le 
plan en deux parties. Si une équation [e, v] a le groupe F, dans 

Fiî. lo. 





le quadrilatère correspondant K", les côtés opposés et leurs pro- 
longements ne peuvent pas avoir de points communs sur le 
plan r. ('). 

K' peut avoir des côtés superposés, mais le contour simple de 
ce quadrilatère forme le quadrilatère K sans côtés superposés, 
auquel correspond l'équation avec le même groupe F, dont l'in- 
version conduit à la fonction uniforme. En vertu du théorème Vil, 
cette équation peut être déduite de l'équation [«, X] et [6, [j.] 
par une transformation de la forme (i3) et l'équation [c, v] peut 



(') xNous verrons plus luin que,, dans le cas d'existence de cùlés superposés, 
les deux autres côtés peuvent avoir des points communs sur le plan r^. 



Trî PREMIÈRE PARTIE. 

èlre obtenue par une Iransformalion d'une des équalions susdites. 

Considérons mainlenanL le cas où les prolongements de deux 
côtés opposés se touchent. En supposant que le point -r^ ^ » se 
trouve à l'intérieur du quadrilatère, nous obtenons la (igure lo. 

Sauf le quadrilatère K avec le contour simple AGBHCFDIA, les 
circonférences forment encore le (piadriialère K' avec le contour 
AEDGFDCEBAGBA, dont deux côtés s(.' couvrent une fois. Nous 
pouvons faire l'adjonction transversale dans ces deux quadrila- 
tères seulement par rapport aux côtés situés sur les circonférences 
AGBA et DFCD. En effet, en employant les raisonnements par 
lesquels nous avons démontre dans le n° 4 du Chapitre I, que les 
côtés opposés ne peuvent pas avoir de point commun sur le plaîi Tj, 
nous pouvons maintenant démontrer la même chose pour les côtés 
superposés. 

Nous obtenons ainsi, dans le cas présent, les équalions [a. )>] 
et [bf. jj.<"J correspondant aux deux quadrilatères susdits, a"^ 
n'appartenant pas à l'intervalle d'inversion uniforme, et deux séries 
d'équations [«„, a'"^| et [b,/, [J-^"^]. qui correspondent aux qua- 
drilatères obtenus par radjonclion transversale. Toutes ces équa- 
tions ont le même groupe F, qui n'a. pas de substitution ellip- 
tique et dont les points singuliers forment une infinité de 
circonférences limitant une région simplement connexe. 

Inversement, si une équation [c, v] a le groupe T, les circonfé- 
rences, qui forment le quadrilatère correspondant, sont disposées 
delà manière indiquée sur la figure lo. Elles forment aussi un 
quadrilatère sans côtés superposés, et l'équation correspondante 
n'est pas distincte de l'équation [a. À] en vertu du théo- 
rème Vil. Par conséquent, ce quadrilatère sans côtés superposés 
est lié au quadrilatère K par une transformation linéaire de la 
première ou de la seconde espèce et, par suite, le quadrilatère 
correspondant à l'équation [c, v] est lié par une même transfor- 
mation linéaire à l'un des quadrilatères K, K' ou à celui qui se 
déduit de K ou K' par l'adjonction transversale. Par conséquent, 
l'équation [c, v] peut être déduite, par une transformation de la 
forme (i3), d'une des équations [a. À], [«„, A^"^], [/>«, u^'"^] 

(n = I, 2, 3. . . .). 

Enfin, si le groupe F est un groupe fuchsien proprement discon- 
tinu sur la circonférence qui lui correspond et si les conditions 



MÉLANGES. l'.i 

du lliéorcnie MI sont satisfailes, il existe un seul quadrilatère K 
sans côtés superposés et les quadrilatères, qui en dérivent, par 
l'adjonction transversale par rapport aux côtés, qui sont des cir- 
conférences complètes ('), et les équations correspondantes sont 
toutes les équations distinctes, ayant le <;roupe V. 

Ainsi, nous avons trouvé toutes les équations de la loriue (i), 
(jui ont le même groupe F, dans le cas où ce groupe ne contient 
pas de substitution elliptique. Quand ce groupe contient des 
substitutions elliptiques, deux des circonférences qui forment le 
(piadrilalère se coupent. Nous avons dans ce cas, comme dans le 
cas précédent, les quadrilatères K et K'. L'étude approfondie de 
ce cas exige quelques recberches préliminaires sur le groupe F 
dépendant de la valeur es de l'angle, sous lequel se coupent les 
circonférences susdites. 

Dans tous les cas, les circonférences qui forment le quadrila- 
tère forment aussi un quadrilatère sans côtés superposés, et, 
par conséquent, les conditions nécessaires et suffisantes, indiquées 
dans le théorème VII, conviennent pour le cas général. 



SUR UN PERFECTIONNEMENT A APPORTER AUX STATISTIQUES ; 

Par m. AUFilC. 



Quand on se propose d'étudier un phénomène météorologique 
dont la période est, par exemple, d'une année ou d'un jour au 
moyen de statistiques, on a coutume de rapporter celles-ci soit à 
l'année civile commençant le i*"' janvier, soit au jour civil com- 
mençant à minuit; pourtant, il est bien évident que l'origine arbi- 
traire de ces périodes ne s'impose nullement et qu'au contraire il 
peut être parfois très avantageux de choisir judicieusement cette 
origine d'après la nature même du phénomène à étudier. 

(') Dans le Cliapili'e l. nous avons vu que, dans le (lUiitiiilaLere, deux ciJLés 
opposés seulement peuvent être superposés. 



lîf. PREMIÈRE PARTIE. 

Admettons, par exemple, que l'on veuille approfondir l'élude 
du régime des pluies dans le nord de l'Algérie; on sait, par expé- 
rience, que durant les trois mois d'été (juin, juillet, août) il ne 
tombe pour ainsi dire pas une goutte d'eau; c'est donc à partir de 
cette période de sécheresse bien connue qu'il convient de dresser 
les statistiques annuelles de l'eau pluviale tombée et non à partir 
du i'"" janvier; il exisie une véritable année pluviale qui n'a rien 
de commun avec l'année civile, car celle-ci se compose de la der- 
nière partie de l'année pluviale précédente et de la première 
partie de l'année pluviale suivante; on comprend, dès lors, fort 
bien qu'une année civile puisse donner des résultats anormaux 
bien que les années pluviales qui la renferment aient fourni des 
résultats normaux et imersement. La même remarque s'applique 
d'ailleurs au régime des sources ou des cours d'eau qui tarissent 
régulièrement en été. 

A chaque phénomène météorologique donné correspond une 
courbe périodique qui sert à le définir, l'intensité du phénomène 
(température, pression, pluie, etc.) étant portée en ordonnée et le 
temps en abscisse; l'origine de la période doit être choisie de 
manière à réduire au minimum les erreurs Inévitables dans l'inter- 
prétation des faits. 

Cette courbe possède évidemment des maxima et des minima et 
il est clair que la position exacte de ces points limites est toujours 
très difficile à déterminer avec précision, car la courbe se confond 
sur un certain parcours avec une parallèle à l'axe des abscisses; au 
contraire, entre un maximum et un minimum, il existe toujours une 
tangente d'inflexion dont l'intersection avec une parallèle à l'axe 
des abscisses peut être appréciée avec beaucoup plus d'exactitude; 
il semble donc généralement avantageux de choisir l'origine de la 
période à proximité d'un point d'inflexion, car une erreur a cer- 
tainement moins d'inconvénient que si l'on plaçait celte origine 
dans le voisinage d'un maximum ou d'un minimum. 

La même observation paraît s'appliquer également à la statis- 
tique des taches du Soleil. 



MÉLANGES. 13; 

APPLICABILITÉ DES SURFACES RÉELLES. ÉTUDE SPÉCULE DE LA 
CORRESPONDANCE ENTRE POINT RÉEL ET POINT IMAGINAIRE. 
SYSTÈMES CYCLIQUES RÉELS ET SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGO- 
NAUX CORRESPONDANTS: 

Pau m. Bi-iiTRAND G^MBIEH. 



IINTRODUGTIOlN. 

1. x\u Bulletin des Sciences mathématiques (iQ'^io) et aux Comptes 
rendus (1919 et 1920), j'ai étudié l'application de deux surfaces 
réelles. Le présent Mémoire comprend trois Chapitres. 

Au premier Chapitre je donne des résultats plus précis relative- 
ment à la configuration de deux surfaces réelles S et S^ telles 
que Si ne recouvre physiquement qu'une portion de S : j'avais, 
pour simplification, écarté l'hypothèse où l'une ou l'autre surface 
admet une ligne d'arrêt ou bien se décompose en plusieurs nappes. 
Le résultat définitif est le suivant : ou bien S^ admet une ligne 
d'arrêt Cj, constituant une asymptotique singulière de cette surface 
et Cj, dans l'application de Sj sur S, recouvre une courbe C fron- 
tière des régions recouvertes ou non; ou bien S^ admet une auto- 
application et, dans ce cas, j'ai encore deux hypothèses possibles : 
ou bien S se décompose en plusieurs nappes séparées, connexes 
chacune, dont l'une est recouverte complètement par S^, ou bien Sj 
admet une ligne de rebroussement C^ dont chaque point reste 
invariant dans l'auto-application de S^; C^ est encore asympto- 
tique singulière de S^, propriété importante non signalée dans le 
premier Mémoire; C^ recouvre encore sur S la courbe frontière C 
des régions recouvertes ou non. .J'indique ensuite, dans le cas où 
une surface S admet une auto-application, le moyen de recon- 
naître a priori combien de types différents de surfaces réelles cor- 
respondent à ce ds'^, deux surfaces de type différent ne pouvant 
se recouvrir physiquement, deux surfaces de même type pouvant 
au contraire se recouvrir totalement ou partiellement, ou même 
encore pas du tout. Ces considérations permettent aussi de décider 
si toute surface réelle représentative du ds^ doit admettre ou non 
soit une auto-application, soit une ligne d'arrêt. 

Bull, des Sciences /naihé/n., 2" série, t XLV. (Mai 19^1.) D 



lis PREMIERE PARTIE. 

J-.e second (llia})ilre est destiné à donner des exemples précis de 
surfaces réelles correspondant aux divers types d'un même ds^, 
de façon à bien préciser ce que j'ai appelé ds- réduit et régions 
d'un ds^ réduit. Noiis verrons que les surfaces représentatives d'une 
même région peuvent offrir une configuration compliquée et il 
serait intéressant de reconnaître dans quel cas il existe une ou plu- 
sieurs surfaces représentatives d'une région entière. J'aurai l'occa- 
sion, à propos du paraboloïde, de donner des exemples intéressants 
de surfaces illustrant les fonctions analytiques qui admettent 
une coupure essenlielle. 

Dans le troisième Chapitre je donnerai une application dans Le 
domaine purement réel de cette étude portant presque exclusive- 
ment sur une relation de point réel à point imaginaire. Nous ver- 
rons avec quelle facilité s'obtiennent les systèmes cycliques réels% 
et les systèmes orthogonaux qui en dérivent, en réalisant une 
première surface réelle S et une seconde surface Sj, applicable 
sur S, soit totalement imaginaire, soit réelle avec cette particularité 
que la totalité ou une fraction de S ait une homologue imaginaire 
sur Sj. De la sorte, je pourrai faire observer que, jusqu'ici, la cor- 
respondance d'un point réel de S à un point imaginaire de Sj^ avait 
déjà été maintes fois signalée, mais plutôt dans le but de négliger 
sur S les portions dont l'homologue est imaginaire. Ici ce sera 
le contraire : ce sont ces portions que nous conserverons à l'exclu- 
sion des autres. Mon travail aura donc donné des résultats positifs, 
et non pas seulement négatifs, pour la configuration géométrique 
d'un couple de deux surfaces applicables; j'espère que l'intérêt 
en paraîtra bien plus grand encore par cette solution d'un pro- 
blème très éloigné, au moins en apparence, dont l'énoncé était 
connu antérieurement à ces recherches. 



CHAPITRE I. 

1. Soient deux surfaces^ réelles f-'^), connues, S et S^, ayant 
même ds\ ne possédant pas de ligne d'arrêt, pouvant se composer 
soit d'une nappe unique connexe, soit de plusieurs nappes séparé- 

(^) Dans tout le cours du Mémoire, je ne m'occupe que des surfaces ana- 
lytiques, de façon à pouvoir parler des points et des nappes imaginaires. 



MÉLANGES. i3o 

nient connexes. Nous supposons que tous les points d'une certaine 
rénion de S ont un homologue imaginaire sur S^ : nous en avons 
déduit que S^ possède une auto-application. 

Premier cas. — Si tout ]joint réel" de S a son homologue imagi- 
naire sur Sj, réciproquement tout point réel de S^ a son homologue 
imaginaire sur S et la surface S possède elle-même une auto- 
application. 

Second cas. ■ — Les points réels de S se partagent en deux séries : 
les points m dont l'homologue sur S^ est réel, et les points n dont 
l'homologue est imaginaire. Deux subdivisions sont à envisager. 

Première subdii>isioii du second cas. — 11 n'existe pas, sur toute 
l'étendue réelle de S, de frontière réelle entre les points m et n : 
cela exige que S se compose de plusieurs nappes séparées, séparé- 
ment connexes. Il n'y a rien à ajouter pour S^. 

Un exemple simple s'obtient en supposant que Sj est le parabo-' 
loïde de révolution (^) et que S est la surface déduite d'une courbe 
sphérique B analytiquement indécomposable, ayant le centre de 
la sphère pour centre de symétrie; S se compose de deux nappes 
réelles, l'une tout entière applicable physiquement sur le para- 
boloïde, tandis que tout point réel n de l'autre nappe a sur le para- 
boloïde un homologue imaginaire. 

Seconde subdivision du second cas. — ■ Il existe sur S une courbe C 
réelle, frontière de points m et n. Nous avons vu qu'à la courbe C 
correspond sur S^ une courbe réelle Cj, arête de rebroussement 
de Sj, dont chaque point reste invariant dans l'auto-application 
déjà signalée sur S^ comme conséquence de l'existence de points n. 
Les deux nappes de Sj, séparées par Cj, peuvent se recouvrir 
mutuellement, chacune peut recouvrir la région constituée sur S 
par les points m d'un côté de S, de sorte que cette région de S est, 
en réalité, deux fois recouverte par S^. 

Ce résultat a été démontré au Mémoire précédent; de nombreux 
exemples de cette configuration étaient d'ailleurs connus bien anté- 
rieurement, bien qu'elle n'eût pas été remarquée. La conclusion 



(1) Voir mon Mémoire sur le paraboloïde [Bulletin de la Société mathéma- 
tique, 1920-1921). 



i4o PRIÎMIÈIIK l'AKTlE. 

est, en réalité, bien plus précise encore : en chaque point de la 
courbe C^ le plan osculateur est tangent à la surface Sj ; Cj^ est asymp- 
totique singulière de S^. 

Si l'on fait tourner une courbe plane, ayant un point de rebrous- 
sement, autour d'un axe de son plan, on obtient un parallèle de 
rebroussement qui n'est asymptotique (singulière) de la surface 
engendrée, que si l'axe est perpendiculaire à la tangente de re- 
broussement. La circonstance indiquée pour C^ mérite donc bien 
d'être relevée; de plus nous allons retomber sur un cas d'exception 
bien connu dans la théorie de la déformation. 

2. Pour démontrer ce résultatj supposons que nous partions 
d'une surface réelle donnée S : nous avons tracé sur S une courbe C 
et nous cherchons à déformer S de sorte que C se transforme en 
une courbe donnée a priori C^ : ceci entraîne, pour être tout à fait 
précis, que nous marquions un couple de deux points correspon- 
dants P et Pj sur C et C^ et indiquions les sens de parcours corres- 
pondants. La surface inconnue S^ se détermine par la méthode 
classique (Darboux, Théorie des surfaces, t. III, p. 277 et suiv.). 
Soient p le rayon de courbure de C en un point, 9 l'angle de la nor- 
male à S et du plan osculateur de C, p^ et Q^ les éléments homo- 
logues sur Cj et Sj. On aura 

, . , sinô _ sin6i _ i 

P Pi Pff' 

où p^ sera le rayon de courbure géodésique de C sur S. Supposons 
Pi<C Pg) 011 trouve pour 6j deux valeurs réelles supplémentaires : 
l'une d'elles, choisie et suivie par continuité, définit une surface S^ 
réelle, recouvrant S de part et d'autre de C (et une seule fois). 

Si pi<^ p^, on trouve encore deux surfaces S^, mais imaginaires. 

En dehors de ces deux solutions, il ne peut en exister d'autres. 

Si nous appliquons ceci à l'un des nombreux couples de surfaces 
réelles S et S^ applicables, S étant recouverte en double sur une 
région limitée par une courbe réelle C, et n'étant pas recouverte 
sur la région complémentaire, il est clair qu'il y aurait contradic- 
tion à supposer o-^<:^^g ou p^^p^r. Donc 0-^^= pg, d'où ^1= - : 

la courbe Cj est asymptotique de S^, nous allons voir que c'est une 
asymptotique singulière et non normale. 



MÉLANGES. ili 

3. S, C et Cj cLaiiL données, S^ étant l'inconnue si l'on a pi= po 
et de plus t^ + RR' = o, où Xj est le rayon de torsion de C^, R et R' 
les rayons de courbure principaux de S, la déformation de S cesse 
d'être déterminée, on obtient une infinité de surfaces réelles S^ 
recouvrant S de part et d'autre de C : ce résultat, amorcé par 
Darboux, a été démontré par M. Goursat aux Annales de Toulouse 
(1909); sur chaque surface S^ obtenue, Cj est une asymptotique 
régulière. 

Donc pour les couples Set S^ que j'étudie ici, on doit avoir pi=pg^, 

9i= -» mais T^+RR'^o. Cj sera donc asymptotique singu- 
lière et non asymptotique normale. 

Les considérations qui précèdent s'appliquent si Sj admet une 
ligne d'arrêt Cj correspondant à une courbe réelle C tracée sur S : 
j'en donnerai des exemples simples au Chapitre suivant; on aura 

?i — p;?) '^1 =^ ~ ' '^1 + Rf^' 7^ o> exactement pour les mêmes raisons, 
la seule modification est que S est recouverte d'un côté de C, en 
simple et non en double. 

Ce qui précède conduit au problème suivant : « Une surface 
réelle S est donnée, je trace sur elle une courbe C, existe-t-il une 
surface réelle S^ ne recouvrant S (en simple ou double) que sur 
l'une des régions limitées par C ? Si C est donnée, le côté recouvert 
au voisinage de C est-ilarbitraire ? » 

Nous voyons immédiatement que, si S^ existe, la courbe C^ 
est l'une des courbes gauches (accidentellement plane) définies 
par la relation p^^ p^. C^ étant ainsi choisie, nous tombons sur 
le cas exceptionnel signalé par Darboux et laissé en suspens par 
lui. L'exposé de Darboux semble même pencher pour l'impossi- 
bilité : les exemples nombreux trouvés prouvent clairement que 
l'impossibilité ne peut être absolue; il resterait à élucider si la 
courbe C peut être tracée arbitrairement sur S ou si elle doit satis- 
faire à certaines conditions ; la courbe C étant choisie, il resterait 
ensuite à voir si C^ peut elle-même être choisie arbitrairement 
ou non parmi celles que définit p^ = pg. Ensuite C et C^ étant 
données, dans le cas de possibilité, la surface S^ est-elle unique ? 
Quel est le côté recouvert au voisinage de C ? Ces questions déli- 
cates peuvent, dans le cas des développables, être immédiate- 
ment résolues. 



, l2 PREMIÈHR PARTIR. 

4. Dans cette hyj)othèse, j'emploierai l'artifice hieri simple qui 
consiste à transformer S en un plan P par un développement 
préalable; en réalité on n'obtient qu'une i)orlion de plan P, celle 
d'où l'on peut mener des tangentes réelles au développement D de 
l'arête de rebroussement de S, mais peu importe; cette portion est 
même composée de deux feuillets, je pourrai me borner à l'un 
d'eux. Il me sufTira maintenant d'étaler la seconde développable Sj 
sur P, puis d'enrouler P sur S, de sorte que S^ se trouvera elle- 
même enroulée sur S. La courbe C peut être choisie arbitrairement, 
la courbe Cj est l'une quelconque de celles que définit p^ = p^., la 
surface Sj recouvre en double (et non en simple) la développable S 
du côté de C où les géodésiques de S, tangentes à C aux divers 
points de cette courbe, pénètrent sur la surface S : tout cela est 
évident en songeant au développement Y de la courbe C sur le 
plan P. 

Ceci suppose que F est une courbe proprement dite (et non une 
droite) et ne possède pas de point d'arrêt. Si F est une courbe à 
point d'arrêt, il en est de même pour C. La courbe C^ est encore 
l'une quelconque de celles que définit p^ = p^, elle admet aussi un 
point d'arrêt; sur S je trace la géodésique G tangente à C au point 
d'arrêt; la région recouverte sur S est limitée par C et la géodé- 
sique ainsi définie; S est recouverte en double, comme plus haut, 
au voisinage de C et en simple au voisinage de G. Cette géodé- 
sique G correspond sur S^ à la tangente G^ au point d'arrêt de C^, 
et cette tangente Gj est une ligne d'arrêt de S^. Conformément 
à la théorie générale, cette tangente G^ est bien asymptotique de 
la surface Sj. 

On peut remarquer que la géodésique G de S étant donnée, 
on peut recouvrir S, en simple, d'un côté arbitrairement choisi 
par rapport à G : en effet, sur P, le développement de G est une 
droite, et alors on peut tracer sur P la courbe admettant un point 
d'arrêt, tangentiellement à cette droite en un point arbitraire et 
d'un côté arbitraire par rapport à cette droite. 

Supposons maintenant que le développement Y de la courbe C 
soit une droite, autrement dit que C soit une géodésique de S. 
Nous pouvons remarquer en passant que si la transformée de C 
est une courbe quelconque Cj, l'équation (i) trouvée plus haut se 
réduit à sin 0^ = o; cette fois prendre 81 = ou 0^ = tc donne 



MELANGES. 



143 



pour Si une seule surface (au lieu de deux), c'est la surface déve- 
loppable enveloppe du plan perpendiculaire en chaque point 
de Cj à la normale principale de Cj; c'est la déformation régulière 
de S; S est recouverte de part et d'autre de C. Pour obtenir le cas 
exceptionnel, quand C est géodésique de S, il faut supposer que C^ 
est une droite. Je vais montrer qu'il y a une infinité de déforma- 
tions de la développable S correspondant à la transformation de 
la géodésique C en la droite C^ et que de plus S sera recouverte eu 
double par S^ d'un côté arbitrairement choisi de C. Nous pourrons 
par exemple supposer que Sj est l'une de ces développables indi- 
([uées dans mon précédent Mémoire : l'arête de rebroussement 
de Sj est une courbe à courbure constante présentant des points 
de rebroussement de seconde espèce {(^oir ^ o et fig. 8 du précédent 
Mémoire). S^, appliquée sur un plan, en recouvre la ])ortion 
limitée par l'arc de cercle limité AB et les deux tangentes AG 
<»t BG' aux extrémités. Ici {fig. i), le développement de la 

Fi-. I. 





géodésique C est une droite F; transportons la figure 8 du 
précédent Mémoire sur la figure i de ce travail, et cela de façon 
que AG coïncide avec F, S se trouve donc recouverte en double 
d'un certain côté de C; si nous retournons alors le cercle AB autour 
de la tangente AG, nous avons un nouveau mode d'application 
de Sj sur S, où cette fois la région recouverte en double est celle 
qui primitivement ne l'était pas. Cela démontre la proposition; 
avec les surfaces S^ employées ici nous avons comme arbitraires 
la position de A sur la droite F et le nombre, commensurable ou 

non, - dont dépend la surface S^. 



i44 PREMIÈUE PARTIE. 

En résumé, si la surface S est une développable et, C une courbe 
arbitraire, non ^éodésique, traoée sur S, on peut I rouver une infinité 
de dévelojjpables recouvrant S en double sur une ré<rïon conve- 
nablement choisie entre les deux (fui admettent C pour frontière. 
Si C est ime oéodésique, on peut trouver une infinité de dévelop- 
pables recouvrant S en simple ou en double sur l'une quelconque 
des deux régions admettant C pour frontière. 

5. Ceci laisse prévoir ce qui arrive vraisemblablement si la sur- 
face S n'est pas développable. Traçons sur S une courbe C arbi- 
traire que nous supposerons d'abord non géodésique. Si S peut 
effectivement être recouverte en double d'un côté de C, il est vrai- 
semblable que la région recouverte est celle où pénètrent, au voi- 
sinage de C, les géodésiques tangentes à C en ses divers points. 
Dans tous les exemples obtenus, c'est bien cette circonstance qui 
se produit. On aurait ainsi à distinguer sur S les régions déter- 
minées, d'abord par C, puis par les géodésiques particulières tan- 
gentes à C aux points où le rayon de courbure géodésique de C est 
infini. 

Si la courbe C est elle-même une géodésique, là transformée de C 
étant une droite, nous aurions encore le cas exceptionnel; il se 
peut que S puisse être recouverte, en double ou en simple, d'un 
côté arbitrairement choisi de C. , 

Nous remarquons encore ici le rôle exceptionnel que jouent les 
géodésiques : si la courbe C est une géodésique et si la transformée C^ 
n'est pas une droite, nous retombons sur le cas normal de défor- 
mation, mais l'équation sin9i=o ne définit qu'une surface 
réelle Sj et non pas deux. 

6. Dans le précédent Mémoire je n'avais pas suffisamment 
insisté sur le cas où l'une des deux surfaces S et S^, ou même toutes 
deux, se composent de plusieurs nappes, en nombre fini ou infini. 
Les résultats énoncés sont exacts à condition de bien spécifier que 
l'on envisage chaque surface avec la totalité de ses nappes. Si la 
surface réelle S^ ne recouvre S que partiellement, nous devons 
bien remarquer qu'il y a deux conclusions possibles : ou bien S se 
décompose en plusieurs nappes ou bien Sj possède une ligne de 
rebroussement (ou d'arrêt) avec les circonstances géométriques 



MELANGES. i45 

signalées plus haut. Un exemple déterminé peut même réunir 
l'ensemble de ces deux conclusions. 

De même, si deux nappes réelles, analytiques, sans ligne d'arrêt, 
S et Sj, ont même ds^, mais ne peuvent se recouvrir physiquement 
sur aucune étendue, il faut bien se garder d'affirmer sans précau- 
tion que la correspondance entre les surfaces complètes S et S^ 
a lieu de point réel à point imaginaire. Cela peut être vrai, même 
au cas où S et Sj comprennent chacune plusieurs nappes; mais il 
peut arriver que l'une des surfaces ou toutes deux admettent 
plusieurs nappes, la nappe S et la nappe Sj n'étant pas deux nappes 
correspondantes, les points de S ayant leur homologue réel sur une 
nap]ie différente de la surface Sj. 

C'est d'ailleurs un problème intéressant, analogue à celui du 
prolongement analytique, de reconnaître si une nappe réelle, 
connexe et analytique, donnée avec ou sans bord, constitue toute 
l'étendue réelle de la surface analytique; dans le cas de la néga- 
tive, de franchir le bord que l'on a reconnu artificiel ou de trouver 
les autres nappes réelles. Je reviendrai un peu plus loin sur ces 
points. 

Dans le même ordre d'idées, si deux surfaces S et S^, réelles et 
applicables, n'ont pas le même nombre de nappes, l'une (au moins) 
admet une auto-application : il n'y a, en tout cas, aucune raison 
a priori que ce soit la surface au plus grand ou au plus petit nombre 
de nappes. S peut admettre une ou plusieurs nappes à homologue 
imaginaire, Sj admet une auto-application et peut admettre moins 
de nappes que S. Au contraire, plusieurs nappes réelles de S 
peuvent être toutes applicables physiquement sur une même 
nappe de S^ et c'est S qui admet une auto-application. 

Si ni S, ni Sj n'admettent d'auto-application, elles ont le même 
nombre de nappes; chaque nappe de S s'associe à une nappe de S, 
et deux nappes associées se recouvrent mutuellement et complè- 
tement une fois et une seule. 

Il est utile aussi de bien insister sur ce fait que si une surface S 
n'admet ni auto-application, ni ligne d'arrêt, elle recouvre néces- 
sairement complètement toute surface Sj de même ds^, ou, si l'on 
préfère, Sj recouvre physiquement soit la totalité, soit une frac- 
tion (fraction non nulle) de S, tout point réel de Sj ayant un homo- 
logue réel sur S. 



i46 



PRRMIERR PAiniE. 



7. Il est utile, pour la suite, de démontrer rigoureusement une 
proposition importante, regardée à tort comme évidente. 
Je considère une forme quadratique 

E ( H, V) du* ■+- •?. V (u, i' ; du dv -h G di'-, 

et nous cherchons s'il existe des surfaces réelles dont le ds^ coïn- 
cide avec cette forme; nous pourrons supposer, par un change- 
ment de variables préalable s'il y a lieu, que les paramètres u, p 
sont réels. Supposons donc que le point réel (u, <^), décrivant un 

Fisr. 2. 



certain domaine du plan lo uv (fig. 2), E, F, G soient réels, définis, 
continus et satisfassent aux inégalités 

E>o, G>o, EG — F2>o, 

qui se réduisent à 2 comme l'on sait. Dans ce domaine traçons une 
courbe v : en chaque point u. de y, nous pouvons calculer la cour- 
bure totale de toute surface éventuelle S ayant le ds^ donné, la 
courbure géodésique en M de la courbe C correspondant sur cette 
surface S à la courbe y, la longueur s de l'arc de courbe compté 
sur C jusqu'en M. Le rayon de courbure géodésique pg de C en M 
est une certaine fonction de s; nous pouvons donc choisir d'une 
infinité de façotis une fonction p (s) telle que p (s) < p^ (s), puis 
construire une courbe, plane ou gauche, dont p [s) soit le rayon 

de courbure : j'appelle C cette courbe. L'équation = — > 

déjà rencontrée, et la méthode rappelée plus haut permettent de 
déterminer deux surfaces réelles contenant la courbe C, ayant 



MÉLANGES. i47 

pour ds^ la forme donnée, telles que l'image de la courbe C dans le 
plan {u, (^) soit y; chacune de ces surfaces S correspond à une 
réuion du plan image (u, v) à cheval sur la courbe y. C'est ce qu'd 
fallait (Hablir. 

Si Y satisfait à l'équation du second ordre en u, v des géodé- 
siques, on remarquera que pour chaque fonction p finie et chaque 
courbe C. correspondante on obtient une surface S réelle et non 
deux. 

Le cas exceptionnel correspond à p = p^, t^ + RR 7^ o? il est 
inutile de répéter les conclusions obtenues. 

8. Il résulte clairement de là que si les inégalités E > o, G > o, 
EG — F2 > o, définissent plusieurs régions distinctes du plan w, v, 
toute surface représentative du ds^ peut admettre plusieurs nappes 
correspondant respectivement à ces régions; mais il peut arriver 
que deux surfaces différentes correspondent à des régions diffé- 
rentes et, par suite, que chacune d'elles corresponde à l'autre, point 
réel pour point imaginaire. 

C'est la réciproque que je me propose d'étudier : premièrement, 
si une surface donnée S n'admet pas d'auto-appHcation, elle 
admettra autant de nappes distinctes que son ds"^ définit de 
régions distinctes. Il ne faut pas conclure de là que si un ds"^ donné 
définit plusieurs régions, il existe une surface sans auto-apphca- 
tion représentative de l'ensemble des régions : pour le ds^ de l'ellip- 
soïde, nous verrons que c'est faux. 

Deuxièmement, supposons que nous connaissions une surface S 
auto-applicable; cherchons s'il existe une surface réelle Sj corres- 
pondant à S uniquement point réel pour point imaginaire dans 
son application sur S. 

Si nous songeons à une surface telle que l'ellipsoïde 

CE) — -f- -Ç -H — — 1 = o (rt>6>c>o), 

^ ' abc 

si nous prenons comme variables x et y, le ds^ de E a pour coeffi- 
cients des fractions rationnelles en a; et î/ et les auto-applications 
de E tiennent à deux causes : z est une fonction non uniforme de x 
et y, d'où résulte une symétrie plane par rapport k xOy, auto- 
application non mise en évidence par le ds-. D'autre part, le chan- 



ii8 PRRMIÈRK PAUTIE. 

p,ement de a; en — x on de y en — y n'altère pas le ds^ : il en résulte 
les symétries planes par rapport à yOz ou zOx, mises en évi- 
dence par le ds^. Le changement de variables x^ = \, y^ = Y 
donne un ds^ encore rationnel en X et Y, ne mettant plus cette fois 
on évidence ces deux symétries. Avec les variables X, Y, ces 
symétries sont dues à la première cause signalée : x, y ont cessé 
elles-mêmes d'être fonctions uniformes des variables adoptées. 
Ceci est général : j'écarte le cas des ds^ de révolution, ou à cour- 
bure totale constante. Supposons la forme 

E ( M, i')du^-^2F du dv -h G dv'^ 

définie, positive avec des coefficients E, F, G. uniformes en u, v. 
Les coordonnées d'un point de la surface auto-applicable peuvent, 
dans un premier cas, n'être pas uniformes en u,i>\-A un couple (u, p) 
correspondent plusieurs points se corres])ondant dans une auto- 
application; cette circonstance n'est pas mise en évidence par le 
seul ds^. Dans un second cas, il existe une substitution 



(2) 

entraînant l'identité 



«1 = /i ", ^ }, 
p, = o( «, v) 



(3) E( U\, (^i) du\ -+- 1 F(m,i, fi) dui di'i -4- G(ai, Pj) di>^ 

= E(u, V ) du- -)- 2 F( zf, i> I du di> -t- G( u, v ) dv-. 

J'appellerai cette substitution (2) une transformation intrin- 
sèque du ds^ : la théorie acquise de la déformation permet de 
trouver toutes ces transformations intrinsèques, quand elles 
existent. Les auto-applications de la surface qui leur corres- 
])ondent sont mises en évidence par le ds^, et c'est pour cette raison 
([ue nous ne garderons pas ce ds^; un changement de variables 
convenable permettra, comme plus haut pour E, de trouver deux 
paramètres nouveaux U, Y qui ont un seul système de valeurs pour 
les couples {u, i^) et (wj, (^j) de sorte que les coordonnées des points 
de la surface cesseront d'être uniformes en U, V; les auto-applica- 
tions rentreront toutes dans la première catégorie. L'ellipsoïde E 
a ses points répartis par groupes de huit se correspondant dans 
les auto-applications, ici symétries par rapport aux plans ou aux 
axes de coordonnées ou à l'origine : à ces huit points correspond 
un seul système X, Y. 



MÉLANGES. i49 

Donc, pour toute surface auto-applicable S donnée, nous })ou- 
vons, par la série j)réalable d'opérations que je viens d'in-diquer, 
obtenir un ds'^ définitif ({ue j'appellerai ds^ réduit, possédant les 
propriétés suivantes [ds'^ de révolution ou à courbure totale cons- 
tante provisoirement écartés) : 

lO Le ds^ réduit ne possède plus de transformation intrinsèque; 
à chaque point de la surface correspond un seul système de para- 
mètres définitifs (X, Y), de sorte que si le point est réel, X et Y 
sont réels. Aux divers points de la surface, qui se correspondent 
dans les auto-applications, correspond le même couple (X, Y). 

2^ Aux points correspondants de deux surfaces S et S^ admet- 
tant ce ds^f le couple X, Y a la même valeur. 

Nous allons maintenant chercher si le ds^ réduit est défini, fini 
et positif dans tout le plan réel OXY ou non : Si oui, nous avons un 
type unique de surfaces représentatives. Si non, nous avons autant 
de types distincts que de régions (remarquons que le nombre de 
régions peut encore être égal à l'unité), où ce ds^ est défini, fini 
et positif. Si le nombre des régions est supérieur à l'unité, chaque 
région définit, nous l'avons démontré avec soin au paragraphe 
précédent, une infinité de surfaces réelles : deux surfaces de type 
différent sont en général telles qu'à tout point réel de l'une cor- 
respond un point imaginaire de l'autre; il ne pourrait y avoir 
exception, d'après le paragraphe 6, que si chaque surface se décom- 
posait en plusieurs nappes et qu'à toute nappe de l'une, représen- 
tative d'une certaine région, corresponde une nappe de l'autre, 
représentative de la même région : mais, sauf cette circonstance 
précise, le fait annoncé doit bien avoir lieu et, en général, nous 
avons effectivement autant de types que de régions : d'ailleurs, 
même dans le cas réservé à l'instant, il est clair que deux nappes 
représentatives l'une d'une première région, l'autre d'une seconde 
région, ne peuvent se recouvrir sur aucune étendue réelle, et cela 
justifie bien le nom de types distincts. 

.le rappelle que je ne m'occupe que.de surfaces analytiques; 
ici je suis arrivé à définir les points réels par des fonctions réelles 
de variables réelles; s'il s'agissait de surfaces réelles définies uni- 
quement par points réels pour des valeurs réelles de deux para- 
mètres X, Y, sans que la définition puisse s'étendre aux valeurs 



5o 



PREMIÈRE PARTIE. 



cuiiiplcxes de X et Y, il est clair que beaucoup des propriétés 
établies ici pourraient s'évanouir. Si donc le ds^ réduit n'est pas 
défini, positif et continu dans tout le plan, que le nombre des 
régions soit égal à l'unité ou supérieur, toute surface représenta- 
tive du ds^ doit admettre soit une ligne d'arrêt, soit une auto- 
application. 

Au lieu de comparer deux régions, restons dans une seule région : 
il peut arriver, comme pour l'ellipsoïde, qu'une région puisse être 
représentée totalement par une certaine surface; mais il peut 
arriver qu'une surface réelle ne représente qu'une fraction de cette 
région : d'après les paragraphes 3 et 7, la surface doit admettre 
une ligne d'arrêt ou de rebroussement ayant pour image dans 
le plan OXY la courbe frontière de la fraction représentée; cette 
ligne d'arrêt ou de rebroussement présente les caractères géo- 
métriques si souvent signalés. J'ai laissé en suspens la question 
qui revient à décider si l'on peut se donner arbitrairement la fron- 
tière de fraction de région représentée. Xous verrons, à propos 
du paraboloïde ou de certaines surfaces de translation, que, même 
dans une même région, on peut trouver deux surfaces non suscep- 
tibles de se recouvrir mutuellement ou, chose non nécessairement 
synonyme, deux surfaces se correspondant uniquement point 
réel pour point imaginaire. 

9. En appliquant ceci à l'ellipsoïde E déjà signalé et posant 
x^ = X, 1/^ = Y, on trouve aisément 



(4) ^ds'-^dX'- 



I 




^ cm- 


X 

a 


Y 

^ b _ 



^idXdY—r 
au 



En posant 



(5) 



'-"^-t) 



D" ^ , _ _ - 

a u 



D ' = I 



Y 



x_ 

a- 
Y 

X 



62 _ X 



b-^ 



MÉLANGES. ih 

la forme quadratique (4) est définie (positive ou négative) si 

\YDn'>o. 

Cette inégalité définit six régions numérotées I, 2, 3, i, o, sur 
la figure 3. L'inégalité XDD' > o ou YDD" > o au choix ne 

Fig. 3. ■ 




conserve que les régions^l,^2, 3. J'ai donc trois'types de surfaces 
réelles, et trois seulement. A tout point de la région 1 correspond 
huit points réels de l'ellipsoïde; E représente donc totalement, et 
même huit fois, la région 1 ; les ellipses principales correspondent 
aux bords de cette région; pour tout point de la région 2, on a 
X>o, Y>o, D-<o; donc, à tout point réel d'une surface Eg 
représentative de cette région, correspond sur E un point imagi- 
naire {x, y réelles, z imaginaire pure) ; de même pour tout point 
réel d'une surface Eg de la région 3, on trouve sur E un point ima- 
ginaire {x, z réelles, y imaginaires pure). 

Nous verrons que le roulement de E sur Eg ou E3 conduit à des 
systèmes cycliques réels et à des systèmes triples orthogonaux 
réels aussi. J'indiquerai au second Chapitre des types effectifs de 
surfaces Eg et E3. 

J'ai posé la question suivante : Pour chaque région d'un ds^ 
réduit, peut-on trouver une (ou plusieurs) surface la représentant 
totalement ? Dans le cas d'un ds^ à courbure totale toujours posi- 
tive, jamais nulle ni infinie, les travaux de M. H. Weyl (^) éta- 

(^j V LeiieLjalii s)icUiijL der ^aluijui6cheiideii Geaellschaft iii Zurich, lyit». 
Pour la sphère, par exemple, il existe des surfaces de révolution, admettant 
deux points coniques, fermées et convexes, représentant elles aussi tout le ds- 
de la sphère, au sens que j'ai adopté. 



i52 PREMIÈRK l'A un R. 

blissent qu'il existe effectivement une et une seule surface fermée 
convexe proprement dite (sans points singuliers, sans points 
coniques, sans points de pincement) représentant complètement 
la région. L'existence de l'ellipsoïde comme unique surface repré- 
sentative de la région 1 entraîne donc qu'il n'y a aucune surface, 
à plusieurs nappes, représentant tout le ds^ (4) dant toute son 
étendue, c'est-à-dire dans les trois régions complètes. Toute surface 
représentative de la région 1 ne pourra la représenter totalement 
qu'à condition de présenter certaines singularités plus ou moins 
compliquées. En voici un exemple dii à Peterson (^). Les formules 



arciang^ = — = log tangi, 



X — j y/A'' cos^ p -+- C^ sin*/) dp 



donnent une surface applicable sur l'ellipsoïde E (B > C) 
(") X=:Asin^, Y = B cos/? sin^, Z = C cos/> cos^, 

La surface (6) représente toute la région 1, quatre fois; elle 
s'enroule asymptotiquement autour de l'axe des x qui correspond 
à la section principale de E par le plan Y ^ o et elle ne recouvre 
({ue la moitié de E relative à Y > o, ou à Y < o, suivant la façon 
dont on l'étalé sur E. 

{A suivre.) 



(^) Annales de Toulouse, igoS, p. 71. Darboux, dans le Tome I (seconde 
édition) de la Théorie des Surfaces, p. i83, ne signale que l'analyse des travaux 
de Peterson parue en 1908 aux Annales de Toulouse. Des Mémoires étendus de 
Peterson ont été traduits en igoS dans ces Annales. Peterson a été le premier 
à signaler les applications imaginaires de surfaces réelles, mais en se bornant 
aux quadriques et sans en tirer de conséquences. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES, 



153 



COMPTES UIÎNDUS ET ANALYSES. 



BUHL (A.). — Gkométbik kt analysk des intégrales double?. Un vol, 
de la collection Scienlia (Gaulhicr-Villais, éiliteui ), 

Voici un Ouvrage iilile, de nature à intéresser les pei'sonnes 
seulenient curieuses de mathématiques, et aussi les gens du 
métier. 

Comme l'auteur le fait remarquer, le titre est un peu vague; eu 
réalité, il s'est applique à tirer des conséquences de l'identité 



(I) 



Ç Ç d\ci\ = T'^^v. 



Ce programme, lui-mruie, pourrait comprendre des théories qui 
ne sont pas abordées ici, par exemple les questions analogues au 
problème de Dirichlet. 

Dès le début, M. Buhl introduit une notation qui lui rend de 
grands services, celle des déterminants symboliques. C'est ainsi 
qu'il écrit la formule de ïliemann (ou de Green ) 



/i 


d ô 
de dy 
1' Q 


et celle de Stokes 




a 3 T 


fX 


à à ') 
dx J}' <)z 




P. 


() R 



dx 



dy= { 



V dx 4- Q dy, 



= fp dx + Qdy^ W dz 



(h étant l'élément d'aire, et a, [^, y. les cosinus directeurs de la 
normale. Il serait peut-être avantageux, dans certaines questions, 
de modifier ce symbolisme, en remarquant que dx dy est soumis 
aux mêmes règles de calcul que les déterminants de différentielles. 
Bull, des Sciences malhéni., ■>' série, t. XLV. (Juin 1921.) 10 



1521 PREMIÈRE PARTIE. 

Les deux foi-imiles cidessu^ (le\ icndriiiciil ;iinï>i 

à . 






— dx -+- — dy —- 0.7 
Ox Oy ox 



oy 



P dx 

à 



-I 



Oy ■" I = r P dx 
Q dy P o.r -H (J 0/ I ' '^ 

<y . () , ^ i) 



Q ^^r^ 



.. , ., . t> 

ûv Oy -^ ùz ')x i)y ■ Oz 

^ I V dx-^ Q dy-^ R <'/; I' CJ-— Q oj -H H o; 



P dx-^ Q dy-h R f/; 



l'écriture serait jdus longue (' ), mais la gchicralisaliou à une intr- 
grale double étendue à une uuiltlplicih' de rcs|)a(«' à /t dimensions 
se fait plus facilement. 

Quoi qu'il en soit, la notation de \J. I>uld |)e)-uiit de condenser 
des formules généralisant celle de Slokes. l'^n rem|)larant dans (i) 
X et Y par des fonctions de x, y. ;, /v, y. il ohlient une fonuulc 
dans laquelle l'intégrale double porte sur une ronclion linéaire 
de r, s, t, rt — s-^ exprimée par un déterminant du cinqiiiénu; 
ordre, ou, avec iine notalion plus syuiéliiquc, du sixième; l'inté- 
grale simple porte sur une combinaison lim-aire de dx, dy, dz. 
dp, dq. 

S'attachanl dabord à la formule (h- Slokes. Fauteur en d('duil 
de nombreux volumes qui s'expriment par des intégrales simples: 
volumes cylindriques, volumes canaux, etc. L ne a])plication très 
intéressante est celle qui se rapporte aux aires spliériques. 
Y a-t-il pour ces aires quelque chose d'analogue à la mesure d'un 
angle plan par la deml-difîV'-rence des arcs iuterceplés par ses côtés 
sur une circonférence? M. Bulil rapporte les résultats obtenus par 
M. Humbert, dans un de ces Mémoires élégants et pénétrants 
comme il en a écrit beaucoup, et comme, à la suite de ses der- 
nières publications dans les Comptes rendus, on s'attendait à lui 
en voir écrire encore sur l'Arithmétique supéi'ieure, s'il n'avait 
été enlevé prématurément à la Science. Les généralisations du 
théoiNîme d'Abel aux intégrales doubles et les applications aux 
.ures ellipsoïdales, citées encore par M. Buld, sont dues aussi au 
même si regretté géomètre. 



■ (') On pourrait, d'ailleurs, iabréger. 



COMPTES UIÎNDUS KT ANALYSES. i55 

S'alliulianl ensuite ù la forimilc (jiii l'ail inlervenir les dérivées 
seeondos, M. jiiilil iiioiiti-e ({u'elle eondiiit à la formule de Bonnet, 
où rintei;rale simple dépend de la eoui'l»ui-e <;(-odési(pie, tandis 
(|ue rintéj;rale donl)l<' porte sur la eourhure totale. 11 donne 
ensuite des l'orinules analoj^ues pour la torsion ^éodési(|ue et la 
courbure iu)rnude. Enlin il démontre, toujours par la nu-me voie, 
4ine formule (!<■ M. \p[)ell. où l'inlé^^rale double contient la cour- 
bure moyenne. 

Les équations de Monge-Ampére [)euveut toujours se mettre 
sous forme inté<;rale, avec une intéj;rale simple et une double : 
ce résultat, établi par l'auteur dans les Annales de Toulouse^ lui 
permet de rattacher les équations de Monge-Ampère à son sujet; 
il en indique quelques propriétés. 

Enfin, passant aux variables complexes et introduisant la consi- 
dération des singularités des fonctions à intégrer, M. Buld est 
conduit à donner une idée de certaines questions traitées par 
M. Picard dans la théorie qu'il a fondée, des fonctions algébriques 
de deux variables. 

Souhaitons que ce petit volume attire de nouvelles r( cherches 
sur quelques-unes des Intc-ressantes questions qu'il rasseiuble si 
ingénieusement. 

Georges Gir\ud. 



i36 



PREMIER lî PAimiî. - MÉLANGES. 



MÉLANGES. 



APPLICABILITÉ DES SURFACES RÉELLES. ÉTUDE SPÉCIALE DE LA 
CORRESPONDANCE ENTRE POINT RÉEL ET POINT IMAGINAIRE. 
SYSTÈMES CYCLIQUES RÉELS ET SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGO- 
NAUX CORRESPONDANTS 

(suite) ; 

Par m. BEHTiiAND GAMIÎIKK. 



Si l'on se sort des coordonnées homofocales pour l'ellipsoïde 

abc 
on trouve aisément le ds'^ 

1 . " — '' r " ^^"^ '' f^'' H 

( b ) dS- = ; — — : 

4 1(1 — II) {o — u ) {c — II) (a — V w o — r I ( c — f j J 

qui, bien que non réduit, permet de retrouver aisément les ré- 





D 


/1 


. 


/ 




5 




1 






^ 




6 




3 




2 


u 



gions 1, 2; 3 {fig. 4) et qui est commode pour le calcul de la cour- 



mi: LANGES. ij; 

l»iii'e lotalc : ou tiimve — — - : les surfaces E, et Eo onl leiiis liones 

;is\ niptotiques (réf^ulières) toujours imaginaires; cette expres- 
sion de la courbure montre i(ue pour les réoion*; 2 et 3 la méthode 
de M. Weyl ne peut rien donner. 

11 est intéressant de remar([uer que, dauo les reliions 4, o, 0, 
le ds'^ (4) ou (8) est défini. né<ialif. Si nous consiilérons donc l'ellip- 
soïde E' 

.7-2 )-2 Z^ _ 

abc ' 

complètement imaginaire, mais réel au sens de M. Goursat, le ds" 
de E' s'obtient évidemment en changeant de signe le ds^ de E, 
))uisque E et E' s'échangent par homothétie de pôle O et de rap- 
j)ort /. Donc il existe trois types de surfaces réelles E.,, E5, Eg cor- 
respondant aux régions 4, 5, 6 et au ds^ de E'. La surface E', en 
roidant sur ces surfaces réelles donne des systèmes cycliques réels, 
('ette remarque est générale : quand on appli((ue la méthode du «/.s- 
réduit, on pourra d'abord chercher les régions définies par 
EG — F^ >> o ; l'inégalité E >- o les départage en des régions 
correspondant au ds^, 

E (lu--^ 1 F du dv -i- G (/i-, 

ou au ds^, 

— ( E du- -f- 2 F du dv -+- G dv- ). 

Une autre remarque simple se présente naturellement : le ds^ 
réduit n'est pas unic[ue : toute transformation biuniforme entre 
les paramètres. (îf, v) et d'autres (U, V) transforme un ds^ réduit 
en un autre de même définition. Or les deux formes quadratiques 

( \Ldu'--^i\- dudv^Gdi'^, 
' I E f/«2 _ -i F du f/c -f- G di-'- 

définissent le même nombre de régions, le même nombre de types 
de surfaces réelles. Sur une surface S du premier ds~ et sur une sur- 
face S' du second ds^, correspondant à la même région, les ré- 
seaux coordonnés ont la même longueur, se composent de mailles 
de même aire, mais l'angle de deux lignes coordonnées, étant V 
sur S, est 71 — V sur S'. Si l'on passe d'un système (?/, ^), non ortho- 
gonal bien entendu, à un autre (U, V) les surfaces S ne changent 



jj8 PIUÎMIEIUÎ PAUTIR. 

pas, mais les surfaces S' corresjKUKlaiilcs. a\'oç les varial)les (W \ ) 
sont totalement chauffées. 

10. Pour un dfi'^ de révolution ou de courbure totale constante, 
îa notion de r/.s- réduit cesse d'avoir son étendue; il est clair que la 
transformation iutrijiscfjue du ds^ correspondant à un glissement 
sur elle-même d'utic surface représentative ne peut disparaître. 
Tout au plus, pour des surfaces qui ont un plan de symétrie équa- 
torial, par exemple, peut-on faire disparaître toute transformation 
intrinsèque autre (jue celle relative au (ilissemciil conliim. Mais 
tout ce cjui a été dit précédemment ne disparaît pas totalemenl. 

Sup]H)sons. par exemple, que l'ellipsoïde E devienne de révolu- 
tion : si l'on suppose « ^ /> > c, ce ([ui correspond à l'ellipsoïde 
aplati, D et D deviennent parallèles, il n'y a [)lus que les régions 1 
et !2 qui restent; il y a deux types seulement de surfaces réelles. 
Les régions i, o, 6 subsistent, mais 4 et o étant équivalentes, on 
ne trouve encore à la limite que deux types pour l'ellipsoïde ima- 
ginaire E'. Si l'ïîn suppose a ^ b = c, ce qui correspond à l'ellii- 
soïde allongé, D" devient parallèle à l'axe des Y, les régions 1, % )i 
restent, mais on voit immédiatement que 2 et 3 sont é(|uivalentes : 
en eiïet à la région !2 correspondent des points m (;„, y,o, /*o) de E, 

ioi 'f,o, ^0 étant réelles. Si l'on fait tourner E de - autour de O.r. 

ce point m est remplacé par le point m'(ç„, — ("Ça, r,,,) correspon- 
dant à la région 3; or, toute surface réelle Eg pourra être aussi con- 
sidérée comme surface Eg si l'on associe le point réel M de Eg à m' 
au lieu de m. De même ici pour E', il reste deux régions, à savoir 5 
et les deux régions 4, G devenues équivalentes. Ceci suffit pour 
apprécier l'intérêt de la méthode même dans le cas réservé où cette 
notion de ds^ réduit manque de précision. 

On vérifie aisément cjue les hyperboloïdes et paraboloïdes qui 
ne sont pas de révolution définissent aussi trois types; deux seule- 
ment s'ils sont de révolution ou s'il s'agit du paraboloïde hyper- 
bolitjue écjuilatère. 

Il y a lieux autres c[uadriques remarc{uables que l'on sait dé- 
former complètement : ce sont les deux paraboloïdes imaginaires 
ayant pour éc[uation 

y(y^iz) = x ou (y-\-i:.)x=y — îz: 



M KL ANGES. '^^ 

i, existe un,, iuliailô dr suHan-s .vMl.s avant n.A.m- d.s^^ que l'un ou 
l'autre; le luenuev deUni, .leux ,é,ic.ns. le seeond une seule 1 ouïe 

surfaee,aH>lieal>lesu.lu ' l'-'^'- -l^^" %f '^/-' 7^'^^^^^^^^^ 

,.„e lione a-anèt. soil une auto-a,>plicat,on. 11 u ex.sle aueune 
surfaee aljirl.rniue réelle applicable sur le prenuer ( ). 

U Je donne un antre exemple intéressant eorrespondant au 
..as où il u-v a M.Mnu- région, ne comcidant pas bien entendu avec 
l'ensemble du plan, et nous eonstaterons qu'il ex.ste des surfaces 
..éelles représentant deux fractions séparées de cette re^ns^ 
..orrespondant par suite point réel pour pouU nna,nKure. Il s agit 
des deux burtaees de translation : 



( lO 









i ccy^ ;;.(/î -1-3 /»/',)-+- ^ ^ f, -t-^/< i m m 
\ 1 r I •:'. 7» 3 m 1 



„ et m, sont deux .onsUmlcs réelle, données; ,. est une cons- 
tante, réelle „>, Imagn.al.e pure; „on. ehaqne ^'^ ^f"^ 
„„ a une surtaee réelle S, se délormant dune laçon continue, 
coïncidant avec S pour ;..= ., appl.caMe physiquement sur une 
ction de S pour L autres valeurs réelles de a. Pour , .n,a^,,najr 
pure S, reste toujours applicable sur S et reste réelle, mars les 
:;. réels de S, s'oLtenant, cette lois, pour des valeurs tmag. 
„.es pures de , et <„ correspondent aux Po»'--^™-;-/^^^^ 
(„ et .réelles, .r imaginaire pure). Le roulement de S sui b, ou 
fe s' sur S définit dans le cas actuel, comme nous le verrons plus 
;l,'.<,à«n,c-,«at,. svstèmes cycliques réels, tous algébriques, 
ainsi que les systèmes triples orthogonaux correspondants. 

(., M.ThM«ulaé.udié le p,e„Ar„aral>oloïde au. A,.„ate rfe VEcole (,900) , 
Weingarten a étudié le second. 



?rj„ PIlliMIEUE l'AllTIlî. 

Le (h'^ commun de S et Sj est 
( I > ) fh"^ = 9 /2 ( , 4- 5 ,n<2 )2 (U^ + 9 ^ j ( I -4- 1 //i , / j |2 dt \ 

Le f/i^ réduit s'obtiendra en écrivant 
(iV) T = /S T,= ^. 

Si l'on remanjuf cpie l'on a 

r^=T, /i = TT^ //,= TT,, 

, it dt = dT, Kl dti = Tf ,n -f- 2TT, ./T,, 

ds-= \}l(i-^ 5nllt^^ )ti dti-^ tti(i -^ jmt^jt dl]^ 
-f-9(n- 5nit-y-t'-dl'^(i — /Vf ), 

le calcul de transformation se fait à vue et donne \ine unique con- 
dition pour que le ds^ réduit soit positif : 

On trouve dans le plan to Tl\ une région unique limitée par deux 
hyperboles équilatères conjuguées, comprenant leur centre com- 
mun. Nous avons, dans cette région unique, une infinité de surfaces 
algébriques ne se recouvrant physiquement sur aucune étendue 
(u réel et ^ imaginaire pure) (^). Ce ds^ réduit est de la forme 

( i5) ds^- = A dT-i -^ -i B dVdTi -^ C dT], 

où A, B, C sont des polynômes entiers en T et T^; toute surface 
réelle représentative admet ou des auto-applications ou une ligne 
d'arrêt ; il serait intéressant de voir s'il existe une surface réelle 
représentant complètement la région unique. 

12. Plusieurs conséquences importantes découlent de cette 
étude : 

a. Une surface qui na ni ligne d'arrêt, ni auto-application, donne 
une représentation parfaite de son ds^. — Si une telle surface S est 
connue, il faudra peut-être la considérer comme formée de plusieurs 
feuillets superposéS; pour qu'une autre surface réelle Sj de même ds^ 
puisse être complètement étalée sur S. En prenant la surface mi- 
nima correspondant, avec les notations de Weierstrass, à la fonc- 

'i Deux surfaces correspondant à ;jl réel se recouvrent partiellement; 
de nitme deux surfaces correspondant à ;ji imaginaire pure. 



MKLANGIÎS. 'fil 

lion § (u) = 3 ;■ + 12 mu, on a une surface mlnima ne coïncidant 
avec aucune de ses associées, si m est réel, et par suite n'ayant 
îiucune avito-application. Cette surface S n'a qu'une nappe réelle; 
si donc une surface S^, applicable sur S, a plusieurs nappes, chacune 
est individuellement applicable physiquement sur S; il n'existe 
pas de surface ï à plusieurs nappes telles que S puisse recouvrir 
une nappe de ï et non les autres. Ici la surface S est à courbures 
opposées et nous constatons que toute surface minima associée 
à S est équivalente à S comme représentation du ch^. Le «^5^ d'une 
surface étudiée dans cette rubrique a est nécessairement réduit, 
si la surface est rapportée à une représentation propre; ce sont 
précisément les représentations impropres qui conduiraient aux 
surfaces réelles ne la recouvrant qu'en partie. 

b. Une nappe unique de surface, qui na pas de ligne d'arrêt 
asymptotique singulière, qui na pas de ligne de rebroussement 
asymptotique singulière avec auto-application conser<^ant chaque 
point de cette ligne donne encore une représentation parfaite de 
son ds^, du moins pour une région éi'entuelle de son ds^. 

Ainsi le paraboloïde de révolution ^i' (formé d'un nombre de 
feuillets arbitrairement grand) oiïfe logement à la totalité de toute 
nappe réelle applicable physiquement sur lui; pourtant il existe 
des surfaces constituées de deux nappes, exactement, dont l'une 
ne peut se loger sur ^; une telle surface peut être considérée comme 
représentant mieux le ^6^ si l'on envisage l'ensemble des deux 
régions correspondant à CE", mais si l'on se borne à la région propre 
à $, c'est ($ qui donne la meilleure représentation, d'ailleurs totale. 

Sans aucune recherche analytique, par un simple regard, on 
pourra donc décider qu'un grand nombre de surfaces simples 
donnent (au moins pour une région) une représentation physique 
parfaite du ds- : par exemple quadriques, tore, surfaces de révo- 
lution dont la méridienne n'a pas de point d'arrêt ou n'admet 
aucune tangente de rebroussement perpendiculaire à l'axe de 
rotation et axe de symétrie de cette méridienne, etc. 

c. Il y a, au cours crime déformation au sens de Guuss, des singu- 
larités permanentes ou accidentelles : 

Une hgne d'arrêt non asymptotique singulière, une ligne de 
rebroussement ne possédant pas les deux caractères simultanés 



i6>. PRIîMIKUIi PARTIE. 

si sdiuent riKincés. sonl des sintçularités permanentes; j'entends 
[)ar là que V étant une telle litrne supposée réelle, tout arc de l' 
resté réel el déformé en un arc Pj conserve la propriété. 

Au contiaire. on ixiil. par déformation. [)rolonffer en ijénéral 
une surface au delà d une li<xne d'arrêt asymptotique sino;ulière 
ou au delà d'une li^ne de rebroussement (|ui a les deux caractères 
rappelés : on forme le ds^ réduit et si la liorne en question ne cor" 
respond pas à une frontière de réjïion du ds- réduit, nous savons, 
d'après le paragraphe 7. prolonger la représentation du ds^ avec 
des surfaces réelles en nombre infini. Ceci serait en défaut si la 
lione correspondait à une frontière. Les singularités de cette espèce, 
sauf celte dernière réserve, sont donc en crénéral accidentelles. 

Les sintiularités permanentes seront mises en évidence automa- 
ti(piement jiar la formatiiui du d.s- réduit et figurent parmi les 
frontières de région. ( )n a des exemples simples en prenant la 

courbe plane z= , et la faisant tourner autour de l'axe 

log(.r-i) 

des ::; le parallèle obtenu pour z ^= o et \ x"^ -\- t/^ = i est une ligne 
d'arrêt, géodésique. Si l'on veut éviter vme surface de révolution, 
il sullit de })rendre une surface de translation dont l'un des réseaux 
générateurs est engendré par cette courbe. Le même procédé 
réussit avec la courbe 

a: — I 



qui donne une ligne anguleuse pour .r = i. c = o. 

d. Une question délicate serait de déterminer ce c]ui correspond 
à une courbe frontière de région dun ds- donné. Pour l'ellipsoïde 
nous avons obtenu les ellipses principales : chacune d'elles a tous 
ses points invariants dans une certaine auto-application de la sur- 
face. Dans dautres cas, on peut avoir une singularité plus com- 
pliquée, ligne d'arrêt, ou bien ligne atteinte asymptotiquement, 
comme pour la surface (6) qui recouvre l'ellipsoïde. Toute courbe 
tracée sur une surface auto-applicable, dont chaque point reste 
invariant dans une auto-application, conserve nécessairement cette 
]>ropriété dans une déformation quelconque, à moins de devenir 
ligne d'arrêt (atteinte asymptotiquement ou non): de telles 
courbes concourent nécessairement comme frontières des régions. 



MKLANGIÎS. i63 

Il résulta aussi tic là ((uc si iiiic iroimi s!liit''c loiil ctilicre à dis- 
tiuu'c finie esl liimléc par un coiildiir Luiisliluû de m courbes, 
loute suifaee sans li<iric d'aiirl rt*|)i(''S(iiLati\'e de la région com- 
plète, s'il en existe Umlefois, aura iiécessaiitiiutil ses points 
associés pac oroiipcs de points en nondtie h[>"\ où // et p sont deux 
entiers, se (■orrespf)ndaiil dans des aulo-ap|»licat ions de la surface. 
Ce qin inécèdc peiil snl)ii' de légères niodi fical ions dans le cas 
des ds- de i'é\oliilion ou à roiirhure lotale, puisque le ds^ réduit 
cesse alors d'être bien délini. Par exemple, loul méridien d'une 
surface de ré^'ollltion se conserve dans une auto-application déter- 
minée de la sutlace, sans pour cela inteivcnir comme frontière 
de région. 

ciivpiTRi: n. 

1. Je crois utile de vérifier les résultais, obtenus jus(iu'ici. par de 
nombreux exem])les concrets, que nous fourniront les surfaces 
classique^. 

Prenons jiar exemple les surfaces signalées par Sophus Lie, 
cas particuliers de celles <{ui admettent une infinité de généra- 
tions comme surfaces de translation. Les trois surfaces 

g.r_4_ gy — gc _ I ^ 

e-^ — ey — e- =: I 

sont manifestement égales, donc applicables : la translation (o, o, i-) 
ou (o, i T.. i tC) transforme la première dans la seconde ou troi- 
sième : tout point réel de chacune a son homologue imaginaire 
sur chacune des deux autres. En posant e«'= X, e-'"= sY, e"= s' Z 
où t et ; désignent ±: i, on peut condenser les trois équations en 
l'unique é([uation X -f- Y -7- Z = i et l'on a 

d\'- f/Y2 f/Z2 

Pour avoir le ds~ réduit, il suffit manifestement d'introduire les 
fonction? symétriques de X, Y, Z; nous supposerons ([ue X, Y, Z 
soient racines de 

(Si S3— S2-4- «S — c = o. 



iGI 



PREMIÈRE PARTIE 



On en ('«mcliil 



^ - — - 



( j S" — 7.S -h II ) f/S = c/i- — S riii , 

«r — X t/ii fh- — \ du 



eu posant 



\ ~ XC5.V— 2X-f- // I ~ X(X - Y)(X — Z) 
ils"- = E du"- -f- ■). F «^/m ds -r- G rfi', 
1( Y - Z )î 



ZYZiY — Zvi „ SY^Z^iY-Zi* 
1' = ^tttttt: > ^ = 



XV Zl' 



xn'^z^i' 



P = ( Y — z )2 ( z — X 1^ -\ - - V /-. 

On vérifie aisément 



(5; 



\ 



EG — F2 = 



X2^ Y^^Z^ 



xn-'Z-'p 

1X2= , _ 2„, v(Y — Z;2= -iis. — 3«j, 

— P 



Les iné"alités E > o, EG — F^ > o reviennent donc à 



<<3) 



( (3» — Il| i(3?/ — I)3-H(9M — -iJP'— 2J2J >o, 

/ (.i« — 11(3?/ — i) > o. 



La courbe P = o se construit aisément en posant i — 3 z< = ^^ et 
gu — 9-7 (^ — -2 — :^. /^; elle est tanoente à l'axe wu (/îg. 5) à 



Fi2. 5. 




l'origine et admet un point de rebroussement " = ô' ^' — — ' Avec 

l'axe co it et les deux droites i u — i == o, 3 zt — i = o on obtient 
cinq régions (1, % 3, 4, o) donnant cinq types de surfaces; la 



MÉLANGES. iTô 

n'-j^ioii 1 osL la pclile rooion comprise entre l'axe co u cl les deux 
ari^s (le courbe ({ui sont issus du point de rebroussenient ; les ré- 
«.'ions 1, î2, 3 sont représentées tolaUnnent par les trois surfaces (i) 
dans le même ordre; [)Our cluu[ue point de la région i on trouve 
une racine positive et deux racines imaginaires conjuguées pour 
l'é((uation (3); on eu conclut ((u'avec le changement de cooidon- 
nées 

</) y — — p — » - — — 7= — ' 

la première é([uation (i) prend la forme équivalente 

Vl 

(H; e-ï'-i- 2 ev^ch — ^ = I, 

c! que pour tout [)oin( réel d'une surface réelle représentative de 
la région ( j), on obtieut sur la première surface (i) nu [)oinl ima- 
ginaire (.r, (/j réelles et z^ imaginaire pure), d'où système cyclique 
réel, i^emarque analogue pour la région 5 et la seconde équa- 
tion (i). 

2. La déformation des quadriques offre un intérêt géomé- 
trique considérable : il me sulbra de rappeler les travaux de 
Darboux, de M. Guicbard en France et de M. Blanchi. Au 
Chapitre I, [ § 9, formule (6)]. j'ai emprunté à Peterson une 
surface recouvrant physiquement l'ellipsoïde réel; Peterson 
montre ([u'avec de légeis changements on obtient des surfaces 
réelles dont les points réels s'obtiennent avec des valeurs imagi- 
naires pures de p ou p -- ^ et de q ou q — -; on a ainsi des sur- 
faces réelles correspondant aux régions 2 et 3 de l'ellipsoïde; je 
renv<»ie au Mémoire de Peterson. Ces surfaces ne renferment pas 
de paramètre; il est facile avec la méthode même de Peterson 
d'obtenir des surfaces contenant un paramètre arbitraire. Je 
T'cjjrends la méthode telle que Darboux l'expose (Tome I, seconde 
édition, de la Théorie des surfaces, page 182). Soit l'ellipsoïde E 
leprcsenté par les écpiations paramétriques 

(()) X = l coè II cosf, y = m cosn sii\i', z = ns\nn. 

avec l'hypothèse /i >> /?^ >> / >• o. 



i66 PHEMIIU\E PARTIE. 

Nous (léfiiiisisons une siir(';ice .x\, ij^, :;, ;i|)|ili(;ilile sur E par les 

formules 

( .r, = p cos // cos 0, _)-| •= _c eus// sinO, 



(.0) 



i =1^ j \ n' co 



// si 11- 1/ t/i/ , 



h étant une couslanli' (|ii('l((iii(| ne cl oc! claiil deux fuiiclions de 
la seule variable \' définies pai' 

/ _o" = /- COS- |- -i- «?- Mil- 1- -i- //, 

Ml) ) / d^\- /<•/'- sin-i- -+-/»- cos^c ) -4- /-/«^ 



' \<Yi/ ' A — /- cos'i- -i- m* siir'îf j2 

Pour h = o, on relrou^■e puremeni cl simplement l'ellipsoïde E; 
h variant d'une façon continue de o à — /-, on trouve une surface 
réelle recouvrant tout l'ellipsoïde; pour èlrc tout à fait exacts, 
remarqiu)ns (pie le-; sections horizonlaies de E restent les sections 
horizontales de la nouvelle surface et que les sections de E par 
des plans j>ivotant autoui- de 0:: rostcnf |tlaiies, dans des plans 

contenant Oc; iiour avoir rellinsoïdc. on fera varier u de- — — 
à + -> auquel cas z^ varie entre deux limites — H et + H, et i> 

de o à a -, auquel cas H varie de o )iis(nrà nue certaine valeur y.; 
le morceau E^ de surface ainsi obtenu esl compris entre deux plans 
méridiens formant un anole a et l'on obtient toute la surface 
analyticpie en le faisant tourner de l'angle a, 9. a, 3 a, .'. . autour 
de Os et le faisant glisser de la quantité i IT, ^H, 6H, ... dans 
l'un ou l'autre sens de lonp; de Oz. Si l'on Jiéglige ce glissement, 
et si l'on suppose y. commensurable avec —, on oi)tient une surface 
fermée, couAexe, avec deux points coni([ues sur l'axe des 3 à la 
cote H ou — H, totalement applicable sur E : la présence des deux 
points coniques explique qu'il n'y a pas contradiction avec les 
résultats de M. Weyl. L i on a 

/ v/iil-s'in-i-r-m-cos-i)-^/'//!- , 

(i"2) '^- = •-'- / -, n ^ ^r—^, «'' 

J /i ^ /- cos- r — /H- siii- r 



'.l 



\//- rn'^ ( 1 -i- X'^ ) -h // 1 (-^ \2 - ^ /»2 



) dS. : 



h -h /24- (h -+- m^)\2 1 /i .— \2 
on voitaussitot (pie y. est égal à i ~ pour h = o cl qu'il est infini- 



MELANGES. 167 

nient ^l'anil |n)ur // inliiiinicnl Noisin de /-; il y aui'a donc une 
inlinité de valeuis de h conipilses enlre o et — /"- donnant nne sur- 
face fermée à points eoni(jnes. Pour la \aleur A = ^ — /^, on trouve, 
aux dillerences de notation près, la surface déjà indiquée s'eniou- 
lant asyniptotiquement autour de l'un des axes. On voit qu'avec 
la varialde X = lan<i; v, s'exprime par une uitéorale indélinie 
[deuxième formule (i:-".)] du type ellipli(pie; admet deux périodes 
cycli(iues, l'une imaginaire, l'autre a léelle et deux périodes loga- 
rithmiques précisément égales à -•. il lésulle de là que les surfaces 
obtenues sont toujours transcendantes. 

Les résultats obtenus par la considération des régions vont nous 
guider pour trouver sans effort quel champ doivent décrire u ei v, 
avec un choix convenable de /*, })our trouver une surface réelle 1% 
ou E3 [voir Chap. I, § 9). Pour un point réel de E2, on doit avoir 
sur E la coordonnée x relative au petit axe imaginaire j)ure, */ et z 
étant réelles, d'où sin u réel, tang ç imaginaire pure ainsi <|ue 

sin V et cos u. On devra donc iioser 11 ^ - — lu' . 9 = w où u' 

et ^' sont réelles, et pour que le point de la siuface E2 soit réel il 
faut alors que ô soit réel et imaginaire pure : on posera donc 
■= — ? Gj et j'aurai avec ces changements dans les formules (10) 
et (11), en écrivant aussi /i = — h' , 



I Xo = C.2 si' »' cos6, j'î = oj slw/' sin 0, 

I z.2= I \/(n^-- fi')^\\'^ii' — /i' du' ; 



(i3j 



(l'O 1 „ \/li'(ni^- — P-)c\v-v'-\-l-{li'—ni^) ,, 
en) = ac . 



En prenant réel pour ^>' réel, j'ai une surface réelle sous la 
seule condition n^ > h' >• o, et alors il faudra se borner un champ 



,,,//«' , , / /m- — h' 

y n- — h J h' V "' — * 



sans reslric- 



si l'on a o < h' < /^, et au champ situ' > 4 / — \ — s 

^ y a^ — li 

tion pour «-' si /^ < h' < n^. Pour les valeurs h' = /^ ou h' = in'^, 

les intégrations se simjjlifient. On a ainsi une surface réelle Eg 



108 PREMIERE PARTIE. 

qui se défoiine piooiessivemeiil quand /*' varie de o à n^ et dont 
on vérifie aisément (iiTelle est bien analyticjuement distincte de 
la surface E^ définie par (lo) et (ii), mais elle ne diffère de Ei 
que par une certaine rotation imaginaire pure autour de Oz (^). 
Le roulement de E sur Eg définit des systèmes cycliques réels. 
La même méthode appliquée à la recherche des surfaces réelles Eg 
montre qu'avec l'exemple traité ici il faudra i)Oser 

Il =■ in" . r = - — n", = — f f 3, 

u" , i'", p3 étant réels et l'on aura 

1 J"3 = P3 Sll »" COSO, J':j,=: Ç.3 Sll //" sinO, 

(i5) r , . , „ 

f ^3—1 V ('*" — h' ) ili- II" — h lin \ 

i p j := /(' — /n^ — (,,j-2 — /2) sb-i ", 

(•6) • s/l'-ili'^ ni^) — /l'on'-— /■i)sU-iv" , „ 
I fiH = :; '■ ai' . 

et l'on prendra -3 et h réels pour u" et (^" réels. Il est nécessaire ici 
que II' soit compris entre m^ et n- et l'on se réduira au champ 

/i' — Il II m- — t* 

la surface E3 définit des systèmes cycliques réels. Dans le cas où /*' 
est compris entre m- el n~, il existe simultanément des surfaces Eg 
et E3 réelles correspondant à une même valeur de h' : Eg et E3 
peuvent se ramener Tune à l'autre par une rotation imaginaire 
pure autour de Oz. 

La méthode appliquée par Peterson aux quadriques s'applique 
encore en prenant les sections planes parallèles aux deux autres 
sections principales; on trouverait ainsi d'autres surfaces des 
types Ej, Eg. E3. On traiterait de même les hyperboloïdes ou para- 

(*) Il i'aul entendre par là que si l'on a G < /«' < l-, de façon qu'il existe à 
la l'ois des surfaces Ei et E^ réelles, une surface Ei donnée comprend une seule 
nappe réelle et des nappes imaginaires; si cette surface Ei subit une rotation 
imaginaire pure égale à la période imaginaire pure de l'intégrale elliptique 
considérée plus haut, la nappe réelle de Ej disparaît et une nappe réelle appa- 
raît : cette nappe est la surface Eo. 



MKLANGES. i'-9 

lioloules. \(»vis remarquerons en passant (|ue, pour l'ellipsoïde, 
nous n'aM)ns pas trouvé de sui l'ace rcpi'ésenlal ive coini)lètenient 
de la réo;ion i2 ou 3. 

3. Dans les deux exemples qui précèdent, surfaces de translation 
de Sophus Lie ou quadriques, nous avons rencontré des surfaces qui, 
en coordonnées cartésiennes ou en coordonnées semi-polaires, ont 
deux coordonnées éf^ales, les troisièmes ne diiïérant que par une 
constante imaginaire pure, introduite par inté*>ration. De la sorte 
mie translation ou rotation imatiinaire imprimée à l'une des sur- 
faces l'applique sur la seconde, en éteignant une napp.e réelle et 
faisant surgir une nappe imaginaire. 

Supposons donc /•, s fonctions analytiques de deux paramètres 
réels u, <.> définies pour un certain champ de u et le champ ( — x>, 
+ co) pour if. Appelo^ls V le polynôme 

( i5) V(i-) = ((• — rti) (f — «2) . . .((• — rt../M 1) < »^ — «2/J-1-2), 

où «1, ^2, . . ., «2/>+2 sont des constantes réelles rangées par ordre 
croissant. Posons 

(iG) = j' ^\{v)diK 

pour que H soit réel, il faut et suffit que l'intervalle d'intégration 
soit tovit entier compris dans l'un des intervalles 



[7 .le définis donc ;j + 2 surfaces réelles, distinctes, S,,, S^, . . . , Sy,^, 
en posant 

So. = I /V(r)(/r, 

(i;.) { 

S/ («■ = 1, 2, ...,/? + i;, *^ = / v/V(c) <r/c. 

Ces surfaces sont non seulement applicables, mais égales; cette 
dernière propriété est un accident : il suffit de déformer chacvine. 
Je vais mettre ceci à contribution pour obtenir une surface 
réelle S représentant complètement (ou même simplement par- 
tiellement) la région du ds" réduit qui lui correpond et suscep- 

Bull. des Sciences matitcni., 2' série, t. \LV. (hiiii 1921) ti 



ijo PREMIÈRE PARTIE. 

lible dTlre recouverte sur p -\- a fractions étrantrères les unes 
aux autres par les /? + a surfaces respectives S„, Sj, ..., '^p+i 
analogues à celles de ce paragraphe; p est un entier fixe, qui 
pourra, en changeant S, être arbitrairement grand. 

4. J'emploie toujours la méthode de l'eleison (l)AiiBOt'X, 
loc. cit.. p. 182). Soient U, Ui, Ug des fonctions de u\ r, H, o des 
fonctions de c Je pose 

l S X = U/"cosç, ^ = U/'sino, z r= j L 1 ^/L , 

(«8) I ' " ' 

En donnant les fonctions r, o, U, Uj arbitrairement et calculant g, 
0, L 2 pav les formules 

i U| = Uj — h-, &-= /•--!- //-, 

oîi h est une constante numérique, on reconnaît aisément que S 
et S ont le même ds'^ 

( oo ) ds"^ = ( ri -H U n 'l^ - -1- u ^ ( /-'^ -h /-^ ç'2)dr^-^ ■?. U /•/•' rfU ^/c. 

Je prends pour /• un polynôme entier en i> et je calcule '^ par 
(oi) ç= K j\/\{v)ch-, 

OÙ K est une constante numérique et V le polynôme plus haut, 
formule (i5) ; de la sorte je définis en réalité non pas ime seule sur- 
face S, mais p -^ 1 surfaces S^, S^. . . . , S^+i comme il a été expliqué 
au paragraphe précédent. Je vais m'arranger, par un choix con- 
venable de la constante K et du polynôme P [v], pour que H soit 
réel pour toutes les valeurs réelles de i> depuis — ce jusqu'à -|- ce ; 
si cela a lieu, il est clair que les valeurs de v comprises entre — ce 
et % déterminent sur S une portion ^o suceptible d'être recouverte 
(en double) par S^, les valeurs de v comprises entre a^i et «iZ+i 
une portion t, recouverte en double par S/, etc. Les portions 7^, 
s-j, . . ., 7^^, sont complètement séparées sur la surface -. 



MELANGES. 

Clioiclidiis donc à rorulre rcx|)r{'ssi(>n 



positive ci non nulle j)()ui' loiilcs les \iilcurs réelh's de *'; poiii' celles 
((iii rcndeitl 'O - positive, l:i condition est aut(»mat i(pienienL vé- 
riliée. Il sidlil tl étudier le po!\ iioiiie 

!•*( c) 



/t^ 



dans ciiacun des intervalles 

Choisissons P de façon (pie P (r) n'ait aucun zéro dans ces 
intervalles, ce ([ui est évidemment |)0ssible d'une infinité de 
façons; dans l'intervalle a^a^. l^"(»') aura donc une limite infé- 
rieure L positive non nulle 



(-■\) 






L'expression \ P- [<,') -f- — est positive dans cet inter- 
valle, soit M sa limite supérieure, d'où 

(•25) \ [^l'^'(c; + I^'j^-M. 

Si donc on choisit K de sorte (jue K' < -r^ ? l'inégalité 
(26) l''-^( .j - K-^ V \v'-{v) -- i^^ ] = '^ - ^' ^'' 

conséquence de (aj) et (aS), montre que l'expression (aS) est posi- 
tive dans tout l'intervalle a^a-i', m^ calcul analogue fait pour 
chacun des intervalles a^z+i «2/+2 donne pour K une certaine limite 
supérieure; conservons pour K la plus petite, notre but sera com- 
plètement atteint . 

o. .Je donne un exemple numérique en prenant 



('2-1 



U = 3^/2, 



/■ = f + I, 



II 
V = r-^ - I . 



U2= '/ > 

h = ■>.. 



172 PREMIÈRE PARTIE. 

En posant p = -: ? on trouve aisément pour 'i l'une ou 

^ sinw ' 

l'autre des deux expressions analytiques suivantes selon qu'il 

s'agit de Sy ( — tz <. w < o) ou de Sj (o < <v < + ti) : 



(3.8) 



K r, (V cosiv 1 

Si ç == I> laiig — -4- . „ 



et à condition de renq)lacer o par l'une ou l'autre des expres- 
sions (28), je peux condenser les é(iuations de S„ et Sj en écrivant 

[ 3" = 3 W-(t.' -f- l) COS'y, 

(29) 1 _;' = 3 ?/•-((• + 1; sincç (SoOuS,), 

On a pour i^ 

^ a^i = j «2 y/(t; _|_ I j-.; _ j 00s 0, 

(30) < j', = 3u-^ v/(i' -H ij-i-H 4 sinO, 
, = -2 ?/ 3 — G // , 



avec 



(.31) 



I -1- K2(i'2_ 1 






r/0 _ 

r/c ~ ( (■ -t- 1 )2 H- .} 



Pour que la valeur de -p soit réelle mrme iiour — i < c^ < + i, 

il suffit manifestement, puisque i — v'- est alors compris entre o 
et I, que 

et comme le maximum du premier membre est, dans l'inter- 
valle ( — I, + i) égal ù 8, il suffit de supposer K inférieur à — 7= • 
Le ds^ commun des trois surfaces S,,, S^, i] est 

( 3-2 ) ds'^ ^ 36 [ »2 ( f + 1 y- -t- ( « 2 _L_ , ,2 ] di,2 

-+- 9»' [1 + K2(f2— i) ((.' -H 1)2] (/a--^ oGu^(v ~- i) du di-. 

La surface I représente l'élément linéaire (34) pour toutes les 
valeurs réelles de u et <-, S,, ne le représente que pour i>^ — i et S^ 
que pour ç' ^ + I- On pourra remarquer d'ailleurs que si l'on con- 



MÉLANGIÎS. 173 

serve U = 3 ir, L'^ == u + - et si, au lieu de prendre Ji = 2, on 

prend pour h une valeur variable eroissanl à partir de zéro, on a 
pour h = Q d'al)ord Sq et S^ elles-mêmes, puis pour h sufllsamment 
petit deux surfaces Sp, S^, déformées continues de S„ et S^, recou- 
vrant deux portions isolées de la surface S relative à /i = 2 ; le 
choix de /< = 2 a été guidé par le désir de rendre Ug rationnel ; en 
réalité, pour que !î) représente complètement l'élément (Sa) pour u, 

et i' réels, il suffit, si l'on a pris K inférieur ou égal à — 7=' de cal- 

■i Y "2. 

culer le nombre It^ [kw la formule 

if) I 

et de prendre h supérieur à /j^ mais inférieur à 2. On a donc une 
infinité de surfaces représentatives de toute la région du c?5- (Sa) 
correspondant à u, <' réels. On obtient le ds^ réduit en prenant pour 
variables ii^ = u- et t^; on a ainsi 

(33) ./6-i= 9[^/i(r -hi)-^+(;/,-4-i)^] !- 

"1 

-f- 9 ;/ j r 1 cA'- — I S ;/ 1 ( p -i- I ) f/ii 1 di> , 

en posant 

La quantité i\ est toujours positive, car pour j^j < i, on a 

la forme quadrati([ue (33) sera donc définie positive si l'on a 

(34) Ui J [uii i' -+- ij'-t- {Ui -t- i)-Jci— iiiiv + 1)2 1 >'o. 

Dans l'accolade, nous avons le trinôme du second degré en a^ 

(35) i'i"l-i- f'i[ '''i-f- K-2(c2— i)(p-f-i)*] -f-fi 
dont le discriminant est 

(36) K2(r2 — i)(r -1-1)^1" 4-+- 4 !<-('•'— 0(^ -~ i^ -+- li'-(i>^ — i)(f4-l)*]; 

le dernier facteur est celui qui figure sous le radical dans la for- 
mule (3i), il est toujours positif; donc si [ i^I < i, le polynôme (35) 



174 



PllEMIEIlK PAHTIE. 



est toujours positif; si [ t> | > i ce polynôme (35) a deux racines 
négatives en u^; le ds^ (33) définit done trois régions 1, % li, la 
^^urface S représente complèlenieni le denn-j)lan (^j > o {fi^. 6). 




Beau 




Cette surface S n'est pas convexe : la section de S par un ])lan con- 
tenant 0:; est inie cul)i<[ue unicursale d'équation 



m II - , 



(Su 



dans son plan; on vérifie de plus aisément que, pour |uj < i, les 
deux rayons de courbure principaux sont de signe contraire, de 
même signe pour | !/ 1 >> i . 



6. Le paraboloïde de révolution <^, .i- + y^ = 2/>s, possède, en 
commun avec un petit nombre d'autres surfaces telles que les déve- 
loppées des surfaces minima ou les paraboloïdes imaginaires déjà 
cités, cette propriété qu'on sait le déformer complètement. 

Je rappelle rapidement quelques résultats (^). Je trace sur la 
spiière x^ + i/^ -f- -2 == j ^ne courbe analytique \^.^ lieu du point 
(c, c', c") et la courbe conjuguée ii!>i lieu du point (e^, c\, e\). En 
désignant par e soit + i, soit — i, je définis deux surfaces réelles S 



{^] Voir mon Mémoire sur le paraboloïde [Bulletin de la Société mathêma- 
{ique, 1 920-1 921). 



MELANGES. 

et S' |)fnir £ = -f- I el î =-- — I par les forimilcs 



(37) 



ip t' ft , 1 11 „ H> r :, , , / I 7 '-pi I 'I « . ^ 

-7- / c (le - c de — — / c, (le. — c, (le^ H — 7- ("^ c, c c,), 
-t J 4 J I 



fi' 



c/c' 



>'V/f 



¥/ 



Cl c/c'î - c'î c/t"i +— 7-((-'"C| — c 6-", ) 
1 

pi 



ip r , , J , tp r • , 1 ■ -p' / ' ' 

-^ / c rtc — r ar i- / C, ^/c'i — t'i de ^ h — 7- (c c, — c Cj ) 

I J 4 J 4 



Appelons 11 la foiutlon réelle, toujours supérieure ou égale à 
l'unité 

H := CCi + c' e\ -t- c" c\, 

calculons par deux dillerentielles totales les fonctions réelles (^et \\ 



di- = 



!(ll-i; 



(38) 



di'i = -7 



'P 



>(H + g 



c Cl dci — de 

c' c\ dc\ — de 

c" e\ dd\ — de" 

e Cl dcx -t- de 

c c\ dc\ -4- de 

e" c\ dc\ -T- de" 



l'application de <j.^ sur S ou S' se fait, en appelant r, 0, ; les coor- 
données semi-polaires d'un point de <j?, par les formules 



(39) 



œ sur S r= pi/^-L-l, 



y? sur S' r =i il 



V 



= -, 
P 



De là résulte bien que le paraboloïde définit deux types et deux 
seulement de surfaces : toute surface S peut être étalée sur ^P com- 
plètement, sans coupure ni couture; S' ne peut s'appliquer physi- 
({uement sur ^i?. Une surface prise au hasard dans l'ensemble des 
surfaces S, une au hasard dans l'ensemble S' ne peuvent se re- 
couvrir. 

Considérons maintenant deux surfaces S différentes : peuvent- 
elles se recouvrir physiquement ? Il suffit manifestement de les 
étaler toutes deux sur ^, puis laissant l'une fixe, de faire tourner 
l'autre à la surface de '^^ autour de l'axe : si un point M de S et un 
point M de l'autre surface S donnent même valeur à II et H, la 



t:/. PRKMIKKIi: PARTI i<:. 

valeur de /• sera la ineiiie et la rolaliou indiquée |ieiiiie!.lra d'ajjpli- 
([uer S sur S, M venant en M. Posons donc 

( 4 I) c = Y -T- i Y, , c' = y' — ' ï'i : ^" = t" -+- ' Ti • 

on en déduit deux valeurs de 11 utiles ])our la suite 

I ^ — Ti '■ Tr — Yf- 

Si la courbe sphérique »i!< est réelle ou est ima}i,iuaire avec quel(|ues 
points accidentellement réels, la quantité r est susceptible de 
s'annuler et ^ se trouve recouvert par S au voisinage de son som- 
met ; si la courbe lU) ne possède aucun point réel, la quantité 
Y^ "T" T f ~!~ T"i' ^ ^^^ certain minimum non nul et 'P n'a aucun point 
recouvert sur la calotte comprise entre son sommet et le paral- 
lèle /•„ correspondant au minimum de H. 

Donc, premier résultat : si l'on part de deux courbes n!' ayant 
chacune des points réels (en nombre fini ou infini) les deux sur- 
faces S et S se recouvrent physiquement sur une certaine étendue. 
Remarquons en passant cjue si S et S se recouvrent, les surfaces S' 
et S' associées se recouvrent elles aussi. 

Second cas : WU et iil> ne possèdent pas toutes deux des points 
réels; étudions pour chacune 

(Y^-Yî) + (Y'^-Yr)-<Y''^-Yr): 

définissons iil> en prenant au hasard deux fonctions analytiques 
c = f {t), c' ^ g {t); si lune des fonctions / ou g est définie pour 
toutes les valeurs du plan complexe t et est fonction soit uniforme, 
soit à nombre fini de déterminations et n'a cju'un nombre fini de 
points singuliers, nous savons c{ue son module peut prendre des 
valeurs arbitrairement grandes, donc y? est sûrement recouvert 
dans les régions très éloignées. Si la courbe iH» a été obtenue dans les 
mêmes conditions, on est certain que S et S se recouvrent au 
moins en partie dans leurs régions lointaines. Cela se réalise si ii!> 
et \\\) sont algébriques toutes deux, a fortiori si S et S sont toutes 
deux algébriques. - 



MftLANGRS. T77 

Donnons, à ce propos, l'exemple le [)his simple de snrfaee algé- 
britpie. dérivé de la cubique de L\on ou de la courbe sjjhérique \tl) 

i-hK'—f' , i(\ — K^-hf-) „ t 

K étant réel. Si K > i, p(uir / = rîz \/K"^ — i, le point de ii'.> est 
l'éeL la surface S recouvre une portion de <^ de l'orme assez com- 
plicpiée, mais s'étendant du sommet de «i? jusqu'aux points à 
Tinlini de y?; de la sorte, toute autre surface S applicable physicjue- 
ment sur T est suscejUible de recouvrir S. 

Si G < K "^ 1 . le muiimum de est ^^ — .,., > la surlace S cor- 

resj)ondante ne recouvre plus qu'une portion de 'X* située entre le 

parallèle de rayon p — r— et les points à Tin fini. Si donc on peut 

loger entièrement sur la calotte non recouverte une surface S, la 
surface S déduite de la cubique de Lyon (o < K < i) et la nou- 
velle surface S ne pourront se recouvrir sur aucune étendue. Nous 
sommes donc conduits à chercher deux fonctions /(O, slO? s^ns 
coupure, dont le module reste borné; nous supposerons, puisqu'il 
y a avantage à prendre le cas le plus simple possible, que les fonc- 
tions f (t), g {t) sont analytiques en t, ont une infinité de détermi- 
nations, et un nombre fini de points singuliers. 

Je signale un exemple simple que MM. Fatou et Montel m'ont 
indiqué : soit u{t) l'inverse de la fonction modulaire, c'est-à-dire 
la fonction qui exprime, à l'aide du module t, le rapport des périodes 
de l'intégrale elliptique. Le coefficient de i dans le nombre u{t) 
garde un signe constant, le signe + par exemple. Posons alors 

- u( f ) — i 

on a 

\c\U. 

D'autre part, it{i) admet les seuls points singuliers o, i,go; 
u {t) a une infinité de déterminations, s'échangeant entre elles par 
circulation de t autour de ces points singuliers, représentées par 
des points correspondants dans le pavage du demi-plan d'ordon- 
nées positives par des triangles d'arcs de cercle : il en résulte bien 
que f{t) a une infinité de déterminations et les seuls points singu- 



1-8 PREMIÈRE PARTIE. 

Liers o, i, xi , Si je prends poiirc' une fonction analof^iie, i)ar exemple 

f{t") ou j{ml), (»ù m est un nombre fixe, j'aurai aussi [ c' | ^ i ; 
or l'égalité c"^ = i — c^ - — c"^ donne 

t"- + T'r' = ' -^ ( t' -^ ï 1 ) + <' v'- ^ ïV ) 

d'après les propriétés bien ((junues sur le inodiilt; d'une somme; 

ici on aura donc 

Y"-+T?=3, h < 5, 

et la surface S obtenue pour un tel clujix est tout entière logée 
sur la calotte limitée au parallèle de rayon p\^i; en prenant 
o < K <^' 3 — 2^/2 ou, plus sini|)leiuenl , o-<Kl(>,i6, nous 
avons une infinité de surfaces algébriques S tirées de la courbe (43) 
(jui ne pourront recouvrir S sur aucune région. 

Je vais modifier légèrement l'exemple ])récédent : prenons 
l'expression 

n . 

m i) ~. i 

in 

< 43 ) ;; :- , 

ni t ) -h i 

où n et m sont deux nombres positifs, n < m; dans le plan de la 
variable u, le point u{t) étant toujours dans le demi-plan supérieur, 

le rapport de ses distances aux points — / et / est manifeste- 

ment compris entre i et — ; si donc je prends 

u{t)-^i mit ) -h i 

où A est une constante arbitraire, on a, i)ar le raisonnement précé- 
dent, 

1' '*^ = I c I ^ «1, 

< I7) . , /î||c'|l/;i, 

la surface correspondante S est tout entière comprise dans la cou 
renne comprise entre les parallèles de rayon />!/ — — — - et pm\G; 
cho^isissons maintenant deux autres nombres positifs n^ et wtj 



tels que 1/ ~ — < n^ < in^ 



MÉLANGES. 179 

La surface S^ obtenue par le même procédé, eu remplaçant m 
et n par //<j et n^, se loge sur une couronne située tout entière au- 
tlcssus de la i)récédente ; nous pcunons continuer et obtenir des 
surfaces S, S(, . . ., Sy, ... en nond)re illimité recouvrant des por- 
tions de 'JP sans aucun point commun; deux surfaces quelconcjues 
de cette suite ne peuvent se recouvrir sur aucune étendue. Les 
surfaces S', S',, .,., Sy, ... correspondantes représentent toutes 
des portions de la région % définie par le paraboloïcle, sans ])oint 
commun; elles ne se recouvrent pas non plus. Ces diverses surfaces 
ont- des formes complicjuées ; mais chaque surface Sy ou S^ est 
simplement connexe sans ligne d'arrêt; d'après la discussion faite 
dans les pages précédentes, ce sont les plus simples c[ui puissent 
être choisies pour réaliser cette disposition. 

Au paragraphe 4 nous avions obtenu une surface S, non de 
révolution, recouverte sur p + 2 régions séparées par p + 2 sur- 
faces So, Sj, . . ., S^^, : dans cet exemple, p était arbitrairement 
grand, mais déterminé. Ici, avec le paraboloïde, il n'y a pas de limi- 
tation au nombre des surfaces. Dans ces deux exemples, le ds^ 
a une forme particulièrement simple; ceci suffit pour nous con- 
vaincre de la complication de forme et de disposition respective 
que peuvent présenter deux surfaces représentatives même d'une 
seule région d'un ds^ réduit; la disposition mutuelle de deux sur- 
faces correspondant à deux régions distinctes est, en réalité, plus 
simple. 

7. Je donne maintenant un exemple simple de surfaces cons- 
tituées d'une nappe unic[ue avec un bord, ligne d'arrêt. 

Je considère les fonctions de t définies par deux séries de Fred- 
holm {woir par exemple Traité d'Analyse de M. Picard, tome II, 
p. 74) 

i c = A -+-'V «•■' i"\ 



I c'= B -f-V b" /"\ 



OÙ a et & sont deux constantes réelles comprises entre o et i, tandis- 
que A et B sont deux constantes (juelconques, réelles ou non. Si le 



i8o PREMIERE PARTIE. 

segment ( — i, + i) est tout entier extérieur au cercle de centre A 

et rayon ou au cercle de centre L> et ravon r' on est 

• I — a "I — b 

certain que- la courbe >iî) n'a aucun point réel; les fonctions c, c' 

admettent le cercle de centre et rayon unité comme coupure 

et l'on a 



I — a 

Mo) >, , ,., 



b\ 



L'égalité c"- = i — c^ — c'^ entraîne d'après les théorèmes sur 
le module d'une somme 

o = y"- -4- y",- = • -^ ( y- + t! ) + ( t'- h- y? )• 

Donc, en posant 



(5o) 



/ ^ V I « /- , ^ 1.1^ * '' 

( ' i — a\ I ' ' i — \ 

r ^ I » r fi 1^ \ , n , b j^ 

' I — a\ ' ' i~ b \ 



on a 

r5i) /£H<L. 

La surface réelle J-, applicable sur le paraboloïde ^J?, déduite 
de cet exemple, est une surface limitée, ayant un bord continu, 
correspondant aux valeurs de t de module unité et elle ne recouvre 
qu'une portion de zone de ^ comprise entre les deux parallèles 

de rayon pi/ et p i/ — ■_ Si K est pris suffisamment petit, 

elle ne recouvrira aucune portion de la surface algébrique S déter- 
minée au paragraphe précédent. 

Il est clair aussi que si A et B augmentent en module, on peut 
rendre / et L arbitrairement grands; donc on peut avec un nou- 
veau choix Aj, Bj, a^ et h^ définir une nouvelle surface ^i telle 
que L^/^; dans ces conditions, ^' et ^i ne se recouvriront pas 
non plus. On pourra, par ce procédé, réaliser à la surface de CE* une 
mosaïque discontinue dérivant de surfaces successives ^, i^, J^2; •■• 
obtenues par des séries de Fredholm convenables. 



MÉLANGES. i8i 

8. Cet exemple se prête encore à éluLider le point suivant : 
si deux surfaces analytiques réelles de même ds-, même prises 
dans leur totalité, ne peuvent se recouvrir |)hysiquement, il n'y a 
aucune raison pour que toujours un point réel ou imaginaire de 
l'une ait un correspondant sur l'autre. Il peut fort bien arriver qu'il 
n'y ait aucune correspondance à établir entre les points réels ou 
imaginaires des deux surfaces. Ici, pour une surface 5^, calculons 
la quantité H relative aux points réels ou imaginaires : autrement 
dit, A' étant la conjuguée de A, B' celle de B, posons 



(5-2) • l 

et faisons varier t et f^ indépendamment l'un de l'autre dans le 
cercle de convergence ; calculons H ^ cc^ + c c\ -p c" c[ ; si t 
et <i sont conjugués, H est réel; si t et t-^ sont quelconques, H prend 
des valeurs réelles ou imaginaires, limitées, donc l'aflixe de H balaie 
une aire limitée. Pour la surface .fj effectuons les mêmes opéra- 
tions, nous avons une quantité complexe H^ balayant une autre 
aire limitée et, comme plus haut, nous verrons que l'on peut 
s'arranger pour que ces deux aires n'aient aucune partie com- 
mune : donc, même en utilisant la partie imaginaire de ces deux 
surfaces, il n'y aura sur aucune de point homologue d'un point 
de l'autre. 

9. L'exemple des surfaces applicables sur une surface de réAO- 
lution prête aussi à une remarque particulière à ces surfaces. 

S et Sj étant deux surfaces réelles correspondant à un même ds'^ 
de révolution, il ne suflit pas de constater qu'un point M^ quel- 
conque de Sj peut toujours avoir un homologue réel sur l'autre sur- 
face, pour affirmer que S^ peut être étalée tout entière sur S. 

Supposons par exemple que S^ soit le paraboloïde x- —(/'-= 2 pz 
et S la surface déduite de la cubique de Lyon pour K > i. La 
surface S peut être étalée tout entière sur et recouvrir une por- 
tion de tous les parallèles de *i\ de sorte qu'en choisissant conve- 
nablement une application de S sur 9?, un point P donné du para- 



,8'.>. PUE MIE RE PARTIE. 

boloïde peul ôtrc recouvert par un point de S : mais S ne recouvre 
pas tout le paraboloïde, de sorte qu'inversement dans un mode 
déterminé d'application du paraboloïde et de la surface S, il y a 
des points du paraboloïde ((ui. dans ce mode, n'ont pas d'homo- 
lotiue réel. C'est pour cela que le ])araboloïde de révolution défi- 
nissant par son d,s'^ deux régions, au sens que j'ai spécifié plus 
haut, la surface S est susceptible de représenter un point quel- 
conque de la région correspondant à S et ^S, mais elle ne la repré- 
sente jamais tout entière, tandis que ^S la représente complète- 
naent. 

En cherchant à étaler ^ sur S, quand on rencontre la ligne de 
rebroussement de S, des morceaux de ^ restent sans trouver loge- 
ment; déccupons-les : la fraction ainsi obtenue de ^ peut de 
nouveau, dans un autre mode d'application de ^JH et S, être logée 
sur S : au bout d'un nombre limité d'opérations, toute fraction 
de <J? a trouvé logement ; nous voyons cette fois qu'il a fallu des 
coupures. De même si je prends deux surfaces S et S^ correspon- 
dant à K et Kj (Kj > K > i) toujours déduites de la cubique de 
Lyon, on ne pourra appliquer l'une d'elles sur l'autre, totalement, 
qu'à condition de faire des coupures dans l'une. C'est pour cela 
que '£ doit seul être considéré comme représentant totalement 
toute sa région ; même remarque pour une sphère. 



CHAPITRE m. 

SVSTÈ.MES CVCLlylES ET SYSTÈMES TRIPLES ORTirOGOXAl X. 

1. Dans les deux Chapitres qui précèdent, nous avons obtenu, 
par des méthodes fort simples, des résultats importants relatifs à 
la configuration géométrique des diverses surfaces représentatives 
d'un même ds^. 

Pourtant, quand il s'agit de deux surfaces réelles représentatives 
de deux fractions sans point commun, prises dans la même région 
ou dans deux régions distinctes du ds'^ réduit, on peut se demander 
quel intérêt présente F ensemble de ces deux surfaces S et S^. Nous 
allons voir, qu'au moins dans certains cas particuliers, deux sur- 
faces S et Si de cette espèce fournissent un système cyclique réel et 
le système triple orthogonal cjui lui est associé. Si l'on néglige com- 



MÉLANGES. i83 

])lèleinenl la disliiicliofi entre le réel et rima<iinaire, le problème 
(le ra|)|)li(atioii des surfaces, la rechèrc^he des systèmes cycliques, 
le f>r()l)lènu' de la reiuéscn l;i I imi s|ili('Mi(|U(' ne constituent en 
réalité ((u'un seul et niénte [>i()l)lème considéré à un triple point 
de vue. Je renvoie le Iccleur à la Théorie des surfaces, de Darboux, 
tomes Uel l\ : je siorialc en p;wl iculicr le j)ai-ao'raphe 939, tome IV, 
|)ao;e 126, où Darboux donne la construction du système cyclique 
dérivé de deux surfaces applicables H et B^. Introduisant ensuite 
la distinction entre le réel et l'imaginaire, on obtient ce réS'uLtat 
curieux (|iie deux smiaces réelles, applicables point réel sur point 
réel, donnent un système cyclicpie complètement imaginaire; mais 
que, si un |)oint réel m (.Tj, .Tg, ^T3)el un point imaginaire m-^^{ix,,,a::„Xe) 
engendrent une nappe réelle de surface S et une nappe imaginaire S-i 
de surfaces ap})licables, la correspondance ayant lieu entre le 
])oint réel //( et le point imaginaire tn^, le roulement de Sj sur S 
engendre un système cyclique réel; réciproquement, tout système 
cyclique réel s'obtient par ce procédé. Ce point est établi par 
Darboux, paragraphe 069, tome IV, page 16 1 : de la sorte, si la 
détermination de certains systèmes cycliques a pu être efl'ective- 
ment obtenue par une méthode directe, on peut espérer obtenir 
des exem}»les intéressants par la méthode indirecte consistant à 
réaliser certains couples de surfaces applicables. Les propriétés 
géométriques sont nombreuses, il s'agit de les classer. 

î2. On a rapporté S à un système d'axes rectangulaires Oxyz 
réels ;'Si est rapportée à un système d'axes Oj x^ y^ z^ réels aussi, 
coïncidant ou non avec les premiers; x^^, x.2, x^, .rj, x,,, Xc, sont donc 
six fonctions réelles de deux arguments réels 11, i' pour un certain 
champ réel (u, v) et l'on a l'identité 

(i ) dx^i -+- drl -h dxl -+- dxr — dx] — dx^ = o, 

où n'interviennent que des quantités réelles et que l'on pourrait 
])rendre comme point de départ, sans introduire d'imaginaires : 
mais l'introduction des imaginaires facilite beaucoup l'obtention 
des éléments réels, comme dans beaucoup d'autres cas. Je con- 
sidère la triple infinité de points P c[ui, dans le système O^x^y^z^^ 
ont pour coordonnées (j )., 'j.. v) où )., |j., v sont trois constantes- 
réelles. On fait rouler S^ sur S de façon que m^ vienne recouvrir /?^ 



,84 PREMIÈRE PARTIE. 

et que le plan tangent en m^ s'a|)|)li(|ue sur le plan tangent en m, 
les directions de tangentes homologues se recouvrant : dans ce 
mouvement imaginaire, à deux paramètres, la construction de 
Darboux appli([uée aux points P donne, pour chaque point P, un 
système cyclique réel et un système triple orthogonal réel. 

Il faut remarquer que si nous nous bornons au champ réel (u, v), 
le point mj engendre une nappe imaginaire de surface; mais il n'eji 
résulte pas nécessairement que la surface analytique complète S^ 
soit imaginaire; cela peut être exact, mais dans d'autres cas la sur- 
face Sj peut être réelle : il existe alors sur S des points réels- m dont 
l'homologue ?n^ sur Sj est imaginaire; ce sont ces ])orlions, né- 
gligées cjuand il ne s'agit que d'étudier l'application physique de S 
et Si, qui se trouvent au contraire conservées à l'exclusion de toute 
autre quand nous cherchons des systèmes cycliques réels. C'est 
précisément en cela que résulte l'intérêt du travail que j'ai exposé 
dans les Chapitres précédents. J'y ai étudié l'application de deux 
surfaces réelles et ai, en particulier, insisté sur le cas où tout point 
réel de S a un homologue imaginaire sur S^, ou bien où S se par- 
tage en deux régions S<^^ et S'^' dont l'une S'^ se compose de 
points réels à homologue imaginaire. Lne objection se présente 
immédiatement : il est nécessaire que m étant réel, m^ soit imagi- 
naire ; cela seul ne suffit pas : il faut de plus, au moins avec un cer- 
tain système d'axes réels, que les coordonnées de tous les points m^ 
soient deux réelles et la troisième imaginaire pure. Or il se trouve, 
circonstance heureuse pour le cas actuel, cjue, dans la plupart des 
exemples que j'ai donnés, cette condition très particvdière est 
réalisée, de sorte que nous avons déjà virtuellement obtenu un 
grand nombre de systèmes cycliques. Les surfaces de révolution, les 
surfaces du second degré, les surfaces de translation e^rb <?-'± e" = i 
(Chap. II, § 1), les surfaces de translation engendrées par deux 
courbes planes situées dans deux plans rectangulaires (Chap. I, 
§ il) donnent des exemples fort simples. 

{A siti\'f'e.) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i85 

COMPTES IIKNDUS KT AN A LYSES. 



HVROLD HILTON. — Pl.vnk Ai.seurvic Gurves. Oxford, At ihe Clarendon 
F'iess, 1920. 

L'auteur s'est proposé de rajeunir et de mettre au point l'œuvre 
de Sai.mon, déjà vieille, que connaissaient bien les « tauplns », il 
y a trente ans. Ce genre de questions : Géométrie algébrique, 
courbes algébriques, n'a plus, aujourd'hui, la même importance 
pour les élèves de Malhénuiliques spéciales. On a reconnu, sage- 
ment, que tous ne seront pas candidats à l'Agrégation, et l'on a 
orienté autrement renseignement. Mais il ne faut pas oublier ceux 
qui seront des mi tliématiciens, plus ou moins spécialisés et c'est 
à ceux-là que s'adresse le Livre de M. Hilton. 

L'étudiant qui veut, devenir un mathématicien^ quel que soit l'art 
particulier qu'il cultivera, n'a pas le droit d'ignorer les faits pri- 
mordiaux concernant les courbes algébriques. Ces faits, ces idées, 
il les trouve ici. Les courbes de degré A et 4 sont étudiées très 
soigneusement, avec beaucoup d'exemples, et des figures com- 
modes. Quand on passe au degré 5, il n'y a plus de théorie élé- 
mentaire; il faut se contenter des généralités. Nous trouvons la 
théorie des polaires, des foyers, des nombres de Plucker, et le 
getire^ ce nombre qui dépend du degré de la courbe et de ses sin- 
gularités, et qui reste invariable dans une transformation quadra- 
tique. 

11 y a là une mine très riche d'exemples de courbes bien intéres- 
santes pour l'étudiant qui voudra faire des applications concrètes 
de la théorie générale des intégrales abéliennes. Il y a là une 
introduction très pratique à la théorie des fonctions algébriques. 

Après avoir repris, d'une manière originale, toutes les questions 
classiques, l'auteur expose les résultats les plus récents sur la 
théorie des circuits. Un circuit est, ou bien une boucle fermée, 
ou bien l'ensemble de deux branches d'une hyperbole, par 
exemple. Klein, Harnack, Hilbert ont donné, sur ce sujet, des 
théorèmes intéressants. 

Bull, des Sciences niathén , 2" série, t. \LV. (Juillet uj'-îi.) i^ 



i8G PHEMlÈRIi PAiniH. 

Si le mode d'exposition esl diflférenl du noire, c'esl une raison 
de plus pour reeomniander ce Livre aux ("liidianls; il les fera tra- 
vailler utilement. 

Robert u'Adhivmak. 



GEORGliS GIRAUD. — Liiçoxs scr uks konctions altomorphes {Collec- 
tion de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sous la 
(Jireclion de M. Emile Borel). Paris, Gaulhier-Villars, 1920, 126 pages. 

Dans cet Ouvrage, où il résume une partie du cours qu'il a 
professé au Collège de France (Fondation Claude-Antoine t^eccot), 
M. G. Giraud nous présente une sorte d'introduction à la théorie 
générale des fonctions automorphes de // variables. 

M. Giraud prend soin de nous dire, dans son Introduction, ce 
qu'il ne faut pas chercher dans son livre. La théorie des fonctions 
fuchsiennes y est seulement esquissée, dans le dernier Chapitre, 
en tant que cas particulier de la théorie générale qui précède. 
L'application des fonctions fuchsiennes à l'uniformisation des 
fonctions algébriques et à l'intégration des équations différen- 
tielles linéaires n'y est point étudiée. Il n'j est pas question des 
fonctions kleinéennes. 

Aussi bien le point de vue adopté par M. Giraud ne lui permet- 
tait-il pas d'entreprendre un exposé synthétique des travaux 
d'Henri Poincaré, qui prend un point de départ et qui poursuit 
un but différent du sien. Il est fort à souhaiter qu'un tel exposé 
soit tait quelque jour, tant pour bien mettre au point l'histoire 
des fonctions automorphes que pour vulgariser certaines idées et 
certaines méthodes qui peuvent encore être fécondes. Mais tel 
n'était pas l'objet que M. Giraud avait en vue. 

M. Giraud se propose de mettre en évidence les propriétés 
communes à des familles très étendues de groupes automorphes 
qui comprennent comme cas particuliers les groupes fuchsiens 
d'Henri Poincaré, les groupes hyper fuchsiens (à deux variables) 
signalés pour la première fois par M. Picard, les groupes hyper- 
abéliens (à deux variables) également découverts par M. Picard, et 
enfin les groupes à n variables, obtenus par généralisation des 



COMPtES RKNDUS ET ANALYSES. 187 

groupes (le M. Picard, ([ui (uit (■l(' étudiés aolaminenl par 
M. F'ubinl et par M. Giraud lui-uièiue. 

La méthode suivie par M. Giraud est au fond une application 
des belles méthodes de M. Picard. Mais M. Giraud j)récise la 
signlfrcatlon et la portée de ces méthodes en dégageant très exac- 
tement les conditions d'existence des groupes et fonctions consi- 
dérés, et il en tire un procédé systématique permettant de cons- 
truire celles-ci a priori^ à partir de certaines hypothèses simples. 

Envisageons a priori un groupe de substitutions birationnelles 
portant sur n variables 

X/j =ifi,(rx^ ./-o, . . .: -r,,, <7,: . . ., a,,) ( /i — i, i, . . .. n), 

où les a sont des |)aramétres (liés éventuellement |)ar certaines 
relations algébriques) dont les/ sont fonctions rationnelles homo- 
gènes de degré o. Appelant .z'^, .r' la partie réelle et le coeflicient 
de / dans xj et considérant le point (j?', , x\, . . ., x"/) comme un 
point de l'espace à 2ti dimensions, M. Gii'and suppose que, dans 
un certain domaine D de cet espace, le groupe satisfait à diverses 
conditions. Notamment : le domaine D est changé en lui-même 
par toute substitution du groupe; il existe une intégrale a/z-uple 
réelle 



J 



W{x\,x\, ...,.r';,)d{.r\. ..., t"„) 



invariante par rapport aux substitutions du groupe (non altérée 
lorsqu'on Tétend d'une part à une partie Ô du domaine D, d'autre 
patt à la portion A de D transformée de par une substitution 
quelconque du groupe) ; il existe également une fonction réelle et 
symétrique de deux points, 'F{x\, x'\, ..., J^, ^'j, ç',, ..., ç)',), 
continue quand les deux points appartiennent à D et Invariante 
par rapport aux substitutions du groupe; on suppose, en outi'e, 
que si A est un nombre réel compris entre certaines limites, 
et (ç'j, ..., ç'^^) un point fixe, la multiplicité F(a7'j, ..., c"^) = A 
partage D en deux régions dont l'une (celle où F<<À) n"a aucun 
point commun avec la frontière de D et constitue l'intérieur de la 
multiplicité. Uintég-rale fondamentale invariante et la fonction 
invariante {invariant fondamental) jouent dans la théorie de 
M. Giraud le même rôle que le S et le L (aire de Lobatschewskj 



i88 PREMIÈRE PARTIE. 

et distance de Lobatschewskj) d'Henri Poincaré. La considéra- 
tion de F (c'est-à-dire du paramètre a) tient lieu de celle de 
l'invariant diflférentiel envisagé par M. Fubini (et déjà, dans l<.' 
cas de deux variables, par H. Poincaré en i884, Œuvres t. H, 
p. 63). 

Partant de telles lij|)uthèses posées a priori^ M. Giraud déter- 
mine d'abord des conditions simples sous lesquelles le groupe 
sera disconlinu (comprenant, d'ailleurs, un nombre quelconque 
de substitutions). Puis il démontre l'existence des fonctions (-) 
correspondantes et enfin celle des fonctions automorplies, uni- 
formes dans D, s'y com[)()rlant |)artout comme des fonctions 
rationnelles, et invariantes par toutes les substitutions du groupe. 
Après quoi M. Giraud détermine (par une méthode générale, dite 
mrtliode de rayonnenient) un polyèdre fondamental relatif à son 
groupe (analogue au polygone fondamental de II. Poincaré) et 
définit les cycles darétes ou de sommets. Puis il établit diverses 
propriétés, notamment la [)roprlété essentielle : Si le polyèdre 
fondamental et sa frontière n'ont aucun point commun avec la 
frontière de D (hypothèse dont on peut se dispenser dans le cas 
des fonctions fuchsiennes), n-\-\ fonctions automorplies quel- 
conques [invariantes iKir le même groupe) sont liées par une 
/■dation algébrique. 

Telle est, en résumé, la remarquable déduction présentée par 
M. Giraud. Dans les Chapitres II-V de son Livre, il applique 
cette déduction aux groupes binéaires hyperfuchsiens à Ji variables 
(déduits de formes quadratiques d'Hermite décomposables en n 
normes de formes linéaires à coefficients d'un certain signe et une 
norme à coefficients de l'autre signe ), aux groupes hyperabéliens 
et à leurs généralisations (déduites de formes quadratiques k n-\- 2 
variables, décomposables en n carrés d'un même signe et deux de 
l'autre signe), et enfin aux fonctions fuchsiennes. 

PiKiiHE Boutkoux. 



MÉLANGES. 189 



MELANGES 



APPLICABILITÉ DES SURFACES RÉELLES. ÉTUDE SPÉCIALE DE LA 
CORRESPONDANCE ENTRE POINT RÉEL ET POINT IMAGINAIRE. 
SYSTÈMES CYCLIQUES RÉELS ET SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGO- 

, NAUX CORRESPONDANTS 

(suite et fin') ; 
> Par m. Bkhtrand GAMBIER. 



Une autre objection se présente encore : pour le problème actuel, 
il n'est nullement nécessaire que la surface S^ soit réelle; c'est 
prescjue une circonstance défavorable, puisque nous sommes 
obligés alors de ne tenir compte que de certaines nappes imagi- 
naires de Sj, si Sj est réelle. 

De la sorte, la méthode que j'ai utilisée dans les deux Chapitres 
précédents semblerait ne donner qu'une solution particulière. 
Cette objection tombe, au moins partiellement, si l'on remarque 
que notre méthode fournit évidemment d'un seul coup, non pas 
un seul, mais bien quatre systèmes cycliques réels. 

3. En effet, l'identité (i), à laquelle conduit tout système 
cyclique réel connu, contient les cjuatre variables a^j, x^, x^, x^ 
d'une façon symétrique. En conservant trois d'entre elles, ce qui 
peut se faire de quatre façons différentes, je définis à chaque fois 
un couple de deux surfaces applicables dans les conditions voulues. 
Si je prends des notations plus symétriques, j'appellerai 0]^, B^, 
©3, ©4 les surfaces analytiques lieux respectifs des points 

0.i(i J"-). ^"-,, Tç, ). 

il) { ' ' 



i()o PHEMIÈIUÎ PARTIE. 

el H,, W,,, ^"J;,- ^"), Ifs surfaces lieux res])eclifs des jjoints 



(3) 



0!, ('.r-j, r;(, 3"4 ), 



La surface (-)/,(/*: = i, 2, 3, 4) roulant sur la surface ^'^ de même 
indice, je définis une série de systèmes cycliques, comme il a été 
expliqué plus haut : ce sont les notations de Darboux, pour le 
roulement, conservées autant que possible, l'indice de Darboux 
étant passé au rôle d'accent. Alors on constatera aisément que si, 
accidentellement, une des quatre surfaces 8a est réelle, les autres 
sont oénéralement complètement imaginaires et ceci lève bien, en 
partie tout au moins, l'objection posée en dernier lieu. 

Quelques remarques se présentent naturellement : la surface 
(-),( — /.r,, r,,, x^) substituée à ©i donne exactement les mêmes 
systèmes cycliques ou orthogonaux. Si donc Bi et ©^ sont ana- 
Ivtiquement distinctes, elles sont toutes deux complètement ima- 
ginaires; si 01 et ©1 se confondent analytiquement, elles peuvent 
néanmoins ne définir qu'une surface imaginaire, dont l'équation est 
à coefficients réels; M. Goursat a, dans divers travaux, convenu 
d'appeler encore réels ces éléments géométriques non distincts 
de leur élément conjugué. Enfin il peut arriver que ©j et ©^ cons- 
tituent deux nappes imaginaires conjuguées d'une même surface 
réelle : cette surface réelle, que je désignerai simplement par ©1, 
admet donc un plan de symétrie ; il existe sur la surface ©j, qui est 
réelle, des points réels ayant un homologue imaginaire sur W^; 
si ces points remplissent toute l'étendue réelle de ©'j, je n'ai rien à 
ajouter pour Q^; mais, dans le cas contraire, ©'^ possède deux séries 
de points : les uns ont un homologue réel, les autres un homologue 
imaginaire; deux hypothèses se présentent encore; ou bien ©', se 
partage en plusieurs nappes réelles, physiquement distinctes, tous 
les points de certaines nappes ont un homologue imaginaire, ces 
nappes sont seules à conserver, tou^ les points de certaines autres 
nappes ont un homologue réel, ces nappes sont à rejeter. Ou bien, 
sur une même nappe de ©j (que ©', soit à une nappe unique ou à 
plusieurs nappes), il existe des points des deux catégories : dans 



MÉLANGES. i<)i 

ces l'oiulilions B^ est IoucIil'O par sou plan ilc syniélriL' loiil le 
loiio- d'une certaine courbe réelle qui constitue une asymplol i(iiie 
singulière de S^, soient C cette courbe de€)i et C/ la courbe homo- 
logue, réelle aussi, sur t)', ; la courbe C partage 0'^ en deux régions 
dont l'une est recouverte j>hysiquement par (-)j et doit être rejetée, 
tanilis ({uc l'autre, non rccoiivcile i)li\ sKpiCriient, est seule à 
conserN'er. Nous relroiiNons les particularités citées au CJiapitre I, 
paragraphe 1. 

4. Réciproquement, si nous connaissons une surface réelle ©^ 
ayant un plan de symétrie qui la touche le long d'une courbe C 
formant arête de rebroussement, nous pourrons, en général, déter- 
miner une infinité de surfaces réelles (")', recouvertes physiquement 
par ©1^ sur une seule des deux régions déterminées sur ces surfaces 
par la courbe C homologue de C : le couple 0',, 0^ satisfera aux 
conditions voulues. Il suffira d'applicpier la méthode du d.s^ réduit, 
exposée au Chapitre I, à la surface 0^. Si la courbe C a pour image 
une courbe y qui ne soit pas frontière d'une région du ds^ réduit, 
nous avons montré au paragraphe 7 du Cha])itre I, comment 
on choisira la courbe C de façon que la surface 0, résultant 
de C soit réelle : il suffit, <[u'en chaque point de C, le rayon de 
courbure de C soit inférieur au rayon de courbure de la courbe 
plane C. Par la construction ainsi réalisée, la surface 0^ et la sur- 
face 0, sont des surfaces représentatives d'une même région du ds^ 
réduit. 

Si la swrface 0^, réelle (^) et à plan de symétrie, n'admet pas de 
ligne de rebroussement dans le ]>lan de symétrie, il faudra d'abord 
appliquer la méthode du ds^ réduit et voir si ce ds^ définit ou non 
plusieurs régions. Si l'on ne trouve qu'une région, il n'existe pas 
de surface 0', (il est bien entendu que c'est la surface 0', qui est la 
surface fixe et 0^ la surface roulante). S'il existe plusieurs régions, 
il faudra examiner si, pour les régions non correspondantes à 0^, 
les coordonnées des points (nécessairement imaginaires de 0i) 
sont deux réelles, et une imaginaire pure. Si la réponse est affir- 
mative, on sait déterminer les surfaces 0'j : ce sont les surfaces 
représentatives de ces régions. Sinon, il n'existe pas de surfaces 0',. 

(^) Réefle, soit au sens vufgaire, soit au sens de M. Goursat, 



T9?. PREMIÈRE PARTIE. 

On remarquera que ceci s'applique même si O^ avait une arête 
de rebroussement dans son plan de symétrie, car rien n'empêche 
de trouver des surfaces 0', de diverses catégories. 

Si |a surface ©^ donnée, lieu du point {ix^, x^^, a;c), est complète- 
ment imaginaire, son ds^, à savoir dxl -j- dx^^ — dx^^, est une 
expression réelle, de sorte que la méthode du ds^ réduit permettra 
encore de décider s'il existe ou non des surfaces réelles 0',. 

Si donc la surface roulante est donnée, réelle ou imaginaire, de 
simples différentiations et éliminations suffisent pour décider 
s^il existe ou non des surfaces fixes associées à Cette surface roulante 
en vue de systèmes cycliques réels. La détermination effective 
des surfaces fixes, dans le cas où l'on a reconnu qu'il en existe, 
est cette fois le problème général : construire les surfaces réelles 
représentatives d'une région de ds^ réduit. 

5. Le problème réciproque pourra être posé autrement : on 
pourra donner la surface fixe et chercher la surface roulante; il 
s'agit cette fois de mettre un ds^ positif donné sous la forme 
dX^ -\- dY^ — dZ^ où X, Y, Z sont des fonctions inconnues réelles. 
C'est un problème distinct de celui qui a été étudié dans les Cha- 
pitres qui précèdent, surtout si la surface inconnue 0^ est totale- 
ment imaginaire ; si la surface inconnue 0^ doit être réelle et appar- 
tenir à une région distincte de celle que représente la surface 
donnée ©j, l'étude précédente ne nous donne non plus aucun cri- 
térium pour décider a priori si une circulation réelle sur 0', donne 
sur la surface inconnue 0, des points à coordonnées réelles ou 
imaginaires pures. Il n'y a qu'un cas où l'étude précédente nous 
donne une indication d'ailleurs minime, c'est le cas où la surface 0^ 
inconnue appartiendra à la même région que 0', et la recouvrira 
partiellement : nous nous donnerons sur 0'j la frontière des por- 
tions recouvertes et non recouvertes : la courbe C doit se trans- 
former en une courbe plane C que l'on obtiendra par trois qua- 
dratures, car le rayon de courbure de C est égal au rayon de cour- 
bure géodésique de C. Nous retombons sur un problème posé au 
paragraphe 3 du Chapitre I : peut-on choisir la courbe C arbitrai- 
rement ? Il peut se faire, dans un autre cas, que 0^ appartienne à la 
même région que 0', et ne la recouvrepas du tout : cela exige que 0j 
ne représente qu'une fraction de la région qui lui correspond et, par 



MÉLANGES. ig'i 

suite, que (■)', ait une ligne d'arrêt ou une ligne de rebroussement 
asympto tique singulière. Mais je ne peux donner de détail plus 
précis. 

6. Il s'agit maintenant de montrer que la connaissance effective 
de la surface réelle 0, et de la surface 0^ (réelle ou totalement 
imaginaire, peu imj)orte) permet en général d'avoir un système 
cyclique dépendant des trois arbitraires X, [jl, v introduites plus 
haut (§2), et c'ela uniquement par des différentiations et élimi- 
nations. 

Si le ds^ commun de 0', et 0^ n'est ni de révolution, ni à cour- 
bure constante, la donnée de 0', et 0^ permet de trouver par les 
opérations indiquées les formules de correspondance entre les coor- 
données d'un point M de 0^ et du point correspondant M' de 0', ; 
la construction de Darboux donne alors chaque cercle F du sys- 
tème cyclique, individuellement, par des opérations analytiques 
du type indiqué. Mais si le ds^ est de révolution ou à courbure 
constante, la donnée de 0', et 0^ n'est pas sulfisante; il est néces- 
saire, pour réaliser l'application effective, soit d'effectuer diverses 
quadratures, soit d'intégrer deux équations de Riccati : nous sup- 
poserons donc ces opérations faites au préalable, de sorte que nous 
connaissons de toutes façons le couple 0^, 0', et la correspondance 
ponctuelle réalisée par l'application : dans ces conditions, la pro- 
position énoncée est vraie sans réserves. Nous connaissons aussi 02 
et 0j, 0:,, et 03, 04 et 0', dans les mêmes conditions précises. Les 
quatre systèmes cycliques sont connus d'un seul bloc {}). 

Quelles sont les opérations nécessaires ensuite pour avoir le sys- 
tème triple orthogonal correspondant au couple 0^, 0'j ? 

La première famille de surfaces de ce système est constituée 
par les trajectoires orthogonales des cercles F : la sphère point 
P [i K, [ji, v) invariablement liée à 0ia donné, par son intersection 
avec les plans tangents communs, les divers cercles F, et une géné- 
ratrice isotrope déterminée de cette- sphère marque sur chacun de 
ces cercles un point Q dont le lieu est une surface S de la première 
famille; S est une trajectoire orthogonale des cercles F. Sur un 



(^) Si ©1 et 0', ont un ds~ de révolution, chaque mode particulier de cor- 
respondance entre ©i et 0', donnera quatre systèmes cycliques. 



I9l PRHMIÉHE PARTIE. 

cercle V réel envisageons tous les points Q réels, chacun détermine 
une génératrice isotrope PQ et ces génératrices PQ donneront 
toutes les surfaces 1' réelles. Soil S l'une d'elles, déterminons-en 
les lignes de courbure des deux séries ("/ et C" : ceci exige l'intégra- 
tion de deux écjua lions dilîérentielles ordinaires du premier ordre; 
alors, en associatil dans la famille à deux paramètres de cercles Y, 
tous ceux, nécessairement réels, qui rencontrent une ligne de 
courbure réelle du système C, on a la seconde famille de surfaces S' ; 
le système C" fournit de même la troisième famille S". On a ainsi 
les trois familles réelles S, S', S", la première sans opération com- 
plémentaire, les deux dernières par l'intégration de deux équa- 
tions différenlielles du premier ordre. Or, comme S', ]S" corres- 
pondent au système conjugué commun à W^ et 0',, on voit que la 
détermination de ce système conjugué ou des lignes de courbure 
d'une surface quelconque S est le même problème; de plus, ce sys- 
tème conjugué est réel sur 0',, car si M' décrit une ligne de ce sys- 
tème, le cercle F décrit une surface S' ou S". Supposons donc 
déterminé, ce système : alors nous allons voir que nous avons 
obtenu, du même coup, le système conjugué commun à ©2 ^t 0^, 
ou à 03 et 0^', ou à 0., et 0'^. 

En effet, soient u, v les paramètres réels de ce système conjugué 
commun à 0^ et 0', : les fonctions {x2, x^, x^) et {xi, x^, Xe), puisque 
le facteur constant i de ix^ ne jouera aucun rôle ici, sont six solu- 
tions d'une même équation aux dérivées partielles 

^^^ du dr ' Ou ' ' dv 

D'après la remarque de M. Kœnigs, nous connaissons même la 
septième solution 

x\ -(- :r| H- xl ^ tI — x\ — xl- 

Il est alors évident que 02 et 0'^. ou 03 et 0',, ou encore 0^ 
et 0'jj sont en même temps rapportées à leur système conjugué : 
donc les opérations qui ont permis, connaissant les quatre sys- 
tèmes cycliques associés, d'obtenir le système triple dérivé de l'un 
d'eux, livrent en même temps les trois autres systèmes triples. 

Nous avons des surfaces sur lesquelles des systèmes conjugués se 
conservent, d'aiitres sur lesquelles les lignes de courbure se con- 



MÉLANGES. h)") 

servent; les propriétés géométriques sont nombreuses, mais je ne 
les déveloj)perai pas davantage. 

7. Je vais donner un exemple particulièrement intéressant ovi 
les systèmes cycliques et même les systèmes orthogonaux sont 
algébriques, en me servant de la développée ^ d'une surface mi- 
nima d'Enneper et la faisant rouler sur elle-même. 

Considérons la surface minima d'Iùineper (E) 

(5) L.= 33 + 3a^^- [i^ 
( ^ = 3a^- ;{3-, 

rapportée à ses lignes de courbure, nous prendrons pour cosinus 
directeurs de la normale 

(6) -^-^ , i^^, '-"'-"\ 



le rayon principal relatif auxlignes a ^ const. est (i + a^-|- jj^)^; 

ces expressions montrent que la développée se compose de deux 
surfaces distinctes, qui sont d'ailleurs égales entre elles; je prends 
celle qui correspond à a = const. et nous avons ainsi 



(7) 



\ Y = — 4(3\ 

/ Z= -(y.'--+- 3^)2 -f- 3 a2 



On calcule aisément le ds^ de cette surface S 

(8) ds'- = 3G(i -+- 7.2+ 3^)2 [f/a2 + (oLdx -^ p <3j-2] ; 

les asymptotiques de la surface S ont pour équation . 

(9) t/a2H-r/3î= o. 

Plusieurs conséquences importantes en résultent; je les obtien- 
drai par voie purement géométrique. La développée admet une 
infinité d'auto-applications algébriques, définies par les formules 
suivantes où C est une constante : 

, , , a = a, -f- C, 

(10) 



igG PREMIÈRE PARTIE. 

Si l'on se donne pour a^, ^^ des valeurs réelles, on a 

(11) a^'/,+ C, [32= af-t- jî2-(a,-t-C)'i= &?-?.Ca,-Ci; 

le point a, P n'est réel que si [3^ — •;> C a^ — C^ ^ o; cette inégalité 
définit la région extérieure à une certaine parabole dans le plan 
(a-i, [^i) ; celte parabole, d'après la forme d'équation 

a2 + p2 = (a, + C)% 

admet l'origine pour foyer; si le point a^, ^^ vient sur la frontière, 
on a P = o, c'est la ligne de rebroussement de S située dans le 
plan XOZ; quand le point réel (a^, I^Ji) pris sur la développée, que 
j'appellerai 1\ pour spécifier qu'il s'agit d'un point dénommé 
(aj, Pi) avec l'indice, est situé dans la région correspondant à 
l'inégalité ^] — 2 C a^ — C^ < o, le point (a, P) est imaginaire : 
a est réel, ^ imaginaire pure, de sorte que X et Z sont réelles et Y 
imaginaire pure. On pourra donc appliquer la théorie précédente 
en prenant 

(12) xi = —i\, .r2=X,, .r3=Y|, ri=Z,, t-^= \, Xf,= 1. 

Nous utilisons un roulement de la surface mobile S sur la sur- 
face fixe "Hl^ et nous ne considérons qu'une nappe imaginaire de S. 
Pour étudier ce mouvement, il sera très avantageux de conserver 
comme paramètres ^ et p^; on a alors 



(i3) 



^■2_C» [j-2_32^C 



a = 



•2 CJ iC 



et nous utilisons le champ : ^^ réel, (3 imaginaire pure, de façon 
à n'avoir plus aucune équation d'inégalité entre les paramètres 
indépendants conservés. 

Nous avons à déterminer le réseau conjugué commun à S et Sj : 
pour qu'un réseau tracé sur S, soit conjugué, puisque les asymp- . 
totiques ont pour équation doi^ + d^^ = o, il faut et suffit que le 
réseau ait pour image dans le plan toa^, rapporté à deux axes rec- 
tangulaires toa et w^, un réseau orthogonal. De même, pour avoir 
un réseau conjugué sur S^, il faudra avoir pour image dans le 
plan Wiai^i un réseau orthogonal; si nous supposons oj^ai coïnci- 
dant avec wa et to^Pi avec o)^, les formules (10) donnent la cor- 
respondance, dans le plan unique loa^, entre les images de deux 
points correspondants de S et S^; on voit immédiatement que le 



MÉLANGES. -g; 

faisceau de paraboles houiofocales cf? -\- ^'^ = (a — C^)^ où Cj^ est 
une constante arbitraire se transforme dans le faisceau 

qui est le même dans son ensemble : nous avons donc un réseau 
orthogonal du plan image qui reste orthogonal; c'est donc un 
réseau conjugué tracé sur S, qui jouit de la particularité de rester 
conjugué dans la déformation continue obtenue en faisant varier C. 
Comme ce réseau est algébrique, il en résulte que les quatre sys- 
tèmes cycliques et môme les quatre systèmes orthogonaux sont 
algébriques. Remarquons que Z étant applicable sur une surface de 
révolution, il eût pu se faire que les auto-applications de S ne se 
traduisissent pas par des équations algébriques ; il y a donc ici 
une double circonstance heureuse, l'algébricité des systèmes 
cycliques, puis celle des systèmes orthogonaux. 

Bien que ce ne soit pas strictement indispensable pour la suite, 
j'indiquerai le moyen d'obtenir géométriquement les lignes de 
courbure de S. Les lignes de longueur nulle de i] ont évidemment 
pour équation finie a^ + [3^ ± 2 ia = const.; elles sont, dans le 
plan wa^, représentées par les cercles de centre [i, o) ou ( — i, o). 
II suffit donc de trouver dans le plan wa^ un réseau orthogonal 
dont les tangentes soient conjuguées par rapport aux tangentes à 
ces cercles; les tangentes du réseau sont donc les bissectrices des 
tangentes aux cercles, et par suite aussi les bissectrices des rayons. 
On trouve donc les coniques homofocales ayant deux foyers (i, o) 
et ( — i, o) imaginaires sur toy. et deux foyers (o, i) et (o, — ■ i) 
réels sur to^. 

Quand C est donné, on connaît l'auto-application particulière 
de S; le système conjugué commun à 2 et Sj est fourni par l'équa- 
tion (x? -[- ^^ = (a — Cj)- ; dans quel intervalle faut-il faire varier C^ 
pour avoir les surfaces réelles formant les deux familles qui com- 
plètent le système cyclique ? On a, je le rappelle, supposé [3^ réel, 
[3 imaginaire pure, ce qui revient à écrire 

3 = /S' 






■2 Ll V '2 C 



En prenant ^ et ^' réels on a un cercle réel du système cyclique 
dans le plan tangent à S au point (a^, p^) où a^ est donné par les 



198 PREMIÈRE PARTIE. 

équations (i3'). Il faul, associer les cercles en supposant 

a2 -f- l'b-i = ( '/. — C, i« ou p* -+- 9. C I a — C^ = o, 

ce qui devient, en se servant de (i3'), 
(i4) 



Cl Cl — c 

Il faut et sulIiL ({iie l'éciualion (i4) représente un lieu réel : 
C étant donné, on obtient dans un plan i^P'pi un ensemble de 
coniques honiofocales si C^ varie. 

Supposons d'abord C. positif; il faudra manifestement que Cj 
soit positif; pour o < C^ < C, le lieu (i4) est une hyperbole; 
pour Cj >> C, il est une ellipse. Si nous supposons que C est négatif, 
il faudra que C^ — C soit positif; si l'on a C < C^ < o, le lieu est 
une hyperbole ; si o <C Cj^, le lieu est une ellipse. 

Cette discussion peut se faire aussi avec les paramètres a^, ^^ 
On peut remarquer qu'en faisant varier Cj on obtient sur 2 ou "^-^ 
toutes les courbes qui correspondent successivement à l'arête de 
rebroussement de la surface au cours de sa déformation. Si l'on 
étudie Sj, le point image (a^, ^i) doit rester dans la région inté- 
rieure à la parabole ^\ — aCa^ — C^ = o; pour associer les cercles 
du système cyclique en surfaces enveloppes de sphère, il faut que 
le point a^, [âj décrive ou bien l'une des paraboles homofocales à 
la proposée complètement intérieures à celle-ci ou simplement le 
morceau intérieur à celle-ci d'une parabole homofocale qui lui est 
sécante. 

II faut maintenant indiquer le centre de chaque cercle réel du 
système et son rayon. Je considère le point M (a, ^) de S, la tan- 
gente MT à la courbe a = const. qui y passe, la tangente MT^ rec- 
tangulaire à MT dans le plan tangent et la normale MN à la sur- 
face. Ces droites, quand M vient sur M^, s'appliquent respective- 
ment sur les droites de même définition relatives à Mj. 

Je donne les cosinus directeurs de ces droites : 



(i5) 



1»! 1 


1 ^ a2 -^ y- ' 


-1 -1- a-^ -H 32 ' 


.^yP-^y- 


MTi 


1^32— y.i 


■>. afi 


X'J. 


1 -^ a'^^ [i^ ' 


1-+- a^V ^■■^' 


I -)- a^H- |î2 


MN 


7.7.3 


I — a2 — 'p-'- 


— •2|'^ 



\ — y.'- -^ 



MÉLANGES. 199 

les (lenii-ilroiles ainsi définies s'appliquent sur celles dont les co- 
sinus s'obtiennent en remplaçant a j)ar a^, ^ par p^, car si C devient 
nul l'anto-application (S, S^) doit se réduire à l'application iden- 
ti([ue (!', 2C). Cela posé, je considère le point fixe P (A, iu, v) doriL 
dérive le système cycli([Lie; P se projette en C sur le plan tangent 
MTTj et le point C a pour coordonnées dans le plan IVITT^ 

— ix •> 3 

(i6) <! „ 

Al = (X- X) ^:ttl^ -^(^;.- Y; ^"^ , +(v-Z) 

^ ,_H «■•'-+- ;j 2 ^' SH-a^-H,i;2 ^ ' .-^.^..-^j.- 

je rappelle que X, Y, Z sont donnés par les formules (7); a est 
réel, [3 imaginaire pure; d'ailleurs, a et ^ sont donnés par les for- 
mules (i3'); on voit que L et M sont réelles. Le point C^ a donc 
pour coordonnées 

x. + K -:^' ^m'"-^'-^:, 



I - a-i - 


'/' 


1 -t- 7.2 4- 




2a 







— 


•>3:i 




1 -(- 




1 _L. 

1 

r, 
l-'l 


.^1 


1 -t- 


a 


1 ^~ 


'■> 2 


I — 


a 


\ — 


I-* ■ 



I -t- -^i ^ (J, 
(17) : Y, + L- llii___M 



•A a, p, 



Z, -^ \. \ ^ -f- M 



■> y.\ 



Le rayon du cercle de centre Cj est i N, N étant la coordonnée 
de C relative à MN, donc 

(18) H ^ M X — Xi 



I 4- a- -+- 



V 1 -+- a2 — ,'^2 



R est réel; le cercle est tracé dans le plan tangent. Nous avons 
donc chaque cercle en fonction des deux paramètres [3' et ^^ con- 
servés ; si Pi et p' sont liées par la formule (14)5 on obtient les deux 
séries d'enveloppes de sphères cjui forment deux familles du sys- 
tème triple. Il ne reste plus qu'à trouver les surfaces trajectoires 
orthogonales des cercles; pour cela je considère, m étant une cons- 
tante numérique, le point 

[X + [,n - -)-) p, M. + i[,n ^ ^) p, V 4- .p] ; 
ce point, si p varie, décrit une génératrice du cône isotrope de 



(■20) 



o.oo PREMIÈRE PARTIE. 

sommet P. Nous exprimons que ce point est dans le plan tangent 
en M et l'on obtient 

, , _ (X — \j'2a^ 4-(n-a2— p2)[t.jL — Y) — ■A^'irv — Z) 

(19/ P — T"" '/ 

[m ) 2 a(i -T- ( 1 4- a ' — W-) i\ m -\ 

\ m/ \ '^ 

Les coordonnées de ce point dans le plan tangent MTT^ s'ob- 
tiennent comme plus haut : soient U, V ces coordonnées, on a 



U = L4- 
\' = M -^ 



'« : — -H d /« -h — ^ — -+- ■>. '— 

L\ m j \ -^ -j.- ^ |5- \^ m I I -f- z- -I- |3- I -!- a- -4- îj- J 

r/ 1 . ,^32-a2 ./ , \ 

\[in : -, -i- t //!+ — 



I -H a- -+- 



elles sont réelles en prenant m réel, car alors p est réel. 

On aura ensuite pour coordonnées du point correspondant du 
cercle du système cyclique 




(■21) { Yi-HU ._^,^ Qi +'^' 

V 





- 


ox, 






I -T- 


a 

•> 


7 -1- 
i-'i 


i-* 


I 


1 -r- 


a 


I '^ 





ï 


1 — 


a 


i 


r., 
1-" 


f 



vi^ 



r- a^ 
9.7.1 






Pï 



dans les formules (21), en laissant m constant et faisant varier ^' 
et Pi, on a une surface trajectoire orthogonale des cercles : ces sur- 
faces sont elles-mêmes unicursales, et ont des lignes de courbure 
algébriques. Tout est connu et a été calculé explicitement au 
moyen de deux paramètres réels [3' et [B^. 

Si l'on forme les trois systèmes cycliques associés à celui que 
je viens de former, on reconnaît sans peine que la surface rou- 
lante ©3 est une surface unicursale réelle ; les surfaces roulantes 02 
et 04 sont unicursales et totalement imaginaires. 

On pourrait remarquer que S et \ jouent le même rôle, puisque 
ce sont les deux façons de désigner la développée de la surface 
d'Enneper; mais les permuter revient simplement à changer de 
signe la constante C ; nos systèmes cycliques ou orthogonaux con- 
tiennent non seulement les quantités arbitraires A, 'J., v, mais encore 
la constante arbitraire C. 



MELANGES. ïoi 

(S. .1 ai ri 11(1 M- aux ^^oli^'t^lles Aiuudvs de Malhéinaliques [i(y.>.o) 
un autre cxiMiipIc intéressant au |)oiril de \ ue de ce Chapitre. Il 
s'ajrjt df deux surlaccs de Iranslat luii a|)|)lical)l('s l'uiu; sur l'auLre 
avec eonservaliou du réseau de Iranslat ion. .\v. lappelie le résultat : 
soient .r, //, :; trois i'onctions de t satisfaisant aux deux relations 

[17.) 

{ l^x--h /n^y--]- n'Z'^= i, 

où /. ///. // sont ti'ois nond)res ([uelcon(pies, réels ou iina<4inaires. 
On considère trois Fouet i( mis .c^, z/^, z^^ tle /^ satisfaisant aux é(pia- 
t ions 

l '^i -^ J'i — -î =1, 

f /^ /n- n- 
II est chur (pie les formules 

1 X = l x(t)^'{ t) lit -^ £ Xiiti) r''i{/i)dti, 

f z = I 5(().i(t)df -+- t" jzi(ti):^i(ti)dtr, 

i .\i= l l x{t)§[ t}dl ^ - xi{fi) ^liti) dti, 

(•'•>) ' ^\-= m fy{tj^nt)dt-r-^fyi{t:)i,(t,)dtu 

f Z,= // I =(/)^(t)df^r ^fzi(fr)h[ti)dtu 

où £, î', z" désignent + i ou — i et J" (/) et .T^ (/^) deux fonctions 
quelconques, définissent deux surfaces de translation S, Sj ayant 
pour d.s- commun 

( ■>.() ) ds'' = -î-^ ( / I dt- -h ^'l(ti) dt\ 

-h ■>[zx{t)xx{ty) -\- l'yyi^ £"--lJ c^l t j ^i(ti)dt dit. 

Les deux courbes sphériques (22) et (23) sont deux coniques 
s})héri({ues homofocales; le point x, y, z décrivant la première, le 
point Ix, iny, rnz décrit la seconde. Si /, m, n sont réels tous trois et 
si l'unité est comprise entre la plus grande et la plus petite quantité 
P, 1)1^, n^, j'ai deux coniques homofocales non sécantes et deux sur- 
faces S et 84, réelles toutes deux, se recouvrai! I réellement sur toute 
Bull, des Sciences inatliën., 2' série, l. \LV. (.Iiiillel 19:^1.) i3 



-îoa IMtK.VIIERI': l'A HI I K. 

leur étendue : à notre j)Ojn1 de vue, imus n'avons ilrii de cée-l pour 
les systèmes cyeliques. 

Mais si ni esL une inia^uiaiic pure, eu supposant n^ >> i >■ /^, <ui 
a pour les eourbes (22) et (:i3) deux eoniques réelles hoinofoeales 
sécantes; on peut choisir les paramètres t et t^ réels })0ur les points 
réels des deux coniques; ^ et ^f^ étant des fonctions réelles, la pre- 
mière surface S sera réelle et la surface S^, engendrée par les points 
correspondant aux points réels de S, est une nappe imaginaire 
sur laquelle X^ et Zj sont réelles et \\ imaginaire pure. Le roule- 
ment de Sj sur S donm; doiu' un système cyclique réel et un 
système triple orthogonal réel complètement connus (juand les 
quadratures sont faites, puisque le système conjugué commun 
lui-même est connu. Avec les combinaisons de signe possibles sur 
les t, on a huit surfaces d'un coup, donc trente-deux systèmes 
cycliques ou triples orthogonaux. 

.l'ai indiqué, dans le Méiiioire des Nouvelles Annules, conuiieut 
on peut faire disparaître les cpiadral urcs (jui figurent dans les for- 
mules (24) ou (25) et comment on peut obtenir une infinité de sur- 
faces algébriques en particulier. Ces surfaces algébriques four- 
nissent donc trente-deux systèmes cycliques ou triples ortho- 
gonaux réels et algébriques. 

Je vais indiquer précisément un cas où S et S^ sont toutes deux 
réelles et où l'on pourra faire rouler indifféremment l'une ou 
l'autre sur la surface associée, de façon à avoir cette fois soixante- 
quatre systèmes tous algébriques et réels. 

Je reprends les notations qui précèdent et renqjlace m par im' ; 
je suppose /i >> i > ^ >> o. Des équations 

je déduis 

(18) 

ou encore 

je définis la fonction e7 (/) par 

( 3o ) i I O ^/< = f ^ >., ^^ ( ^- )> 





1 ^'- 


H y^--^ 


5- = 1 . 




\ l^Xi- 


- in'^y^-^ n 


---= 1, 


i 


X dx -\- 


ydy^ 


z dz =^ ( 


1 1' 


'■X dx — 


m'-'y dy -^ 


n- z dz = 1 


X 


dx 


y (^y _ 


zdz 



MÉLANGES. 2o3 

uù 1' csl mi |MiI\ iioiiic callcr; coiuiiic tm a 

m'- -4-1 z-{ rn''-{- n^ ) 

I y-(m''-\- n-) 

P(.r-) se transforme à voloiiLé en Q(j/-^) ou 11 (-""), où Q eL 11 dé- 
signenL des polynômes. On a done 

l x(t)dit)dt z= î — - I x'- V(x^)dx. 

En intégrant on obtient, en négligeant, ce qui est permis, une 
constante d'intégration, 



/ 



x{t)Sil)clt = x^ A(.r2), 

où A est un polynôme entier. Comme les fonctions x^, y^, Zj sont 

solutions de 

! x\ ^ yl + zf = I, 

(3.) Nl_Zl + ^=i 

qui dérivent de (27) par les échanges 

X y z ( n m' 
I I I 



^' ^' •'■ ;; 7 m 



on })Ourra })Oser 



I .r, dx\ _ .ri «.Kl _ —-=1 "^1 

/'- ( /i- -1- /^t'- ) /?i'- ( /i- — /- ) n- ( ni- -t- /- ) 

où P, est un polynôme. On en conclut 

. X = x^k{x'-)^ e x\A.-,(xl), 
(34) Y = ^.3B(j2,+ s' 7?B,(jK|), 

X,= / x^X[x'-)-h ~ x\\i{xl), 
(3-,) ' Y, = ùn'y^ B(y^) -f- -^,y{ Vn(y]), 



Z, = /i sM::(=»)+ - z] G,(2f), 
OÙ A, B, C, Aj, 13]^, Cj signifient certains polynômes. 



M PRKMIKKK l'AiniK. 

Xous avons «léjà écril 

x^ ( m'- -h l- ) -+- Z' ( ni- -(- «2 I _ ffi'i _|_ I ^ 

ce ({ui prouve ([lie la pi'ojcclioii sur le |»lau rOz de la coiimiik' 
sphérique (.r, i/, -) est une ellipse (!U |)arlie iulérieui-e, en pailic 
extérieure au ^rand cercK; x^ + ;3^ = i de la sphère dans le 
pian XGZ. \/A projeeLion sur le même plan a;Os d(! la conicpu' 
sphéri(|ue (.r^, //j, Zj) [jossède les mêmes pro|>nétés. Duiic v.n pieuanl 
le point (r, o, :::) ou (o-i, o, z-^ sur le morceau inlérieur d'elli|>se, // 
ou î/j est réelle, de sorte que par (34), on obtient une nappe réelle S, 
et une nappe imaginaire Sj par (35); nous faisons rouler Sj sur S, 
nous avons d'un seid coup I icnle-deux systèmes cycliques ou lii[)les 
orthogonaux tous réels et al<i;él)ri<[ues. En ])rejiant, au contraire, 
(r, o, z) ou (.^•^, q^z-^ sur le morceau extérieur, les ({nantîtes y ou //^ 
sont imaginaires puj-es de sorte que Ton lrou\(; ime nappe S ima- 
ginaire, une na])pe S^ réelle. On fera rouler S cette fois sur Sj; nous 
avons trente-deux systèmes nouveaux. 

Les deux surfaces S et S^, cette fois toutes deux réelles, ont donc 
conduit à soixante-quatre systèmes cycliques. 

L'exemple le plus simple correspond à P:^Q^R^3 et 
Pj ^ Qj ^ Rj ^ 3 A, où h est une constante. On a alors 



(36) 



(37) 



f «2-4- m 


^)\ = 




•7-''+ 77" ^\, 


( i^- ,r^- 


■■)Y = 




3 '-''' . 


(m'i^ /■ 


'■)Z=. 




.3+^^.. 
" ^ «3-'- 


('//--4- 1)1 


-)X = 


l 


3 ^f' 3 


( /i— n- 


'-)\ = 


ini 





V-)-L = n c.3^— z\. 



Dans ces systèmes du type (34), (35), tout s'exprime finalement 
par les fonctions elliptiques. 

Dans mon Mémoire des Nouvelles Annales, j'ai donné des 
exemples explicites de cas où les coni(|ucs homoFocales ({ui entreiit 



MKLANGKS. •io'i 

(Ml j(Mi se irduiscnl à iiii syslriiu' de deux (ifarids cercles on au sys- 
tème coMstitiic \)i\v un <;iaii(l cercle el nue véritable couique sphé- 
ricpic : j'ai uioulré que, dans ce cas, on peut obtenir un recouvre- 
ment partiel conduisant, d'après ce nouveati travail, à des sys- 
tèmes cycliques réels. J'ai même montré dans le présent travail un 
cas où le rccoiix l'cmcnl physi(|uc n'a pas lien du loiil : ('bapilj-e 1, 
pai'a<iraplic 1 I . 

9. 1-e païaholoïde de révolution '■S fournit des résultants cu- 
rieur : on doit faire rouler f sur la surface réelle S' [i^oii' Chap. II, 
§ 9). Si l'on ])rend le système cycliciue dérivé du foyer du 
|taraboloïde, on trouve que le centre du cercle relatif à un point 
de S' est le point 

i X = -y- le" de' — e' de" ;- / c\ cc'^ — c\ dc\ , 

ip r , n „ , ip r , - . / 

I )S) ■ y ^= -^ I r de — c cic — — I Cl ae^ — r, rfci, 

1 4 J 4 J 

= — / e' de — c de' — i e\ de^ — c, de\ ; 

A J 4 . ' 



le rayon de ce cercle est -4/ » le plan de ce cercle est tangent 

à la surface S' et a donc pour paramètres directeurs i (c^ — c), 
i (c', — o'), i (c", — c"). Ici les cercles du système cyclic{ue sont 
connus, c}uand la surface S' est connue, par de simples différen- 
tiations et éliminations, sans avoir besoin de calculer les quadra- 
tures réalisant l'application de ^ sur S'. Mais la détermination 
des surfaces des trois familles du système triple exige cette qua- 
drature. Dans le cas de la cubic[ue de Lyon, les surfaces enveloppes 
de sphères sont algébriques, mais les surfaces trajectoires ortho- 
gonales des cercles sont transcendantes. 



2oG PRKMlf<:iU': PAUTIH. 



UNE LETTRE INÉDITE DE ROBERVAL DU 6 JANVIER 1637 
CONTENANT LE PREMIER ÉNONCÉ DE LA CYCLOIDE; 

l'Ali M. C. i.i: \V A M!l>. 



Peu (le lignes courbes oiU intéressé, dès Iciii' iiixcnl ion, les in;i- 
thématiciens auianl que la cycloïde. Cet intérêt s'exj)lique par le 
fait qu'il s'agissait d'une courbe transcendante, à laciuelle on 
pouvait appliquer les méthodes qu'on avait appliquées jiis({u'alors 
exclusivement aux courbes algébriques. Bientôt aussi la nouvelle 
courbe montra des propriétés nombreuses, importantes, et néan- 
moins souvent très simples. D'ailleurs elle donna lieu, à plus d'une 
reprise, à de graves démêlés entre des géomètres renommés. Ces 
faits peuvent justifier la digression sur l'origine et l'enfance de 
la courbe qu'on rencontre dans le premier manuel venu sur l'his- 
toire des mathématic|ues. 

Généralement, on attribue à présent à Roberval la découverte 
d'une des principales propriétés de la courbe, sa quadrature; mais 
on ne s'accorde point t{uant à la date de cette découverte, ni quant 
à celle de la première construction de la tangente. On croyait 
pouvoir déduire ces dates de certains documents postérieurs, 
dont les principaux sont deux lettres adressées par Roberval à 
Torricelli, la première le i^^ janvier i645, la seconde dans l'hiver 
de 1646-1647 (^). Des historiens comme Cantor, Zeuthen et Loria, 
bien qu'ils n'aient pas foi en l'assertion du géomètre de Paris 



(^) Les parties de la lettre, envoyée le i^"" janvier 1646, regardant la cycloïde, 
ont été reproduites par Carlo Dati, dans la Lettera a Filaleti di Timauro 
Antiale, etc. (Firenze, i663), p. 12; par Gruning dans sa Hisloria cycloeidis 
(Haniburg, 1701), p. 28-34, et dans les Œui'res de Descartes, éd. Adam et 
Tannery, t. V, 1908, p. 426-427. La lettre de 1646-1647 fut imprimée pour la 
première fois dans les Divers ouvrages de mathématiques et de physique par 
Messieurs de l'Académie royale des Sciences (Paris, lôgS), p. 284-802. Enfin 
les deux lettres sont imprimées in extenso dans la nouvelle édition des Opère 
di Ev. Torricelli, vol. III (Faenza, 19^9), p. 349-356 et 487-508 {voir cepen- 
dant ce Bulletin, 2^ série, t. XLIV, 1920, p. 241-242). 



MKLAXCKS. .107 

(lisaiil iinil ciisciiiiinil sa lurlliodc iiuicaniquo dos tano-cntcs déjà 
(Ml i(i.)(t. iilirsilcnl pas à (••(iicliirc, des mois doiil, il s(; sert, que sa 
décoiiNt'ilc de la ([iiadra I iiic dale de i634. Assez d'autres oepeu- 
daiil ont eu beaucoup moins de eon fiance dans les deux lettres 
citées, écrites au milieu des disputes, ([ui étaient entiagées entre 
Taulcur et son correspondant ])récisémenl sur la courbe en ques- 
tion : l't d'ailleurs, grâce au sens qu'on donnait aux passages relatifs 
à la cycloïde, ceux-ci semblaient contredire ce qui était connu par 
d'autres sources. En ell'et, les expressions de Roberval semblent 
impliquer (Pascal, dans sou Histoire de la Roulette, paraît avoir été 
le premier victime de cette erreur d'interprétation) qu'il commu- 
ni({ua le résultat de sa quadrature aux géomètres un an après i634, 
donc en i635. Mais il résulte de la correspondance de Mersenne 
avec Fermât et Descartes, qui comprenait jusqu'à présent les pre- 
miers documents datés sur la découverte de Roberval, qu'une 
telle Communication n'arriva pas avant le commencement de i638. 
11 y eut donc des historiens comme Montucla et Tannery, qui con- 
clurent que la découverte de la quadrature ne peut dater que d'une 
époque plus récente. Une telle hypothèse avait d'ailleurs l'avan- 
tage d'être davantage en accord avec ce qu'on croyait pouvoir 
établir sur la découverte de la méthode mécanique de Roberval 
pour le tracé des tangentes. Dans sa lettre de 1646-1647, celui-ci 
déclare l'avoir trouvé en même temyjs que ses premiers résultats 
sur la courbe. Or, dans une profonde étude, Jacoli croyait pouvoir 
conclure des lettres de Descartes que cette méthode mécanique 
était encore inconnue à Roberval dans l'été de i638, et peut-être 
même en i63g. Sans aller si loin que l'autevu' italien, qui suppose 
donc que la découverte de la méthode par Roberval est à peu près 
contemporaine de la découverte de la même méthode par Torri- 
celli, la conclusion de Jacoli a été acceptée parMarie(^), Tannery (-), 
Zeuthen et Loria. 

Nous croyons pouvoir mettre en évidence quelc{ues fautes qu'on 
a commises, soulever les contradictions apparentes dans les docu- 
ments, et réconcilier enfin les vues différentes, à l'aide d'une lettre 
contemporaine de Roberval, juscju'à présent inconnue, que nous 

(^) Histoire des Sciences mathématiques et physiques, t. IV, 1884, p. 116. 
(-) Bultetin des Sciences malliémaliques, 2*^ série, t. XVII, 1898, p. 64. 



9.o8 IMIKMIRUK IW It I I K . 

publions ci-aj^rès. Celte lettre existe en deux copies. L'une se 
trouve dans un cahier manuscril, dressé à Paris, dans l'hiver de 
1642-1643, par François \an Sclniolen. et conscrv»'' ;i la i»il)lio- 
thèque de l'Université de (îronin<iue. I/aulre se trouve dans un 
recueil, qui fut dressé probablement vers lô'JS et arriva en Italie 
où il est conservé aujourd'hui, parmi les papiers de Viviani, à la 
biltliot lièquc nal ionale de Fhu'ence. Ces deux recueils compretiiicnl , 
pour la plus <;rande partie, des cojjies d'écrits de Fermai, et nous 
en avons parlé amplement flans l'Introduction à un Supplément 
aux Œuvres de ce géomètre, ([ui se trouve sous ])resse (^). 

Pour la (construction de sa courbe, Uoberval part, dans la lettre 
suivante, d'un paradoxe, qui nous est conservé par Aristote ou par 
l'auteur alexandrien auquel on atlribiie la collection des Questions 
mécaniques. Dans la 24^ ou 25^ A parie, ce paradoxe sur la figure 
connue sous le nom de Bota Aristotelis, est énoncé comme suit : 
Oti demande comment, lorsque deux cercles ont U7i même centre, la 
révolution par roulement se fait, pour le plus grand comme pour le 
plus petit, suivant des lignes égales, tandis que, si on les fait rouler 
isolément, les lignes correspondant à leur révolution sont entre elles 
comme les grandeurs (diamètres) de ces cercles. De plus, comment, 
lorsque le centre est le même pour les deux cercles, la ligne correspon- 
dant à la révolution par roulement est tantôt de la grandeur (de la 
circonférence) du petit cercle, tantôt de celle du grand cercle. 

Le grand nombre des savants qui ont commenté ce paradoxe, 
depuis que les ouvrages du Stagirite ont été divulgués par la presse, 
ne le croyait pas inférieur au problème de la quadrature dvi cercle, 
pour la solution duquel on espérait même tirer quelque secours de 
l'étude de la question de la roue. Celle-ci fut comptée au nombre 
des problèmes les plus fameux. Des épithètes telles que mirabilis, 
suhtilissima, omnium difficillima accompagnent les Notes consa- 
crées au paradoxe par Nicolas Leonicus (iSaS), Allessandro Pic- 
colomini (1647), Maurolic, Cardan (1670), Baldi (1682), Benedetti 
(i585) et Monantheuil (iSqq). Sans doute, la figure empruntait 
son nom à sa ressemblance avec la roue d'un chariot, dont la cir- 



(^) Œuvres de Fermai, etc. SupplémeiU aux Tomes I-IV. Paris, «iaiithicr- 
Villars et C'^, 1921. p. ix et suiv. 



MfJ.ANGKS. 'oç) 

confriem-e est formée par le eerele j)Ins liraïul, n|)])elé le déférent 
[circulus déferons) el le moyeu paj- le eeitle plus petit (circulus 
ilelittiis). Le roulement d'une telle roue pouvait; présenter chaque 
jour, dans la rue, aux eontem|iorains de de Vinci, de Cardan et de 
\ ièle la question de la <ourbe décrite par un ])oint de la circon- 
férence, qui parcourt sur sa tanp;ente une distance {base), estimée 
é|i;ale à cette cii'conférence [cyriois sini i>le.r). Mais c'est l'étude du 
paradoxe d'Aristote qui jnit donner l'occasion d'ajouter à ce cas, 
de la manière la ])lus natuiclle, ceux des deux courbes afiines, 
telles qu'on les trouve produites dans les documents les ])lus 
anciens : la cyeloïde raccourcie {curtata, inflexa), quand la base est 
plus grande, et la cyeloïde allongée {oblongata, nodata), quand la 
base est plus petite que la circonférence du cercle générateur. 

En effet, pour croire que ce filt par l'étude de la roue d'Aristote 
que Mersenne, vers l'année i6i5, fut amené à étudier le problème 
de la cvclôïde, nous avons des raisons au moins aussi fortes que 
pour ajouter foi au récit un peu colorié de Pascal. En relevant 
cette date de i6i5. Pascal assure que Mersenne se proposa le pro- 
blème de la cyeloïde en voyant rouler les roues d'un chariot dans 
la rue. Or, nous savons que Mersenne enseignait dans les années 16165 
161 6 et 161 7 aux en\irons de Nevers la philosophie (^). Le reli- 
gieux, dont on disait que rien ne lui échappait ({ui s'imprimait en 
France ou ailleurs, aura eu l'occasion de prendre connaissance des 
nouveaux commentaires de Blancanus sur le paradoxe d'Aristote, 
qui virent le jour précisément en iGi5. Du moins le Minime les 
citera, comme ceux de Baldi, parus en 1621 , dans sa première publi- 
cation, parue en lôaS, à l'endroit ovi il tâche de donner une solu- 
tion personnelle du fameux paradoxe, auquel il promet de re- 
venir (^). A notre grand regret, nous n'avons pas pu consulter 
l'unique exemplaire conservé de la Synopsis mathematica, publiée 



(^) La ville de Nevers est nommée expressément dans une relation posté- 
rieure. Voir les prélégomènes à la plus récente édition de l'Histoire de la Rou- 
lelte [Œuvres de Biaise Pascal, éd. Brunschvicg, Boutroux et Gazier, t. VIII 
(Paris, 1914), P- 184]- 

(^) Quœstiones celeberrimœ in Genesim, cum accurata texlus explicatione, etc. 
(Lut. Par., Seb. Cramoisy, 1628) (Approbation du i4 février 1622, Privilège 
du 17 février 1622, achevé d'imprimer du i^'' février i623), col. 68-70. 



>io PREMIËRK PARTI K. 

par Mcrsenne en 1626, qui rctifcrincTjiil, selon Duhem (^), uno 
nouvelle édilion des Questions mécaniques, et done peut-être des 
eommentaires nouveaux du Minime sui' la cpieslion de la roue. 

La question se ])ose si Pascal a en vue de telles publications de 
Mersenne, quand il ailirme que le Minime aurait proposé, vers 
cette époque, la recherche de la nature de la cycloïde « à tous ceux 
de l'Europe qu'il en (Tcut capable et entre autres à Galilée ». 
Quant au savant de Florcn<'e, il serait facile de mettre en évidence 
la orande jirobabilité d'une comnnniicalion plus directe, faite à 
celui-ci de la pari du Minime, coMimc d'une |»areille, en i6'j5, à 
Giovanni de Guevara. Mais nous nous bornons à rappeler que 
le dernier publia, lui-même, dans vm Ouvrage paru en 169,7, sa 
propre solution du paradoxe d'Aristote; il déclare que ce paradoxe 
contient une difficulté quœ multoruni quippe vexavil ingénia et pêne 
insuperahilis apud aliquos existimatur, en faisant déjà allusion aux 
cycloïdes tant ordinaires que raccourcies et allongées. Cet Ouvrage 
de Guevara se trouva bientôt à Paris dans les mains de Mersenne, 
qui le cite, avec ceux de Monantheuil, Blancanus et Baldi, dans sa 
publication suivante (^), et en tire l'occasion de faire de nouvelles 
propositions sur la question débattue. 

Une telle proposition arriva, en 1628, à Roberval, qui avait 
assisté au siège de La Rochelle et s'était fixé nouvellement à Paris 
à l'âge de 27 ans. Dans sa lettre de i645-i646 (qui ne fut expédiée 
que le i^'" janvier 1646), le géomètre déclare ne pas savoir avec 
certitude par qui le problème a été proposé le premier, mais alfirme 
que ce problème était divulgué en France déjà depuis beaucoup 
d'années. Ces expressions s'adaptent aussi bien à la question de 
la figure de la cycloïde qu'à la question plus ancienne du para- 
doxe d'Aristote, En effet, lorsque Roberval relève à nouveau la 
proposition de Mersenne dans sa lettre de 1646- 1647, il unit aussi 
les problèmes des deux figures [Botse atque Trochoïdum illius). 
Dans le dernier document il dit d'ailleurs que Mersenne lui avait 
communiqué alors que plusieurs personnes avaient tenté en vain 



(^) Les Origines de la Statique, t. I (Paris, igoS), p. 293, 297; t. II (1906), 
p. 12.3, 187-188. 

(-) Les questions théologiques, physiques, morales et mathématiques, etc., 
composées par L[e] P[ère] M[ersenne] (Paris, Henry Guenon, i634), p. 38, 



MELANGES, mi 

pendant beaiu()U|) (raiinées de trouver la solulion de la question; 
à ([uoi le géonièire lui fit remarquer qu'il en était de même pour 
beaucoup d'autres problèmes très anciens el très nobles {i>etiistis- 
s iinis nob iliss tin isque) . 

A cette occasion, Roberval ne réussit pas à trouver la solulion du 
liroblènie de la forme de la cycloïde, et il l'alliit attendre des 
progrès ultérieurs de sa j)art dans la «réométrie. Ainsi le problème 
était déjà eU'acé de sa mémoire, lorsque le Mininu' le lui proposa 
de nouveau, (".'était à la fin de ]().'i), selon la lettre de i645-i646; 
en i634, selon celle de 16^6-1647. L'auteur, dans son Traité de 
Trochoïde ejusque spaiio, déclare avoir trouvé le complexe des 
découvertes sur la cycloïde entre les années i635 et i64o. Enfin, 
selon Mersenne, ce sont les premiers résultats obtenus par Roberval 
qui remontent à l'année i634 (^) ; et la même date de i634, nous est 
indiquée dans le récit de Pascal, qui ajoute que Mersenne renou- 
vela la proposition en voyant alors Roberval résoudre plusieurs 
grands problèmes. 

Tandis que nous différons de démontrer qu'aucun fait ne 
s'oppose à l'admission de ces dates presque concordantes, nous 
remarquons déjà ici qu'une nouvelle proposition de la question, 
de la part de Mersenne, avait alors, vers l'année i634, des raisons 
particulières. 

En 1634, le concours public pour la chaire de Ranuis dans les 
mathématiques, qui commençait d'ordinaire, tous les trois ans, 
vers Pâques, avait fait triompher Roberval, et Mersenne avait 
entretenu Descartes des' questions alors proposées (^). D'autre 
part, c'était vers la même époque que le Minime publia un nou- 
veau commentaire sur la roue d'Aristote, auquel il consacra la 

(1) Reflectiones physico-mathematicœ (Paris, 1647), p. 71. — Notre interpré- 
tation de ce passage diffère de celle donnée par Tannery, qui l'a relevé ainsi : 
«...lorsqu'il [Mersenne] y dit : Clarissimus enim D. de Roberval, quem aliàs 
nostrum appello Geometram, et qui primus omnium Trochoïdem ipsam atque 
ipsius solida et eorum omnium centra gravitatis invenit et iam ah anno i634 
demonstrata mecum et pluribus aliis communicavit.... il est clair que i634 ne 
peut être qu'une faute d'impression (probablement pour i643) » (Œuvres de 
Descartes, t. V, igoS, p. 428). 

(2) Œuvres de Descartes, t. I, 1897, p. 288, 291 ; voir pour ces questions aussi 
la lettre de Roberval à Hevelius do i65o [Ch. Henry, Iluygens et Roberval 
(Leyde, 1880), p. 4i]. 



919. PRKMIERK PAinii:. 

plus >:raml(> ])nrlie de ht Préface de sa Iraduclioii d'un luanuscril 
de Galilée, dont l'aclievé d'imprimer est du .'jo juin i()3'î. D'ailleurs, 
dans la dernière de ses additions à cette traduction (^), Mersenne 
renvoie déjà à quelques passacres du Livre second, intitulé des 
Mouvements, de son grand Ouvrage de VHarmonie universelle, 
qui lui avait coûté, comme il l'écrivit à Peiresc, <■ plus de dix ans 
de labein^ assez particulier». Des lettres du Miniinc à sfui Mécène, 
il ressort aussi que cet Ouvrage était achevé en manuscrit le 
20 mars i634, qu'il en commença l'impressicui en juillet \f^?)\ e1 
([u'un exemplaire inipiimé du l.ixre second fui envoyé à Aix le 
17 septembre i635 (^). Or c'est précisément ce Livre second qui 
comprend le premier énoncé inq)i!mé de Mersenne sur la figure de 
la cycloïde : l'expérience, dil-il. hii avait fait voir (fue cette figure 
était identique à une demi-ellipse (^). 

La détermination de la forme exacte de la courbe est la pre- 
mière question à aborder, avant d'arriver aux autres problèmes 
de la cycloïde; ce fut sans doute elle C{ue Roberval trouva le 
premier. Et selon nous, rien ne s'oppose à ajouter foi aux paroles 
du géomètre lorsqu'il déclare avoir trouvé sa méthode mécanique 
pour la construction des tangentes en même temps, c'est-à-dire 
vers 1634, qu'il détermina cette forme, assertion qu'il énonça déjà 
dans une lettre à Fermât de i64o (^,). Il est vrai que Descartes, en 
envoyant sa construction de la tangente à la cycloïde à Mersenne 
dans l'été de i638, répond à un défi de la part du Minime, qui lui 
avait communiqué, sans plus, ({ue Roberval avouait ne pas 
pouvoir trouver cette tangente (^). Le même défi donna lieu 
aussi à un envoi de la part de Fermât ('"'). Mais pour mettre en 
é^'idence la fausseté de l'interprétation qu'on a donnée à ce fait, 



(') Les Méchaniques de Galilée, etc.. traduites de Titalien par L[e] P[èrej 
M[arin) A/[ersenne] (Paris, Henri Guenon, i634), p. 88. 

(^) Tamizey de Larroque, Les correspondants de Peiresc : xix. Le Père 
Marin Mersenne (Extrait de la Revue historique et archéologique du Maine, 
1892-1894, p. 78-79, 98, 109, 122-123, i3o, i32-i33, i34, 147-148, 149, i5o, 
i5i, i52-i53, i55-i56, 157, 160-161, 162-163). 

(•*) Harmonie universelle, vol. I (Paris, i636), livre II, Prop. IX (p. 120). 

('') Œuvres de Fermât, t. II, 1894, p. 200-201. 

{'■') Œuvres de Descartes, t. II, 1898, p. 3i2, 3g4. 

(") Ouvrage cité ci-avant (p. 208, Note i), aux pages 95-97. 



MKl.ANGKS. >i:î 

nous iTavùiis (\uh it'piciuli'f imc llicsc émise plus Lai'd par I ari- 
iicry ('). Pour .ju<i»'r juslciucti l, il faut se rappeler qu'on faisait 
alors uiH- (lisl iiicl ion essentielle enire des solutions obtenues par 
la t^éoniétrie ou voie d'analyse et celles obtenues par des considéra- 
li(uis iné('ani(|ues, ([ul élaient bannies du domaine de la (léomélrie. 
L histoire de la e.ycloïdc cIle-iniMiic nous fournil un autre exemple. 
Lorsque Torricelli commiinitiua plus tard aux géomètres de Paris 
le résultai de la déteiinination du centre de gravité de la courbe 
(([u'il a\ail (d)tenu, sans le duc, ]»ar l'application de la règle de 
Paj)pus-(iuldin), Mersenne lui écrivit, le 9./\ juin i6/\/\, au nom de 
de Roberval lui-même, de faire connaître s'il n'a trouvé ce résultat 
(jue par voie mécani([ue {mechanicè ianluin), qui est jugée inadmis- 
sible, et même fausse, dans des problèmes de géon^étrie [qiiœ 
iicoinctricè falsa sxispicatur). Et Hoberval lit de telles distinctions 
même entre les solutions géométriques mutuelles (^). Ainsi on peut 
seulement conclure des expressions de Permat et de Descartes 
que c'était à la construction de la tangente à la cycloïde par voie 
d'analyse que le géomètre de Paris avait avoué avoir échoué (^). 
La construction au moyen de la méthode mécanique est ici hors du 
débat et peut très bien avoir été trouvée vers i634, comme tout 
le j)rincipe de cette méthode, par laquelle la tangente à la cycloïde 
se construit en vérité de la manière la ])lus facile et la plus natu- 
relle. 

Comme à la découverte des fondements de la méthode méca- 
nique des tangentes, on peut donc attribuer la date d'environ i634 
aussi à la découverte de la forme exacte de la courbe. C'est la 



(^) Œuvres de Descartes, t. II, 1898, p. 338-34 i. 

(-) A propos de la solution d'un autre problème, envoyée à Paris par Tor- 
ricelli, il remarqua demonstrationem per solida (c'est-à-dire par moyen de sec- 
tions coniques), quuin per plana (droite et cercle) fieri potest, ignobileru esse 
et propeinoduin errorein [ Opère di Ev. Torricelli, vol. III (1919), p. 438]. 

(^) De telle manière procéda la solution de Fermât. Le fait que celle de 
Descartes ((jui avait exclu la cycloïde, comme courbe mécanique, du nombre 
de celles auxquelles sa méthode s'apiîliquait) réussit par l'application de la 
théorie du centre instantané de rotation, et, par conséquent, nfe satisfait pas 
davantage à la condition, ne contredit pas notre thèse, puisque le philosophe 
ne répéta, à l'égard de Roberval, (juc ce que Mersenne lui avait confié sans 
s'explic|uer avec assez de précision. 



'l'i PREMIÈRE PARTIE. 

cléteriniiiation de colle forme ((ne Uoherviil ((niiin-end aussi bien 
que celle de la quadrature parmi les résultais qu'il dit avoir trouvé 
dans le passage mal rédigé de sa lettre de i(i45-i646. Mais on n'est 
pas contraint d'attribuer à la découverte de la quadrature cette 
môme date de i634 aussi. C'est à tort, croyons-nous, que les histo- 
riens qui sont de cet avis, ont déduit du passage cité que c'était 
au moment môme de la seconde proposition de Mersenne ou de la 
découverte de la figure, vers i634, ([ue Roberval trouva aussi la 
quadrature de la courbe. Celle-ci réussit en eiïet par l'intermédiaire 
d'une sinusoïde {compagne de la Houlette) d'une manière trop j)ar- 
lirulière pour (jue la solution pût en être trouvée aussi facilemerU. 
D'ailleurs Roberval avoue à l'endroit cité qu'il prit soin de faire 
savoir aux autres géomètres qu'il avait réussi dans de quelconques 
recherches sur la courbe, en tenant secret le résultat de la quadra- 
ture pendant toute une année. Cette confession interdit décidé- 
ment de faire remonter la première Communication à l'année 
i634 aussi. Nous avons déjà vu qu'une telle hypothèse nous con- 
duit à supposer que le résultat de la quadrature fut communiqué 
en i635, comme l'avait déjà fait Pascal, à qui Roberval avait sans 
doute remis, en i658, tous les i>apiers concernant le procès [^). 
La dernière supposition, émise aussi par Tannery [^), est en con- 
tradiction évidente avec les lettres contemporaines, qui font voir 
que la Communication du résultat n'arriva qu'au commencement de 
i638. Pour faire concorder les documents l'un avec l'autre et tous 
ensemble avec les faits connus par ailleurs, il est donc nécessaire 
de fixer la date de la première Communication de Roberval au 
commencement de lôSy. Quant à la quadrature et le volume 
engendré par la révolution de la courbe autour de 1^ sa base, les 
expressions elles-mêmes, dont il se sert dans sa lettre de i645-i646, 
ne semblent pas s'opposer à la fixation de la date de leur décou- 
verte à une époque indéterminée entre l'année i634 et la fin de 
i63(j. 



(^) Nous ne soutenons pas l'opinion que l'Histoire de la Roulelle aurait été 
rédigée par Roberval lui-même ou écrite sous sa direction comme l'a soutenu 
M. Stuyvaert en s'appuyant sur des arguments tirés du style de cet écrit 
[Sur l'auteur de V « Histoire de la Roulette », publiée par Biaise Pascal [Biblio- 
theca mathematica, o« série, t. VIII, 1908, p. 170-172)]. 

(^) Œuvres de Descartes, t. V, igoo, p. 4"^(J. 
i 



MELANGIÎS 'I) 

(^)u'esl-co ((iii arriva donc à la fin de i636 ? Vai oclobre ou no- 
vembre de cette année, Merseune avait vu, à Paris, dans les mains 
du comte de Noailles on de Louis Elsevier, le manuscrit des Dis- 
corsi de Galilée, (jni allait cire imprime à Lcide, et même le Minime 
se vantait de l'avoir lu (^). Sa curiosité sera excitée à nouveau en 
voyant la sctinlion du fameux jiaradoxc de la roue ([ue le savant 
d'Arcetri avait de son côté voulu donner (^) ; Mersenne en aura 
tiré occasion d'interroger à nouveau Roberval sur le problème, 
l'^n tout cas, il adressa à celui-ci, vers cette époque, une lettre dans 
ia(|uelle il lui apprit qu'il croyait à ])réscnt que la courbe, dont il 
avait été déjà question entre eux, était une hélice; Roberval 
répondit à Mersenne par la lettre du 6 janvier i637 que nous 
publions ci-après et que nous tenons ])récisément pour le docu- 
ment au([uel il fait allusion plus tard, quand il prétend avoir 
communiqué aux géomètres qu'il avait réussi dans sa recherche 
sur la courbe, sans avoir fait mention du résultat de la quadra- 
ture, qui consiste dans la proportion triple de l'aire de la courbe à 
celle de son cercle générateur. En effet, quoiqu'il n'est pas exclu 
({ne le géomètre fit connaître à Mersenne le résultat même de la 
([uadrature par une Communication contemporaine et orale (^), 
l'auteur ré})ond dans sa lettre tout d'abord à la cjuestion que le 
Minime lui avait proposée; et le succès de ses recherches sur les, 
propriétés métric|ues de la cycloïde ne résulte que de son assertion 
que ces propriétés sont tout à fait différentes de celles des courbes 
connues jusqu'alors et qu'il est en état de les faire connaître. 

La réserve de Roberval s'explique par le fait qu'au commence- 
ment de 16.37, i^ avait toutes ses raisons de ne pas trop s'exposer. 
Selon le testament de Ramus {'■), le concours public, qui avait 

(1) Le Opère di Galileo Galilei, éd. naz., vol. XVI, igoS, p. 480, 490, 5oo- 
5oi, 5o7, 5i2, 514, 524 et surtout vol. XVII, 1906, p. 63, 64, 80. 

(^) Discorsi e dirnostrazioni matematiche, etc. (Leide, i638), p. 19-22, 5o 
et suiv. 

(^) <( Il [lloberval] » raconte Pascal, « dit au Père [M-erseune] que sa ques- 
tion estoit résolue, et ccluy déclara niesmes cette raison triple, en exigeant 
néantmoins qu'il la tiendroit sccrettc durant un an » [Œuvres de Bl. Pascal, 
éd. cit., t. VIII, igi4, p. 19G). 

('•) Ch. Waddington, Ramas, sa vie, ses écrits et ses opinions (Paris, i855), 
p. 326-328, 338. — Sédillot, Les professeurs de inatliéniatiques et de physique 
•générale au Collège de France (Extrait du Bullelliiio di bibliografia e di storia 
délie scienze mal. e fis., t. II, i86tj, j). 76). 



>a(\ PREMIÈHE l'AHTIE. 

donné au {féomètre la cliairo en i5.1^, devait se renouveler lous les 
trois ans, par conséffucnt, devait avoir lieu de nouveau en i^iy. 
( )r. Piohcrval nous apprend dans sa lettre de i()'j5-i6'î6 <{iie c'était 
j)our ec second secours ([u'il avait réservé ses dé(;ouvertes sur les 
])ropriétés métriques de la ( ycloïde. S'il avait indiqué expressé- 
ment dans sa lettre de jan\ ier i<)07 rpi'il a^■ail tr<)u\é la ([uad rature, 
d'autr(!s auraient tenté sans doute de résoudre ce problème, et 
peut-être y auraient réussi assez \ite, comme le prouvent ])lus 
lard les exemples de Descartes et de Fermât. Kn elîet, tout mène 
à ajouter foi à l'assertion de Koberval (fue sa lettre à MerseiUie cii- 
( niait parmi les autres |jéomètres. iiientôt Mer,senne entretenait 
aussi Fermât (avec ([ui il était entré en correspondance depuis le 
printemps de i636) de l'Ouvraife de (jalilée, i)as eru'ore imprimé ('), 
et lui demandait des éclaircissements sur le problème de la roue, 
que Fermât ne tardait ])as à lui en\oyer (^). C/élail j)robablement 
xcrs la même épof[ue que Mersenne emoya au iréomètr(; de Tou- 
louse la lettre de Koberval. l'outeldis, une de nos copies porte les 
marques qui montrent qu'elle a passé par les mains de Fermât (■'), 
Et lorsque Roberval lui-même écrit, après un long silence, à 
Fermât, le i®^ juin i(j38, sur la question de la eycloïde, il appa- 
raît (') qu'il sait ([ue son correspondant connaît les conditions 

du problème. 

(A suivre. ) 



(1) Œuvres de Fermât, t. II, i8gi, p. ii> (lettre travril ou de mai iG'37, voir 
Œuvres de Descartes, t. I, 1896, p. o6i). 

(2) Le 10 août i638, Fermât répondit à Mersenne qu il lui avait envoyé 
ses pensées sur la question 25 des Méchaniques d'Arislote « il y a longtemps, 
tout au long » [Œuvres, t. II, 1894, p. 166). 

(■') Voir, ci-après, la deuxième Note relative au titre de ia lettre. 
['») Œuvres de Fermai, t. II, 1894, p. i5i. 



CO.MrriiS Uli.NDUS liT ANALYSES. 
COMI'IKS lîKNDlS I:T ANALYSES 



ADIILMAI! I lioitKKT II). — l»KsisTA.\t;i': Diis siatkiuaix. 
Clio/. (liMilliicr-N illai ~, 180 |>;ij;os iii-8", l'jjti. 

Ce polit \ oluaie (jrrsenlf sou.-, nue loraK; siicciuclo les bases 
essentielles de la lliéorie de la Késlslancc des inal«''riaiix. Sa briè- 
veté inênie est l'un de ses grands mérites, et en fait un Ouvrage 
didactique partieulièrement recouiniandable : Le contenu réel, très 
simple, de la théorie de la Ilésislance j est bien mis en évidence; 
les li\ poilièses j sont nellrnienl (Mioiicées ; et l'auteur a le mérite 
de signabn", cliaqu(; Cois (jue cela est utile, ce qu'elles peuvent avoir 
d'aléatoire. Celle présenlalion condensée et sincèi-e place la théorie 
dans son vrai [)lan, et elle a une toute autre valeur, au point de 
\ ue de la fornutlion inlcllecluelle des ingénieurs, qu'un traité 
l()ufi\i bourré de ces calculs (ra[)parence savante dont l'appareil 
impressionne le lecteur au point dv lui faire trop souvent oublier 
le vide de certaines conclusions èh'-gamment déduites de pn-misses 
par trop fragiles. 

Traiter théoriquement a priori les sciences expérimentales les 
plus complexes est une déformation intellecliielle qui a iait trop 
de mal depuis longtemps, ,et particulièrement dans notre pavs, 
pour que l'on ne se félicite pas vivement chaque fois qu'apparaît 
un Ouvrage destiné aux ingénieurs, et bien dégagé de cette dange- 
reuse tendance. 

Les déformations élastiques des constructions sont un phéno- 
mène expérimental, leur étude relève donc avant tout de l'obser- 
vation expérimentale; l'auteur a eu soin de l'exprimer nettement 
dans sa conclusion, et de signaler centaines erreurs fondamentales 
([u'a mises en évidence l'étude expérimentale des voûtes dans les 
conclusions des calculs a priori cdrectués avec les approximations 
ordinairement admises par la théorie classique. On ne saurait 
d'ailleurs parler des efi'oris tentés pour introduire une critique 

Bull, des Sciences mathc/n., .'." série, t. XLV. (Août 1921.) i\ 



^-i8 iM{i-:.Mii:iu-; I'aktik. 

précise el iogiqiu;, hiisce sur Ir hoii sens ci J'cx|)cricii(e, clans l'eii- 
seigncimiMl de hi llésislaiice des malériauv, sans mentionner le 
Traité «le M. H«niasse, aiiquel l'auleur a rendu un jusle hommage. 
L'Ouvrage ecjmmence par une Introduction en deu\ parties où 
sont rappelées les notions indispensaldes d'Analyse et de Mécanique. 
Les trois premiers Chapitres définissent les coefficients d'élasticité, 
les phénomènes élémentaires de compression, d<' traction et d(; 
torsion, et les forces élastiques dans un solides déformé. Les Cha- 
pitres IV et V sont consacrés à la théorie de la Ihîxion symétrique 
plane, (pie les Cliapitres VI, Vil et VIH applicpient aux divers 
problèmes relatifs aux poutres, et le Chapitre l\ à quelques pro- 
blèmes pratiques qui en dérivent. Le Chapitre \ est consacré au 
phénomène de ilambage. Le Chapitre XI introduit la notion de 
glissement longitudinal, pour servir à l'étude du béton armé, à 
laquelle sont consacrés les deux derniers Chapitres (Xll et Xlll). 

.IkW \ II.LKV. 



OEuvRKS coMPLiÏTKS DU CiiiusTiAW IIlygexs, |jubliées par la Société 
hollandaise des Science?, Tome XIV : Calcul des Probabilités, Travaux 
de Mathématiques pures {\'Qb^-\ÇiÇi%). La Haye, Merlins >iisholl, 1 520. 

Le Tome XIV des Œuvres coinplèles de lluygeiis contient 
niie série d'écrits qui olïrent un intérêt tout particulier en raison 
de la lumière qu'ils jettent sur les premières études mathématiques 
de Huygens et sur ses relations avec les savants français. 

Nous trouvons d'abord, dans ce Tome, le texte hollandais du 
Traité De raliociiiiis in ludo aleœ., accompagné d'une traduction 
française. L'origine de ce Traité est, comme on sait, la question 
posée à Pascal en i654 par le Chevalier de Méré, question qui fut 
étudiée par Pascal et Fermât dans une série de lettres, et dont 
Huygens fut instruit lors de son séjour à Paris en i655. A la suite 
du Traité, les éditeurs reproduisent la série des appendices 
qu'Huygens y a successivement ajoutés (le dernier est de 1688). 

La seconde Partie du Tome XIV est consacrée aux manuscrits 
mathématiques de Huygens provenant de la période 1 (355- 1 659. 
Presque tous ces écrits se rapportent à des problèmes et à des 
méthodes suggérés à Huygens par les travaux de ses amis français. 



COMPTES HKNDUS K'V ANALYSES. ui;i 

(le sonl (les (jiu'stions sur hi ihéoiio des nombres cl sur l'équalioii 
(lilc de l*cll, (lonl s'occuprnl Fermai, h'renicle, Saiule-Croix, el 
([lie Mersenne a sii^nalées au jeune Huygens. Ce sont des questions 
sur les paraboles, siii- la ([uadralure du conoïde (parabolique, 
ellipli(pu^ ou li\ perl)oli(|ue ). la eubaluie des solides de révoluliou, 
la reelierehe des centres de |;ravil<'', ([ui se rattachent direcleniciil 
aux travaux de Pascal. Fermai. M\lon. (Test cnliu la solution de 
(pud(pn's-uns des problèmes relatils à la cycloïde proposer 
en MijS par Dettonville (Pascal). L'ensemble de ces écrits nous 
permet d'apprécier le rôle considérable qu'ont joué les influences 
françaises dans la formation mathématique de Hujgens. 

Sur un point de détail nous pouvons compléter une indication 
donn(''e par les éditeurs de Huygens. }l s'agit d'un opuscule de 
Frenicle traitant des j)r()blèmes de Fermât. Se référant à Can loi; 
( \'orlesun^en, t. Il, i' édition, p. "84; voir aussi OE livres de 
Fermât, édition Tannery-llenry, t. Il, p. '(o/i, Note 3), les éditeurs 
nous disent que cet opuscule semble perdu. Cela n'est pas exact. 
,1'ai en eflet récemment retrouvé l'opuscule de Frenicle (avec 
vl'autres écrits oubliés du même auteur ) à la Bibliothèque nationale 
(au catalogue de laquelle il ne figure d'ailleurs pas). Son titre 
exact est le suivant : Solatio tliioriiin prohlemalum circa 
/lumeros ciihos et quadratos, (Jikc tanqnam insolabilia iini- 
rersis Earoprc Matheinaticis r cltirUsimo inro D. Fermât su ni 
proposila et ad I). Cf. M . Laurenderium doctorem Medicnni 
transmissa, à D. H. V . I>. />'. unenta. Paris, /. Lan^lois, iir)-. 

PfF.llRE BOUTROUX. 



P K K M I È II I': l> A H T 11'. - M ÉLAN fi ES. 



MÉLANGKS, 



UNE LETTRE INÉDITE DE ROBERVAL DU 6 JANVIER 1637 
CONTENANT LE PREMIER ÉNONCÉ DE LA CYCLOIDE 

{sui/r et fin) ; 
l'Ail M. <:. i,i: \V\\I!I>. 



Il résulte de ce qui précède que celte année entière [annum 
integrum), pendant laquelle Roberval dit avoir gardé secret le 
résultat de la quadrature, ne sétend pas de i634 à i635, comme on 
l'a cru, mais de janvier 1687 jusqu'au même mois de i638. Cette 
année étant passée, dit-il, puisque personne n'avait contesté la 
chaire à Roberval, il communiqua ce résultat sans démonstration. 
On sait que cette assertion concorde aussi avec les faits et que cette 
communication arriva de nouveau par l'intermédiaire de Mersenne. 
La communication à Fermât résulte d'une lettre-réponse du géo- 
mètre de Toulouse datée de février i638 (^). La communication à 
Descartes fut faite par une lettre du Minime au philosophe, datée 
du 28 avril i638 (^). Enfin Roberval lui-même entretenait Fermât 
de la quadrature, ainsi de la cycloïde ordinaire que des eycloïdes 
allongées et raccourcies, dans une lettre déjà citée du i®^ juin i638. 

Comme résumé de notre thèse nous donnons l'interprétation 
suivante du passage incriminé de la lettre de Roberval de i645- 
1646 : 

...tandem anno duodecimo iam elapso, ego a Beverendo nostro 
Mersenno non levi expostulatione incitatus (c'est-à-dire fin de i633 
ou commencement de i634), in illius demonstrationem incidi (i634 
ou i635 c|uant à la construction de la figure de la courbe et la pre- 
mière application de la méthode riiécanique des tangentes, l'époque 
de 1634 jusqu'à la fin de i636 quanl à la découverte des deux pro- 
priétés métriques), (/j/ce iamen per annum integrum (janvier 1687 
jusqu'à janvier i638) cum nemine ex nostris Geometris communicavi, 



(^) Œuvres de Fermât, t. II, 1894, p. i35. 

(^J Œuvres de Descartes, t. II, 189». p. 11G-117. 



.mi«:langes. "I 

,s'('(/ lanluin curns'i par la lettre suivante de jaiixie? i(337) ut ipsl 
me invenisse rescirent nondum patefacta iUis ratione subsesqui- 
tertia (^), quam illa ohlinel ad suum pa}'aUelos;raminum. Anna 
autcni illo (1687) elapso, quia publicum certanieu pro cathedra regia. 
quod expectaham, et oui talem no(>am propositionem cum suis tangen- 
iibus et solidis sen'aham, non obligerat, apei'Ui (commencement 
(le i638) subsescpiitertiain illhni raiionem sine demonstratione ; actum 
duo ex nostris geometris, nenipe D. de Fermât (en juillet i638) (^), 
et D. Descartes [on nmi ('\ juillet i638) (•') demonstratione s inwen- 
■crunt. inter se penitus el a nosira di^crsas — 

A défaut de doeunieats décisifs, eelui qui désire reconstruire 
l'histoire des premières découvertes de Roberval sur la cycloïde, 
<levra recourir à des conjectures sur le sens précis de ses asser- 
tions. Tant que les hypothèses c[u'on a formées jusqu'à présent 
uiènenl à des contradictions ou rendent suspects des documents 
<knnts ])ar des iionimes dioiu^s tle foi, nous pouvons être excusés 
il'en avoir émis d'autres qui semblent donner une solution accep- 
table à une question c[u"on a si souvent cherché k éclaircir. Mais 
d'ailleurs nous sommes oblioés de mettre en doute, la valeur du 
fondement sur lequel quelques historiens ont bâti leur conclusion, 
que la découverte de la quadrature par Roberval remonte à une 
époque antérieure à 1637 ou date de cette année même. 

En effet Montucla, Marie ('■), Tannery {■') et (Quelques autres (") 
ont fondé cette conclusion sur le fait que Mersenne a publié le 
résultat de la ({uadrature obtenu ])ar Roberval dans le cahier des 
Noui'ellôs observations ('), qu'ils croient avoir été publiés en 1607, 
parce qu'il se trouve à la lin du Volume second de Y Harmonie 
uni\'erselle, dont un exemplaire imprimé fut envoyé à Peiresc le 

(^) 3 : 4, selon la terminologie de Boècc. 

(^) Œuvres de Fermât, etc. Supplément aux tomes I-I\ . I^aris. Ganlhii'i- 
Viliars et C", ig^.i : pages 87-90. 

(3) Œuvres de Dcscarles, t. II, 1898, p. lîj et suiv., a.'j" et suiv. 

('♦) Histoire des sciences math, el phys., t. IV, 1884, p. 65, ii4- 

{■') Bibliotltecamathematica, 3^ série, t. I, 1900, p. 5ii. — Œuvres deDescarles, 
t. V, 1903, p. 428. 

(") Par exemple Wallner dans la Bihliolheca matliematica, 3^ série, t. IV, 
1903, p. 41-4^ 

(") Observation XI, p. 24-20. 



•>.>.î PHEMIKKI': l'AiniE. 

i5 mars 1637. Or il résiillc de Loiile iiofro liistoire qu'il csl ;i peu 
j)rès impossible que le Minime ail pnMir le résultai, dans l'année 
niènie qui avait j)onr Koberval, à cause du concours (qui durail: 
plusieurs mois), utu^ si orande inq)ortance : le géomètre aurait 
protesté vivement. D'ailleurs Descartes et Fermât, dont le cahier 
donne quelques découvertes faites depuis l'impression de l'Ouvraijt; 
principal, auraient connu le résultat dès le printemps de 1687, de 
telle sorte que Mersenne n'aurait pas en besoin de leur annoncer 
au commencement de i638. Xous croyons donc pliilôl <|iic le 
cahier en c[uestion ne lut constilué ([ue vers l'époque de la coiunui- 
nication du résidtat de la (juadrature aux géomètres ou à celle ((lie 
Mersenne arriva ch^. nouveau herniat et Descartes avec la question 
de la rovie d'Aristotc, à propos de la solution de Galilée alors nou- 
vellement publiée (^), à savoir au printemps ou pendant l'été 
de i638, et que le cahier fut ajouté alors comme complément, avec 
pagination spéciale, aux exemplaires non vendus de l'Ouvrage prin- 
cipal. Cela explique que le cahier ne se trouve pas dans tous les 
exemplaires. L'Ouvrage principal lui-même montre aussi des irré- 
gularités : on voit dans la descrij)tion exacte donnée par Brunet, 
que l'ordre des jjarties séparées n'est |)as toujours constant, et 
même on trouve des exemplaires portant des titres différents. La 
même chose arrive avec l'édition abrégée en latin, Harmonicerunt 
lihri XII, qui parut en i636 et qui présente même parfois des 
dédicaces diverses. Cette édition a subi du reste une addition 
pareille à celle que nous imputons à l'original français : en 1648, on 
donna de cet abrégé en latin une nouvelle édition qui est néan- 
moins identique, page pour page (les fautes d'impression com- 
prises), à celle de i636, sauf qu'on a remplacé le titre ancien et 
ajouté un Liber noms prœlusorius. pour relever quelques décou- 
vertes postérieures, dont une regarde aussi la cycloïde. Des autres 
publications de Mersenne montrent de pareilles additions (^). 

(^) Œuvres de Fermât, t. II, 1894, p. 16G. et Œuvres de Descartes, t. II, 1898. 
p. 436. 

(2) Ainsi, quant aux Cogitata phi/sico-inathematica, publiés en i644î nous 
avons vu des exemplaires avec un achevé d'imprimer du i®^ avril i644> et 
d'autres portant un achevé d'imprimer du i5 septembre i6')4; ils diffèrent 
par des suppléments à des suppléments et des corrections à des corrections 
qvie le Minime avait coutume d'ajouter à ses Ouvrages. 



MÉLANGES. '>.'>^ 

Le calnVr (les Xoui^cllefi observations ne ligure doue, dans l'his- 
loiie de la eveloïde, que pour ainsi dire comme un document sans 
date. Quand on se place à ce point de vue, le fait que ni Carcavy, ni 
Pascal n'ont invoqué le cahier pour établir la priorité de Roberval 
sur Torricelli. esl moins étrange ([u'on ne l'a cru. On ne peut sup- 
poser ([u'il lui constitué avant le 3 septembre i638 ou avant le 
II mai i63ç), dates respe(;tives du ])rivilège et achevé d'imprimer 
des NouK'elles pensées de Galilée, dans lesquelles Mersenne cite le 
cahier ('). C'est dans cette paraphrase des Discorsi de Galilée que 
le Minime traita tout au long de l'explication du savant d'Arcetri 
sur la roue d'Aristote (^) qui ne laissa pas d'embarrasser encore 
beaucoup d'autres savants, témoin le dicton : rotam Aristoielis 
inagis torcjuere, quo niagis lorqueretxir. 

Nous croyons donc que la lettre de Roberval de janvier i637 est 
le plus ancien document, bien daté, dont on puisse tirer des conclu- 
sions touchant la date de la découverte par l'auteur de la méthode 
mécanique des tangentes, qui se fond sur la composition des mouve- 
ments. Dans cette lettre, le plus ancien document aussi qui traite de 
la cycloïde, Roberval se sert de cette composition pour la construc- 
tion de la cycloïde et prétend qu'il peut en tirer encore beaucoup 
d'autres applications (■'). Le même document aide à rapprocher les 
dates de ses autres travaux touchant la courbe, travaux qui sont 



(^) Les Nouvelles pensées de Galilée, etc. (Paris, Pierre Piocolet, 1639), P- ^7 
et 189 et p. 2 (non numérotée) de la Préface. 

(-) Pages 3o-33 (aux pages 32-33 il y fait allusion à la quadrature de la 
cycloïde trouvée par Descartes), puis pages 43-49- 

(') Jusqu'à présent le premier document contemporain sur la méthode 
mécanique des tangentes de Roberval était constitué par sa lettre du 4 août 
1640 à Fermât. Il déclare avoir cru que la méthode de Fermât était identique 
à la sienne « quand je vis que vous aviez trouvé les touchantes de la roulette 
[cycloïde] et que vous assuriez avoir la règle universelle pour toutes les lignes 
courbes » . Or, la lettre de Fermât à laquelle Roberval fait allusion, et qui ne 
donne que le résultat de la construction, est du 5 août i638 [voir l'Ouvrage 
cité ci-avant (p. 9.21 , Note 2), aux pages 96-97]. En effet, déjà vers cette époque, 
Roberval avait laissé s'échapper à Mersenne « qu'il y a un médium pour trouver 
les tangentes de la roulette qui s'applique à tous les cas » {Œuvres de DeScartes, 
t. II, 1898, p. 400). Cependant, il n'apparaît pas que Roberval ait démontré 
les effets de la méthode à d'autres qu'à Etienne Pascal (qui avait dû quitter 
Paris en mars i638), et puis à Mydorge, respectivement à l'égard de la qua- 
dratrice et la cissoïde, c'est-à-dire des courbes, auxquelles il savait aussi cons- 
truire la tangente géométriquement. 



■j,>,\ riU':Mii;in'; pahtik. 

1111 (les ])riiicipavix titres de oloirc de ce géomèlre. Il nous a donc 
semblé di<:^ne d'èlre pul)lié. Les leçons du manuscrit de Florence, 
dont nous faisons état dans la siiilc smit dus au Très Révérend 
Père Giovannozzi, ex-directeui- de r()bservatf)ire Ximénien. Nous 
les avons indiqués par la lettre F; celles du manuscrit de Oro- 
ningue sont indiquées par la lettre (J. 

EXTHAIT n'i.NE LKTTHK 1)1 (Il <) JANVIEU A" IÙ3- (>) 

Al R[kveiu:\I)| I*[kri:| M[eusknnk] (-). 

[Groiiinguc, liibliolhèquc de rUnivcrsilô, Ms. 110, f"' l'i verso-i5 verso; 
Florence, Bibliothèque nationale, Mss. Galileiani, Discepoli, vol. CIII, 
fo^ 99 verso-io3 verso. — Copies.] 

Soit le plan ou ligne droite .\A() [fig. i), sur laquelle roule le 
cercle ABCD. Vous demandés quelle ligne courbe sera descrite par le 
point A du cercle ABCD iusques à ce quil vienne se rencontrer en la 




mesme ligne au point 0, et encore quelle ligne sera descrite par les 
points B, C, et si elle sera pareille ou égcde à celle du point A. Enfin 
si celle du point A sera, comme il vous semble par expérience, une 

Lignes : 3-i. G en la mesme liune omis. — i. F, GO] AO. — ■ G encore omis. 
- — G quelle autre li^uc. 

(^) Dans le manuscrit de Florence, la date est celle du 6 janvier i637; dans 
celui de Groningue, du i6 janvier 1637. S'il faut choisir entre ces deux, on 
pourrait remarquer que dans le dernier manuscrit, se trouve, au-dessus de 
notre copie, la copie d'une autre lettre, très courte, avec cet en-tête : « Extrait 
d'une leUre du iG décembre aP i636 à M' R » . C'est ce qui a pu induire le copiste 
à faire une faute d'écriture, et la date vraie devait donc être celle du 6 jan- 
vier 1637. 

(■-) En marge de la copie de Florence se trouve écrit : « Deleatur et ista epis- 
tola ». Nous avons attribué à Fermât d'autres annotations de cette sorte 
dans le manuscrit (édition eilée ci-avant, p. 221, Note 2). 



MIÎLANGES. >>•; 

(Jeniie-ellipse (^), ou une Elice, comme Vous avés mis en vosLrc der- 
nière letti'e ('''). 

Or, ]>our Vous respondre précisément et ne rien obmettre de ce 
qui peut tomber sur le suiet de cette question, il semble qu'il est 
préalable de sçavoir si la ligne droite AO, par laquelle tout le cercle 
a passé, est égale au cercle, ou si elle est moindre ou plus grande. 
Et c'est icy où ie voy que la pi us part des interprètes d'Aristote, 
au moins ceux que i'ay veux, ont failly en l'explication de la 2o™® (') 
proposition de ses Méchaniques. Car sans doute la ligne AO peut 
estre ou plus grande, ou plus petite que la circonférence du cercle 
ABCD, ou bien esgale à ladite circonférence (''). 

Et pour esclaircir entièrement cette proposition, il est certain 
que le cercle roulant svu" im plan a deux mouvemens : le droit, 
par lequel tout le cercle s'esloigne du point A et s'approche du 
point 0, et le circulaire, par lequel le point A tourne autour du 
centre M en mesme temps que le centre M se meut par la ligne MZ 
parallèle à NAO. Or il est très vray que non seulement les points A, 
B, C, Dj qui sont dans la circonférence, font séparément ce mou- 
vement circulaire, mais encore tous ceux qu'on pourra imaginer 
dans l'espace dudict cercle, liorsmis le seul centre M, lec|uel n'a 
point de mouvement circulaire. Et c'est la raison pour laquelle 
tout le cercle estant meu, le seul point M descrit une ligne droite, 
parce cjue c'est le seul point qui n'a point de mouvement circu- 
laire; et ainsy son mouvement est simple et non pas composé, 
comme celuy de tous les autres points, qui sont dans la circonfé- 
rence du cercle ou dans l'espace qu'elle contient. 

Cela supposé, il est certain cjue ces deux mouvemens n'ont rien 
de commun, et qu'ils peuvent estre esgaux ou inesgaux entr'eux; 
et c[u'encor à les considérer chacun en soy, ils peuvent estre ou 

Lignes : 8. G veux\leux. — F delà 25 (?) prop. — G en la 23 prop., mais en 
marge : 24. — - 21. G pour] par. — 23-24 au lieu des mots parce que. . , circulaire, 
G ne porte qu'un signe ressemblant à celle cl 'un 3. — 26. G. du cercle omis. 

(^) Voir ci-avant, p. 2i2. 

(^) Lettre perdue. 

(^) Les documents de l'époque appellent la question tantôt la 24^, tantôt 
la 2oe. 

(*) Cette distinction mènera à celle des cycloïdes ordinaires, raccourcies 
et allongées. 



2îG PREMIERE PARTIE. 

uniformes ou dilloiiucs. (lar soit imaginé tout le cercle ABCU, 
duquel le centre M, se mouvoir uniformément sur la ligne MZ, et 
soit, par exemple, le |><»iiil Z le centre de la Terre, et le point M un 
]ioint dans la su|)erlitie; imaginons nous encor que, pendant ([ue 
tout le cercle descend au ('(aitre, mira circulalione moi^ealur circa 
centruin M, en ce cas vous ne direz pas ([ue la ligne MZ est égale à 
la circonférence du cercle, et néantmoins la ligne MZ est égale à la 
ligne AO, que le cercle touche en descendant; cjue, si le mouvement 
par la ligne MZ est difforme, la différence sera encor plus considé- 
rable. Enfin nous pouvons supposer que le mouvement circulaire 
est esgal ou inesgal au mouvement droit, et encore que tous deux 
sont uniformes ou difformes, ou que l'un l'est et que l'autre ne 
l'est pas. 

Or, de ces deux mouvemens, à mesure qu'ils sont différens, 
il s'engendre (pour revenir à notre question) des lignes différentes. 
Néantmoins, pour éviter la longueur, nous supposerons les mou- 
vemens uniformes et réserverons à une autre fois le discours des 
lignes qui sont causées par les mouvemens difformes. Mais parce 
que les mouvemens, quoyqu'uniformes, peuvent estre aussyesgaux 
ou inesgaux, il sembleroit qu'ils ne pourroient pas estre tous 
compris soubs une proportion; néantmoins une mesme construc- 
tion sert à tous, comme nous verrons. 

Il s'ensuit de ce que dessus que la ligne du mouvement droit AO 
est quelquefois esgale ou quelquefois inesgale à la circonférence 
du cercle. 

Il seinble que c'est icy le lieu d'expliquer en passant la raison de 
la ({uestion 25 (^) des Méchaniques d'Aristote. 

Soyent en la figure suivante [fig. 2) les deux cercles EC, DB, 
desquels le centre commun soit A, un point fixe autour duquel le 
cercle EC roulant emporte quant à soy le plus petit cercle DB, en 
sorte qu'ils accomplissent tous deux le tour entier en mesme temps. 

Lignes : 14. Après le mot mouvemens, l'ordre dans G est comme suit : pour 
revenir à notre question, il s' engendre à mesure qu'ils sont différens, — 15. pas de 
parenthèses. — 19. G aussy] ou. — -21. G mosnie] seule. — 22. G sert] suffit. 
— 30. G à] et. 

(^) Voir ci-avant, p. 22*5, la Note 3. 



MÉLANfiKS. 



'■>.7 



Il a|)|)cil (|ii(' le |Hiiiil \) (le l'axe A(! se mciil plus leiitemeiiL que 
le poiiil (". (lu iiu'sme axe, parce (|ue en mesnie Lenips le poiiil lî 
parc^ourl, im espace juoiiulre cpie le point C. Car le point B pareoiui 
eu mesnie lenips la eirconféi-enee du cercle Ul) pendant ({ue le 



Fi-. 2. 




point C parcourt celle du cercle I^.C. Or, ces nionvements esiauî 
supposés uniformes, il y aura telle proportion de la vitesse du 
|)oint C à celle du ])oinl lî ([ue de la circonférence du cercle E(. 
à celle du cercle DB. 

Supposons maintenajit quen la ligure suivante {ftg. 3) le 
cercle DC fasse sa conversion entière sur la ligne DF, ie dis qu'en 
iiu'sme temps le cercle AB ferci la conversion snr BE, esgcile à DF. 

Fig. 3. 




Car soit,^par exemple, la vistesse du point D, meu circulaire- 
ment, esgale à laVistesse du monvement droit du centre A, en ce 
cas il appert'que la ligne droite DF est esgale à la circonférence du 
cercle DC. Car'puiscjue^A sur AN est d'esgale vistesse au point D, 
meu circulairement,fet qu'en mesme temps l'un descrit l'entière 
circonférence^DC^et^l'autre la ligne droite AN, il est certain que la 
ligne droite AN|sera*esgale à ladite circonférence. Et par consé- 
([uent DF,|esga]e^à AN. sei^a aussy esgale à ladite circonférence. 

Lignes : 10. G sa] la. — 14. G droite omis. — 17-1 8. F la ligne droite omis. 



•>>s PUK.MIKKK l'AltriK. 

( )r ([lie iiiiiiiiLeiiaiiL la circoiilrrciici! liA suil , |)iir cxciiiplc, soliIjs- 
«loiihlc (!<• la circonférence DC, il esL certain de ce qui a esté dil; 
<{ii(? le niouvement circulaiie de B sera soubsdoiihle de celuy dé 1). 
Mais iious îivons jjrouvé (jik- le niouvement droit du point A est 
csoal à celuy du point H. uieû circulairement (par le mouvement 
nous cnîemlons icy la sisicsse), donc la vistessr du point A. meû 
sur A.\, sera double de la \ islesse du ])oint B, meû circulairement; 
et partant, en temps es^al ils |)arcourront des espaces (!U j)rf)por- 
tion doultic. Mais AA est csoalc à la circonléi'ciicc du ccrch; D(., 
donc vVN est double de la circonférence du cercle xVB, et, par con- 
sé([uent, lorsque le point A sera eu X, le point B ne fera ([u'unc 
conversion du cercle AB. l'^t parîaul, il se treu\(Ma pour lors au 
|)oiul \L. 

En toute autre propoiliou, la mesme dcmonsl ration aura lieu. 

Desinanl igitur miran et Anslolcles et ipaius interprètes cùni 
ei>ifh'iitissii/îâ demonstrutioiir prohas'ennni.s yentalein proposUionis 
lîliu.s K'iee.slinse qmnlœ eanupie ildIiii lutturah ii priiiiis eowjiniani 
et coiivenientein. 

His dellbalis tantùm [nain ntaiore speculatioiie indifient et niidta 
inde theoremata pulclierriina deduci possunt, ijuae fartasse aliaS) 
diiDi licehit per otiuiii, projeriinus C^)] ad tiiam qusestionem accéda, 
et ita Iineani cins'anu de qiiâ qusens, per puncta construo : 

En la lifjure suivante ("-) {fig..\) soit le cercle duipielle cenlre Ketla 
ligne LF, sur laquelle roulant il acliève sa conversion. Et su]»posons 
que tant le mouvement droit ([ue le circulaire soient uniformes. 
Soit descrit le cercle, ducjucl le cciitre A, esgal à cluy du ceiilre K, 

Lignes : 9. G DC] BC. — 10. G le douI)le. — 16. F ilcnionstrationo pro- 
baverimus] probntione demonslraveriinus. — 17. G viccsiinaî quiata;] 25". — 
19-21. Pas de parenthèses. — 22. F coiistruO| construcfio. — • 24. F LF] LS 
comme dans la suite. 



(^) Allusion, croyons-nous, à la théorie de la composition des mouvements, 
dont l'auteur tira sa célèbre méthode de la construction des tangentes. 

(-) On trouve une figure cl une construction semblable à la suivante dans 
le traité des Otjservaliotis sur la coin position des mouveinens et sur le moien de 
trouver les louchantes des lignes courbes que du Verdus a rédigé plus tai'd 
d'après les leçons de Roberval et qui a été publié dans les Divers Ouvrages 
de math, et de phijs. (éd. de 169S. p. igj-ioG). 



MELANGES. ^lO 

vn soiio ([lie la li^iic LF coiil iinire louclie'Jc ccitIc A au poiiil C. 
Soient tirées les deux diamètres (U<, JE à angles droits, el, per 
rontinuam porlioiiiiin circumjcrcndœ hisectionein, soit divisée la 
cireonféreiice en laiil de parties essaies que vous voudrez (et plus 
il \ eu aura, la liuiie se descrira ])lus préciséuienl ), niellons en 8, 

l'iii. 1. 




ZV 




par exeni|)le. aux |)oinls (î. II, J. 11. (', D, E, F; et soient tirées 
ausdits ])olnts les diamètres. Du cenire K soit tirée KX esgale et 
parallèle à LF. et soit divisée K.\ vu autant de parties esgales que 
le eercle A par les points K, >,. l', (), S, V, Y, Z, N ; du point K 
soit tirée KL esgale et parallèle à A(l, du point N soit tirée NO 
esgale et parallèle à AU, du point P soit tirée PM in directuin à AJ 
et qui luy soit esgale. du point () soit tirée QR esgale et parallèle 
à AB, du poinl S soit tirée ST esgale et parallèle à AC, du point V 
soit tirée VX esgallc et parallèle à AD, du point Y soit tirée YV 
esgalle à AE et ipsi in dircctunt, du point Z soit tirée ZB esgalle et 
|)arallèle à AF. enfin du point X, NF esgalle et parallèle à AG. 

.Je dis que la (iiine descrilc par le point L, passera par les points 0, 
M, R, r, X, Y, B, et se terminera en F. Et cela, soit que la ligne LF 
soit esgale ou inesgale à la cireonférence du cercle, de sorte que, 
si vous divisez le cercle A en beaucoup de parties, vous trouvères 
la description exactement (^). 

Or, j'estime que ^'ous n'avés ])as \ eu que cette ligne se peut dès- 
Lignes : 6. G points omis. — 11-13. G PM esgale et parallèle à AI, cl QR 
esgale. — 1 3. G du point S soit tirée] et. — 1 8-lô. Au lieu de du point V ...AG, 
G porte seulement: etc. — 16. F N omis. — 19-2 (à la pogo suivante). Le 
passage de sorte que jusqu'à infinita manque dans G. 



{^) Il apparaît de ce passage, comme de ce qui suit, que Roberval avait 
étudié les roulettes allongées et raccourcies en même temps que la roulette 
ordinaire. 



,lo PRKMIEKK PAirnii. 

(lire plus aisément ([ue les seci ions coiiiciues, e'est-à-dire pt'r piincla 
in/lniid. il sera facile de Ireuver la démoustral ion de ma cons- 
(idclion si Vous y prenez oarde; si Nous y Irenvez de la dinicullé, 
ie vous l'ciivoyeray. 

Il paroist (et ic le vous démonstreray aussy) (jue cette liy,ne ti'est 
ny Ellipse ny pas une des lignes courbes que nous treuvons dans les 
lii'res; qu'au contraire elle a ses propriétés à part. (|ne ie décrirois 
loutes, sy i'avois assez de loisii-. 

Il paroist encor : 

Qu'un point autre que L. pris eu la circonférence du cercle LK. 
descrira une j>ortion de cette iiiesme ligne. 

Que sy ■^'oiis prenez un autre point, plus proche du centre K que 
le point L, // descrira une ligne différente de celle-cy. mais sa hase 
sera es gale à celle de cette-cy: hiel : toutes les lignes courhes descrites 
par les points entre L et K. seront toutes différentes, quoyque leurs 
hases soient esgales. 

On peut faire un niesme discours sur la sphère, de laquelle un 
^rand cercle roule sur une ligne droite. Car tous les points «rénéra- 
iement qu'on peut imaginer, ou dans la superlitie ou dans la soli- 
tlité de la sphère, descriront des liones courbes, dont les bases 
seront esgales; il n'y a que les ])oiuts seuls de l'axe qui descriront 
des lignes droites, par les raisons que nous avons desia veûes. 

Au contraire, sy on imagine deux cercles inesgaux rouler et que 
le mouvement circulaire du- grand soit à son mouvement droit en 
telle proportion que le mouvement circulaire du plus petit à son 
mouvement droit, en ce cas les lignes courbes que le grand et le 
petit cercle descriront, seront semblables entr'elles. 

Et ainsy nous pouvons considérer ces nouvelles ligues ou comme 
semblables et esgales, ou comme semblables et inesgales, ou comme 
entièrement dissemblables. Ce que nous donneroit suiet de faire 
des volumes entiers sur ce suiet, sy nous avions du temps ou sy la 
jiiatière en valoit la peine. 

Lignes : i. G si vous y prenez garde omis. — 6. Pas de parenthèses. — 
F vous omis. — 9. G sy i'en avais le loisir. — 13. F un] VY — 14rlS. F mais... 
cette cy omis. — 16. G d'entre. — 16-17. après K, F poursuit : descriront des 
lignes différentes, et dont pourtant les bases seront tousiours esgales. — 20-27. 
en telle proportion... droit omis dans F. — 32. G sur ce suiet omis. 



MELANGES. >5i 

SUR LE PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE; 

Pai; m. Et. DKLASSUS. 



1. Le |)rin(i|)c dt-s li'a\aiix Nirliicls ou priiicipr tondamciiliil de 
la Slali(|ue aualvlique s"()l)lieiit en conihiiiaiil le principe d'équi- 
libi'c des forces données J et des toiccs de liaison (^ avec la pro- 
priété : 

(a). Les forces <le liaison ont un lraK(ùl nul poi(r loiit 
dèpLarcnicnl virtuel sur la liaison (pie Ton prend comme hadnc- 
tion matliématupu' de la noiion de liaison réalisée sans Irotlement 
et dans la((uelle il est bien entendu t[u il ne s'ai;it que de /yV/c^;o«5 
slali(incs^ de réactions exercées par des liaisons fixes svir des 
systèmes matériels immobiles en contact avec elles. 

Le principe d'équilibre à chaque instant des forces données S, 
des forces d'inertie ^ et des forces de liaison J^, donné par Dalembert, 
fournira immédiatement, par le même raisonnemtint rigoureux, le 
principe fondamenlal de la D\ iiamique anal\ liqiie si on le combine 
avec la propriété : 

(c). Les força de liaison à un instant (luelcotique du inou- 
veuient ont an travail nul pour tout déplacement virtuel sur la 
liaison ininiobilisée à cet instant^ que nous attribuerons encore 
aux liaisons réalisées sans frottement et dans laquelle il est bien 
entendu qu'il s'agit de réactions dynamicjues^ de réactions 
exercées par des liaisons fixes ou variables sur le système en mou- 
vement à leur contact. 

2. Avant de continuer, il est bon de signaler à ce propos l'idée 
fausse, exprimée partout, que le princq^e de Dalembert ramène la 
Dynamique à une question de Statique, donc à l'application du 
principe des travaux virtuels. 

Le principe des travaux virtuels, qui ne considère que des 
réactions statiques, ne s'applique évidemment pas ici oii il est 
question de réactions dynamiques, à moins que l'on admette que 
les réactions dynamiques possèdent la propriété fondamentale des 



>3>. PHEiMlÈRK PAHTIK. 

réactions statiques, c'cst-à-dirc que l'on adincLlc Ja propvïrlr (c), 
et alors ee n'est pas une application du principe des travaux 
virlurls, mais simplemcnl du raisonneuu'nt déjà enqilojé ])0ur 
démontrer ce principe. 

Je n'insiste pas sur les artifices de laui^age employés [parfois 
pour arriver à faire croire que la réaction dynamique est la réaction 
statique d'un certain équilibre nclif", ni sur l'inversion classique 
transformant «. rellcl à linslanl l de la liaison » en « l'effet de la 
liaison à l'instant t /> par- lafjuelle certains auteurs se dispensent 
d'admettre la |)i'opiiété (c) dans le cas giMiéral des liaisons dépen- 
dant du leru|)S. 

'A. Après celte ciilique nécessaire nous devons nous demander 
si la j)ropriété (c) est indispensable dans toute sa généralité pour 
baser la Mécanique analvlique. d'autant plus que, dans le cas des 
liaisons dépendant du teni|»s, elle n'apparaît avec aucun caractère 
mécanique, anus plulùl eouime proprielr-s analvticpie afimise dans 
le but d'arriver à une forme unique des éc[iuiti(ius du uiouvement, 
que les liaisons dépendent ou non du lem|)S. 

Entre les deux propriété (a) et (c) nous inlroduiit^ns une pro- 
priété intermédiaire (b) (jui est le cas particulier de (c ) relatif aux 
liaisons indépendantes du temps. Nous en déduirons immédia- 
tement les équations du mouvement à liaisons indépendantes du 
temps et nous allons montrer que cela nous suffira pour passer au 
cas général des liaisons dépendant du tenqjs. 

Pour V arriver nous allons rejeter la notion analytique de liaison 
dépendant du tenqjs. si simple donc si attrayante et la remplacer 
par la notion mécanique, obtenue par la considération des liaisons, 
certainement plus compliquée mais, par contre, bien plus féconde. 
Il est d'expérience courante dans la pratique des machines que 
si à un système matériel ^ animé d'un nutuvement M sous l'action 
de forces données 4^ on accroche un autre système matériel S 
sovimis à des forces données ^, au moven de liaisons ordinaires, 
c'est-à-dire indépendantes du temps, le mouvement D\l sera 
modifié et qu'il le sera d'autant moins que, S et les forces ^ 
restant les mêmes, le système H aura une masse plus considérable, 
étant naturellement soumis à des forces proportionnées. A la limite, 
quand la masse de S deviendra infinie, le mouvement ?ÏL ne sera plus 



MKLANGRS. 



•'.33 



iiiodilic (lu lodl cl le >\st('iii(; S se tionvcra rrlié j»iir iiiic liaison 
iiidépcudantc du lcm|»s à un sNslônic auinu' d'un UKUivcmcnt 
donné à raNaucc. Pour S nous aurons ainsi uiu' liaison dcpondanl 
du It'iups. 

i. Scucnl Yi' <li J*'^ paniiiu'li't's absolus délinissanl le sysLùiiic S 
cl //(^t/.j. ... ccuv (jui dcliiiisscnl 2l. Nous allons supposer qu(^ 
huiles les masses di' ï aiiiM (pu- les forces (iiii agissent sur ce 
svslèine conlicnncnl en lacleur un païainèlre t que nous ferons 
croilre indéfiniinenl. 

Il ne ligui'c dans tout le s\sléin<' S -f- - que de> liaisons au sens 
actuel, (.'"esl-à-dirc indi'pcndanlcs du temps cl elles sont de Irois 
sortes : 



'fi(^^7)= "■ 



ai (of^ I = o. 



or/ j - 'j,(oa ) -~- (», 



les a ne figurani pas dans les coeflicients des premières et les q 
dans les coefficients des secondes. l^(^s Iroisièmes sont les équations 
de la liaison de jonction. 

L'équation de l)alend)eit du système S + !ï s ('-crira 

X ( P — < ) ) oy 4- 7l ( 1^ -r- Qi ) la -4- i:>.'^ ( o</ » 

— ^\yy. (■ 0(7 ) -7- Xv [ '!/ ( 0(/ ) -^ ,s ( ort ) ] ^s o 

et se décomposera en deux 

X(P-l-0)ory -f- 1 lzioq)-r- S ■/•I.(&^) = o, 
S ( l'i — Qi ) oa — ^ - a ( ort) M ZvS ( oa ; — o, 

qui, en considérant les '— comme de nouvelles inconnues y/, 
deviennent, quand on fait croître indcliniment 7, 

:i:(P — Q)or/ -^S/,cû(ory) +Sv^(or/» = o, 
X ( P, -h Qi ) a -f- il a' a ( « ) is o. 

Dans la seconde, où les rj ne ligurent pas, <ni reconnaît les équa- 
tions du mouvement de ^ sctumis aux: forces 'I> qui lui sont appli- 

<[uées et à ses liaisons propres a, C'est le mouvement ;>rt com- 

[)létement indépendant de S et que, supposant ses écpialions 

intégrc'-es une fois pour toutes, nous pouvons considérer comme 

Bull, des Sciences math.. 2' série, t. \LV. (Août) 19'Ji.) i5 



/i/j l'KMMI K«K l'AiniK. 

l'Onuu. Eu (U)ns(''«|ii(;n(;('. les rt scimiuI <I<'s l()ii(ii(jii> ((jimiics (le / 
qu'on deviii remplacer (hms la |»niuMir idciil ih-, e est-à-dire dans 
les coeflicieiils des 'l>(oy) |)iiis(|ii<' e"(!sl la seidejneiil, qu'ils (iyiji<;nl. 
et alors nous reconnaissons ré<|uali(»n de DalendxTl du s\slénie S 
soumis aux (orc-es -f (|iii lui soûl appliquées, à ses liaisons ]>ropres 
'i(.... cl aux liaisons -L,,... cpii di-pcndenl du temps pat- la 
présence des a. 

La liaison •} + ,j enire S et S est, par- li\ |t(il lièse, indt-pemlanh- 
♦lu temj)S, donc son ('(pialion du |»ienMer (udi'e est homof;ène 

/ ne lii^uranl |)as dans les eoet(icienl>. I*ai- i cmplacenienl des a 
elle prend la (oiiue non homogène 

•i/,(5'')-f-A = o, 

A et les coefficients de 'ij étant des lonclions des t/ et de /. car 
les a peuvent (igiirer dans les coefficienls de ■!< et les q dans ceux 
de ^. 

Supposons qu à 1 inslant / on immol)dise le sNsIcme 2:. la liaison 
indépendante du temps entre S et ij deviendra une liaison indé- 
pendante du temps à laquelle sera soumis S et qu'on obtiendra en 
immobilisant les a sur leurs valeurs actuelles et annulant les a\ ce 
(|ui revient, dans la liaison considérée, à annuler A et à considérer 
f comme une constante dans les coefficients de ^p,. Nous retrou- 
vons le procédé bien connu de formation de la liaison immobilisée 
à l'instant t et nous voyons par les termes 

que ce sont précisément les déplacements \irtuels sur cette liaison 
immobilisée qui figurent dans l'équation du mouvemeni de S. 
Nous obtenons ainsi rigoureusement : 

Les cqualions du nioinement d'un sysirine à liaisons dépen- 
dant du temps s'obtiennent en (krivant que les forces données 
et les forces d' inertie ont, à chaque instant, un travail nul 
[jour tout déplacement virtuel sur les liaisons immobilisées à 
cet instant; c'est-à-dire le principe fondamental de la Mécanique 
analytique pour le cas général des liaisons dépendant du temps. 



MÉLANGKS. .>.3-) 

\t)ii> rt'miirqiifi(m> que l'ordic csl icmcrsc, (juc nous obtenons 
<'ii juiMnicr les (•(|uiili()ris du iiioiivciticnl , ce qui nous suffit; que 
nar inlerprt'laliou nous cm d ('-(lui. sou s le principe i;énéral qui, à la 
rimieur, esl inutile (;t apparaît alors toninie nio\eu commode de 
se rappeler la formation des é(piari<)iis du MMiuxenient; et qu'enfin, 
de ce principe, nous déduirons comme conséquence la propriété (c) 
des réactions dynamiques des liaisons dépendanl du temps pro- 
priété qui est ainsi conséquente de (6) et qu'on n'a pas à utiliser. 

Donc : 

Le principe fondanicnlai de bi Mécaniipie anaiy tique et Les 
équations générales da inouK'c nient à Liinsons fixes ou dépen- 
dant du temps résultent uniquement de l unique propriété (6 i 
des réactions dynamiques des liaisons indépendantes du temps 
réalisées sans frottemen i . 

5. Toute liaison dé|)endant du temps peut-elle (Hre réalisée de 
la manière que nous \enons de considérer? 

La réponse est facile et affirmative. Considérons dans un plan 
horizontal fixe une molécule S de masse extrêmement considéi-able 
et lançons-la à partir de Tori^ine avec la vitesse \/?, dans la direc- 
tion de la bissectrice des axes, de façon qu'en désignant par a et h 
ses deux coordonnées elle prenne le mouvement rectiligne uni- 
forme 

a = /, t, =^ f. 

Pour réaliser une liaison de S dépendant du tem|)S 

fi((/-, t ) = o. .... 

il nous suffira de réaliser entre S et la molécule S la liaison indé- 
pendante du temps 

fi(q, a) = o, . . ., 

X\iq, a}q„-+- ... -f- A» (ry. a )q'„ — B' (V- ri)b'=^n, 

puisque, en vci.u du mouvement de -, on doU remplacer a par t 
et b' par i, ce qui redonne bien la liaison proposée entre les q. 

6. Dans tOMl ce cpii précède on u suppose- essentiellement ([uc 



i36 IMtliMIKUli l'AHTIE. 

les q (Haienl dos paraniotres absolus, c'esl-à-dlre que les cooi- 
données d'une molécule quel<(ui(jiie du svslème étaieni <!<■ la l'orme 

le temps / u"v ligurauL pas f\|»li(ilcmeul ; la force vive :>.T est 
alors homogène aux q' . 

Supposons qu'en utilisant certaines é(piations finies de la liaison 
on fasse un changement de paramcli-es. 

( I ) • 

\ fhyxi'h l)-=Pl, .-■: Jn^q, l)=P'i h' 

Ces équations délinironl les /j fondions des yj et de /, puis les q' 
seront définis au moyen des fi par les é(piations 

i ^=„, .... 'V!l=... 

\ dt dt 

\ -dr=p^ -iTF=P" "■ 

r.es ./ , ) , :; deviendront des fondions des p et de t, et si nous 
donnons aux /> des variations o/> en laissant t constant, nous 
aurons, pour les molécules, des déplacements virtuels 

jLd dp ' - émà Ôp ' A^Ôp ^ ' 

qu'on pourra écrire 

^^\ dx ^ ^ V^ i)y ^ , 'V' '^- ^ 

les oq étant fournis par les équations 

i 5//i+i = opi ofn-= opn-h, 

qui sont les équations (i) difterentiées en ne tenant pas compte 
du t explicite ou encore les équations ( :i) réduites à leurs parties 
homogènes avec l'emplacement des q . [>' par les o^y, op. 

Les déplacements virtuels définis par nos op peuvent être définis 
par les ô^ correspondants et, pour qu'ils soient compatibles avec 
les liaisons immobilisées à l'instant /, il faut que ces oq satis- 
fassent à des conditions (C) cpie uoiis savons former. Les condi- 



mi: LANGES. '!; 

lions ( \) (|iie dcM'ont remplir les o// seroiil donc les I lansformées 
(les condilions (C) au iiio>en des Cormides {'■>). 

Considérons une des liaisons exprimée pai- Ir tli.iugeniciii ilc 

paramèlres. la liaison 

/, ( Y, /) = o 

(lonnanl ciMonie (-ondilioa i (i) 

&/= y -,- '■"/ = o. 

(7esl préciséuienl la pieniière équalion (3) : doue transformée 
au\ op elle donnera une identité. Ces liaisons ne donnent aucune 
i'oudition (F). 

Prenons une liaison autre, elle sera du premier ordre, sinon 
nou> la ramènerons au premier ordre par difTéj'enf lalion. Soit 

donnant comme eondiln)n (Ci dapré^ la rèi;li' iiuJKjuee précédem- 
ment ( § 5) 

1,^^ 0'/ = o. 

Soit 

la liaison transiormée, on voit immédlatemenl (jue ^Ajs' est la 
transformée de ^aq' au moyen des formules des équations (2) 
réduites et cela nous montre que ilAoyj est transformée de '^aoq 
par les formules (3 ). 

La condition (T ) ainsi obtenue 

(4) ^\o/; = .j 

se déduit de 1 équation aux // comme la condition i(i) se déduisait 
de léqualion aux q' . 

On est donc conduit aii\ f(uiniiles 

Và.r ^ ^ "^ Oy ^ ^ yr\ ôz ^ 

... — , — 0/?. or = 7 -^- 0//, ',z =^ > -— 0//. 

les op étant liés par les équations du premier ordre de la liaison 
réduites à l'homogénéité. C'est exactement comme dans le cas des 
paramétres absolus q; la seule différence existante est que la force 
vive avec les p^ p n'est pas lioniogèn^: mais comme cette liomo- 



.!8 PHKMIKHK l'AUllli. 

iiénéité n'iiUervicnl \)ns. le im^^iiIijiI ir>lc le iih-ihc. (!<■ surrc (|iir : 

Les équations de La<:raii<^(' s'dpplifjiK'nl sans aucune coiah- 
lion relative à hi nature des para nit'-t res employés. 

Le fuit que, avec des paramètres <jaeAcou<nies^ les <lé|ilii(r- 
inents virtuels coiupatihlo avec la liaison immobilisée sont donuf- 
par les formules (T)") et les équations ( /{) <>t toujours admis comme 
évident mécaniijiioucnl. alni> (jucm réalité c'est un lait analvti(|Uf 
cfu'il était nécessaire de demorilier. 



SUR LA. RECHERCHE GÉNÉRALE DES FONCTIONS PRIMITIVES 
A u VARIABLES; 

l\\i; \l. M\ri;ic i: .1 \ M-. f. 



l. Une dériv(':e dune fonclion u de // vaiiable> j",. x-i. . . ., x„ 
est caractérisée par un système de n entiers, positifs ou nuls, ses 
ordres partiels relativement à cliacune des variables. Donnons- 
nous arbitrairement un certain nombre de systèmes de n entiers, 
(M), systèmes supposés tous différents: nous caractérisons ainsi 
un certain nombre de dérivées d'une fonction indéterminée u 
des n variables x^. x> r„. Chercher à déterminer la fonc- 
tion u de manière que ces dérivées (M) soient des fonctions 
données des n variables indépendantes Xi. c'est, par définition, se 
proposer un problème de " recherche de fonclion primitive ». 
ou de « calcul in\erse de dérivation ». 

Nous donnerons ici un moyen .vr5'^<?'//^t//^ae pour reconnaître si 
le problème est possible, et. dans le cas de possibilité, pour en 
trouver la solution oénérale (-' ); cela sous certaines hypothèses 

(') C'est la queslioii prtUiuiiiiaite qui se po^e dans une llK-oiie ijénéiale des 
systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cette quesliou a été traitée par 
M. Riqu'iev {Systèmes d'équafifl/is au.c dcrivees parfieltes. Caulhier-Villars. 
1910) et par nous-mèine [Sur lef< systèmes d'équations aux dérivées partielles 
(Journal de Mathématiques. t()»o)|, lorsque les fonctiims données s ml analy- 
tiques et lorsqu'on se hornc a priori aux solutions analytiques. 



M KL ANGE s. ait) 

i;VMu''ral<'s l'clalivtMiiciil à 1 Cxistcucc fil à la ('oiilimiitr des dérivrcs 
(le la Idiirlioti incotiiuie. Mais nous nous pfo[)oserons Lout d abord 
une aiilrc (jiiestioii. (|ui, ainsi (iiic nous le verrons, est plus géné- 
l'ale que la précédenle. C^elte queslion nous eonduira aune infinité 
de manières d"é( rire aysléinaliqueinent poui- une fonction de 
// variables une forniule de Tajlor limitée analogue â celle qui 
s't'eril. pour une ronetion «lune variable, 

./Y./-) =/(«)- '^-^ /'(a)-... 

^. Vu heu de considérer les systèmes d'entiers (') qui caracté- 
risenl les dérivées, il est commode de considérer les monômes 
en X|, ./\.. .... x,i (jui ont respectivement ces entiers pour expo- 
sants ( -). Lllant donné un système de monômes (M), tous diffé- 
rents, nous attacherons à chacun d'eux un certain nombre des 
variables X/, qui seront appelées ses variables multiplicatrices 
dans ( M ), par la règle suivante : 

x„ sera regardée comme variable multiplicatrice |)ou]' ceux 
des (M) ^et pour ceux-là seulement) dont le degré en Xu est égal 
au maximum des degrés en Xn des (M). Pour reconnaître 
si Xi(iy± Il ) est varialile multiplicatrice pour 

Ai = .r5^\r*'i7' . . . xflX'xf' rf ', 

on considérera tou> ceux des M où x,,^ x„_^, . . . , Xij^i ont respec- 
tivement les degré^ 7.„, a„_|, ..., a,^., ; le degré en Xi àe ces 
monômes aura un maximum; ./ / sera (or. non) multiplicatrice 

|)Our M suivant que a/ sera ( ou non) égal à ce maximum. 

Cette définition étant posée, à chacun des monômes (M) corres- 
pond une répartition des variables .r,, x.2, ..., x,i en deux 
groupes J7„_, a:„, .... Xn,/, X/,^, 3Cb^_, ..., xi)^ ( h-{- k ^= n)^ les 

(') La lliéoiie des systcmes de iiiori<iiiies. varialdes iiiullipliculrices, svstcnies 
roiriplets a élé développée à un autre point de vue dans le Mémoire mentionné 
li-dessus; n<ins ne développons ici que les résultats qui n'y avaient pas trouvé 
place. 

(-) Ln mon'"(nie en .r,, .r,, .... .r^^ est donc dans toul ce qui suit une expres- 
sion de la foi-ine .r^' .rîf- . . . ./•^" . où les a sont des entiers positifs ou nuls. 



'In l' m; Ml KHI-; pahtie. 

variahlcs inultiplicalriccs {X„) <l lo variables non niulliplica- 
Irices (Xi,) dn nionùme considén- ; l'un on l'anlrc de ces i;i()iipft> 
peut d adiciiis disp;iiaîl i<' (((inplèlcnicnt ; on parliculiitr. |)()iir lim 
des monùnies, le pins Iniiit ( ' ). Imires les \arialjles sont inidli- 
pliealrices. 

Les (M) clanl donnc'-s, nous allons niaiiitenanl delinii- d( - 
monômes (N; en noml)re fini, (pic nous appellerons inonôines 
complémentaires des ( M i. ainsi (pu; des milahlrs mnlliplira- 
irices pour ces (Ni. 

Considérons les e\pos;,nls dr ./ „ ,|i,iis les (Mi. Soit Ti un entier 
(positil ou nul) «pii ne lii;uie pas parmi ces nondjres et soil inff- 
rieur au plus grand. Les monômes ./ ]^ conslilucronl les N'" . Li-s 
xariables mulliplicalric'c.s sri-onl pour (diacun d'eux .a?,, x-,^ .... 
•^//^ ( • 

Soil / un des indices i, 2. . . ., n \ . Considérons un des sjs- 

lenies d'exposants de .r«, .t„., ^7^, (pii apparaissent dans 

les (M ), a„, a„^ ,. . . ., 7.,-^, ; considéions tous ceux des (M) pour 
lesquels jr,i, a:,, i, ... .r,-^, ont res|)ecti\ ement les degrés %„, 
a;,_,, ..., x/^., ; dans ces monômes. < M i^^ .^^ .^^^ , considérons 
l'ensemble des exposants de x;] soir 'i un entier (positif ou nul 1 
(|ui ne figure pas parmi ces nombres el soil inférieur au plus 
grand : x*".37*"-' . . . xf^y'.r? est par définition un monôme ]N<' ; s<s 
variables multiplicatrices sont, par définition : i" j:-, , x-,, .... xi_ , : 
2" toutes celles des variables Xij^y. j^+j, . . ., x„ qui sont multipli- 
catrices pour un ( M )3j_5j^^ ^.^^ dans le système (M). 

L'ensemble de tous les monômes N^'"', N^'"'^, ,..,N'", é\ i- 
dcmment en nombre fini, consliiueiii If système (Nj complémen- 
laire du système ( M ). 

Ces définitions étant posées, nous nous proposerons d'assujettir 
chacune des dérivées (M), (JN) de la fonction indéterminée a à se 
réduire, lorsque ses variables non muttiplicalrices se réduisenl 
toutes à zéro., à une fonction donnée arbitraire, continue, de ses 
variables midtifAicatrices. Le problème général ainsi posé a 
une soUdion et une seule. 



H) ./•5J".r*'i-,'...a7*i est diL plus haut ou plus bas que x^^"■r^i±-^' ■ ■ ■ .rf' siii- 

anl que la première des diiïérences a„ — a'^. a„_, — 3c„_, a — a', qui ne 

annule pas est positive ou négative. 



xMELANGES. ?4r 

'.]. Lorsqu'il n'y a (ju'une variable indépcndanle x, le problème 
j)récédenl se réduil sinipleineiil à délcrminer uik; rouction de x, u, 
dont les dérivées (') d'ordre o, i, 2, ..., p — 1 se réduisent 
pour X =:= o à (les constantes données C„, (],, . . . , C^^^, et dont la 
dérivée dordrc p soit une fonction donnée (continue) o(x). 
L'unique solution est donnée, comme on sait, par la formule 

I I.'. (p — i)- ' .'0 f/' — I)! • • 

Il sera couimode d'écrire aussi celle formule «lune manière un 
peu (lillérenle. qui semblera au premier abord inutilement com- 
pliquée. 

Soit '-px( X ) la fonction à laquelle nous clierclions à réduire, dans 
<:ertaines circonstances, la dérivée caractérisée par le monôme x'-; 
œx(,^) est en fait une constante lorsque ).-</>: (pioi qu'il en soit 
nous pourrons écrire 

// se |)résente alors conim*- une somme de termes correspondant 
respectivement aux diverses valeurs de l'indice A et dont la forma- 
tion est diderente suivant que A est nul ou d/Jfrrent de zéro. 

4. Revenons aux monômes donnés ( M) et aux monômes (N) que 
l'on en a déduits, ('onsidérons l'un des monômes (M) ou (N); 
soient .o?,. , .r, , . . . , x,.^ ("elles des variables Xi qui y figurent efTec- 
tivement, ou. autrement dit, dont l'exposant y est différent de zéro, 
et soient .r,y , x^/^^ ..., x,i^^^ toutes les autres ( / + m = n ). Désignons 
d'une manière générale par /{x,.^, ic,,,, . . . , J7,.^, .r,/ , x,/^^ . . .•, x^^) 
la fonction à laquelle doit se réduire la d('-rivée correspondant au 
monôme considéré quand on y annule t(jutes les variables non 
multiplicatrices [f ne contient d'ailleurs pas effectivement toutes 
les variables, sauf s'il s'agit du monôme M le plus haut ). 



'; Il est coiiiiiinde il"iiiii?nfli'o par dérivcc d'uiilre zéro la l'iinriion elIc-iiK'iiic. 



i ' p H K M I i; iu<; l'Ain I k. 

On fci';i correspondu' iiii inonùiue cousidén'' rinir^riilc /-iipif 






/ 



/(■;,•,, ;,•,. ..., l.-n •'"'/,> -^V/., ..., T,/Jdç,,. 



()a lera d'ailleurs correspondre à celui des ( M ) ou ( N ) qui esl 
d'ordre o par rappoii à loiiles les variables (monôme unilé ) la 
tonction même (jue rén(»ncé du j)roblème lui fait correspondre. 

Eu laisanl la somme de tous les termes ainsi obtenus, on obtieni 
une solution du problème pioposé; et c'est la seule. 

o. La remarque laile au n" 3 moulre (juM en esl bnui ainsi dan> 
le cas iViaie variable indépendante. Nous admettrons ce fait dans 
le cas de /i — i variables et nous le démontrerons pour n. 

Désignons ceux des (M) ou (Nj qui contiennent Xn à l'expo- 
sanl À |)ar ( M),) ou (N).) et leurs quotients par x'^^ par (M) ) ou (N) ). 
Si l'on se donne le syslèmr de monômes à n - — i variables (M) i. 
leurs variables mulliplicatrices respectives sont précisément les 
variables multiplicatrices des monômes (M>. i correspondants dans 
le système (M) [à l'exception toutefois de x,i si a à la valeur maxima 
a des exposants de x„ dans (M)]. Les monômes complémentaires 
des (M),) sont précisément les (N) ), et les variables multiplica- 
trices de ces (N) ) sont précisément celles des monômes (Nx) 
correspondants dans le svstème primitif à /? variables (à l'exception 
de Xn si A a la valeur a). 

11 résulte immédiatement de ces reuiarques et du fait admis dans 
le cas de n — i variables que l'on peut écrire conformément aux 
indications du n" i les expressions de w, - — -i •••> — j^—^ lorsque 

■''ii'^ o el l'expression de — - quel que soit x„. Nous écrirons ers 
diverses expressions 

Çoi.Ti, .T., ...,./>„ ), o,( .r,,.r2. . . ., .a;„), ■^„_i{.r^, x,, .f„ ). 

Oni-^i, ./-a,.. ., ./•„ ), 

l)ieii que les premières cp,,. '.p,. . . ., cp„_, ne contiennent pas eftee- 
ti veinent x„. 

D a[)rès la remarque faite pour le cas de i \ariable. la solution 



nuque <lii |>r(i|)l(''iii(> m-hi alor's (IdiiiK'i' j>i(i' l'o^xpressioii 



v„(^ar|, J7.J r.i ) -+- 



X = i " 



f ' "^ _j" , I — T'X-'^l, ■'<"-" ■■.,^n-l,ç») ^fin- 



ie i|ui ->iillil à monlrer (|iir I e\|»io>si(iii île //se troiiv»' (loiiiicc (iaii- 
le ea>- de // \ar'ial»les pac la i-t"'i;le «'iKmci''!' au u" i. 



0. J'j.rt'ni fda. 

Monôitie? ( IM ) donne 



Vaiiabli's 
inulliplicatiu 

^'■'' <, -^S, -^i- ^3J -^-i. -^1 



■''a-' i 



X{2) 



'V*^ >»>>->« /v» »> ^ ^ 



X 



\ '' arSa:-^. a";j'.'ro.ri 



.r:i, .ri 

.7'.. .r, 



l.a lorniulc limitée de Mac Laiiriii correspoïKlaiil au .système 

donné (x\Xii'., xlxl) sera donc, eu posant />).o.v= — ^ — ~ — ;;' ^i^ 
■ ' ' âx\ dx'^idx"' 

ecrivanl les termes dans Tordre où ils apparaissent an Tableau 

ptécédenl. et en supprimant t(uis les sii^nes d'intégration su])ernus : 

Il ( .ri, x.,^ X;,, I 

—^ / />o:i3' -''i,- :j. ojrfçe 

I . -i . 3 . 'g 1.2 

.r.^ , xï 

1.2 I . 2 . î . 4 

^ ^^ LcoïKi (.'-1.0,0)^ pOi:'.'-''i,r,.Oi -h -^ />0-2:i(-'"|.'>,O 



"'(^3-^)' 



Pooôi^i- o. l:) d\. 



Jo 1.2,34 

-H / '/;,. / ^-^- /'oi:i< ". ;-2, ;3 !«;:; 

j„ .y., 1.2. >. 4 

-^' f"'/;2 f^''^^^^-^^'' 



I . ' . J . 4 



r^ /'.,:.' O, b, bW?:i. 



>/14 IMlliiMIKUlî l'Ain IK. 

('.elle roniiiilc ne su|)])()sc (|iic l"(;\islciicc ri hi <'<)iiliMiiil<'' des 

tl(''n\ccs <|iii \ culrnil. 

7. 'S}'sl(iniCs coin pIcLs. — ( loiisidcroiis un s\>lcmr dr iim- 
nôines (M) tel que cliacuii des prodiiiU (|iir 1 ou |tcul loinuT 
jivec l'im d'eux M el Tune des vanablcîs non niiiUiplicalriccs Ai' M 
soit idenlif|ueà un INl ou au produit d uu jM par uu certain ncunhre 
de ses \arial»lcs luull i|)]iealrices. Un tel sjstènu' sera dit complet. 

On déuu>ntr(! aisément que le niouônie M cpii s'introduit dans la 
deuxitMue parlie de cet énoncé esl plus hmil (pic le monôme A] 
d'où Ion pari ( ' ). 

Proposons-nous de déterminer une fonction // telle que celles 
de ses déri\(''es (jui sont caractérisées par les monômes (AI) d'un 
système complet donné soient des lonclions données des ii variables 
indépendantes ic,, ^o, ..., x„. iNoiis apercevons immédialemenl 
certaines conditions de possibilité du problème : à chacune des 
identités M. j?/= AI. j"*'i(?*- . , . r*" que mentionne la définition pré- 
cédente correspond une relation entre les fonctions auxquelles on 
<'herclie à éj^aler les dérivées correspondani aux (M) : 

-f- = ^ L^ I rnrulltinns < I il 

àXi û.v=^' f)xf . . . Ôxf," ' ^ 

(si du moins on suppose la conliimilc des dcri\ci's de ii que fail 
Interx cnir réi;alité précédente ). 

Supposons que ces conditions (1) soient /«'(t Usées. Si le pro- 
blème posé a une solution, cette solullon vérifie bien évidemment, 
en particulier, les équations obtenues en annulant dans chacune 
des équations proposées les variables non multiplicatrices du pre- 
mier membre. Réciproquement, considérons une solution des 
équations ainsi obtenues . je dis qu'elle est solution des équa- 
tions pioposées. La solution considérée vérifie évidemment la 
plus haute des équations proposées [^voirn" 2); admettons qu'elle 
^érifie les  plus hautes cl montrons qu'elle vérifie la A-|-i""'"'' 
(comptée « en partant du haut ») : désignons d'une manière géné- 
rale par AI) :^ / Va la),''"'' à partir du haut: on a identlfjuement , 

('J Voir nota ilu nunicio ci-dc^sus cl Joiirn. de Mitlli., in^o, Cliap. I. n" 10. 



MÉI.ANGKS. >r» 

en (l»sii;n;ml |)iii- ./', une Niinalilc non intilliplicali'ioc ( ' ) <\c M/,4.1, 
fy(:\l/,-^i— //,^i) ^ ,;a,+a.^...+a„(.M^^_y;^| 

où [x^k\ mais Mp^ — J^ est util (|ii('ls ([uo soicnl. Xf, x->., . . ., :r„ ; 
(loue \1a_^i -y"/;^! est indépcadaiilc; des variables non niullipliea- 
Irices de lM/,+i ; comme eelle (jdaulilé est nulle dès que ees varialdes 
non Miulliplicaliiees le sonl, elle esl nulle (juelles que soieni .r,, 
./ j , . , . ^ J. Il . 

Le problème que nous nous sonnues posé eonduiL doue, lorsque 
les condilions de [)Ossibililè (I) sont réalisées, précisément au 
problème Iraité dans les numéros précédents, les dérivées (M) 
prenant ici des valeurs données qui viennent d'être précisées, et 
les dérivées (N) des valeurs arbitraires, respectivement sur les 
multiplicités correspoudanl à cliacuue d'entre elles. 

8. 11 suCMt mainleuant pour ramener le problème i;énéral posé 
au n" 1 au proljlème (pii \ u-ut d être traité au n" 7 d adjoindre aux 
ècjuatwjns données un certain nombre de celles qu'on en déduit 
par dérivations, de manière à obtenii- dans les premiers membres 
un système complet. 

Pour adjoindre à des monôuu's donnés certains de leurs mul- 
tiples de manière à obtenir un système complet, on pourra procéder 
de la façon sui\ante : on adjoindra tous les monômes nouveaux 
que l'on [)eut déduire des monômes donnés en utilisant seule- 
ment x„ comme variable de multiplication et en s'arrangeant pour 
que le degré de Xi, dans les monômes obtenus ne dépasse pas le 
degré maxiuuim de x„ dans les monômes donnés. Puis on consi- 
dérera dans le système obtenu les monômes (M^) contenant x,i à 
un exposant déterminé X et leurs quotients (M)) par x]/, chacun 
des systèmes ( M) ) à ii - i variables ainsi obtenus sera traité comme 
on a traité le système à n variables donnés, et 1 on " poursuivra 
l'application de ce procédé ». D'une manière plus précise, consi- 
dérons a/i système de monômes (R), en nombre fini, tel que 
chacun des produits obtenus en multipliant l'un d'eux par 



( ' ) Il (•<t l'-vidiMumnil iiidillérenl de confondre dans le lan;;iigc la dt'rivi'O et le 
nionùme corrcspondanl. 



,\(\ PREMIÈHK l'AllTIE. 

r une (le celles îles variables .7„. x„ i Xi^^i </ui ne soni pas 

niiilli pliralrires pour lui appartienne au système (K); consi- 
(Irrons Ions ceux des nioiKunes (U)qui «■ôiiiieniient x,i,Xn t- • • • ■> 
,//^i à ties degrés délernniiés a„, a„_,, ..., a/^i, cA divisons ces 
inoïKnnes H»,,»,, ,...a,+ , P*'i' -^'f/' ■Ki-\' " ' -^UV' ^1 ""'l i|tli<Mi.s pin- x/ 

cliaeun des inoiiùmes Ra„a„_,...a .,., *^"^ ^h -^/-k ^ i idnsi ohleiuis. 

autant de fois que nous pourrons de manière toulefois que; le degt<' 
de Xi dans le monôme obtenu ne dépasse pas le det^ré nuiximuni 
eu ./•/ des R^.^^^^^ ,...*,+,• 

S oie ni : 

S!^ jj a , les monôme> iMn>i ohicnus (où >onl coiiiiui^ évi- 
demuienl les R'a„a„-,...a,+,)7 

Sa„a„ ,...a, + , '«'^ produits (\c <<••> iiioui.inc- |(ai- /*".«^"|' 'f-^V- 

S le système total des S^^a,, ,...a,^-,5 

.le dis (pie chacun des produits obtenus en multipliant l' un 
des S par l'une de celles des variables ./„, ^«_i. .... ïz+n // 
(fui tie sont pas muUiplicatrices pour lui appartient ^>,(S). 
C'est là yyn fait évident en ee qui coneerne la variable ./,. Pir-mar- 

([uons d'autre part que celles des variables j;„, Xn-\ 'V+i qw' 

ne sont pas multiplicatriees pour un S^^,,^, ...«,+, dans (S) sont 

|)récisément celles des variables ;r„, x„-\ -t'i+i q»' ii<" sont pas 

multiplicatriees pour un Raa„_,..a„-, ^^''^"'^ (R)- L*^ |)rodiiit P 
d'un Sa„a„_j... «,_,_, pai' "i^ti de celles des variables j'„, ïr„_, . .... j:/^.! 
qui ne sont pas multiplicatriees pour lui dans (S) est donc égal 
(à un facteur près, puissance de xi) au produit d'un Ra.,a„ _,...a,^ , 
par une de celles des variables .r„, J7«„,, . . . , /j^, qui ne sont pas 
inulli[)licatrices pour lui dans (R) ; ce dernier produit est par hypo- 
thèse un R: c'est d'ailleurs un R|î„|î„ , ..,i,_^, <>i' |^«, ^7*^1 - • ■ > 1 ^/+j 

sont respectivement a„, a„_, a/_,_,. sauf l'un d'entre eux 

qui est égal au nombre a correspondant augmenté d'une unité. Or 
l'exposant de xi dans P est au plus égal à l'exposant maximum 
de Xi dans les Ra„a„„,...a,+i7 *'^ V^^^ suite à l'exposant maximum 
de Xi dans les R3, ft„_,...8,^,. On peut donc affirmer cpie P est un 
monôme S<î__p,_^. .p,^,. 

On appliquera au système (S) le prtx.édé appliqué au sys- 
tème (R). En répétant cette opération un nombre suffisant de 
lois, on voit que l'on obtiendra un système complet. Le système 



MKLANGKS. >^7 

(il)l<'iiii (T) aiiiii MKMiii' l;i |)t(i|iri(''l('' .sui\;illl(' : le |)l"(»(luil de loul 
mi>n(')me ï par une \ ;ii i;il)lc non niullipllcatrice est un monôme (T ). 

L(r système (T ) obtenu, il pourra se faire d'ailleurs qu'on aper- 
çoive un système plus simple que (^T) qui possède les deux |)ro- 
|)nèlès de comitrcndrc les inoniunes (M) donnés el, d'être eoniplcl. 

( )m j)eut aussi opèrei- de la manière suivante : on adjoint aux M 
<liaeun des j)r<)duils obtenus en multipliant un M par une de >es 
variables non ninlliplieatrices ; soit (M)^-' le système tctial de 
moncuues distiiu'ts ainsi obtenu; on opère sur (M)^-' comme on a 
opère sur (M); et ainsi de suite. La suite des opérations ainsi 
définies se termine nécessairement (') et aboutit à un systènu^- 
(■om|tlet. 

î). Exemple. L apitlication de la première méthode conduit 
à adjoindre au svsième donné :. (x'!^X2x'\., x\xl)., tout dabord. 
les monômes x^xi, x^s'i, [)uis x^x'^x'^, xlxlx']; et enfin x'^xlxf. 

Mais on apei-çoit alors un système complet plus simple renfer- 
uuint les deux monômes donnés. Il suffit d'omettre les deux 
nu>nùmes x'^xiXi., x!^x\x'\. On sera amené à considérer le sys- 
tème suivant, pour les monômes duquel nous indiquons les 
\ ariables multiplicatrices 

X .^X'^y X-2j X\, 

X\x'i, X.2, Xi. 

(considérons le système de deux é([uations 

P033= ffi^l, ^-2, ^3), 

OÙ y et ^ sont des fonctions données, 
(^n est aujcné à écrire le système : 

Les conditions de possibilité (L) se réduisent, comme on pou- 
(') Voir Joiiin. de Ma/h., l'i'o, <''hap. I, n" [). 



a4« PREMIERE PARTIE, 

valt !<• |»r(\oii-. à la siii\ aille : 

i):r'i ilx'r^ ()x\ 

La soliitùm f;»'iiéral(' sera donnée par- iiiw ((•rmuir analogue à 
celle f|iie nous avons écrite complèlenienl au n" 6 : 

I .-2 J^^ I ■ J^^ I .'.l. I tlX) 

. -^TJ„ T— ^^V( ,...3.4 /<'-'^^^^^'^' 

I.U.S.i.,/^ 1.-2 OX-i^ "^-' ^ - 






Les termes omis s'écriront aisément lorsqu'on aura formé les 
monômes complémentaires (T') du système (T) : on sera amené 
à inlroduire trois fonctions arbitraires des deux variables .r ,. x^i 
une fonction arbitraire de [Xf^x^], six fonctions arbitraires de.r,. 
quatre fonctions arbitraires de X;^. 

vSans indiquer les conditions les plus larges dans lesquelles un(' 
telle foxmule reste valable, remarquons seulement que si l'on se 
borne aux fonctions u continues ainsi que leurs dérivées jusqu'au 
dixième ordre inclusivement^ il suffit de supposer que toute 
fonction à laquelle on égale une dérivée (T) ou (T') d'ordre a est 
continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre lo — a inclusi- 
vement. 



CO.MPTKS RENDUS KT ANALYSES. 249 

COMITES HKNDUS KT ANALYSES. 



JEANS (J.-H.). — l'noiu.EMS of Cosmogony anu stkllak Dynamics. Un 
vol. in-S", VII -t- 293 pages, i "> ligures, 5 pianclies iiors texte. Cambridge, 
at ihe University l'ress, 19KJ. 

« Etant donnée une niasse fluide en rotation, et dont les éléments 
s'attirent suivant la loi de Newton, étudier la succession de ses 
configurations d'équilibre, et discuter la stabilité de ces formes » : 
tel était le sujet proposé pour 1917 par la Commission du Prix 
Adams. Orienté^ vers le problème par ses belles recherches sur la 
théorie cinétique des gaz, M. Jeans adressa un Mémoire qui fut 
couronné par ['{ niversilé de Cambridge. C'est ce Mémoire, 
aiuplihé par de nouveaux résultats, et complété par un résumé 
des travaux de Poincaré et de Darwin, que M. Jeans vient de 
publier sous forme d'Ouvrage didactique. 

En pareille malière, un tel mot paraîtra sans doute bien osé ! 
Va pourtant quel a été le but de l'auteur? Utiliser toutes les 
ressources de rVnalvse mathématique pour édifier une cosmo- 
gonie compatible avec les propriétés physiques de la matière, avec 
les lois générales de la Dvnamique, et avec l'ensemble des obser- 
vations astronomiques. Or, d'après M. Jeans, les deux premières 
conditions auraient été trop souvent méconnues; en général, les 
théories cosmogoniques ont eu pour origine une découverte astro- 
nomique sensationnelle, comme celles de l'anneau de Saturne ou 
des nébuleuses s[)irales; trop sujettes àl'influencede la mode, elles 
ne respecteraient pas assez les principes de la Mécanique. 

Au contraire, selon M. Jeans, la véritable méthode doit être à la 
fois rationnelle et expérimentale : considérant un système matériel 
soumis à des forces données, et placé dans des conditions déter- 
minées, l'astronome devra povirsuivre son étude analytique aussi 
loin que possible; à défaut d'une solution complète, il s'eftbrcera 
de déterminer les différents modèles d'univers qui paraissent 
répondre à la question; et c'est alors qu'il recherchera si les types 
Bull, des Sciences mathérn., iî° série, t. XLV. (Septembre 1921.) i5 



25o l'KE.MIKRI' PAiniK. 

ainsi délimités se Iroiivcnl n'ali>é,s nu non dan^? la iNaliiic Sans 
(Jonlc, la brièveté de n(4re liisLoire x-ienliliqiic nous eni|)éehe de 
suivre révolution d'un inonili-: nc'-aninoins, nous pouvons la lecons- 
liluer grâce à la rielicsx; du musée céleste qui nous montre di-s 
systèmes cosmi(|ues. de l\|)(> analogues, à divci^es éla|)cs ilc leur- 
existence. 

()n pourrait ol)jeeler à M. Ji •all^ (|ue nos connaissances sur in 
raatière résulleni il expérieueo tei-i-eslres. et que les lois du mou- 
vement proviennent de I élude du système solaire, l'arnne accumu- 
lation incessante d'o!)servalions slcllaiics j)Ourrons-nous éclia|)p(!r 
à cftte sorte d'anlliropomoipli!>me ? (hiestion oiseuse pour I ins- 
tant, alors que la solution rigoureuse des j)roijlèmes est encore si 
éloignée, et que le champ reste si largement ouvert aux livpo- 
ihèses ! 

Arrivons au^: problèmes abordés par M. Jeans. On peut les 
répantir en deux grandes catégories, suivant que les systèmes sont 
supposés incofnpressibles ou non. ]Nous nous attarderons un [)eu 
plus sur la premièi'e calt-gorie, pour laquelle 1 auteur a obtenu 
d'importants rc'sultats analvti(pie>. 

Or, au sujet d'une masse homogène, inconqjressible. on peut 
se poser trois types de problèmes. Tout d'abord, on peut étudier 
une masse liquide, tournant librement, et soumise uniquement 
aux attractions newtoniennes qui s'exercent entre ses éléments : 
c'est la question classique soulevée par l'évolution planétaire. En 
secctnd lieu, on envisagera une masse dépourvue de rotation, mais 
brassée par d^s marées ])rovoquées par le \oisinage d'un autre 
co)>ps céleste : c'est ainsi que Darwin, |>uis, plus récemment, 
Chamberlain et Moulton, ont expliqué la formation des planètes. 
Enfin, le troisième problème, celui des étoiles doubles, est une 
synthèse des deux premiers; il se rapporte à deux astres tournant 
et réagissant l'iiii sur l'autre. 

Avant d'attaquer ces questions, M. Jeans commence par rappeler 
de« tihéorèmes généraux de la Dynamique (Chap. Il), et, particu- 
lièrement, l'étude de la stabilité d'après Poincaré. Signalons à cet 
égard l'enaploi -dune représentation graphique fort heureuse qui 
illu-stre la théorie des figures de bifurcation (n""* 19-21), ainsi 
qu'une définition très nette de l'instabilité séculaire au sens de 
Tait et Thomson (n" i28). L'auteur arrive ensuite (Chap. III) aux 
séries linéaires des sphéroïdes de Mac Laurin et des ellipsoïdes 



no.Mi'Ti:s iu-:ni)US nr anai.vsks. :>.5i 

(le .!;ic-i>bi, puis ;ni\ siTics ;ni;il(>i;iics «lu piolilriiu' des m:u'(''<'s 
[iv |)(>lealicl pcrliirhalciir ('liiiil Inuilc ;m Icriiic du >c('()n(l 
ordre P;., | CosO |). A Icui- loiu', les dcii\ pioljlcincs prcc(;dculs sont 
dt's cas pailiculiecs de (•clic (oniic du lioisicine problème que 
l'on oblicnl eu coiisidcraul liiu des astres aonmie uulo sphèro 
rii;ide ( a" ol ). l/aiileiii- lualeiialisc (;e rapproehcmeuL pai' uu 
iui^éuicux graphique ( j>. .x)): ])uis, il éludie la slabililé dos couli- 
i;uratious précédeules dans liivpollièse on les masses sont assu- 
jefties à conserver leurs tornH:;s ellipsoïdales. 

.Mais on peut encore traiter le problènuî des éloiles doubles en 
supposant (pu- chacun des astres est déformable, tout en (Haut 
astreint à i^ester elli[)soïdal : c'est l'hjpolhèse de Darwin dont 
l'auteur leproduit l'analvse ( n" 60), notamment en ce tpii concerne 
la stabilité (n^* 6i, 65). 

(3r ici se pose une (puîstiitu d importance capitah;. Que dire de 

la staliilité lorscpie les milieux envisagés peuvent s'écarjer de la 

forme ellipsoïdale ? Piésumons rapidement la méthode remarquable 

jjar laquelle M. Jeans a résolu ce problème dillicile. 

posons 

X- y- z^ 

^ a--!- A b^-^K c- ^ K 

1 

<h{l)~ — -p abc I (■ a2 -f- À ) ( 6 2 -+- À ) ( (-'- -!- ^O] "' 

cl soit F une fonction de x^ k, r- et ).. On pourra définir la surtace- 
limite d'un milieu par le système /= o = F. S'inspirant alors de 
la forme classique du potentiel de l'ellipsoïde, M. Jeans se propose 
> de choisir la fonction F de telle sorte c[ue le potentiel du milieu 
envisagé soit de la forme 

Vex,. = f 'LOOFrfX, Vi„,. = f •hiD'i'dl. 

Or, comme il le montre, on peut répondre à la condition [»récé- 
dcnte en écrivant 

F=/+e[p-i/DPJ 



■?A-i PHEMIÈIIK PAirnii. 

I*, Q - cl, |)lti.s loin, 11 — sonl des jxjlvnoincs en 

.y 



a- -+- À 



-r- > 



D désigne le symbole 

A d^- >, ô^ X 0- 

enfin, pour ). = o, on a 

F=/+eP„^e2Q„-t-^3Ro+ ..., Pm, Q,,, H.,...., 

pouvanl rlie choisis arhilrairt'inenl. Il paraît don(; possible de 
représenter par eelle voie une distorsion quelconque de l'ellip- 
soïde fondamental ( n" IQ). A vrai dire, ce dernier point nous 
paraît mériter de nouvelles recherches; nous en dirons tout autant 
de la convergence des développements précédents. 

Revenons maintenant au problème des étoiles doubles (Chap. V); 
on trouve aisément (n" 79 ) que V^, doit être un polvnome harmo- 
nique sphérique, et Ton est ainsi ramené aux résultats publiés par 
H. Poincaré dans les Actn; de plus, on voit sans peine qu'après 
avoir dépassé les premiers points de bifurcation de chaque pro- 
blème, on est conduit à des ellipsoïdes instables pour des défor- 
mations non ellipsoïdales (n° 88). Mais il reste à étudier la stabi- 
lité des piroïdes. 

Que donne la méthode de M. Jeans? Si Ton se limite aux termes 
en e-, l'introduction du développement suivant les puissances de c 
entraînera l'existence d'une identité de la forme 

\ I, H — (iM--\- e- ooj2 ) ( x- ^ y-) 

où le potentiel A b (^1"^ nous savons calculer) est du quatrième 
degré en x, }', z\ or l'équation précédente fournit une double 
infinité de positions d'équilibre, dépendant des iniiniment petits c 

et Ç = -^ e- (n"' 91-93). Mais, si l'on pousse le développement 

jusqu'aux termes en e' (ce qui entraîne de longs calculs), la 
détermination de trois coefficients du polynôme Rq conduit à 



COMPTAS KKNDUS lîT ANAI.VSKS. 2.53 

un système linéaire qui ne peut èlic eompalible (jue pour 
^ z=: o, 0()j4<?' (Il" 99). Les figures piriformes ne peuvent done 
dépendre f|ue de e'-. Ceci posé, on obtient aisément pour leur 
momcnl d inertie relahl à l'axe de révolution l'expression 
M/»"^(i — o,ot))<Se2), et Ion déduit aussitôt de là que le momeni 
cinétique autour du même axe est de la forme Mo(i — o,o6^6e-) : 
c'est une fonction décroissante de linliniment petit e-, résultat 
(pii suffit à établir l'instabilité du piroïde (n° 102). 

Au tond, d'après M. Jeans, JJarvvin aurait été induit en erreur 
par l'illusion que, dans le voisinage du jacobien critique, il ne 
pouvait exister (ju'une seule configuration d'équibre; c'est ce qui 
l'aurait amené à introduire une condition d'équilibre étrangère 
au prol)lème, d'où résultait l'équation erronée ^ = — (NoiSgSSe-. 

En définitive, la controverse entre Llapounofî et Dar\A in est donc 
réglée au profit du géomètre russe, résidlat qui, d'ailleurs, a été 
confirmé récemment et d'une manière indépendante par les inté- 
ressantes recherches de M. Pierre Humbert. 

Théoriquement, la méthode de M. Jeans s'étend aux surfaces 
piriformes de rangs plus élevés; mais la complication des calculs 
rendrait les vérifications inextricables. Aussi l'auteur abandonne- 
t-il cette voie pour traiter le même problème dans l'espace à deux 
dimensions; les calculs sont alors singulièrement plus rapides, et 
l'enqiloi de vai'iables complexes conjuguées les facilite plus encore. 
Or, dans les cas les plus simples, les résultats sont entièrement 
analogues pour le plan et pour l'espace (c/*. par exemple, l'insta- 
bilité des figures ])iriformes à deux dimensions, n" 113); il est 
donc permis de supposer que la similitude est complète entre les 
deux problèmes; et M. Jeans en déduit que l'épilogue des forma- 
tions piriformes, c'est la séparation de la masse en deux ou plu- 
sieurs composantes distinctes; une figure correspondant aux cas 

de t?= -, v? 1 et e >> I montre clairement l'évolution du phéno- 

mène (p. i i(3). 

En résumé, dans les trois types de problèmes envisagés jusqu'ici, 
il n'existe pas de figures stables, sauf au début des séries sphéroï- 
dales et ellipsoïdales. Que se passe-t-il donc lorsque la configura- 
tion d'équilibre devient instable? Dans une lettre à Dtuvvin, Poin- 
caré annonçait que « la masse fluide devrait se dissoudre par un 
cataclysme subit w; suivant l'interprétation de M. Jeans, celte 



25/i piUiMiku !•; l'Ain' II-;. 

|»lu'ase ,si<;iii(ic simplement ([ii'iiii problème de Djnc'imiqtje se 
subslilue iilors au problème de Slallque. D'ailleurs, la fjue.stif)n 
semble dépasser les ressotirees actuelles de l'Analyse, el lauleiir ne 
l'aborde (Chap. \ [) (jue (buis des cas très |)articuliers : probb-inc 
des mai'èes, avec a|)proclie liés b.'ule ou très i'a|>ide de l'aslre per- 
turbateur. I! paraît vraisemblable c|ue, dans les trois problèmes 
|)rincipau\. le ninuvciiicul doit consister en la lormation de sillons 
et d'étranglements, qui se creusent progressivement et finissent par 
subdiviser la masse en plusieurs éléments isolés. 

I^e Chapitre \\l nous introduit dans un ordre de recherche^ 
loiil diiréicnl : désormais les milieux gravitants ne seront phis 
assujettis à Fincompressibilitc ; d'ailleurs, il est l)ien évident 
que le cas d'un milieu conq)ressil)le ne |)Ourra être soumis au calcul 
(pie siiiis la léserve d li \ pol lièses générales dune nal iire très siuq)le. 
L'auteur envisage d'abord le cas d'un milieu de composition uni- 
forme, cas qui, sous plus d'un rapport, se rapproche des précé- 
dents. Ainsi, on peut appliquer la transformation de Green (n° 141 ) ; 
les configurations d'équilibre seront bien déterminées par la 
nature de leurs surfaces frontièies, et l'on pourra les ranger en 
séries linéaires (sphéroïdales ou ellipsoïdales); quant 'à la discus- 
sion de la stabilité, ce sera toujours un cas d'espèce ( n° 145): 
d'ailleurs, une condition nouvelle doit être vérifiée : la pression 
devra toujours être positive. 

Cette remarque s'applique encore au cas de l'hétérogénéité, el 
notamment, au célèbre modèle de Roche, que l'auteur étudie de 
nouveau, après Poincaré. Ce système présente un mode de dislo- 
cation complètement différent de celui des piroïdes : lorsque ^-^ 
devient trop grand par suite du refroidissement, la matière astrale 
s"écha])pe radialement de l'arête équatoriale; dans le problème de- 
marées, les émissions gazeuses forment deux jets, suivant deux 
directions diamétralement opposées. Désormais, ce modèle inter- 
viendra souvent dans le développement de M. Jeans : par exemple, 
à propos de la formation des bras des nél)uleuses spirales, ou de 
l'origine des deux courants d'étoiles de la ^ oie lactée. Il est donc 
important d'étudier de plus près les caractéristiques de ces mouve- 
ments, et, en particulier, leur stabilité. Or, d'après M. Jeans, la 
méthode des potentiels retardés s'appliquerait au problème 
( n" 160 ) : l'excès de condensation — du mouvement varié par rap- 



CO.Ml'ri':S U H NI) us KT ANAI.YSHS. -155 

|»i>il ail mouvcmcnl |)rmiiiir se propajjijerait sous formes d'ondes; 
les bras pri'-scntcraicnl doiir uiic UMidanccà se diviser en une série 
de uovauv distiucls. 

Kn définitive, les piopriélés (\u modèle de lloelie se dillerentient 
neltemeiil de eelles des masses liquides hoiiioi^ènes. Peut-on eon- 
sid(''rer les deu.v classes de problèmes eorres|)()ndants comme des 
(•a>- bmites diiue classe mixte, (b'dnie par des conditions pbysicpies 
eonlinuenienl variables? M. Jeans répond par l'aflirmative cl de 
deux façons difïerenles. 11 remplace d'abord le noyau infiniment 
petit de Roche par un noyau de dimensions non nulles et de den- 
sité linie; soit s le i"ap|)orl de son volume à celui de l'atmosphère, 
l^iiis il envisage deh milieux qui satisfont à la loi y> zr= A"pTH-/?o j 
pour "' -== co, on retrouve les preuners proldèmes, et pour y = 1,2, 
le problème de Roche. Cela étaul, l'auteur applique aux nouveaux 
problèmes la méthode qu il a développée avec tant de bonheur 
pour le piroïde et il arrive à celle conclusion (n" I80) : pour 
s << o, 23, le modèle de Roche généralisé se sectionne par étrangle- 
ment, tandis que pour s > o, 20 il se résorbe par émissions équato- 
riales ; et des conclusions analogues s'appliquent au modèle adiaba- 
ticjue (po = o) suivant que l'on a v >■ 2,2 ou y << 2, 2. Ces énoncés 
se rapportent d'ailleurs aux problèmes de masses tournantes; mais 
on peut les étendre aux problèmes de marées (n" 18(3). 

Le Chapitre Vlll (Evolution des masses gazeuses) a pour objet 
la justification théorique des hypothèses de Russell sur révolution 
des étoiles. Après Clausius, Poincaré et Eddington, l'auteur 
reprend la théorie du viriel; et s'appuyant sur la théorie cinétique 
des gaz, il montre que les nuages stellaires sont radialement stables 
ou instables selon que *' est supérieur ou inférieur à i,33. Dans le 
[)remier cas, la masse gazeuse rayonne de la chaleur en se contrac- 
tant; du moins, il en est ainsi tant que les lois des gaz parfaits sont 
applicables; uiais à un certain moment, ceci n'est plus exact : la 
contraction devient impossible et le rayonnement obéit alors à la 
loi E = /.T'' (T désignant la température absolue). L'auteur envi- 
sage plus spécialement le cas des contractions homologues 
(n"*" 1912-196); la loi de Lane aT = const. se trouve alors vérifiée 
(a désignant la dimension linéaire). 

Les Chapitres suivants, qui ont pour objet une reconstitution 
synthétique des mondes ont un caractère de plus en plus hypothé- 
tique; bornons-nous à un rapide aperçu. Le Chapitre IX (Evolu- 



256 PREMIER lî PAHTIE. 

lion des nébuleuses lomnanles ) modifie d'abord les données des 
problèmes antérieurs de faeon à les rapproeiier le [)lus jtossiblc de 
la réalité. Par exemple, il résulte des observations spectroscopicpus 
que la loi adiabatique p ;= /. pï ne peut être rigoureusement vérifiée 
à l'intérieur d'une nébuleuse; on pourrait obtenir des résidtats 
plus exaets en faisant varier h d'un point à l'autre de la niasse 
(n"' 203-204). De même, il sera pi'éférable de supposer que la nébu- 
leuse ne tourne pas toul du ne piéee, mais que w- va en eroissanl, 
par exemple, du centre à la périphérie. Efreetivement, les conli- 
gurations d'équilibre ainsi obtenues présentent de troublant<'s 
analogies avec les belles photographies de nébuleuses planétaires, 
faites à l'Observatoire de Mount-Wilson in" 20(3). T.es théories 
antérieures peuvent encore être adaptées à l'étude des néi>uleuses 
spirales; M. Jeans entre même dans le détail des vérifications 
numériques; mais les nombres ainsi obtenus, pour p ou pour to par 
exemple, proviennent d'observations délicates et de généralisations 
par analogies; malgré leurs concordances, souvent impression- 
nantes, il est permis de les regarder comme bien incertains. 

Les mêmes remarques s'ajtpliquent au Chapitre X (Evolution 
des amas d'étoiles). Admettons que les amas procèdent des nébu- 
leuses; dans l'impossibilité où nous nous trouvons de discuter la 
désagrégation de la nébuleuse, nous pouvons nous poser le pro- 
blème inverse : remonter de l'amas à la nébuleuse (n*" 218-221 ). 
L'étude d'un amas peut d'ailleurs être abordée à l'aide des 
méthodes de la théorie cinétique des gaz; le problème actuel est 
même plus simple, car on n'a pas à se jîréoccuper des collisions : 
c'est ainsi que de la dynamique des solides, a l'hydrodynamique, 
puis à la dynamique des gaz et à la dynamique stellaire, l'étude 
des réactions intérieures devient progressivement plus simple. 
Dans cet ordre d'idées, M. Jeans étudie particulièrement la loi de 
la répartition des vitesses; au bout d'un temps suffisamment long, 
on peut supposer que l'amas satisfait à la loi de Maxwell. Or, de 
tous les amas stellaires, le plus connu, et pour cause, est celui delà 
Voie lactée; et ses étoiles vérifient cette dernière loi d'une manière 
très satisfaisante, sauf, peut-être, les étoiles du type B ; mais on a le 
droit d'admettre que ce sont aussi les plus récentes. 

Le Chapitre XI est réservé au problème particulièrement ardu 
de la formation des étoiles doubles; si l'on suppose qu'un tel sys- 
tème procède de la subdivision d'une figure piriforme (gazeuse). 



C().\IPTI<S IMÎNDUS irr ANALYSES. 257 

ou trouve que la densité du couple est ;ni moins é^ale à J ; d'après 
les résultats de Russell. les étoiles géantes du type A auraient donc 
été Connées autrement. Mais ces conclusions supposent cpie le sys- 
tème vérifie la loi adiabaticjue ; elles ne font pas élat des |)liénomènes 
d'ionisation, de dissociation atomicpie cpii doivent se produire à 
l'intérieur des niasses (n"" 2oo-2G4). Peut-on expliquer encore 
d'autres particularités des étoiles doubles, telles que la corrélation 
entre la durée d'une période et l'excentricité de l'orbite? Peut-on 
reconnaître si les composantes d'un système multiple ont eu une 
origine commune ou, si, au contraire, elles se sont associées 
accidentellement (n"" 1278-282)? Autant de questions qui atten- 
dront longtemps leurs réponses, malgré le secours de la Mécanique 
statistique 1 

Nous voudrions nous arrêter plus longuement sur le dernier 
Chapitre, réservé spécialement au système solaire. L'auteur clierche 
à en expliquer la formation par la théorie des marées, sans omettre, 
d'ailleurs, tous les obstacles qu'elle rencontre, en particulier 
pour la Terre; puis il essaie de reconstituer l'échelle des temps. 
Par exemple, il pro|)Ose le chiffre de 5(3o mdlions d'années pour 
la période de dissociation stellaire de notre nébuleuse primitive, 
et celui de 210 millions d'années pour la solidilication de la 
Terre (n" 307); suivant lui, ces résultats seraient conformes aux 
estimations géologiques; mais satisferont-ils tous les géologues?... 
D'ailleurs, selon M. Jeans, le problème de la mesure du temps ne 
présente aucune difficulté spéciale pour l'ensemble de l'Univers; 
il ne devient véritablement épineux que lorsqu'on le pose pour une 
étoile d'un type déterminé; et le Soled rentre précisément dans 
cette catégorie. . . . Mais M. Jeans s'est-il demandé si le problème a un 
sens par lui-même? De quelle « liorloge » faudra-t-il se servir? Et 
quel principe de permanence pourra-t-on invoquer? 

Le trop bref résumé de ces derniers Chapitres ne peut donner 
qu'une notion bien incomplète de la diversité des problèmes abordés 
par M. Jeans, de la variété des hypothèses qu'il a discutées et de la 
hardiesse des solutions qu'il a proposées, solutions toutes provi- 
soires d'ailleurs, car la disproportion est énorme entre les brillantes 
recherches du début et les conclusions, un peu téméraires, de la 
fin. Mais il n'appartenait pas à l'auteur qu'il en fût autrement : car, 
pour rester fidèle à la pensée même de M. Jeans, on ne j)Ourra 
approfondir utilement la solution analytique d'un problème de 



258 PREMIÈRE PARTIE. — MKLANGES. 

cosmogonie que lorsque les astronomes auront fourni de nouvelles 
données, plus nombreuses et plus précises : une fois de plus, la 
jNalurese fera l'auxiliaire du géomètre qui cherchera à en déroher 
les secrets. Or, à cet égard, connue le disait récemmcnl M. Des- 
landres, les résultats ol)lenus par la collaboration des astronomes 
et des physiciens oflrent « un champ d'études d'une richesse ines- 
pérée », et « dont la moisson est seulement commencée ». Puisse 
l'Ouvrage de M. Jeans leur suscile'l' le concours des géomètres; 
puissent leurs ellorts réunis résoudre ces deux énigmes, les plus 
troublantes de toutes d'après M. Jeans : la j)lace singulière du sys- 
tème solaire dans l'I nivers, et la [)lace exceptionnelle de la Terre 
dans le système solaire. 

Rem': Garisieu. 



MELAN(.ES 



SUR LES FONCTIONS ENTIÈRES D'ORDRE FINI 

l'Ali M. GEOK.iKs VALIRON. 



On sait qu'étant donnée une fonction entière /(:■) d'ordre fini 
non entier p, l'exposant de convergence de la suite des zéros est 
égal à p. Si r,i désigne le module du //'<""« zéro, la série 



peut être convergente ou divergente; je dirai dans le premier cas 
(pie la fonction est de la première classe de son ordre, dans le 
second qu'elle est de la deuxième classe. M. Borel a montré que 
le maximum M(7') du module de f{:-) pour |;[ = ;' vérifie, 
lorsque la fonction est de première classe, la condition 

( 2 ) 1 1 m ^ — = o ; 

mais la seule propriété utilisée dans la démonstration est que le 
quotient — tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, et en réalité 



MKI.ANGKS. '">() 

la condition (2) est la condilioii iirccssain' »'t siinisante pom- que 
ce quotient tende vers zéro. 

Je démontre dans ce (jui suit ([u<', la oondilion nécessaire et 
Millisanle |)(»ur qu'une fonclion soit de la |)reuiièr-e classe est que 
l inl('i:rale 



(3) / .^, '/■'■ i'J. 



'>) 



reste bornée quel ([lu- soil / . Il résulte de celte propriété que, 
étant donnée une fonction de la première classe, M(/') le maxiuuini 
de son module, toute fonction de même ordre dont le maximuui 
du module reste inférieur à M(/-)'', K étant fini, est aussi de la 
première classe. La (lasse d'une fonction (d'oidre n(Ui entier) ne 
cliani;e donc pas pai- la dérivation, les fonctions y (c ) — x sont 
toutes de la même classe, etc. 

Dans la démonstration je fais usai;e de la proposition suivante 
(jui est en un certain sens la <;énéralisation d'une inégalité bien 
connue de M. Jensen : Si n{x) est le nombre des zéros de la fonc- 
tion f{z) dans le cercle \z\=zx^ et /. un nombre positif quel- 
conque, on a l'inégalité 

, 4 ) r-^ .u < '°°-""-' ^ / r !2iM^ ,, ^ K, 

-'a •' a 

y. et K étant des constantes positives. 

Je donne ensuite les conditions nécessaires et suffisantes 
auxquelles doivent satisfaire les coefficients du développement de 
Tajlor de la fonction /(;) pour que cette fonction soit de la pre- 
mière classe. Lorsque ces conditions sont satisfaites et que l'ordre 
est entier, le genre est inférieur à l'ordre et la fonction jouit des 
prcqjriétés des fonctions d'ordre non entier; je dirai encore dans 
ce cas que la fonction est de la première classe de son ordre. 

1. Je démontrerai d'al)ord la proposition suivante qui remplace 
la condition de convergence de la série (i) par une autre plus 
commode : 

1. La condition nécessaiic et suffisante pour que la série 



26o niEMIÈRE PARTIE. 

converge, est que VintrgKtle 

" n(x) 



'^' [7 



i+p 



f/x. 



où n(.r) désigne le nombre des (judnlilès /■„ inférieures à x, 
soit bornée. 

On vérifie de siiile que l'on a 



(6) 



n 

21 I r'" n(.r) , n 



Si la série (i) converge, le second membre de l'égalité (0) esl 
borné quel que soit /?, donc «/o;7/o/7 rinlégrale. Inversemenl, si 
l'intégrale (5) est bornée, donc convergenle, l'intégrale 






tend vers zéro lorsque ti croît indéfiniuient, donc — tend xcrs zéro, 

le premier membre de l'égalité (6) est i)orné. La pro[)osition est 
complètement démontrée. 

l2. On sait que le théorème bien connu de M. Jensen donne une 
relation d'inégalité entre le module maximum M(>) d'une fonction 
entière et une fonction de r et des modules /„ des zéros. Parmi 
les diverses méthodes qui ont été données ])our obtenir la formule 
de M. Jensen, celle qui conduit le plus naturellement à la formule 
le plus directement utilisable consiste à intégrer convenablement 
l'égalité de Cauchj donnant le nombre des zéros. Elle se géné- 
ralise facilement. 

Considérons l'égalité de Cauchy donnant le nombre n{x) des 
zéros àe f\z) intérieurs au cercle |;| = x, 

n{x) = — f X Zi£^) e/0,/0 r/(o) ^ o] . 

si l'on divise les deux membres de cette égalité par x et que l'on 
intègre entre o et r, on obtient la formule de M. Jensen. Divisons 
les deux membres par .r'+'', /. étant positif, et intégrons entre 
Xt = rn-\ — £ et ^^2= '"«+^^5 nous obtenons 



r''' n{x) _ _i_ r -(ix^ r-' \f'(xe^» 



9rf0, 



.MKLANGliS 2G1 

4-1 il 01 cliiir ([lie l'un pciil iulerverlii" l'ordre des iuléj;ratioiis dans 
le second mcinbic. ( )u a d'ailleurs 

et si Ton inlerverlil de nouveau l'ordre des intégrations dans l'inté- 
gi'ale du second nu-inliic, el si l'on prend la partie réelle, on 
obtient 



I —, — r 'fx = r / 'os 

.>', ■> •- 



/{x,e''>)\d() 






^lais la toncliou 

(:) y(x)=-^f log|/(.re''J)i^/f) 

est continue même lorsque x est le module d'un zéro dey'(-:: j comme 
on le voit de suite en mettant en évidence dans le logarithme le terme 
qui devient infini; on peut donc faire tendre :r, et x-, \ers /•„_, 
et /■„< puis additionner les égalités obtenues, ce qui conduit à 
l'égalité 

J x'^^k ,./.• yk J ^l + /v ' 

\ [x) étant la fonction définie par l'égalité (7), et a étant un 
nombre compris entre o et r,. On verra sans peine que cette éga- 
lité peut aussi s'obtenir en multipliant les deux membres de l'éga- 
lité de M. Jensen 



r' m r) , , ^ , , , . 

/ '- dx = \{r) — y(o] 

, '„ X 



par -- — 7 et en intéarant a et x. 

L'égalité (8) peut s'écrire sous une forme plus simple; la tonc- 

lion V(a:^) admet en effet une dérivée continue par sections -; 

en elTectuant une intégration par parties sur l'intégrale du second, 
on obtient 

r'nix) f'' \"(.i-) 

Je n'utiliserai que les inégalités obtenues en remplaçant dans (8) 



9.6.i i'iu:\iii:iU'; i'a ini k. 

Y (x) |jai" logM(^') (|iii lui csl sti|)('i'ic(ir ci (jiii iidmcl. (TiiiiiM-s 
les lésiilUiLs de M. IMiimciillial l ' ), iiik; (léri\ <•<• par sorlioii (jiii cs\ 
inléi^rable. J^'inic façon ii<'ii(''jalf, si l'on icmplaec dans (8) \ (.7J) 
par une fonction \V(.a) adnx'llaul inu^ (|i'ii\(''e j>ar section iiiL*'- 
i;raljle, cL qui est couslamnienL supérieure ou égale à loi; M (.X' ) 
|logM(a?);^W(.r)], on j)euL elïecluer l'inLégralion par parties qui 
l'ait, passer de (8) à (g) survie second nieml)re de l'inégalité obtenue, 
mais d s'introduit alors une eoiislanle. 

On a ainsi le résultat suivant (jiTon reconnaîtra sans peine rive 
valable, même lorscpie /"(o) :=z o : 

il. J\z) élaiiL une fonction enlièic, n{x) le nombre des zéros 
et M(a7) le maximum du module dans le cercle z-^x, et le un 
nombre positif . on a 

^^^ r'' n{x) , ^ ,. Io-M(/0 , r''\n^M(x) , ^ ^ ^ 

( ) / ——r dx < K -:- , ■-.- k I . ■ — dx ( a > o), 

''a ^ ' -V -^ 

K étant une constante^ et si NV(a-) est une fonction constam- 
ment supérieure ou égale à logM(.zr) pour .r >• .To, et admet- 
tant une d/îrivée par section intégrable, on a 

K' étant une constante. 

3. Considérons nne fonction d'ordre p non entier et de la pre- 
mière classe, c'est-à-dire telle que la série (i) converge. L'inté- 
grale (5) a un sens pour X = + ^c. Supposons pour simplifier 

/(o) ^ o, et désignons par a„ le //'"""' zéro (|5t„|=: /•„), iwus 

avons 

II- II}' 



A = ) = e".jm±,p) 



K( a, p) = (i— u)e 



p étant l'entier immédiatement inférieur à s et P(;) un polynôme 
de degré p au ])lus. On constate aisément que le logarithme du 
module du facteur primaire E(«, p) est inférieur, quel que 
soit M, à 



(') Butletin de la Société matliématique, l. XXW, p. 2i3. 



MKLANGKS. 263 

A clanl iiMc ci)iisl;nilc ([iii dépend dr />. Laviinlagc de l'('iii|)l(>i de 
cette expression est que, d'après les for-mules <;énéi"ales de 
,\[. Denjov (M, elle reste dans uii rapport liiii a\ee la valeur 
exacte du maxiniuin de lo^JM^f, p). Celtes propritHé ne sera dail- 
Ifurs pas ulilisée dans ce qui suit et je ne la sli;nale que [»our 
nionli'ei- que, dans le cas de l'ordre entier où le résultat que j ob- 
tiendrai n'est plus valable, cela tient certainement à l'inlluencc des 
arguments de zéros. 
Nous obtenons 



B étant une constante. La série du second membre de cette inéya- 

lité peut s'écrire sous forme d'intégrale en introduisant la fonction 

discontinue i'(^V') égale à r„ pour n'^y <^ ii-\- i . on peut alors, 

1 , • • n , 

intégrer par parties, ce qui est légitime, car -^^j-y tend vers zéro 

puisque Tordre est moindre que./>-j— i, en prenant ensuite pour 

nouvelle variable x = > on obtient l'étralité 



^^-f 



ri'-^^ n(.v) {p -\- i)x ^ pr , 



x/'-i-J (x -+■ r ) 



qu'il est d'ailleurs loisible de vérifier directemejit en eflectuant 
l'intégration du second -membre (pour /«.i^x^/'n, n[x) est 
égal à II). Comme n{x) est nul dans l'intervalle o, /■,, on peut 
aussi prendre pour limite inférieure de liiitégrale un nombre quel- 
conque compris entre o et 7"|. 

Le quotient 

( p ^^ï)x -^ pr 



\ ariant entre entre p eA p -\- \ , on a 

1 og M r ) < 1-5 ri' -^ A i / ~- dx ( ^ i , 



( ^ ) Thèse, p. 35. 

(-) D'après les résultat»; de M. Denj.n^ rappelés ei-dessus, on peut preiidi-i 
pour Al une eonstante indépendante de p. 



264 PRKMIÈIIK PAUTIE. 

el [)ar suilc. |)iii.s(jii(.' p csl infV'rieiu" à p, 

K étant une constante. Or, l'intégi'ale 



<te, 



£. 



'■'^) rf,< r^rf:.- 



xi'"^^ ( X -h y) 



r^ n(.r) 



converge uniforménienl quel que soit j', on peut donc intervertir 
l'ordre des intégrations dans le coeHicient de A| dans l'inéga- 
lité (i i), puis poser >' = t.x^ et ce coefficient devient 



(,.) £'^'^U(a;)dx 



x?+^ 



avec 



J- 

G étant une constante liée aux fonctions circulaires. Or lorsqu'on 
remplace U(.7:) par une constante dans l'intégrale (12), cette 
intégrale a encore un sens puisque, par hypothèse, l'intégrale (5) 
converge. Le coeflicient de A) dans l'inégalité (11) est donc borné, 
et nous avons ce résultat, valable même si /(o) = o : 

III. Pour toute fonction entière d'ordre z non entier et de 
première classe, l'intégrale 

(i I dx 

est bornée. 

4. L'application de ces trois propositions aux fonctions d'ordre 
fini non entier est immédiat. La proposition III montre que l'inté- 
grale (3) est bornée pour toute fonction de la première classe; 
inversement, si cette intégrale est iiornée, donc convergente, 
l'intégrale 

/-'-'logAH..) / _^XIo,MO-) 

1 - 1 A • 1 ,/^ • 1 /• . . loir'Mf/-) 
tend vers zéro lorsque /'croitindeiiniment; donc, a fortiori, — 

(') Dans If cas de l'ordre entier, p = o + i, tou!> les calculs précédents sont 
valables, mais Tinlégrale \i{x) n'est plus bornée. 



MKLAXC.KS. 26'-> 

Icml vers zéro; riii(''i;alilr (/\), dans lacjiielle on prend /,== p, 
nionlro alors (jiic l'inli''i;rale [') ) esl bornée, la fonction est de 
|M('inière classe. Par suile : 

l\ . La coinlilion mk-essaire et si/J/isa/ifc pour (/u' une Jonc- 
tion, d'oriire p non entier soit de la première classe est que 
/'i/it(\i!ra/e { ,>) soit bornée. 

On déduit de cette proposition diverses conséquences qui ne 
pouvaient se déduire des résultats connus de la théorie des fonc- 
tions entières et qui montrent que, sur ce point encore, l'iiypo- 
lliése de l'ordre non entier introduit des simplifications : 

Si M(/") est le max^imum du module d'une fonction d'ordre p 
de la première classe, toute fonction d'ordre p dont le maximum 
du module M,(/) reste inférieur à ^1(/)'^, h (ini, est aussi de la 
première classe. De même, si M(/) étant le module maximum 
dune fonction d'ordre p de la deuxième classe, le module 
maximum M,(/) d'une fonction d'ordre p est supérieur à M(/)'^, 
h > o, cette fonction est de la deuxième classe. 

La somme d'une fonction y(^) d'ordre o et d'une fonction 
d'ordre moindre, somme qui est d'ordre p, est de même classe 
i\\xe J\z). La somme de deux fonctions d'ordre p et de première 
classe est de la première classe si elle est d'ordre p. 

En particulier, les fonctions 

sont toutes de la même classe quel que soit x. 

On obtient de même un résultat relatif à la dérivée en s'appujant 
sur ce que le rapport des logarithmes des modules maxima d'une 
fonction d'ordre fini et de sa dérivée tend vers i ( ' ) ; on en déduit 
que : 

La dérivée d'une fonction d'ordre fini non entier est delà uiême 
classe que cette fonction. 

Lorsqu'une fonction d'ordre p entier est telle que l'intégrale (3) 
est bornée, il en résulte encore que la série (i) est convergente, 
on peut donc former avec les zéros un produit canonique Ili^^) de 

{') G. Vahron, Bulletin de la Société maltiéinatique, 1914? P- '^kl- 
Bull, des Sciences matliém., 2° série, t. XLV. (Septembre 1921.) iG 



26G PREMIÈRE PARTIE. 

genre p — i , cl l'on a, (r;i|)rr.s un llirorcnK; de i\l. Borel ( ' ), 

hm -^ -! = o. 

On sail ([ue, dans ces c^ondilions, il rxisU; une suite de cercles 
de rayon indéfiniment croissants et de centre origine, sur lesquels 
le logarithme du minimum du uiodule de Il(^) est suj)érieur 
à — erP, si petit que soit le nombre positif z (-). Le factcui- 
exponentiel P(^). qui s'introduit dans la décomposition dey( ::) eu 
facteurs, vérifie donc sur ces cercles l'inégalité 

V partie rcolle île P(-î) , logI\l(/)-: Erp, 

et, puisque logM(/) est aussi moindre que tj-P à partir d'un(; 
valeur de/', il résulte de cette inégalité que P(-;) est de degré infé- 
rieur à 0. Donc : 

V. Une fonction d'ordre entier z pour laquelle l' inté- 
grale (3) est bornée est de genre z — i . 

o. Nous allons chercher maintenant les relations entre la con- 
vergence ou la divergence de l'intégrale (3) et les propriétés de la 
suite des coefficients du développement de Tajlor 

/(5) =2 ''•""' 
1 

de la fonction. Je rappellerai quelques-uns de mes résultats anté- 
rieurs (3). Si Ton pose log|rt„|= — gn-, si l'on construit avec les 
points de coordonnées /?, gn un polygone de Newton tournant sa 
concavité vers le haut et laissant tous les points considérés au- 
dessus de ses côtés ou sur ses côtés et si l'on désigne par logR„ la 
pente de ce polygone entre les points d'abscisses n — ■ i et /?, le 
rang N(j;) du terme |a«|^" ayant la plus grande valeur [terme 
maximum Ae f{z) pour | g | = a?] est le plus grand des nombres n 
tels que R^ soit inférieur à x] on a, quel que soit /?, 



li,K. ...li„ 



(') Leçons sur les fondions entières, p. Gi. 

(-) Voir lu Mémoire de M. Lin'DElôf, Sur un lliéorème de M. Hadamard 
dans la théorie des fonctions entières {Bendicond Mat. di Palermo, 1. XXV). 
( ■; Voir ma Thèse, p. 7-11. 



Ml'îLANGES. ;».67 

cl, l(>iS(|iit' la foncliou csl d ortlro (iiii, 

(ij) liin =1. 

J'ai appelé R,i le rapport rectifié de | fi„ , | à [r/^ |; les nombres R„ 
n'élant |)as décroissants, la transfoiinallon du n" 1 s'applique, il 
esL équivalent de dire ([ue l'intégrale 

r''N(x) , 
<.4) J„ ^''^ 

est bornée, ou de dire que la série 

est convergente. 

En m'appuyant sur ces définitions et i('sultats je vais montrer 
(pie : 

\ I. Lff ciinditinn nécessaire et suffisante pour que \' inté- 
grale 

soit bornée est que la série 

soit convergente. 

Nous avons en edel en intégrant par parties 

et en tenant compte de Fégalité (i)), nous oljtenons 

h{r) restant compris entre deux membres positifs lixes lorsque 
/■ croît indéfiniment. 

Lorsque la série (17) converge, l'intégrale du second membre 
<'sl bornée, il en est donc de même de celle du premier membre. 
Inversement, si 1 intégrale (16) est bornée, nous savons que — -j^, — 



af)8 PRliMIKRE PARTIE. 

Lend vers zrro, donc rinlrgralc du second mcinhrc est iiiissi Ijoinée, 
la série; (iG) converge. La proposition est démontrée. 

On retrouve en particulier, comme conséquence de celte pro- 
position, que l'exposant de convergence de la suite des nombres R,, 
est égal à l'ordre p de la fonction entière, car pour k supérieur à p 
l'intégrale (i6) converge, donc aussi la série (17), et inversement 
si la série (1-) converge, — ^_ — L u-na vers zei-o, i ordre est au 

plus égal à k. 

Je remarquerai également qu'il résulte directement de l'éga- 
lité (i3) et de linégalité (10) que Ton a, pour k'^ (». 

r'' n{x) j ^,, . r''y^(x) , 

inégalité qui met en évidence que la con\ergencc de la série (i5) 
entraîne celle de la série (i). 

En comparant les énoncés IV et ^ l. nous obtenons ce résultai : 

VII. La condition nàcessaive et. suffisante pour qu'une fonc- 
tion d'ordre [non eiitier) soit de la première classe est que la 
série (i5) formée avec les coefficients rectifiés du développe- 
ment de Taylor soit convergente. 

Auti'ement dit, lorsque l'ordre p n'est pas entier, les séries (1) 
et (i5) convergent ou divergent en même temps. 

Pour les fonctions d'ordre entier, on a seulement cette propo- 
sition : 

VIII. Une fonction cVordre entier p pour laquelle la série (i ,")) 
converge est de genre p — 1 . 

Je dirai encore que ces fonctions d'ordre entier sont de la 
première classe de leur ordre; donc, quel que soit p, les fonc- 
tions de la première classe sont celles pour lesquelles les séries (i) 
et (i5) et l'intégrale (3) sont convergentes, ces trois propriétés 
étant équivalentes lorsque l'ordre n'est pas entier, tandis que dans 
le cas de l'ordre entier les deux dernières conditions seules sont 
suffisantes et entraînent la première. Lorsque l'ordre est entier, la 
série (i) peut converger et cependant la fonction être de la 
seconde classe, l'intégrale (3) et la série (i5) étant divergentes. 
Les seules fonctions entières pouvant présenter les anomalies bien 
connues des fonctions d'ordre entier sont les fonctions d'ordre 



MÉLANGES. -iGo 

entier de la seconde classe; car pour eclles de la première classe 
les |)ropriéLés énoncées au n" i sont encore vraies et le genre 
élant — I, le cas d'exception de IMcard-Horel ne peut se pré- 
senter. 

G. Il est clair ([ue lorsqu'une fonction enliérc /(^j est majorée 
par une autre (onction d'ordre o et de première classe, elle est de 
première classe si elle est d'ordre p. Comme aj^plication de cette 
remarque, je démontrerai lav proposition suivante : 

Si les coefficients du développement de laylov de f{z) sont 
tels que la série 

" = 7 

est convergente^ la Jonction f(z) est d^ ordre k au plus et si 
elle est d'ordre /. elle est de la première classe^ en particulier 
elle est toujours de genre midndre que k. 

On peut supposer «y = o, et poser 



rhvpothèse est alors que la série 

y- 



est convergente. Les nombres /,, ont une limite inférieure 
pour /« = ^- X. égal à -f- oo; on peut donc les ranger en une suite 
croissante 

et la série 



,-1 "'' 



/' = ! 

est évidemment convergente. Si l'on pose 

A _ l«ol 

la fonction 



'Il I 

00 



■x-o VWVMIVAW. PARTIE. 

majore f( z). car ,' '' , csl le itroduii do /> plus liraiids iioinhics -y— ' 

"* -^ ' ■'■ a„ ' ZIP / 

landis que '- — ^ est le iuddnil de n de ces iioinhic.s. Oi' celle (onc- 
tiou F(/ ). pour laquelle R^;=/„ , est d'ordre inférieui- à /. ou 
bien d'ordre /> et de la première classe. La proposition énoncée 
est donc démontrée: elle a\ait élé déduite |)ar M. Polvà (M d'un 
iKéorènie de nature ali;ébri(pie de M. Scluir dans le cas parlicu- 
lier où k ^ :i. 

i. .](! me bornerai à signaler en terminant (pie les considéra- 
tions précédentes se <;énéralisent aisément en remplaçant la fonc- 
tion X? par les fonctions plus -^é-nérales 0:9 (\o'^x)9i . . . ('1()}^;,.X")P/' 
introduites par M. Liiidelof dans la tJH'orie des fonctions entières, 
et d'une façon plus générale |)ar toute fonction déiivable crois- 
sante U(:r) qui vérifie la condition 

,. xW'(x) 

lu» — r— = p. 

ce qui permet les intégrations [)ar |»aities (- ). 



SUR LES COURBES DÉFINIES 
PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE; 

Pau m. Jkan CH \ZY. 



1. M. Picard a complété sur un point la théorie des courbes 
délinies par une équation différentielle réelle du premier ordre, en 
montrant qu'à nn col n'abontissent pas d'autres caractérisliques 
que les deux caractéristiques lioloniorphes (•'). 

Dans l'étude de certains cas particuliers du problème des trois 
corps, et pour être assuré d épuiser les mouvements correspon- 
dants, j'ai été conduit à apporter des compléments analogues à la 

(') Cette ])i()posili<>ii a ('li- «'•iiourée pai- M. Pulyà à la lîi'uiiinii de la Soeiélé 
matliéniatique suisse de 1920. 

(-) Il suffit même de supposer que les limites d'iudi'teniiiiialinn jxjui- x infini 
de l'exprcssifin précédente sont p et un nombre positif inférieur à 0. 

(') C'est-à-dire dont les courdonnées d'un point s'expriment au voisinage du 
col en fonctions iiolomorphes dun paramètre. 



MKI.ANGKS. x-ji 

lln'orir «les courb(.'s clrlinics par iiii sN-lrnic (lillcicnlicl du second 

ordic 

dx dy dz 

on \. ^ , / sont des toiulioii-- réelles de-. Uois variables :r, )', z^ 
lioU)ni»>rj)lies cl nulles an point sini;nlier x =^(^^ y =^ o, ; :=o. 

En ce point sini;ulier, sous des condilions <rin«''i;alil('' entre les 
coeflieients des fonctions \, ^ . '/, passent trois caractehistiques 
holoniorplu's ('), c'esl-à-dire dont les coordonnées d'un point 
^"evprinienl en rouelioa- lioloiiiorplii'>. d'un paranièlre; elles tân- 
<;('ntes an point considère à ces trois caracIt'M-istiques ne sont pas 
silnées dans un même plan. Poincaré a défini (-) d'une [)arl, comme 
points singuliers isolés caraclérrsés par des inégalités entr^" les 
coefficients, les nœuds, les cols, les foyers et les cols-fojers, et 
d'autre part les lignes de nœuds, les lignes de cols ei les lignes de 
foyers. A un col, à un col-fojer, ou à un point d'une ligne 
de nœuds ou d'une ligne de foyers, Poincan- a montré (') 
qu'aboutissent une infinité de caractéristiques (pii engendrent une 
surface S. satisfaisant nécessairement à léqualion aux dérivées 
partielles 

(a) A- ;- \ —- = Z. 

^ ' i)x oy 

et admettant un plan tang<'nt au jtoint singulier considéré : parmi 
les trois caractéristicjues holomorphes. deux sont situées sur la sur- 
face S, et la troisième, en particulier la ligne de nœuds ou de foyers 
elle-même, n'est pas tangente an point singulier à la surface S, 

(') Il siiffit par exemple que réqQution caraclérislique n'ait ni racine nulle (à 
moins que le point considéré n'appartienne à une ligne de points singuliers: alors 
cette ligne elle-même est l'une des trois caractéristiques holomorphes), ni racine 
multiple, ni deux racines de même signe et multiple l'une de l'autre. Mais ces 
conditions ne sont pas nécessaires, et peuvent être élargies au moyen des ihéo- 
rùines d'existence des caractéristi((ues les plus généraux démontrés aujourd'hui (cf. 
Encyclopédie des Sciences mathémaliques, édition française, t. II, vol. .3, 
fasc. 1, article de P. Painlevé, p. 49-33). Il semble que Poincaré ait le premier 
affirmé (Journal de Mathématiques, 'y série, t. II, i886, p. i54-iô5 el passim) 
l'existence des trois caractéristiques holomorphes. en renvoyant pour la démons- 
tration au Mémoire célèbre de Briot et Bouquet [Journal de l'École Polylech- 
nique, 36° cahier, i>*56. p, iSS-igS), où toutefois la proposition n'est pas énoncée 
expressément. 

(-) Journal de Mathématiques, \" :«érie, t. II, iS8(i, p. l'i.J-ifJ^. 

( ■) Ibid., p. ij5-i37. 



•275! PRI'.MIKRI-: 1>AIMII{. 

puisque les Laiii^culcs ;inx trois ciiraclc'ii- licjuc. iKtliiiiiniplic ne 
sont pas situées dans un même plan. 

Je nie propos(; de déinoiilrcr les pidpnsilion- ^-nixautcs : 

1. A un col isolé ou à un rol-fOycr nahontissnnl pas d'autres 
caractéristiques que les carar.léristifines situées sur la surface S, 
et la troisiètne caractérislifiue holoniorphe^ cpic Poin( arc a 
appelée <léjà caractéristique isolée. 

II. / un point d' une lif:ne de na>uds ou d' une li^ne de 
foyers /iViboutisse/it pas d'autres caractéristiques que les 
caractéristiques situées su/- la surface S, et la ligne de nœuds 
ou de foyers elle-mên^e. 

HT. -i un point d un<' H fine de cols ndhoulissenl pas cVautres 
caractéristiques que les trois caractéristiques holoinorphes., 
dont Vune est la ligne de cols elle-même. 

IV. Toute caractéristique dont la distance d'un point éi une 
ligne de nœuds., et. une ligne de foyers ou à une ligne de cols., 
tend vers zéro., aboutit éi un point de cette ligne ('). 

2. La démonstration do M. Picard dans le cas d'un col d'une 
équation différentielle du j)reniier ordre peut èlre présentée comme 
il suit {-). 

En prenant des variables x et >'. ^arlal)les qu'on peut appeler 
encore des coordonnées, telles que les deux caractéristiques holo- 
morphes passant au col aient pour ('quàtions x^o et )' = o, 
^1. i^icard réduit l'équation différentielle à la forme 

<3) . ^^" ^ —J^ -. 

dans les dénominateurs les facteurs de x et de )'Sont des fonctions 
de X et y holomorphes pour le système de valeurs x ^ o, y = o, 
dont les termes constants )., et Ao sont de signes opposés. Une 
telle réduction est évidemment possible puisque les deux caracté- 
ristiques holomorphes ne sont pas tangentes. 

Une troisième caractéristique qui aboutit au col a? ^ o, j' = o 

(') Cette dernière proposition signifie, en particulier, qu'une ligne de nœuds, 
une ligne de foyers, ou une ligne de cols fermées ne peuvent admettre de carac- 
téristiques asymptotes. 

(-) Traité d'Analyse, ?.' édition, t. III, p. 209 et 28. 



MfaANr.i-s. c^s 

•liiiit |)iir ne plus cDiipci- les deux c;iracl(''risli(|iics x -"- o, )■ -^:^ o, et, 
par Miilc. (piaiid j" t'I y sonl assez prlils. les (li'iioiiiiiiateiiis des 
rapports (o) ne peiiNcnl j)lus s'annuler : dès lors, les numérateurs 
dx et (/y ne s'annulent pas non plus ['); les deux dififércnlielles x dx 
elydv ont des signes constants et op|)osés puisque A, et A^ sont 
de silènes opposés. Or il est iuipossihle que les fonctions x- et )", 
qui sont jiosliives. tendent vers zéro en variant dans des sens 
constants et dilVérents l'un de l'autre. 

Les seules caract(''iisti(|ues (pu (■•(•liaj)|)eut à celle impossibilité 
sont évidemment les deux caraclérisliques x ^ o ely = o. El il est 
clair que le raisonneuient s"a|)plique à toute cai'aclérislique sur 
laquelle x et y tendent siniultaiiétitenl vers zéro, depuis les 
courbes ayant à l'origine un point ordinaire jusqu'aux courlies 
admettant l'origine comme poinl-asv'mj)lole. 

3. // un col isole ou à un col-foyer n aboutissent pas d'autres 
caractéristicjues que les caractéristiques situées sur la surface S 
et la caractéristique isolée. 

PLéduisons d'abord le système ditïérenliel du second ordre (ij au 
voisinage du col r = o, jk = o, :; := o, à la forme 

(/./■ dy dz 



(4) 



Ài.r— ... K-ij'-^... K^z 



en n'écrivant que les termes du j)remier degré en x, y et ;:;, et 
en supposant les coefficients ).| et Aj positifs et A.j négatif. Sur 
la surface S mise en évidence par l'oincaré, la variable z est 
fonction liolomorphe de x et de y, et, comme, d'autre part, la 
caractéristique isolée n'est pas tangente à l'origine à la sur- 
face S, il est possible par i,in nouveau changement de variables de 
faire en sorte que la surface S ait pour équation ;= o, et qiu- la 

(') Nous considérons sur une caractcrisliquc à parlir (Ju p(jinl -r, y un dépla- 
cement infiniment petit dans le sens (|ui aboutit au col x = o, y = o, et dont les 
composantes dx, dy ne sont pas nulles à la fois : il revient au même d'égaler les 
deux rapports (3) à du, et de faire varier u dans le sens qui amène le point x,y 

, I ' , , ■ . d:x dy 

au col X = o, V = o; en outre, les deux dérivées —7- > -j- sont continues. 

au du 

Nous utilisons la même remarque plus loin : si le dénominateur de l'un des 
rapports (i) est dilïérenl de zéro, le numérateur correspondant ne peut être nul 
dans un déplacement infiniment petit sur la caractéristique; et il en est encore 
de même si, au lieu de l'un des rapports (i), on considère un rapport égal à ces 
trois rapports, et dont le numérateurest la différentielle d'une fonction dç x,y, z. 



27/1 P!u<:mii: IM-: PAiniiî. 

cai-aclcrislique isolée ail pour ('•(jiialions j? = <>, j- = o. Alors, 
dans le dénoniiiiateur de d:, d'après l'équation aux dérivées 
parlielles ['.i), C sera laclciir d Une Idnclion lioioniorpln; de X,y 
el :•■, cl, pnisqne le terme eonstani y.;, de celle lonclion liolo- 
morphc csl didérenl de zéro, on pourra réduire ce dénomina- 
leurà A.)::. V]n oulre, dans les dt''\ el(t])penienls lij^nranl aii\ déno- 
minateurs des deux prcmieis rapports (4), chaque terme conliendra 
X ou j' en facteur, afin que pour jc ='y = o, ces deux rajjports se 
présentent sous la forme-' etqueleséquations(4)puissentexisler 
pour 3 arhrilraire sur la caraclérislnpn'' isolée. 

Par une eond)inais(>n éNidcnle, on lire des ra|)poi'ts ( 4) 1 éj^alilé 

X dx -\- y dy dz 

Au dénominateur du premier meiid)re les termes suivfînt les deux 
termes A, :r--(- Aj )- sont de dci^rés ,'i au moins en x, j\ s, el con- 
tiennent tous en facteur x-, xy ou y'-] par suite, quand x^ y el z 
tendent vers zéro, ce dénominateur finit par être positif comme A, 
et Ao, et en particulier par ne pas s'annuler, sauf sur la caractéris- 
tique isolée a? = o, y ^ o. Or une autre caractéristique aboutis- 
sant au col x = o, y = o, c = o linit par ne plus couper cette 
caracléristique isolée. Donc la difterenlielle x dx -+- y dy a un 
signe constant, qui est nécessairement le signe moins, puisque la 
fonction .r- -h r- est ])osilive el tend vers zéro. D'autre part, sur 
tout arc de caraclérislique situé au-dehors de la surface :: = o, 
la différentielle zdzesl positive, puisque dans l'équation (5) le- 
coefficienl À:, et le premier membre sont tous deux négatifs : la 
fonction z- doit croître constamment. Il est donc impossible que 
la caractéristique considérée coupe une infinité de fois la surface 
z = o. el il est impossible aussi que la fonction z- ne s'annule pas 
et tende vers zéro en croissant constamment. 

Les seules caractéristiques qui échappent à ces impossibilités 
sont celles pour lesquelles :;. ou x et ]-, sont identiquement nuls, 
c'est-à-dire les caractéristiques situées sur la surface S et la carac- 
téristique isolée, conformément à la proposition I. 

La démonstration subsiste évidemment pour un col-foyer au 
voisinage duquel le système U) se ramène à la forme 

dx _ dy _ dz 

hx -h ;j.j^ -t- . . . — [J-X -4- À./ -+- . . . >.3^ -T- . . . 



mi: I.ANCIIS. ï-S 

(tù noii> n t'criviius (iiir les lcnnc> i\\i prcniici' clc^ic, cl on les 
coflliciciils )« cl A.T sonl rvspt'clivenicnt posilif et ncgatil. Kl la 
(Icmoiislialiitii Mibsislc cncoïc dans le cas micniicdiairc on le 
sNsIcmc (^1 ) se l'amciK' à la loi-mc 

//./• J)' dz 



(tù les coellicieiiLs A cl ).;, sonl encore posilif" cl ncgalil. Dans ce 
(leinier cas cxislcnl encore nnc caiaclt-rislique isolée cl uneinlinilé 
de (;ai'aclcnsli([iies silnécs sur nne sni'lace rionl les coordonnées 
(Vun [>oinl s'ex[)rinienl en lonclions lioloniorphes de denx pani- 
inèlres; el il siiilit, |)onr dénionlrer <|n il n'en existe pas d'autres, 
de snhstilner dans le raisoniiemenl précédent à la fonction x- + }- 
la fonction y.x- -\- y- , a désignant nne constanle supérieure 






i. i un point crime ligne de nœuds, ou de foyers n'abou- 
tissent pas d autres caractéristiques que les caractéristiques 
situées sur la surface S et la lii>ne de nœuds ou de foyers elle- 
même. 

Prenons des variables on des coordonnées x, y, z- telles que la 
ligne de nœuds ait pour équations x ^= o, Y'^^ o, que le point 
considéré sur cette ligne soit l'origine a; = o. y ^ o, ^ ^ o, et que 
la surface S passant en ce point ait pour équation z = o. Au voisi- 
nage du point a? = II, y i= o, ^ ^ o, on jieut réduire le système (i) 
à la forme 

d.r cl Y clz. 



((') 



z\''.r.y,z) 



en n'écrivant aux dénominateurs de dx et de dy que les termes du 
premier degré, et en désignant par A| et Aj deux coefficients 
positifs. Dans le dénominateur de f/s. la variable :; est facteur d'une 
fonction P(:r, y, z) holomorphe en x, y, z. d'après l'équation aux 
di'rivées partielles (2); et tous les ternies des dénominateurs àedx 
cl dy et de la fonction P(:r, y^ z) contiennent en facteur x 
on )'. 

On lire des trois rapports (6) la cond^inaison évidente 

X ilx -T- y dy dz 

' ).xx- -\-l=>y--v- . . . zV(x,y,z)' 



^76 PREMIKRF PARTI K. 

les lernics sulvanL les deux Icinics ).,./'- -\- A-.J' f»ii (Jénoiniualciir 
du premier nieinbr(! sonl de déférés 'A au moins en X, y^ z et coii- 
lienueul en fadeur x-, xy ^n\ y'-. Doue, au voi.sinai;e de rf)rij;ine 
des eoordonnées, ce dénominateiii- n(; peut s'annuler, saut' sur la 
ligne de nnnids ;z- = o, y = o ; sur un arc de earacléristiquc ne 
renconlrant pas, sauf peul-ètre en ses exlrémitc-s, la li<;ne x ^=^ o, 
>' = o, la did'érenliclle xdx-{-ydy ne change pas de signe, la 
fonction '^x--\-y- varie dans un sens constant et ne saurait s'an- 
nuler deux fois. Donc la caractéristique considérée finit par ne plus 
couper la ligne de no-uds j^' i= o, y = o, et la quantité yx--\ry' 
tend vers zéro en décroissant constamment. 
Si l'on écrit l'équation (-) sous la forme 



,.. , PC a", r, :■) \/ T- ^r- y"- .T(J.r-+-y(]v dz 

W —, 7 :- — ; '— X - • = 7 

on voit que le premier facteur <,\\\ picmicr uieml)re est borné en 
valeur absolue sur l'arc de caractc'-ristiipic considéré. Dès lors, 
intégrons réc[uation (^8) le long de cet arc de caractéristique 
à partir d'un point (ixe et assez voisin de Torigine, jusqu'à un point 
variable qui tend vers l'origine, et appliquons au premier membre 
la formule de la moyenne. On aiTive à une contradiction semblable 
à la contradiction classique (') mise en évidence par Briot et 
Bouquet : l'intégrale du premier membre est finie, et l'intégrale du 
second membre tend vers — ce,. I^es seules caractéristiques qui 
échappent à cette contradiction sont celles où z, ou bien x et y, 
sont identiquement nuls. 

Le raisonnement subsiste si au dénominateur de dz- la varialde :; 
est en facteur à une puissance d'exposant supérieur a i . La 
démonstration s'étend comme précédemment au cas où l'on consi- 
dère un point d'une ligne de fojers, ou un point d'une ligne de 
ces points singuliers intermédiaires qu'on range tantôt dans les 
nœuds, tantôt dans les fojers, ou enfin un point singulier de 
passage entre une ligne de nœuds et une ligne de fojers : c'est la 
proposition II, complétée. 

5. Conservons les notations du n" L et admettons maintenant 



(*) Cf. Journal de l'École Polytechnique, 3('>' cahier. iS56, p. i-jTt-i-jij ; cL 
Picard, Traité d'Analyse, a' édition, t. III, p. 27-28. 



.Mfil>ANGES. 277 

(juc sur une cariictéri.sli(|iic la disiaucf d'un point à la ligne de 
iuL'uds x=o.y=zo tende \ei's /éni. sans (jue cette caractéris- 
tique aboutisse a un point di'termine de eclle ligne. La caractéris- 
tique peut sortir du donuiine considéré au Ndisinage du point 
./^ = 0, y =10, ; = o, mais admettons qu elle passe dans ce . 
domaine et que ; s'annule une inlinit*'- de fois. Considérons un arc 
de caractéristi(pHj où .r et t sont arbitrairement petits, et où :; 
s'annule au moins une fois et reste voisin de zéro. 

Les équations (r) et (8) sont valables au voisinage du point 
./•=o,jK:=o, ;:; = o. Il r(''suite de l'équation (7 ) ([ue l'arc decarac- 
léristique considéré p<Mii couper une fois au plus la ligne de 
nœuds x =^ 6, y = o; diminuons au l)esoin cet arc de façon que x 
et )- ne s'v annulent plus, mais que :: s'y annule encore. Sur l'arc 
ainsi obtenu, la fonction y'.r- +j^- varie dans un sens constant. 
Dans l'écpuition (8), le pr-emiei' facteur du premier membre est 
encore borné sur- le nouvel arc considéré : intégrons cette équation 
sur un segment de cet arc où c ne s'annule ])as, à partir d'un point 
lixe juscjuà un point variable où c tend vei's zéro. Comme précé- 
demment, l'intégrale du pr-emier membre est finie d'apiés la for- 
mule de la moyenne, et l'intégrale du second membre tend 
vers — ce. Donc 3 ne peut s'annuler à moins de s'annuler identi- 
quement, et dans tous les cas tend vers une limite. 

La démonstration subsiste évidemment pour une ligne de 
foyers, et la proposition W se trouve démontrée en ce cjui con- 
cerne les lignes de nœuds et les lignes de foyers. 

6. A un point cV une ligne de cols n aboutissent pas (Vautres 
caractéristiques que les trois caractéristiques holoniorplies. 
dont l'une est la ligne de cols elle-même. 

Au voisinage d'une ligne de points singuliers 37 = 0, y = o, 
l'oincaré a mis les équations (1) sous la forme générale 

dx 



X V ( ./.', y, z ) -^ yV{ x, y, z i 

ity dz 



xï'ix.y, z)-r-yV{x,y, z) x['{x, y,z) -^yVix,y,z) 

où les six coefficients P(.r, >-, ^) sont des fonctions des ti-ois 
variables x, j-, z^ distinctes en général, et holomorphes au point 



•i7H PKK.MIÈKI-: l'ARTIE. 

x =: o, y ^ o, jz = o de la lij^iie considérée ; réduisons à iioii\eiiii 
celte forme quand la ligne est une ligne de cols ('). 

Par chatjue j)oint j? = o,y = o, c = ^^o de celle ligne, ;„ élaiil 
assez petil en viilcin' absolue, passent deux earactérisli(jn<'s iif)l(i- 
morphos autres que la ligne de cols clle-mènie : chacune de ces 
deux cai-actérisliques peul être rej)réscntée par trois (lév('lop[)e- 
menls des tondions x, }\ z — g^ en s«''rics cnlières eonvei-genles 
de la louction /', si l'on désigne par — la valeur eoinniunc <l<'>< 
trois rap|)orls (i). et si l'on donne une valeui- nuinérifpie au lacteur 
arbitraiie de la vai'iable t. Quand la cote Cy varie dans un ceilain 
inleivalle, l'exposant A el les coefficients de ces trois di-veloppe- 
ments sont des fonctions holoniorphes de ^^o- l^onc les deux caracté- 
ristiques holoniorphes engendrent deux surfaces analytiques qui se 
coupent suivant la ligne de cols, et d'ailleurs ne sont pas tangentes 
le long de cette ligne. Nous |)ouvons prendre ces deux surfaces 
comme surfaces de coordonnées x = o, y z= o. 

Puisque la surface x ^^= o est un lieu de courbes earacléi'istiques 
des équations (^i), la foncti(»n x doit >atisfaire à l'équation aux 

dérivées j^ai'lielles 

<)x ilr 

^ T- -H Z — = X ; 

donc le dénominateur X est le produit du facteur x par une fonc- 
tion de :r, jK, z^ holomorphe pour jr = o, >'= o, 5 = o. De même 
le dénominateur Y est le produit du facteur y piar une fonction 
de x^ y. z holomorphe pour a? =z o, j'= o, ^ = o. Et les équa- 
tions (i) se réduisent à. la forme 



(9) 



il.r 



dz 



x\'(x. y. z)^ yV\.r, y. 



(') En un point j: = o. y = o, ^ ^ o d'une ligne de nœuds x ^ o, y =zo, on 
peut de même ramener en général les équations (i) à la forme 

dx dy (Iz 



x[\+\>^{x,y,z)] y[\—V^{x,y, z )] xzï^{x, y.z) -^yzP{x.y.z) 

où A, et À,, sont deux constantes i-éelles cl de même signe, et où les i|uatre coef- 
ficients P, et F désignent des fonctions de ^,j>', ;; lioiomorphes pour le système tle 
valeurs x = n^ y ^ o. ^ = u, les deux fonctions P, s'annulant en outre pour ce sys- 
tème de valeurs. 11 est évident (juc l'une de ces deux fonctions peut être annulée 
idenlif|ucment ici comme flans les équations (fj). 



MÉLANGES. '^79 

où A, et Aj sont deux conslanles réelles et de signes opposés, où 
les deux eocl'licients P,(x, )', z) désii;nenl deux ("onetions de 
./•, ^', :; lioloiDoipJics cl nidles pour le -.ysirmc de valeurs .r = o, 
)- = o, z =^ o, et où les deux coellielents V(x'., J, -3 ) désignent 
encore des fonctious li(»louioi'plics pour le même système dé 
valeurs. 

Considérons une earaeti'-risliîpic al»oulissant au point .r = o, 
y = o, :: = o. Sur cette caracleristique, x et y Unissent par ne 
plus s'annuler séj)arément, car par chaque point de la surlace .r^o 
par exemple, passe une caractéristique liolomorplic aboutissant à 
un point de la ligne de cols x ^=o, y = o, et sur cette surlace les 
points singuliers des équations (i) voisins de l'origine sont situés 
sur la ligne x = o, r = o. x et y finissent aussi par ne plus s'an- 
nuler simultanément. En ellct. aux trois lapporls (g) est encore 
égal le rapport 

.K dr — )- dv 



(lO) 



>.2jK---.- 



les termes du dénominateur suivant les deux termes A, X2 — AaJKi» 
sont de degrés 3 au moins en .r, y^ z^ et contiennent en fadeur 57-, 
xy ony'-. Sauf sur la ligne de cols 37 = 0,^ = 0, ce dénomina- 
teur ne s'annule pas au \ oisinage de l'origine, puisque ),, et Ao sont 
de signes opposés. Sur un arc <le caractéristique ne rencontrant 
pas, sauf peut-être en ses extrémités, la ligne x^^o^y^o^ la 
fonction x- — y- varie dans un sens constant et ne saurait s'an- 
nuler deux fois. D'ailleurs, la fonction x'^ ■ — y- ne peut être iden- 
tiquement nville sans que sa différentielle, et par suite x et y, le 
soient aussi. Donc l'arc de caractéristique considéré finit par ne 
plus couper la ligne de cols x ■=■ o, y = o, et pai- conséquent 
x^ y, dx, dy finissent par ne plus s'annuler ni l'un ni l'autre. Dès 
lors, les deux fonctions positives x- et y- devraient tendre vers zéro 
en variant dans des sens constants et difïerents l'un de l'autre 
d'après l'égalité des deux premiers rapports (()) : circonstance 
impossible. 

Le raisonnement tombe en défaut si x ou y est identiquement 
nul. Si X est identiquement nul, mais non y, d'après l'égalité des 

dz 
deux derniers rapports (9), -j- est une fonction de j' et :: holo- 

morphe pour j- = o, ^ := o. D'après le théorème de Cauchj, la 
fonction z[y') est déterminée uniquement; elle représente néces- 



•iSo PllK.MlÉRK l'AllTlK. 

.sairenienl la cinacl* ri^liqiir liolonioi'jjlie aulro que la ligne de cols, 
hiluée sur la -.mlacr oc - - o. (]r cjui dcMniintif la |iif)|)0.silioii III. 

7. CniiscrN on.'- les noialions du n" (î. ri adnicllnus culin (luc. sur 
une caracLéilsliquc, la distance d iiu point à la ligne de cols 
ic= o,y = o tende vers zéro, sans que cette caiaclérislique abou- 
tisse à un point déterminé de celte ligne. Appliquons les équa- 
tions (y) à un arc de caractéristique où x et y sont arbitrairement 
petits, et où la variai ion totale de la ronetion ; n'est pas ar-bitrai- 
rement petite. 

En t'galanl les trois rapports ( () ) au rapport (lo), on voit que 
l'arc de caractéristique considéré ne j)eut couper jdiis d'une fois la 
ligne de cols x = o, y = o. Sur la totalité de cet arc, ou sur chacun 
des deux arcs partiels séparés par la ligne x = o, y = o, la fonc- 
tion ./- — r- vaiie dans un sens constant; dans les deux cas, on 
obtient au moins un arc qui ne coupe plus la ligne x = o,y=o. 
sur lequel la fonction x- — y- a un signe constant et varie dans 
un sens constant, et sur lequ(d la \ariation totale de c n'est pa? 
a ibi traire ment petite. 

Ecrivons l'équation 



[ .r 1 ' ( .r, y, z) -^ yPt .r, y, z i J \/x- — y- ^^ x d.r — y cly _ 



X 



si la fonction x- — y- est positive sur l'arc de caractéristique 
obtenu, et intégrons cette équation le long de cet arc. Le premier 
facteur du premier membre est encore borné : d'après le théorème 
de la moyenne, pour un segment quelconque de l'arc considéré, la 
variation totale de l'intégrale du premier membre, et par suite de 
la fonction ;:, est arbitrairement petite comme la variation totale 
de la fonction \J x- — y'-, fonction c|ui varie dans un sens constant, 
et i^este arbitrairement petite comme x et j'. La variation totale de 
la fonction .:: est de même arl)itrairement petite si la fonc- 
tion x- — y- est négative sur l'arc considéré. Donc la fonction .; 
tend nécessairement vers une limite comme x et )'. 

Ainsi la proposition IV est démontrée en ce qui concerne les 
lianes de cols. 



COMPTES Rl'N'DUS IiT ANALYSES. -^.s i 

COMI'IKS KÎ.NhlS I-: T VNAI.VSKS. 



APPELL (P.), Recteur de l'Univ. rsiié .le Paris. — TuAirK i>i-: MiicAMQUE 
nATioxNELLE. Toiiie l\ : Figui-es d'équilibre d'une niasse liquide homo- 
gène en rotation sous l'attraction newtonienne de ses particules. 
Eerons publiées avec le ooncours de iM. Véronnet, astronome à l'Obser- 
vatoire de Strasbourg, i vol. in-S de vi-ig; pages avec VJ figures. Gau- 
tliiei-N illar-. éditeur, Paris, ii)>i. 

Le inonde des Mathénialicicns et des Physiciens a certainement 
accueilli avec une faveur unanime le Tome 1\ du Traité de 
Mécanique rationnelle de M. Appell. Ce nouveau volume est 
consaci-é exclusivement à l'étude des figures d'équilibre d'une 
masse liquide homogène en rotation sous l'attraction newtonienne 
de ses particules. Cette délicate question, qui, après les recherches 
initiales de Maclaurin ,et de Jacobi, a donné lieu aux travaux 
célèbres de LiapounotF et de Poincaré, faisait l'objet de quelques 
brèves indications dans les premières éditions du Tome 111 du 
même Ouvrage. Ces indications ont été supprimées dans la dei- 
nière édition de ce Tome, et ce sont elles qui, systématiquement 
exposées et considérablement complétées, forment le point de 
départ de ce nouveau \ olume. 

Les deux premiers Chapitres présentent un exposé historique 
permettant de suivre le développement de cette question qui est 
du reste encore en pleine évolution, ainsi qu'une révision rapid<- 
et complète des propriétés indispensables de l'attraction et du 
potentiel. On retrouve, dans ce début de l'Ouvrage, toutes les 
qualités bien connues de l'auteur, qui réussit à condenser, sans 
sacrifier la rigueur, des théories difficiles à exposer et qui. sans 
être superficiel, atteint la plus grande clarté et une rare élégance. 
Le Chapitre III est consacré à l'étude des figures ellipsoïdales 
d'équilibre dues à Maclaurin et à Jacobi. Les discussions des 
équations trouvées forment la partie essentielle de la question, 
elles sont souvent assez délicates et l'on sait qu'en particulier 
pour les ellipsoïdes à trois axes inégaux elles sont susceptibles 
Bull, des Sciences malhé/n., 2' série, t. XLV. (Octobre 1911.) 17 



282 PIIEMIÈUE PARTIH. 

(le revêtir dilïéreiUes formes suivaiiL qu'on prend eoinnie para- 
mètre la rotation de la masse 11 aide ou son moment de rotation. 
Ces dillérentes diseussions sont exposées en détail et un pioj^rès 
très net est fait dans le tracé des diverses courbes destinées 
à les éclairer. Ces courbes, dont les Mémoires fondamentaux ne 
donnaient souvent que Tallure générale, sont ici tracées avec une 
grande précision diijjrès des données numériques soigneusement 
contrôlées. 

Pour pouvoir aller plus loin et aborder la (picsiion Ijeaucoup 
plus complexe des figures détjuilihre non ellipsoïdales (ou tout 
au moins de celles de ces figures qui sont voisines des ellipsoïdes 
déjà trouvés), certains développements mathéuiatiques sont néces- 
saires. L'auteur établit successivement dans les Chapitres suivants 
les équations fonctionnelles et les équations inlégro-difTérenlielles 
du problème, puis expose les pyineipales propriétés des fonctions 
s[)hériques et des fonctions de Lamé. Ces Chapitres, qui pré- 
sentent un grand intérêt, même en dehors du but précis pijur 
lequel ils sont écrits, forment sans doute l'exposé à la fois le plus 
simple et le plus clair qui existe sur ces questions. 

Avec le Chapitre Vil, nous revenons au problème mentionné 
plus haut, c'est-à-dire à l'étude des figures d'équilibre voisines 
des ellipsoïdes. Les méthodes sont exposées d'abord de façon 
générale, et, à titre d'application, la discussion des ligures ellip- 
soïdales est reprise au moyen des fonctions de Lamé. L'auteur 
aborde ensuite, d'après Poincaré, l'étude générale de la déforma- 
tion susceptible de déduire de chaque ellipsoïde une nouvelle 
figure d'équilibre infiniment voisine. On sait que ce problème 
n'est possible qu'à partir de certains ellipsoïdes particuliers dits 
ellipsoïdes de bifurcation. L'étude en est faite d'abord sur les 
ellipsoïdes de Maclaurln et il j a lieu de signaler de façon spé- 
ciale une démonstration remarquablement simple de la déter- 
mination du premier ellipsoïde de bifurcation. La même question 
est ensuite traitée à partir des ellipsoïdes à axes inégaux de Jacobi; 
c'est elle qui a conduit à la célèbre figure piriforme de Poincaré, 
dont l'existence comme figure possible d'équilibre a causé un si 
grand étonnement. Le calcul précis des éléments des ellipsoïdes 
critiques et des figures de déformation voisines est alors conduit 
dans le détail et les résultats déjà connus sont condensés et com- 



COMPTES RENDUS ET ANAI,YSES. '83 

[)lcl(''S par une (l(il<'riiiiaiUion iiiunrriquc [>rrc.isc des (■ocllicu-iils. 
I.'iiiic (les |)lus i;iMudes tlit'Heiilli's de ces calculs consisle dans la 
midliplicilé des nidations employées par les dilTércnts auteurs, 
niidtiplicllé (|iii rend très péuil)lc la lecture des Mémoires origi- 
nau\. M. Appell expose clairement les ra|)ports mutuels de ces 
ncttulions et ce ne sera pas un des moindres services que pourra 
rendre ce Traité que de mettre de Tordre dans un ensemble aussi 
complc^Kc. 

Enlin, un dernier Chapitre est consacré à 1 (Hude de la stabilité 
des [i<;ures défiiiilibre. Ici encore, la question est loin d'être 
entièiement ri-solue et c'était une œuvre tb-licate que d'exposer 
svstT-matiquement des résultats souvent disparates et qui même 
quelquefois ont ])u paraître contradictoires. C est ainsi que la 
stabilité de la figure piriforme, par exemple, a donné lieu à de 
nombreux débats, et que les résultats les plus divergents ont été 
obtenus, jusqu'à ce que Jeans tranche définitivement la question 
dans le sens de l'instabilité. On sait que la notion de stabilité elle- 
nuMue dut être précisée et que Thomson et Tait ont introduit une 
distinction nouvelle et fondamentale entre la stabilité séculaire et 
la stabilité temporaire ou ordinaire. Le début du Chapitre consiste 
donc en une étude générale, fondamentale en elle-même, de la 
xtabilité des systèmes. L'auteur expose ensuite les résultats remar- 
quables que peuvent mettre en évidence les courbes d'équilibre 
relativement à l'échange des stabilités et applique les résultats en 
particulier aux ellipsoïdes de Maclaurin et de .Jacobi et aux figures 
voisines. 

Cet exposé remarquablement complet tl'une théorie encore en 
pleine évolution constitue une œuvre de premier plan, et il fallait 
certes, pour la mener à bien, unir, comme le fait M. Appell, une 
documentation étendue et un sens critique pénétrant à une remar- 
quable facilité de l'exposition. Les passages les plus délicats 
j)araissent clairs, les notations les plus compliquées ont l'air de 
se classer d'elles-mêmes et sans effort, et par ces qualités si per- 
sonnelle's de l'auteur, l'œuvre est une digne continuation du grand 
Trnil(' de Mécanique rationnelle devenu aujourd'hui classique. 

R. Thiry. 



28,1 PRIiMIERIÎ PAiniE. 

MORDELL (L.-J.). — Tiiki;|': lectures on Feumat's last theohem (Thois 

CONFÉRENCES SUR LE DERNIER THÉORÈME DE FeRMATJ. (I brocliuie \n-X" 

'28 |)Hges, Cambriilge Universily Press, i\)ii.} 

GeLLe pelllc brocliutc conticul J;i nuitière de Irois Coiitérences 
faites par rAuteiir en mars 1920 à liirkbeck Collège (Londres). 
Elle s'adresse aux personnes ayant une culture niatliématicpu." 
générale mais sans ('onnaissances particulières en Théorie des 
Nombres. Elle n'a d'autres prétentions (pie de donner un aperçu 
des uK-lliodes cl lénoneé des résultats; les démonstrations sont, 
en génc'ial, absentes. En voici l'anahse, à laquelle je me permets 
d'ajouter (juelcpies notes. • 

Enokcé du théorème. — L'équation x" -h y" = 5" où n désigiw 
un entier plus i;rand que 2 /i'« pas de solutions entières en 
X, j', z, autres que les solutions banales oii lune des inconnues 
a la valeur zéro. 

Fermât possédait un exemplaire des <euvres de Diophante 
éditées par Bachelel. Il j inscrivait en marge les énoncés de 
théorèmes rpi'il avait découverts et c'est ainsi qu'il nous a- laissé 
celui dont nous parlons en ce moment. Il ajoute qu'il a trouvé 
une démonstration mais que la marge est trop petite pour la 
contenir (' ). 

Depuis, aucune démonstration complète n'a été découverte, bien 
que la question ait fait l'objet des recherches d'un très grand 
nombre de mathématiciens dont les plus grands, qu'elle ait été 
proposée plusieurs fois comme sujet de prix par les Académies de 
Paris et de Bruxelles, et qu'enfin, depuis 190-, elle fasse l'objet 
d'un prix spécial (-) de 100 000 marcs. 

Fermât a-t-il démontré son théorème? Il l'a cru évidemment, 
mais ne s'cst-il pas trompé? Comment la démonstration qu'il 



(') « Cujus rei demonslrationem mirabileni sane cletexi, haiic margi/iis 
exiguitas non caperet » (1637). 

(-) Prix Wolfskehl. La fondation de eu priv a donné naissance à un nombre 
énorme de « démonslrations » plus ou moins fantaisistes. Comme l'a dit M. Ivleii; 
dans un ra])port à ee sujet, le désir de ija^'ner 100000 marcs est beaucoup plus 
répandu que les connaissances nécessaires [loui' aborder la (jueslion. 



COMITliS R H NI) US Kl ANALYSi'S. 285 

Mdiail pu donner à son époque {*) n'aurail-elle pas élé retrouvée 
depuis que la Seience a fait de si grands progrès? C'était l'avis 
de Gauss (-), néanmoins Smitli cl M. Mordell pensent c[u"d n'est 
pas impossible que Fermai possédai une di-monslration. 

Simplification du /irob/è/ne. — On peut se borner au cas 
où x^ r, z- sont premiers entre eux deux à deux et où n est égal 
à \ ou à un nombre premier Impair. Pour l'équation x- -+- y- = z- 
t'ile a des solutions non banales. M. Mordoll les rappelle sans les 
démontrer ( •'). 



(M Au temps lie i'n iiiiil on savait résoudre en nombres entiers les équations 
(lu premier degré (encore la règle générale n'avait-ellc pas été donnée explici- 
tement). Pour le second degré on ne savait résoudre que des équations particu- 
lières. Le point de vue « fonction » qui avait déjà fait son apparition en .Mathé- 
matiques était encore inutilisé en Théorie des Nombres. La thénrie des groupes et 
celle des nombres algébriques n'étaient même pas soupçonnées. 

(-) Et de Ki-oneiker. L'une des propositions orales soutenues par lui pour 
l'obtention du titre de Docteur est : que Fermât n'a pas démontre son théorème. 
S'il nous est permis de donner notre avis après ceux de Gauss et de Kronecker, 
nous dirons que non seulement Fermai n'a pas démontré son théorème, mais 
(|u'il n'y a actuellement aucune raison de croire qu'il soit vrai. (Non plus 
d'ailleurs qu'il n'y en a de croire qu'il soit faux.) Le fait (|u'il a été démontré 
pour un grand nombre de \aleurs de n ne prouve rien; car on forme facilement 
des énoncés vrais pour autant de valeurs que l'un \eut d'un entier n et faux en 
?rénéral. (Exemple : n--f- n -i- 4'' ext premier pour tout entier n non divisible 
par 4'- Vrai pour n < 44. faux pour n = 44) 

( ) Voici probablement l'origine de cette question. La découverte du théorème 
<le Pythagore sur le carré de l'hypoténuse (vi" siècle avant Jésus-Christ) avait 
liouleversé les idées des Grecs qui croyaient auparavant que deux longueurs 
quelconques sont commensurables. Elle leur donnait, en effet, une infinité de 
triangles rectangles dont l'hypoténuse est incommensurable avec un côté de 
l'angle droit. Il leur vint donc naturellement à l'esprit de chercher les triangles 
rectangles dont les trois côtés fussent commensurables, re qui conduit immédia- 
tement à l'équation en nombres entiers 

Le procédé employé pour résoudre cette équation, utile à connaître pour ce 
qui va suivre, car c'est le même qui a été essayé pour n quelconque, est le 
suivant. On éirit 

Or, y tl z étant premiers entre eux ont pour plus grand commun diviseur 
I ou 2. Dans le premier cas, pour que leur produit soit un carré, il faut et il 
suffit que chacun d'eux le soit ; 

z-i-y = in-, z—y = n\ 

d'où ^ et z. Le second cas S' traite d'une fiçon analogue. 



9M l'IU'.Mli: [lE PAHTIE. 

L'équation x''-{-y'' = z''. -- Le cas <lc /« = ^ a coci do rcmai- 
quable qu'il est le seul où le ihéfurnic de l^'ennal a été démoiilrc 
par des moyens clénienlaires ('). Celle déniouslralion <sl 
donnée (-). 

L' équation ir'-|- )■' == ^'^ — (jCIIc équalinu a (K'jà ('lé consi- 
dérée par les Arabes vers le \'' siècle. La |)r('iiiièr(' dénionstraliou 
publiée est dEuler. Elle est incouq)léle. Euler j osl amené à 
résoudre en nouiljres entiers 

Pour cela il pose 

p -î- q \^ — J = { in H- // \^ — ))' ( m^ a eniiois i. 

c'est-à-dire 

p =: m* — r^mn-, q = i m- n — in'. 

ce qui entraîne 

p--~ 3*7- =- (ni- -h 3/1-)''. 

Or. il est bien évident qu il ol)lu'nl ainsi des solutions, inai> il 
n'est ])as sûr qu il les obtienne |(Mile> i '■ 1. ("elaitirpii <'>t d'ailleur.s 

(') C'esl-à-clire s'appuyanl ?ui' la tlicoiie cli- la ili\ isiliililé des cnlicrs Il-1Ii' 
qu'elle était connue d'Euclide et enseignée maintenant dans nos lycées. Déjà pour 
« = 3 rimpossibilité de l'équation n'a pu être démontrée par de tels riiojens, mal^iré 
de nomlireux essais. H a fallu néccssairenient introduire dans la démonstralimi 

les nombres algébriques du corps C(\'3), ou, ce qui revient au même, les fornn-s 
quadratiques binaires de discriminant 3. 

(-) Elle est de Frénicle de Bessy (1676) et s"a])plique à l'équation plus 
générale x' — y'' =z jz-. Elle consiste à raisonner comme pour a;--r-_r- = ^^ et à 
démontrer que l'on pourrait, "d'une solution non Itanale, en déduire une autri' 
où les valeurs absolues des inconnues seraient plus petites et ainsi de suite. 
Or il est impossible de trouver des entiers positifs non nuls décroissant cons- 
tamment. 

Frénicle de lîessy tenait de l'^ermat le principe de sa démonstration. Cela 
résulte de sa correspondance avec lui et, d'ailleurs, Fermât nous a laissé, expliii- 
tement, la démonstration d'un théorème équi\ aient au précédent : Il n'y a pas 
de triangle rectangle dont (es côtés soient des entiers et la surface, un carre' 
par/ait. 

(^) Ojt peut présenter la chose de la façon suiAante : l'ensemlile des nomltres 
p + q^ — 3 (/?, q entiers) jouit des propriétés suivantes, analogues aux pro-* 
priétés de l'ensemble des entiers ordinaires : la somme, la différence, le produit 
de deux nombres de l'ensemble apparliennent à l'ensemlile; il n'en est pas de 
même en général, du rapport de deux noinlues de l'ensenibie, c'est-à-dire qu'un 
nonilire de l'ensemble n'est pas toujours divisible par un autre. Les noiiLbrcs ±i 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 287 

oxact) une fois drinonh'é. le reste du raisonnenuMit d'Euler sérail, 
valable. 

Les éqiKttioiis x'' -\- y^ ^= z-" et x' -\- y' =z z' . — Indications 
sur les solutions données par Lejeune-Dirichlet, Lamé, Lebesgue. 
Les moyens employés sont conipliqu(''s et particuliers. 

L'œuvre de Aunimer. — C'est la contribution la [)lus impor- 
tante qui ait été apportée jusqu'à ce jour à la question. Kummer 
a réussi à démontrer le théorème de Fermât pour un grand nombre 
de valeurs de /i. De plus, il a créé à cet effet la théorie des idéaux, 
([ui joue maintenant un rôle fondamental en Mathématiques. 
A oici la marche qu'il a suivie : 

On peut se borner, comme nous 1 avons déjà dit, au cas où // 
est un nombre premier impair p. L'équation xf + jP =: zf 
s'écrit 

( T -^y I (.r -^-yljix -f- J?-) • • • (^ -^•yl'"'^) = -'% 

où ^ est une racine y/^""" imaginaire de l'unité. 



divisent tous les aiilres et ce sont ii-s seuls jouissaiU de celle propriété. Un les 
appelle unités. Il y a des nombres a indécomposables, c'est-à-dii-e qui ne sont 
divisibles que par rhi, àz a.. Tout nombre de l'ensemble est décomposable en 
un produit de facteurs indécomposables. 3Iais il n'est pas vrai que cette décom- 
posilion ne soit possible que d'une seule manière (même en ne considérant pas 
comme distincts les facteurs a et — a). 
Par exemple, 

2.2 = (i -^ V — ^) (' — v'— 3). 

C'est ici que se rompt l'analogie avec les entiers ordinaires et c'est pourquoi 
le raisonnement d"Euler est insuffisant. 

Euler a appliqué sa méthode dans d'autres cas, à des expressions />-+cc/-. 
Alors, non seulement le raisonnement est insuffisant, mais les résultats sont, en 
général, faux. D'ailleurs, Euler s'était bien aperçu lui-même de ce qui manquait 
à son raisonnement car il s'exprime, à un certain moment, de la façon suivante : 
« On sent bien que si la forme a;--i-jK' a des facteurs réels il faut bien que les 
facteurs irrationnels x -^ y \^ — i et x — ji'v — i soient, eux-mêmes, composés 
d'autres facteurs ». Quand un mathématicien dit « on sent bien », c'est qu'il 
n'est pas très sur de ce qu'il avance. 

C'est Gauss qui, le premier, a tlémonlré rigoureusement l'impossibilité 

de a;-^-HjK" = -'. Il emploie, pour cela, non pas les nombres P -i- q \ — 3, mais 

les nombres p -h g -y et il démontre que ces derniers ne sont décom- 

posables c^ue d'une façon en facteurs indécomposables. 



..KS PREMIKRE PAUTIH. 

(iliaciin des facteurs du premier ineinhre est de la forme 

./•„ -+- ./•] !^ -f-. . .-;- .r^,^ 2^''~' (-^0, ''i .r/,_2 enl iers ordinaires ). 

Si l'du pouvait a|)|)li(juer à ces expressions les règles de la 
(livisil)ililé des entiers ordinaires (') et en particulier celle de 
la décomposition en facteurs premiers, on aurait une voie pour 
aborder le problème en opérant comme pour /i = 2, 3, /[. Un 
écrirait que les facteurs du j)remier membre, s'ils sont premiers 
entre eux deux à deux, sont chaciiii une puissance yo'^'""" parfaite. 
Mais cela nesl pas vrai en fj;énéral. Cej)endanl c'est vrai pour tous 
les p < 23. Ce fait explique pourquoi Lamé, ('auchy el Kummer 
lui-même, au début de ses rechercbes, avaient linijjression que 
cela était vrai en général (-). 

Kummer a levé la difficulté par la considération des nombres 
idéaux. 

Les nombres idéaux peuvent se définir de bien des manières. 
M. Mordell a choisi la définition la plus immédiatement acces- 
sible (■'). Les idéaux sbnt des expressions de la forme 

v/^o— -^'i^ — . .. — ./>- 2 :/—•', 

(') Voir la note prénéclentc. 

(") Kummer avait mùtno donné une déiiioiistralidn du lln'orème de Fermai 
s'appuyant sur cette supposition erronée. C'est Lejeune-Dirictilet qui l'asertit : 
1° que cette supposition avait, en tout cas, besoin d'une tlénionstration ; 2° qu'à 
son avis elle était fausse. 

(2) Par contre, celte définition serait peu commode. Ivunimer a bien niuarqué 
la possibilité d'une définition de cette sorte. Mais ce n'est pas celle qu'il a 
donnée. La façon dont il procède est bien plus ingénieuse el liardie. Elle consiste 
à dire qu'un nombre premier ordinaire, non réellement décomposable dans le 
domaine des entiers du corps C(Ç), l'est cependant en autant de facteurs 
idéaux qu'une certaine eongruence a de racines. Chaque facteur idéal cor- 
respond à une solution de la congruence. On dit qu'un entier du corps est 
divisible par ce facteur idéal lorsque certaines congruences sont satisfaites. 
De la décomposition des nombres premiers ordinaires résulte celle de tous les 
entiers du corps. Kummer nous dit que cette conception lui fut suggérée par 
celle du radical hypothétique ammonium imaginé en Chimie pour expliquer les 
propriétés basiques de l'ammoniaque. Curieux exemple de l'inftuence, l'une sur 
l'autre, de deux sciences aussi éloignées en apparence, que la Théorie des 
Nombres et la Chimie. 

D'ailleurs, la méthode de Ivummer n'est pas absolument rigoureuse, mais on 
peut la rendre telle en s'appuyant, par exemple, sur la théorie des congruences 
à double module de Kronecker. 

Les procédés actuels de la Théorie des Nombres donnent des voies plus rapides, 
peut-être moins claires, pour ;irriver aux mêmes résultats. 



COMPTI'S RRNDUS RT ANALYSES. >.8() 

les entiers jc élant assujellis à certaines conditions, /■ étant nn 
entier, le nombre des classes, dont la valeur dépend de j>. En 
adioii;nanl ces nombres id(''aux aux nombres entiers du corps ( 'i(î^) 
les lois de la divisibilité ordinaire se trouvent rétablies. 

Ceci fait, il est relativement simple d'appliquer à xi' -^ yi' = zi' 
le procédé employé pour x^-\-y^=^ ;•', si le nombre des classes 
nest pas divisible par p. 

Pour les valeurs de p satisfaisant à cette condition, Kummer a 
ainsi démontré l'impossibilité de l'équation non seulement en 
entiers ordinaires, mais même en entiers du corps (^(v), c'est- 
à-dire qu'il a démontré un lliéorème [)lus général (|ue celui de 
Fermât ( '). 

La condition que /• n'c.^st pas divi>ible |)ar p peut se renqilacer 
par une autre. Posons 



XZC 


= 


X -^ 


1)"-' 


\ia-r'" 


e-» — I 


{■>.n)\ ' 






// - 1 






I 






l!3 = 


i '"^' 



de sorte que 

ces nombres sont dits : nombres de BernouUi. 

Alors la condition peut s'énoncer que : lucu/i des — — pre- 
miers nombres de BernouUi nait son numérateur divisible 
par p. 

Cette condition est remplie pour toutes les valeurs de p infé- 
rieures à loo, sauf pour/> = 3-, 5() et 67. 

Kummer cherclia à combler cette lacune. En i85- il donna une 
méthode s'appliquant aux nombies premiers satisfaisant à certaines 



(') I^c lra\uil (léfinitif tie Ivumrner est de iSjo. 

On a aussi étudié l'équation xi'-\-yv = zi' dans des corps difTcrents de C(Ç), 
pai- exemple dans des corps quadratiques (Fueter, Bumside). 
(-) On trouve ensuite 

I .') 'io I - .'')8i- 

n, = — , H-=— , B,= — V' B. = ^, H^=_^-^. 

Je donne ces ^aleurs pour montrer combien les numérateurs dont il est question 
ici ont une marche irrégulière. 



290 PREMIKIUÎ PAirriH. 

conditions .mires que les précédenles ('), lesquelles conciliions 
s'appliquent justement à o^, -ig et ()^. Mais, il résulte des leelierches 
de M. \ andiver, ([ue les démonstrations de Kummer ne sont pas 
à l'abri de toute critique. Pour le cas de p = 3-, une dénionstralion 
rigoureuse a été donnée par M. iMirimanolT. 

ji litres résultats ( -). — Kummer a aussi démontré que V équa- 
tion xP ^ yP ■=^ z-i' ne peut avoir des solutions en entiers ordi- 
naires dont aucun ne soit divisible par p, que si les numérateurs 
de Vtp-i et B/,_5 sont divisibles par p. 

M. Mirimanofr a étendu ce résultat à B„_7 et B,,_9, et démontré 
d'autres résultais du même t;enre. 

Les congruences 2/'~'ssi (mody>-j, etc. — Voici des condi- 
tions d'un autre genre. M. Wiefericli (') a démontré qu'il n'existe 
pas de solutions dont aucune ne soil divisi1)le par p lorsqu'on 

n'a pas 

2/^—1 ^s I ^^mod/>-), 

IM. Mirimanofia ensuite donné la condition analogue 
S/'-i = I imoép^-), 

M. \ andiver la condition 

oP-'^ ss I (niotl/>2 ), 

M. Frobenius les conditions 

ii/'-i = I. i-/'-i =1 

et 

7/'-1esi, iS/'-'ssi, 19/'-! = I, 

ces dernières, si p^ — i (modCi); toutes ces congruences 
étant (mod/>-). 

Voici des conditions d'un autre iienre encore. 



(') Dans ce cas, la démonstration ne s'applique pas à tous les entiers du corps 
C(îl), mais seulement à certains d'entre eux, en particulier aux entiers ordinaires. 

(^) Ces résultats se rapportent à un énoncé donné précédemment par Sophie 
Germain {voir plus loin). 

(') En 1909. 



COMPTES RENDUS ET AiNALYSES. 'qi 

On (It'inonirc lacilcnienl que si X'^ -{-y^ ^= z-\ l'un des Irois 
enhri> ,/■, y, :; doit èlre divisible par 3, de nn^nic par- -. Si l'on 
pouvait liduvcr une inlinilc de luuulu'es premiers q lel (pu- 
,.3_j_ ,■!_- - i cniiainàl (jue l'un des entiers .r, y, c dut être divi- 
sdile par q , cela d<ui(tnli'erait rini[)()ssibilil('' de l'écpialion. De 
même pour ./<"+ )'/'= z''. 

Or, Libri, en i8.i2, énonea (ju'il i\\ a pns une infinité de tels 
nombres premiers. Ccei fut prouvé en i88() par Pcllet, puis, de 
nouveau en i()of), par Dickson et Ilurwitz. Donc impossibilité 
d atteiinlre la solution par cette \oie. 

Résultats (le Sophii- (jcrinain . — On a vu [)lus liaul (le> ca-. 
nombreux d'impossibilité de xi'-\-'yi' :^^ zC en entiers dont aucun 
n'est divisible par p. C'est Sophie Germain cjui a, la première, 
examiné celle question d'une façon méthodi([ue. Elle a démontré 
celle impossibilité dans le cas où l'on peut trouver un nombre 
premier rj satisfaisant aux conditions suivantes : 

jo ^p^j^y/,^^ -p (nioJ^y) lie peul être satisfaite qiu" si l'un des 
entiers x,y^ z est «bvisible ytar q\ 

2° l.a congriMJuee 

/./' == p ( nnul q ) 

n a pas de solution. 

l^iis elle a calculé j)our loni nombre premier /;<;iooo un 
nombre q satisfaisant ces coufblutns. 

^^ undt a simplifié rénf)ncé de ces conditions, et Dickson, en 
s'appuvant sur ces résultats, a démontré le théorème de Sophie 
Germain pour p << "ooo. 

Tels sont, à peu de chose près, les renseignements donnés par 
M. Mordell; ils comprennent bien, en somme, l'essentiel de ce qui 
a été fait sur la question. 

On est tenté de leur faire le reproche suivant : l'étendue des 
renseignements donnés sur les différents travaux n'est pas propor- 
tionnée à leur importance. Les travaux les plus importants sont 
ceux (pii procèdent de la théorie des nombres algébriques, seuls 
ils ont permis de résoudre le problème pour certaines valeurs de n. 
Les autres n'ont jamais pu j réussir (|ue dans les cas simples des 
deuxième et c[uatrième puissances. Or, c'est sur ces derniers (jue 
M. Mordell s'étend le plus. 



Mais il faut avouer (jiu' ce reproche ('-tail hien difficile à é\iler. 
Il est à peu près impossible de donner une idée claire des travaux 
(lu premier genre sans entrer dans de longs détails, tandis que cela 
est facile pour les autres. 

En tout cas, nous croyons que le lecteur emportera de la bio- 
eliure de M. Mordell l'impression bien nette que, jusqu à mainle- 
uaul, on ne s'est pas avancé bien loin dans la solulion du problème 
générai de Fermât. Ce problème a, en somme, été résolu pour 
certaines valeurs de /î, satisfaisant à certaines conditions. Ce>> 
conditions sont (jue certaines coïncidences numériques conq^li- 
{juées /l'aient pas lieu. On conçoit que cela puisse arriver très 
souvent sans cju'on puisse en inférer c|ue cela arrive toujours. 
D'ailleurs ces conditions sont suffisantes pour que le théorème de 
Fermât soit vrai mais non nécessaires; de sorte (|ue lorsqu'elles ne 
sont pas remplies on ne sait rien. 

Il paraît aussi bien diffiede de trouver par tâtonnements des 
valeurs satisfaisant à une équation de Fermât et de démontrer 
ainsi, par le fait, la possibilité de sa résolution. 

11 existe, en effet, des théorèmes dont M. Mordell ne parle pas, 
mais qui nous paraissent intéressants à ce point de vue, qui 
liniitent inférieui'ement les valeurs de a:, jk, :; qui pourraient 
satisfaire à x'^-{-y" ^= z" . Le plus simple est celui de Griinert : 

Les valeurs positii'es de x, y, :■ satisfaisant à x"-i-y" = z" sont 
toutes plus grandes que n (M- 

De sorte que pour n = 5c) premier cas douteux, le plus petit 
nombre à essayer serait 60. Or (60)^^ a io5 chiffres. 

Le problème de Fermât ne semble, en définitive, pas plus 
])rès de sa solution que celui des nombres parfaits, celui de 



(') Démonstration. — Posons z = x -r- u(u'> o) et remplaçons clans l'équa- 
lion, il vient après réduction 

y" = nx"-^ Il ~\- . .. , 
d'où 

y" > /jx— '. 
De même / ■ 

x" > ny"~^. 

Élevons la première inégalité à la puissance «, remplaçons x" par ny"^K on 
trouve facilement 

' y>n- 
De même x. 



COMPTKS RENDUS ET ANALYSES. ■iç)'^ 

(luldhacli, elc, loulcs questions dont l'énoncé est si simple 
quelles se sont posées depuis des siècles, et la solution si dil'tl- 
cik' fjuOn no voit même pas encore coniiueul on poiii-rail y 
arriver. 

Dans ces conditions, on peut se demander et beaucoup se 
dcmandeal, en elTet, si c'est bien la peine de poursuivre plus 
b)ni;temps des solutions qui paraissent encore si loin d'être 
atteintes, lorsque, de jilus, les questions posées sont d'une nature 
si particulière et d'un intérêt pratique évidemment nul. 

Que les questions soient jiarliculières, c'est évident; qu'il vau- 
drait mieux, par exemple, au lieu de l'équation x" -\-^j'" =^ z" , 
étudier l'équation _/'(.2^, j^, ;) = o, c'est certain. Mais, commc! 
étudier l'équation J\x^ y^ :;) = u n'est pas possible pour le 
moment, on étudie l'équalion de Fermai comme pré[)aration à ce 
|u'oblème plus général. 

L'intérêt pratique de tous ces problèmes est nul. On ne leur voit 
pas d application, non seulement d'applications pratiques immé- 
diates, mais même d'application à toute autre partie de la Science. 
Mais, d'abord, chacun sait que des théories ont semblé complète- 
ment inutiles pendant longtemps qui. à un moment donné, ont 
reçu une application. 

Lorsqu'en 1881 l'Académie des Sciences de Paris mettait au 
concours le problème de la décomposition des nombres entiers en 
une somme de cinq carrés elle fournissait à Minkowski, qui obtint 
le prix, l'occasion de commencer ses recherches sur les formes 
(juadratiques et leurs substitutions automoi'phes. Par là elle contri- 
buait peut-être indirectement aux progrès de l'Electricité, de 
l'Optique et de toute la Mécanique. ])uisque le même Minkowski 
a découvert, depuis, le rapport intime qu'il y a entre cette théorie 
des substitutions aulomorphes et celle de la relativité de Lorenz- 
Einstein. 

Et puis, il j a d'autres raisons que celle de l'utilité : u Le savant, 
a dit Poincaré, n'étudie pas la nature parce que cela est utile, mais 
parce qu'il j prend plaisir. » Et Leibnitz : « Mais à quoi bon cela, 
dira-t-on. Je réponds : à perfectionner l'art d'inventer. Car il 
faudrait avoir des méthodes pour venir à bout de tout ce qui peut 
se trouver par raison. » E. Cahe]v. 



V}\ PREMIER !•: l'A in I \.. 

AnnlAirk polr l'an \(ji\ , jnihlii- par le Bureau des Longitudes. \vei des 
Notices scientifiques : i" Les mouvements propres el lesvitesses radiales 
des étoiles, par G. Bigourdan (p. A. i-A.4'- i: 2° Notice sur le général 
Bassol^ par le général Iîolrcjeois (p. B.1-H.17;. 1 vol. iii-iG de viii- 
840 pages. Paris, Gautliici-Villais et G''', \^>-\, 

Le Bure;m des Lougiludcs lui iiisiJiiH' p.ii' \\\ Cnnvealioii niilKt- 
nale (loi du :>..'> juin i79>) en vue du peilcclionncment des diverses 
branches de la science aslronouiicjiic et de leurs applications à la 
géographie, à la navigation et à la |)h\^i(pie du globe. 

Il rédige et publie : i" la Connaissance des Temps; 2° des 
Ephéniérides nautiques ; '.V' un Anmiaire qui. aux termes du 
règlement donné par la Convention, doit être <( propre à régler 
ceux de toute la République »; 4" <Jes Annales. 

Cet Annuaire parut pour la première fois en \~/)() et sesl |)ubliè 
depuis chaque année sans interru|»lion. Comme le signale l'aNcr- 
\\ssen\en\.., V Aiutuaiie pour \\y>.\ contient, ainsi que dorénavant 
tous les Annuaires, d'abord quatre Chapitres relatifs: le premier 
au Calendrier, le deuxième à la Terre, le troisième à Y Astro- 
nomie et le quatrième aux Mesures légales et aux Monnaies. 
Dans le deuxième Chapitre (^Terre), on a groupé, depuis 
Tannée 1919, avec les matières /jui y étaient contenues habituelle- 
ment, les données relatives à la Météorologie, à la Piéfraction 
atmosphérique et au Magnétisme terrestre. De plus, tous les 
Annuaires renfermeront un cinquième et dernier Chapitre qui 
sera relatif, pour ceux des années paires, aux Données physiques 
el cliimiques, et, pour ceux des années impaires, aux Données 
géographiques. Statistiques démographiques. Tables de survie, 
d'annuités, d^intérêt et d^ amortissement . 

Toutes les Tables des matières étant désormais groupées à la fin 
du \olume (sauf celles qui sont [)articulières aux Notices), et 
fournissant l'indication des sujets et des renseignements contenus 
non seulement dans le présent Annuaire mais encore dans les cinq 
Annuaires immédiatement précédents, on trouve aisément tout ce 
que l'on peut désirer connaître. 

Presc]ue aussitôt après son apparition, V Annuaire du Bureau 
des Longitudes, qui contenait alors 80 pages, ayant été accueilli 
avec laveur, on étendit les articles qu'il contenait, on en ajouta de 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 'o'i 

nouveaux, cl l'usage des Notices siiilroduisit. Ces JNoliees porlaieiiL 
sur les Découvertes géographiques récentes, sur la Oéodésie fran- 
çaise, le Système métrique, rie. De 1810 à iSaj, Wl unitaire conlini 
des extraits des Œuvres de Laplaee. De 1834 à i853, il contint 
la longue série des ÎNotiees écrites j)ar Arago qui contiùhuérent si 
pMissainnieul à la pctpiilaiilé de ee petit ()uvrage. 

Aj)rés la mort d<' ce dernier, 1 Annuaire ayant été publié sans 
Notices pendant dix années, le public réclama ce complément si 
intéressant. Delaunay reprit, en iSi')^), la publication des Notices 
qui depuis ne s'est plus interrompue. 

Les Notices contenues dans V Annuaire de 1921 sont dues Tune 
à M. Bigourdan et est relative à l'Astronomie, l'autre au général 
Bourgeois. Cette dernière, bien que consacrée à la mémoire du 
•général Bassot, appartient à Ihistoire de la Géodésie française. 

La Notice de M. Bigourdan sur Les mouvements propres et les 
vitesses radiales des étoiles a pour but de relater les extraordi- 
naires progrès de l'Astronomie au xix* siècle, qui est «le siècle des 
mouvements propres ^> et, plus récemment encore, dans le dernier 
demi-siècle où, grâce à l'application que l'on sut faire de la spec- 
troscopie et du parti que 1 on sut tirer des analogies entre le son et 
la lumière, les astronomes ont pu attaquer le problème, regardé 
longtemps comme à jamais insoluble, de la composition chimique 
des astres. 

Après quelques considérations préliminaires sur les moyens 
employés par l'homme pour étudier l'univers sidéral, depuis le 
simple examen à l'œil nu jusqu'aux observations faites à l'aide des 
savants instruments de nos jours, il jette un regard sur l'Astro- 
nomie primitive et insiste sur les données astronomiques que les 
anciens nous ont léguées. Il indique en passant ce que cette science 
astronomique renfermait en puissance concernant l'Astronomie 
piiysique : les Lois de Kepler et celle de Newton se révélant être à 
la fois et le couronnement de la science ancienne et le point de 
départ de toute la science astronomique actuelle. 

Ce premier Chapitre terminé, M. Bigourdan aborde la première 
partie de sa Notice : Les mouvements propres des étoiles. Il fait 
l'historique de la découverte de ces mouvements en trois petits 
paragraphes qui ont respectivement pour titres : Premiers essais; 



iç)6 PREMIÈRE PARTIE. 

Con/uination au xviii" siècle; ElablisscmenL cU'finilij de 
l existence des mouvements propres. Dans le premier |)ai-ai^ia|>ln' 
c'est le nom célèbr*- de Ilalhîy (|iri] |tiésente; dans le second, ce 
sont ceux de Tjclio Bralié et de (lassini II et ceux, moins connuN 
de la foule, de 1'. Mayer et de Maskidyne. Dans le troisième ce sonl 
ceux de Bradlej, Lacaille, Lalande, Bessel, etc. L'aboutissement 
de tous ces travaux est l'entreprise du « (îrand (^atalo^ue plioto- 
j;raphique international » (•()mmcnc('' eu i<SS- sous Tiiupulsion de 
l'Observatoire de Paris. 

Le cjuatrièuie parai^raplie : Utilisation des mesures différen- 
tielles^ montre comnuMit. apr«>s avoir entrepris un Catalogue 
(général, on put rapidement son<^er à (Hablirdes Catalogues spéciaux 
de mouvements propres. 

Le clncpiième paragraphe est consacré aux Catalogues spéciaux 
de mouvements propres. A l'occasion des procédés employés 
pour reconnaître et mesurer les mouvements propres, M. Bigourdau 
définit le mouvement propre angulaire, donne la nolion de mouve- 
ments propres parallèles et de courants stellaires. 

Puis, il envisage dans un sixième paragraphe V Insuffisance des 
mouvements propres angulaires pour donner les mouvements 
réels des astres dans l'espace. Ici intervient la notion de vitesse 
radiale. 

M. Bigourdan abordera le sujet de ces vitesses radiales au Cha- 
pitre IV, le Chapitre III étant réservé à un exposé élémentaire 
indispensable de spectroscopie, avec : le Prisme; Raies du spectre; 
Classification spectrale des étoiles. 

Au Chapitre I\ , le premier paragraphe est consacré à la défini- 
tion de la vitesse radiale; les quatre paragraphes suivants sont 
écrits en vue de faire comprendre au lecteur comment s'inter- 
prètent, jjour les vitesses radiales, les photographies spectrales des 
étoiles. L'étoile et l'observateur étant en mouvement relatif, un 
déplacement des raies dans le spectre indique un changement de 
longueur d'onde. 

Un sixième paragraphe montre les services indispensables cjue 
rend la photographie dans la détermination des vitesses radiales. 

Enlin, M. Bigourdan, abordant la deuxième partie du Cha- 
pitre I\ : Etoiles doubles spectroscopiques ., termine son exposé 
parla rclalion d'un pliènomène d'éloignement et de rapprochement 



COMI'll'S UIÎNDUS \iV ANALYSES. >ç)y 

(If 1 <)bscr\ iitciir icmarcjiic pour crrlaiucs clolU's; phénomène qui. 
a permis de découvrir une nouvelle catégorie d'étoiles douilles : 
les étoiles doubles spectroscopiques. 

Au cours de sa Notice, INI. Bigourdan renvoie souvent aux 
Tableaux relatifs à la (pieslion, donnés par 1". / iinuaiie da liureau 
des Longitudes. surt(uil \v,\v V A nnuaire pour l'an m)!~. 

La Notice écrite ])ar !<■ général Bourge(jis sur son collègue 
décédé en 1916, le général Bassot, retrace comme nous l'avons dit, 
à l'occasion de la carrière de géodésien du général Bassot, l'histoire 
de la Géodésie en France dans le siècle dernier, où la géodésie 
française, après une période glorieuse, connut un instant de 
déchéance au regard des autres nations et reprit à partir de 18-0 
une place d'honneur parmi ses rivales. 

A ce titre, cette Notice intéressera vivement les lecteurs de 
ï Annuaire du Bureau des Longitudes. 

Le général Bassot eut à participer en effi't, en vue de la mesure 
du grand arc anglo-franco-espagnol; d'une part à la nouvelle 
mesure de la a Méridienne de France », nécessitée par la jonction 
faite en 1861 de la triangulation anglaise à la célèbre triangulation 
de Méchain et Delambre; d'autre part à l'audacieuse et grandiose 
entreprise de la jonction géodésique de l'Algérie avec l'Espagne ; et 
enfin au prolongement de la méridienne ainsi développée jusqu'aux 
confins du désert algérien. 

Les lecteurs pourront apprécier quelle part importante revient 
dans ces grandes et diffîcultueuses opérations de triangulation au 
général Bassot, soit alors qu'il travaillait sous la direction du 
général Perrier, soit après i888, date de la mort du général 
l'errier, lorsqu'il était secondé par des collaborateurs qu'il avait 
lui-même formés. 

L'activité du général Bassot ne fut pas tout entière absorbée 
j)ar ces travaux. Pendant la période où ces opérations s'exécutaient, 
on trouve Bassot, dès 18-2, parmi les délégués de l'Association 
géodésique internationale, dont il deviendra plus tard Président; 
.m le trouve encore, en 188 1, parmi les membres d une Mission 
envoyée par l'Académie des Sciences observer en Amérique le 
|)assage de Vénus sur le Soleil; on le voit après 1888 travailler à 
des triangulations de premier et de second ordre en Algérie et en 
Bull, des Sciences inathërn., ■?." séiie, t. XLV. (Octobre 1921.) i.S 



298 IMUi.MIHRli l'AlVni:. 

Tunisk', puis en 1898 i;ui(l('r la uiaii^iilalioii «le l'arc iiK-ridicn di 
Quito dont la mesure avait ctô confiée à la Fraace. C'est dire le 
renom que les géodésiens français et le général Bassol s'étaiinL 
acquis parmi les autres nations. 

Aussi n'est-on pas étonné de conslaler. au cours <le la Notice, 
la raj)i(le élévation scientilicjue du général lîassol. 

Sorti (le l'Ecole PoljtechnKpic en i8(J3, il cs\. en i^~~>, corres- 
pondanl du Bureau des Lftngiludes; en 1886, laui-éatde l'Académie 
des Sciences qui lui décerne le prix Lalande; en 189.'), membre de 
l'Académie des Sciences; en 189O, membre titulaire du Bureau 
des Longitudes. 

En 1900, l'Acadéinie des Sciences le désigne poiii- diriger 
l'Observatoire de Nice. Ses litres à ce poste étaient sérieux : c'est 
à ce parfait administrateur que 1 on devait les jonctions astrono- 
miques de notre Observatoire loudamental avec les Obscrvaloircb 
fondamentaux étrangers. 

Le Alinistèi'e de la Guerre ne lui était pas moins reconnaissant de 
ses services : en 1888, il le nomma directeur du Service Géogr-ii- 
phique de l'Armée, et en 1899, il l'éleva au grade de général de 
brigade . 

Comme le fait remarquer 1 auteur de la Notice, la guerre que 
nous venons d'avoir à soutenir a montré combien les hommes tels 
que le général Bassot sont utUes pour maintenir le bon renom de 
nos géodésiens, mais aussi pour tra\ailler au salut de la Patrie. 

EuîfEST Lebo^. 



BOUSSINESQ (J.j, membre de l'iii-tiiut, professeur à la Faculté des 
Sciences de l'Université de Paris. — Cours de Physique mathématique 
DE L\ Faculté des Sciences. Paris, Gauthier-\'i]lars, t. I, 1901; t. II, 
1903 ; t. III, 1921. 

1. M. J, Boussinesq vient d'achever la publication des leçons 
de Physique mathématique qu'il a professées avec un zèle infati- 
gable depuis une trentaine d'années à la Faculté des Sciences de 
l'Université de Paris. Tous ceux qui ont eu le soin de lire, ou 
quelquefois de parcourir, les Notes étendues que M. Boussinesq a 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. a<)9 

(loiiiit'es aux Comptes vendus de l Académie des Sciences pcn- 
ilanl cet le longue période savent avec- quelle persévérance, avec 
([uelle l(''naeU('', sans se soucier des sarialions du lanj^agc, M. Boiis- 
>inesq a poursuivi l'élude des problèmes iniporlanls et difiieiles 
posés mais non résolus par les grands géomèlres du début du 
XIX* siècle. M. Boussinesq est leur lils intellectuel direct; ce sont 
les méthodes analytiques de Laplace, Poisson, Cauchy, Fovirier, 
(pii lui suffisent; presque sans emprunts aux travaux modernes 
des malliématiciens ni à leur langage, M. Boussinesq aborde et 
résout des questions précises, et les mène habilement, comme il 
1 avait déjà fait dans son monumental Mémoire sur les eaux cou- 
rantes, jusqu'aux résultats numériques. Sans êlje indillerent aux 
démonstrations générales d'existence qui ont absorbé une si grande 
partie de l'activité des mathématiciens du xix'' siècle, M. Boussi- 
nesq pense en effet, comme beaucoup de physiciens, qu'on prouve 
aussi l'existence d'une solution en la trouvant dans un nombre 
suffisant de cas particuliers, et c'est surtout à cette recherclie 
positive qu'il a consacré tous ses efforts. Bien entendu, il faut se 
garder d'exagérer la valeur de ce genre de pi^euve, ou plutôt, de 
formation d'une conviction; il arrive en effet trop souvent c[ue 
nous sommes impuissants à traiter rigoureusement un problème 
particulier, et même à apprécier du point de vue purement mathé- 
matique le degré d'approximation de la solution que nous obte- 
nons; en toute logique, les solutions de problèmes particuliers ne 
fournissent aucune indication sûre relativement aux généralisations 
raisonnables ; il y faut une appréciation fine et une sorte d'intuition 
dont M. Boiussinesq a souvent donné l'exemple. 

2. Dans les 1200 pages de ces trois gros Volumes, M. Boussi- 
nescj aborde et traite un bien plus grand nombre de questions, et 
plus variées, que ne le donnait à penser leur titre primitif. 

Les deux premiers Volumes, parus en «901 et i()o3, avaient pour 
titre général : 

Théorie analytique de la chaleur mise en harmonie avec la 
I hermodynamiffue et avec la théorie mécanique de la lumière. 

Déjà les théories générales de l'Optique y tenaient autant de 
place que la théorie de la Go'nductibilité de la chaleur. 



3oo PHEMIKHE PAUTIE. 

Le troislùnif Volume, (jiii vient de paraître ( i()2i) esl conslilm; 
par deux j)arlies très disilncles; la [)reniière partie, CompLihnen(s 
aux théories de la chaleur, de la lumière, elc.^ est eneon- (Je 
la physique malhéinalique propiemenl dite. I>a seconde nïoilié 
(p. 22--417) de ce Volume est philosophique, el échappe à noire 
compétence; c'est le développement des idées émises il y a long- 
temps déjà par M. Boussinesq, au sujet de ce problème toujours 
angoissant du conflit (M. Boussinesq dit de la conciliation) entre 
la liberté et le déterminisme. Je laisse la parole à l'auteur : 

<( Les trois dernières parties (du \^)lumej sont consacrées à la 
IMiiloso|)hie naturelle, et peuvent être regardées comme le Iruil 
de 50 ans de méditations de Tauteur sur les principes de la mt''<;a- 
nique physique ou réelle, ces principes qui ont rendu possible, 
depuis (maintenant) prés de trois siècles, l'application de l'analyse 
infinitésimale à la représentation et au calcul des phénomènes du 
Monde extérieur ou Univers visible. Ils font directement l'objet de 
la quatrième partie, intitulée Réflexions et recherches sur les 
bases et la philosophie de la mécanique. Le titre delà cinquième 
est Su}' le problème mécanique de Vorganisme animé et des 
pouvoirs directeurs {vie et volonté)] celui de la sixième : Sur la 
loi de simplicité^ comme indispensable principe directeur de 
l'esprit dans l'édification des Sciences. 

« Un coup d'œil jeté sur la même Table des matières suffira 
pour montrer le puissant intérêt de ces trois Parties, et leurs ré s uj- 
tats possibles, tant pour l'éducation de l'esprit que pour l'acqui- 
sition de l'état habituel de paix intellectuelle convenant, vers le 
soir de leur vie, aux hommes d'étude dont la vocation a été, dès 
leur première jeunesse, le culte du vrai. Je me contenterai ici 
d'ajouter un mot sur le sujet de la cinquième partie, parce qu'il 
se trouve abordé pour la première fois (à ma connaissance) dans 
un Cours de sciences, surtout ayant un caractère mathématique. 
On voit qu'il s'y agit des principes d'action dont le rôle est de 
déterminer ou, de décrocher {^owy ainsi dire) des séries de phéno- 
mènes non inclus dans l'eftet des forces mécaniques y figurant, 
ou dans les équations dilTérentielles, cependant obéies, du jnouve- 
ment des systèmes matériels en présence : rôle dès lors initiateur 
et capital, seul propre à introduire, naturellement., des éléments 



CO.MPTI'S I{I";NI)US KT analyses. ioi 

notiKetiHu:, du contingent, dans la Irame des lails pcr(:e|)liblcs à 
nos sens. » (Préface du III" volmne, p. vi-vii. ) 

Ce nesl [)as eu qucltjues lij;nes qu'où peuL se peimeLU*c d'exposer 
Cl de disculer de semblables aperçus; on ne peut que conseiller 
aux lecteurs pi'éoccupés des mêmes problèmes philosophiques, la 
lecture respectueuse de ces pai;es, résultat de toute une vie d(i 
méditation, ol souhaiter que quelques-uns au moins y découvrent 
la source de 1 heureuse sérénité dont jouil (''videminent leur 
auteur. • 

3. Picvenons à la partie uuitbématiqTie de ces j^eçons. 

A rexception de l'électromai;nélisme, presque toutes les ques- 
tions de l'hjsique mathématicjue sont traitées au cours de ces 
Leçons ; mais il ne sera pas toujours facile au lecteur d'j trouver 
tout ce qu'elles contiennent, même en usant des Tables détaillées 
de chacun des Volumes. M. Boussinescj a toujours présentes à 
l'esprit toutes les questions auxquelles il a réfléchi durant sa longue 
vie scientifique. Lorsqu'il avance dans l'exposition d'un sujet, tous 
les sujets différents qui ont quelque affinité avec le premier, soil 
par les jtrincipes physiques qu'ils précisent, soit par les méthodes 
analytiques générales qu'ils mettent en jeu, soit môme par les 
artifices de calcul qui permettent d'éluder une grosse difficulté 
apparente, le hantent et le harcèlent à la fois. 

De là résultent des Notes, ou des digressions de plus en plus 
étendues à mesure cju'on avance dans le Volume; et l'on peut dire 
que rien n'est plus instructif pour l'étudiant qui débute dans 
l'étude de la Physique mathématique que la constatation de ces 
liens intimes entre sujets en apparence très éloignés. Mais cela ne 
va pas sans quelques inconvénients au point de vue de la compo- 
sition apparente du Livre. Les sujets s'enchaînent; peu à peu le 
sujet principal du début cède le pas à l'un des sujets amorcés dans 
les Notes; et un nouveau traité se développe et finit par occuper 
la place principale à la fin du volume. Cette manière large et puis- 
sante de tout enchaîner n'est peut-être pas très facile à suivre 
pour un débutant; elle oblige à lire attentivement tout l'Ouvrage; 
elle rend à peu près impossible d'y retrouver rapidement un ren- 
seignement précis qu'on sait y avoir lu. C'est ainsi que l'Ouvrage 



loi PREMIÈRE PARTIE. 

(oniniencé comme un ti'allé de CDruluclibililé pour la chaleur, en 
liiisant ap|»('l pour jiislifier les hypollièses fie !• Oiirier, aux théories 
fhcrmod vnaniKpK"^ et à cclh-s (h- la propa;^aliou des f)iuliilal loiis. 
devient dès le premier tieis du d(Mixième \ oliime un Iraité ihéo- 
riqire très complet d'optique ondulaloire des milieux isotropes (mi 
anisotropes, transparents ou absorbants, en repos ou en mouve- 
ment, etc.-, écrit ail piiiiii de \ lie des tlit'-oiies uK^caniques. ( NolB II . 
p. 26' à 6:^5. ) 

L'emploi du langage mécanicjtie déroutei-a aussi les débutants, 
qui mainteuaul nemploienl (jue le langage électromagnétique, 
sans se douter que dans les neuf dixièmes de 1 optique les mots 
seuls dilléreht, miais que les équations et les raisonnements nialhé- 
maliques sont les mêmes. 

Enfin la moitié du troisième \'^olume est entièrement comj>osée 
de Chapitres dont chacun porte comme titre « Complément au 
Chapitre I, ou II, ... de la théorie de la chaleur, ou de la théorie 
de la lumière ». Toute diflieullé ainsi laissée en suspens il j a quinze 
ans est discutée à nouveau, et le plus souvent résolue, soit par une 
vue physique plus profonde des approximations légitimes, soit par 
une heureuse adaptation des méthodes de recherche des solutions 
asymptotiqiies, que les jeunes gens croient dinvention récente 
])arce que leur baptême, et leur étude théorique un peu fine, ne 
remontent pas très loin, mais dont les exemples dusage courant 
sont dus à Fourier, à Laplace et aux grands mathématiciens du 
xviii'' siècle. 

A. Rien n est plus éloigné de la manière menue, étroite et sec- 
tionnée du manuel préparatoire à un examen ou à un concours 
que le style large, à flots puissants et ininterrompus, de M. Boussi- 
nesq. Toute question est dabord considérée sous son aspect le 
|)lus général; la mise en équations est faite dabord sans approxi- 
mations, autant du moins que cela est possible en passant du con- 
cret à 1 abstrait. Puis, par des descriptions imagées du phénomène 
à étudier, M. Boussinesq convainc son lecteur qu'il peut, sans 
altérer le résultat numérique final d'une manière appréciable, 
eilacer un terme, puis un autre, dans une des équations aux 
dérivées partielles, mais qu'il doit conserver le terme correspon- 
dant dans une autre, et, peu à peu, sans employer les phrases 



COMPTAS lllîNDllS Hl ANAF.YSKS. io3 

cabalistiques ({iii (lonncnl une apparente rigueur aux consé- 
i|urn(cs d'une livpotlièse précise qu'on a n('gli<;é de justifier, 
\l. B(uissines(j arrive à forniultr le problème de manière qu'il 
puisse être traité, et (pi'on sacbe à (pielles conditions pliysiques 
concrètes il est raisonnable de considérer la solution mathénia- 
lifjue comme comparable aux faits expérimentaux. C'est un art 
dont M. Boussinesq avait donné d'admirables exemj)les dans ses 
travaux d'hydraulique ihéoricpie et qu'il a encore applique de la 
manièi-e la plus heureuse, non seulement à élucider de nombreux 
points délicats de la théorie de l'élasticité et de celle de la lumière, 
mais encore à annexer à la Phjsicpie mathématique tout un 
<'nstu>d)le de questions, pratiipiemenl inq)ortantes, que personne 
a\anl lui n'avait su aborder; je veux |)arler des échanges par con- 
\ecti(m entre un solide et un courant gazeux, ou pouvoir refroi- 
dissant des fluides, sujet entièrement nouveau et qui tonne la 
[)artle vraiment originale de ce Cours de Physique mathématique. 

o. Insistons donc, comme il convient, sur ces très beaux tra- 
Naux de M. Boussinesq et de ([uelques-uns de ses élèves. Les 
Leçons XX\IV et XXXV du second Volume (iQoS), et ensuite 
les Chapitres V à IX i\yi troisième Volume (192 1) traitent des 
pertes de chaleur par convection dans un fluide peu conducteur, 
pesant, en repos à grande distance, ou par un courant fluide assez 
'' rapide, uniforme à grande distance. C'est en 1901, je crois, que 
M. Boussinesq avait abordé pour la première fois ce double sujet 
difficile, dans deux Notes aux Comptes rendus que le Journal de 
Physique*^ reproduites in extenso (lyoa). L'exposé qui se trouve 
d;ms le second Volume est essentiellement le même, mais avec un 
p peu plus de développements et d'explications. 

Ce qui a permis à M. Boussinesq d'obtenir des équations sur 
lesquelles on peut reconnaître d'importants résultats généraux, 
( est une remarque extrêmement simple, qui semble d'abord 
restreindre la généralité du problème posé, mais qui, en réalité, ne le 
restreint que comme font les conditions physiques générales néces- 
saires pour que le phénomène étudié soit simple et bien défini. 
Lorsqu'un liquide, ou même un gaz, pesant^ se met en mcnivement 
au voisinage d'un corps chaud, bien que les inégalités de densité 
dues à la présence du corps chaud soient la cause effective du 



3o4 PHKM1KIU-: PARTIE. 

mouvement, par l'intermédiaire de la pesanteur, ees inégalités 
influent très peu sur la distribulion des lignes de flux. En d'antr<!s 
termes, on peut conserver l'é(juation d'incompressibilité comme 
équation cinématique, à condition d'écrire néanmoiiis dans les 
trois équations dynamiques l'existence d'une forc-e motiice descen- 
dante proporlionnelle à l'excès de la température de rélémenl de 
volume sur celle des points éloignés. L'autre remarque impor- 
tante, c'est que par un choix d'unités convenable pour toutes les 
grandeurs dont dépend le prolilème, on peut donner aux équa- 
tions une forme canonique, à coefficients purement numériques. 
Dans le second problème, celui du refroidissement par un cou- 
rant continu uniforme au loin, M. Boussinesq n'a pas été moins 
heureux. Pourvu que les corps ne soient pas trop petits, cl que le 
liquide ou le gaz soient très peu conducteurs, les inégalités de 
densité n'ont qu'une influence ino|ipréciable sur la distribution 
du flux, le courant de fluide autour de l'obstacle est pratiquement 
le même que si la température du fluide ne différait pas de celle 
de Tobstacle. Tout le problème cinématique peut donc être sépare 
du problème thermique. Ce dernier prend une forme très simple 
si le courant fluide est permanent, et surtout lorsque la variation 
de température dans le sens normal à la paroi est beaucoup plu> 
rapide que dans le sens tangentiel. l^our un obstacle plan, léché 
par un courant rectiligne uniforme parallèle au plan, la solution 
devient particulièrement simple, et se déduit de la solution bien 
connue de l'état variable du mur. Dans le troisième Volume, 
M. Boussinesq montre que la même intégrale fournit la solution, 
en coordonnées curvilignes isothermes au lieu de CQordonnée> 
rectilignes, toutes les fois qu'on sait trouver ces coordonnées, 
surfaces de flux et surfaces de niveau, pour la forme d'obstacle 
étudié, pourvu que les rayons de courbure de cet ol)stacle restent 
grands en comparaison de l'épaisseur atteinte par les inégalités de 
température. Plusieurs exemples, en particulier celui de l'ellip- 
soïde, sont traités complètement. 

6. D'autres Chapitres importants sont ceux où M. Boussinesq 
étudie la résistance des fluides au mouvement des obstacles, sans 
rien emprunter aux vues d'Helmholtz et de ses successeurs quant 
à la formation des surfaces de discontinuité, et sans préciser les 



MÉLANGES. 3o5 

(llsirihiiiion^ «le iuil)iilciices |)ivs de l'obsLacle. D'aulres encore. 
se rapportent à lu eluUe des gimltes visqueuses dans des liquides 
xixjueux. A citer eu parlicullei- la précision donnée à une notion 
souvent invoquée pur les phjsieo-cliimistes, celle d'une viscosité 
superficielle {[. lll, ?>" partie, chap. V) et tous les proldémcs 
précis qui se rattachent à l'emploi de la méthode de MlUikun |)Our 
la déterminulion de la charge de l'électron. 

Enlin je rappelle que dans tous les Chapitres d'Optique ou 
trouve d'injiénieuses méthodes d'approximation, et des construc- 
tions nouvelles. 

11 est assez difhcile de donner uni^ idée plus ])récise de cette 
(êuvre considérable. f[ui puruîtru peut-être aux nouveaux venu> 
duns la Science un peu indillerente aux transformations les unes 
surtout verbales, les autres vraiment profondes, subies par les 
conceptions physiques de l'Univers depuis quinze ou vingt ans. 
Mais ceux qui savent quelle est la puissante individualité de 
M. Boussinesq, et comme chaque page de ses écrits est marquée a 
sa griffe, sauront transposer les dénominations s'il est nécessaire, 
et jouir du plaisir et du. profit de la lecture et de l'étude appro- 
fondie de cet Ouvrage important et original. 

Marcel Brillouin. 



MÉLANGES. 



SUR LE THÉORÈME DE MENABREA 

Pai! m. lîEHTIiVM» r.i: FOM'VIOLÂM . 



La première démonstration rigoureuse du théorème de Mena- 
brea est due à M. Liénard ( ' ) qui a bien voulu me la communiquer 
en juillet up.o; cette remarquable démonstration, fondée sur une 
propriété des formes quadratiques, est entièrement analytique. 

Cette communication m'a conduit à établir, de ce même théo- 
rème, une autre démonstration également rigoureuse, mais d'ordre 

(') Bulletin des Sciences mathématiques, de janvier 19.! i. 



3o6 PREMIÈRE PARTIE. 

purcivieiil' rrnécanique, (loiil j'iil doiiiH' coniinissance à M. Liûiiaid, 
en octobre i()2o. Voici celle .sect)ncle (iéiiionslralion : 

Soieiil R|| les forces de liaisons siirahondaales d'un sjslt-nif 
hyperslalicjiK' quelconque, soumis à des forces extérieures F. 

Au système isoslatique obtema ])ar la sup|)ression des liaisons 
surabondantes de ce sjslème hjperslalique, appliquons les forces F 
el R„ ; il prend un étal d'équilibre élaslicpie identique à celui du 
sjslème kyperslalicjue donné soumis seulemenl aux forces F; |)ar 
suite, il a même potenllel Interne ll„ (pie celui-ci. 

Donnons mainlcnanl aux forces lv„ des valeurs R différentes 
de R,i ; le potcnliel interne (bi svslème isoslatique de\ ienl II; 
il est fonction des forces R. Le théorème de Menabrea consiste 
en ce que le minimum de II a lieu pour R = R„ et est^ par con- 
séquent, IIo. Pour le démontrer, il suffit d'établir que FI — ïlo est 
positif, quelles que soient les valeurs allribuées aux forces R. 

Dans le système isoslatique soumis aux forces F et R, soient X 
les déplacements des |)oints d'application des forces F, évalués en 
projection sur les directions de ces forces; -'les déplacements des 
points d'application des forces R. évalués en projeclion sur les 
directions de ces forces. 

On a, d'après l'équalion de (Uapejron, 



Il = -(SFX-^ :^l{ 



Cïelte expression de il est valable quelles que soient les valeurs 
des forces R. Si l'on fait ces forces égales à Ro, Il devient EIo, les A 
pi^ennent des valeurs X^ et les |Y s'annulent, puisque l'état d'équi- 
libre élastique du système isostatique soumis aux forces F et R„ 
est le même que celui du système liyperslalique donné soumis 
seulemenl aux forces F; j)ar eonséfjuent, 

n„= -SFXo. . 

■>. 

Par suite. 

Il — ii„ = -( IFX — SFXo+:sRy). 
>. 

()r^ d'après le théorème de Betli, Boussinesc[ et Maurice Levy. 
si l'on fait agir, sur le système isoslatique, d'abord les forces F et R, 
puis les forces F et Rq après suppression des premières, on a 

£FÀo==SFX+lRoy. 



MÉLANGES. 307 

On peul (\tinr rcrin^ 

11 - iio= -i:ni — i*.o,)Y- 
Mais, eu verlu tlii j)iiiiclpe de superposition, on a 

en (lésii;nanl [)ar *'p et -',[ les di-placements projetés des points 
d application des forces R dus respeetivcnient à rinlluence exclu- 
si\e des forces F et R. 

Si, dans celte relation, on donne aux forces R. les valeurs R.o, 
les -'1; prennent des valeurs *'p,^ et les v s'annulent, de sorte que 

Ton a 

= vt-^- '([{„ ; 
et, par suite, 

Y = Yii— Tiia- 
Donc, (inalenient. 

11 — 11,,= ' S(R-R„MYK— Y«o^- 

On voit immédiatement que le second membre de cette formule 
représente le potentiel interne du système isostatique supposé 
soumis à des forces (R — Rq)- Le potentiel interne étant, par 
essence, une quantité toujours positive, Il — IT,, est positif, quelles 
que soient les valeurs des forces R. r.. q. k. d. 



SUR LA VALEUR MOYENNE; 
Par m. Scipione lUNDI. 



Soit /(x) une fonction continue sur la circonférence de rayon c 
ayant l'origine pour centre. Posons 

/(p)^f(zy.„)--...-^f(py.',',-') 



M 

et 






:}o8 

étant. 



PREMIÈRE PARTIE. 



(;t /i, q des caliers. Un a 

M -M- ii /(?)----^/'?>^t;') ., 



n I 






7 



Supposons 71 siiKisamment grand j)our que dans tout arc = — 
l'oscillaliou sdii «< 7; comme les points 



P^i^v ' ^ ?^/f7"'^'' ••- P^^V 



sont compris entre les deux 



à Texceptlon des deux premiers rpii coïncident, on aura 
et par consécpienl 



.V = 1 

quel que soit g. 

Considérons maintenant l'expression M,i^^, p étant un enliei- 
quelconque, et 71 suffisamment grand pour qu'on ait, que! que soit q, 



Alors il sera 



et aussi 



d'où 



M„^ — .M„|< - 



l'I/ï («+/); — ^'/i\ <C ~ 



I î'J(7i-l-/)i,'z — ^'n+p I <C - • 



|M„^,.-M,,| 
ce qui prouve Texistence de lim M«. 



MÉLANGES. 3o9 

SUR LA DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ; 
Pau m. g. FUNTKNÉ. 



,\v nie propose, dans ce premier para«;raplie, de présenter d'une 
manière simj>le les formules de la dynamique de la relativité, en 
prenant comme point de départ une idée que je crois nouvelle, 
celle de raccélératinn idtale rr];iti\ iste. 

1. L'ariiument hyperbolique cV une vitesse. — On sait que 
Minkowski a donné une forme remarquable aux formules de 
Loientz en introduisant un angle 6 défini par la formule 

U étant la vitesse de la translation du second système d'axes par 
rapport au premier, W étant la vitesse de la lumière dans le vide. 
L'angle •!/ est purement imaginaire et Ton peut poser •!;=—/ cp ; 

on a alors 

. U . , . U 

lang — f^ ==— i^' ou — ^ili9= — i^,, 

ou enfin 

U 

L'argument hyperbolique a a été employé par M. Bricard dans 
un article inséré au ^ olume des Nouvelles Annales de Mathé- 
matiques ^owv 1917- 

2. M. Bricard, étudiant le mouvement dun point matériel pour 
une trajectoire rectiligne dont la direction est celle de la transla- 
tion du second système d'axes, pose encore (avec des indices) 

(,) tli6=^ ou V = WthO, 

V étant la vitesse du point à la date t. En étendant cette notation 



Jio PREMIKRE PARTIi:. 

ail cas d'un iiKJuvcmenl curviligne, j'ai ctc con<liiil à l'idée (luc 
j'expose ici. 

3. Définition de V accélérât ion totale relativiste. — La Méca- 
iii(|ae ordinaire définit l'accélération lolalc comme étant la (h'-rivéc 
géométrique par l'apport à / d'un vecteur MT porté par la tan- 
gente en M à la trajectoire, dirigé dans le sens du mouvement, cl 
égal à la vitesse \, ou encore à W. tli 0. J' appellerai accélé- 
ration létale relalivislc la dérivée géométrique par rapport 
à t d'un vecteur MS qui diffère du précédent en ce que sa 
longueur^ au lieu d'être W. tli G. est W. sh &; j'écrirai 

(2j (Y^ = -^1 vecteur W shO), 

le vecteur W sh 6 étant porté par la tangente. 

Si la vitesse V est faible par rapport à la vitesse de la lumière, 
l'accélération relativiste diffère peu de l'accélération ordinaire. 

4. La composante tangentielle et la composante normale de 
l'accélération relativiste (celle-ci dans le plan osculateur, suivant 
la normale principale) sont 

(3) ,^'=^^fWshO), 

(4) T = 1 

La première formule est immédiate. La seconde résulte de ce 
cpie, si £ désigne la mesure en radians de l'angle de contingence 
de la trajectoire, y" est la limite du rapport 

WshexE V.Wshflxï 

; OU ; • 

dt ds 

o. L'égalité 

(5) AVsl.6 = VchO 

permet d'écrire 

(i') ' (y) = -r( vecteur V cil Oj, 

('i'i y'= -i-( VcliO ), 

^ ' (It 

{'{ ) -;"=— cl.O. 



MÉLANGES. 3ii 

(). Coniposd/ilcs de Idccélcralion reh(ti\isle suivant les 
aies. — Soient -i', y-, - los coordonnccs l'cclangulaircs du point M, 
à la (laie t; nous poserons 

.. (/j~ (ly (Iz 

^ ' dt dl dt 

W rt'sullc de la foiniule ( :>/) (|ue les com[)osantes de l'accélé- 
ration rt'lalivislc sui\aut les axes sont 

(7) v^=^(«cl.Oi. y, = ^^(r cl.O), 

7. La jorec. — La uiasx- du point matériel étant désignée 
par '/, on apour la force 

(8) (F) = fz(Y) = \i. — (vecteur W sliG), 

(9) F' == y. y' = ;JL — (WsIlO), 

V.Wsl.O 
( i o ) b = a Y = [i. ; 

on peut écrire 

(8') (F)= ,a y (vecteur ^■ cil 0), 

(()') F'= a4-(Vclie), 

dt 

\\o ) F"= a — cil 0. 



8. Impulsion et travail. — On peut écrire, pour la compo- 
sante tangentielle de la force. 



et l'on a 



F' = ;jL W ch ~ = U.W2 sh 6 4^ , 
dt ds 



¥'= \i.^(\\ sl.Oi = iJL-^CW^che); 
' dt ' ' ds '' 



on obtient ainsi, pour l'impulsion et le travail, 

(11) JF'dt==ix\\ (sliO — slie,,), 

(12) fv ds = ;ji\V2(clif) — cl.Oo) 



|xW2[(cliQ — i; — (cl.e„— I 
= 2 [JL VV- sli- sii- — ) ; 



;,.> PREMIÈRE PARTIE. 

l<-s quanliLcs ulWsIiO cl 2|j.A\-sh-- souL comparables à la quan- 

lilé de mouvement cl à rciicr<:,ie cinétique de la Mécanique ordi- 
naire. 

\). Les équations de la dynamique de la relativité. — Les 
lornuiles (^-) donnent, pour les com|)Osanlcs de la force sui\ant 
les axes, 

(i3) X = -^([JichOM), Y=^^(arli6t^), Z=.... 

10. La niasse dynamique m^ Jonction de la vitesse. — Les 
formules (9') et (10) donnent l'idée de poser 

( i.i ) /« = iJL chO ; 

ces formules prennent ainsi la forme 

(i5) F'==^(mV), 



(iG) F" 



dt 

l 





La quantité m peut être appelée masse dynamique; comme 
9 = donne m =: -jl, on dira que u est la masse statique. La 
masse dynamique croît avec la vitesse; pour des vitesses faibles 
(par rapport à W) elle diffère peu de la masse statique; si \ tend 
vers W, croît au delà de toute limite, tn augmente indéfiniment. 

Les équations (i3) peuvent s'écrire 

(17) '^""^^'""^' ^^Tt^'"^'^' z = .... 

j 1. En écrivant 

on a, par dérivation et en divisant par m, 

tr d ., .. d , 

\ —r {m\ ) = u-ri mu ) -t- . . . -1- . . . 
dt~ ' dt 

ou 

F' ds = X dx — Xdy-^Z dz ; 

cette relation pouvait être écrite a priori, F' ds étant le produit 

scalaire de F et de f/5. 

(A sui\i'e.) 



COiMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

coMPiKS iu:>ii)us Kr analyses 



1^. GOURSAT. — Lkçons sur t/iNri';(;iUTio.\ [)i:s kouations aix okuivkks 
PARïiKLLKS DU PRK.MIK» ORDRiî, 2'' •'dilioi). icviii' Cl ;uif:;nicnl ('C, I vol. in-8°, 
4")<( |J. Paris, .1. Heiinaiiii, i9'2i. 

M. Goursal puhlk' une nouvelle édilion de ses Leçons sur las 
''//nations aux clrrii'res partielles du premier ordre qui, suivant 
à peu de choses près le plan de la première, en dilï'ère cependant 
autmt que pouvaient le l'aire prévoir les contributions puissantes 
et variées que, depuis trente ans. l'auteur n'a cessé d'apporter aux 
théories qu'il traite dans ce \ oliime. 

La première édition a été analysée dans ce Bulletin (') par 
C Bourlet, qui l'avait lui-même rédigée d'après les leçons du 
maître; il suffii-a donc d'indiquer les modilications et additions par 
lesquelles la nouvelle s'en distin<>ue. Ce sont les premiers Chapitres 
t[ui ont été le plus profondément remaniés; le premier l'a été 
complètement. Il est consacré à la démonstration des théorèmes 
d'existence des intéi^rales, qui permettent d'exposer une théorie 
rigoureuse et élégante des équations aux dérivées partielles du 
premier ordre à une inconnue, et, en premier lieu, de celui qui est 
relatif aux systèmes normaux (systèmes de Kowalewski). La 
méthode de démonstration, personnelle à l'auteur qui l'a indiquée 
il V a une quinzaine d'années, est beaucoup plus simple que celles 
que l'on possédait à cette époque : on établit d'abord le théorème 
pour un système normal du premier ordre, très simplement, grâce 
aux procédés du Calcul des Limites et à un ingénieux artifice ; 
|)uis, considérant un système normal d'ordre quelconque, on lui 
substitue un système normal du premier ordre au moyen del'intro- 
duction d'inconnues auxiliaires. Le théorème ne fournit une solu- 
tion du problème qu'au voisinage des valeurs initiales des variables 
indépendantes ; l'auteur montre que l'on peut assigner aux inté- 

(' ' ; T. W", >" sri'iu, i>Si)i, |) j, 
l'ull. des Sciencex matliém .. 2' série, t. XLV. (Novembre ni^i ) 19 



Il/, PREMIER K PAUTIE. 

i;riiles un domaliie d existence beaucoup étendu, en «général, (jue 
le douMine de conver*j;encc des séries enlièras qui les repré- 
sentent; c'est un pioblènie de prolonj^enient analytique; il se 
Iraile assez siniplenient i;ràce à l'orii^ine des fonctions (|ue l'on 
considère : les coef(icients des développements qui les détermi- 
nent s'obtiennent uniquement |)ar additions, multiplications et 
diflérenliations. La notion de multiplicité intégrale permet de 
donner au théorème général d'existence la forme géométrique 
suivante : par loule muUiplicité M«_, de l'espace à n-\- p 
(linieiisions, il passe en général une ninlliplicité intégrale ^V,i 
el une seule d'un système normal du premier ordre; déter- 
miner M„ c'est résoudre le problème de Caucliy. 

L'avitfiur étend les résultats précédents à des systèmes du j»r<'- 
mier ordre qui ne sont pas sous forme normale, puis il passe à 
l'étude des systèmes du premier ordre à une seule inconnue. Il 
indique ce qu'il faut entendre par systèmes complètement inté- 
grahles oyi passifs ; il établit le tliéorème d'existence, dont les 
applications seront nombreuses, |)our un système de r équa- 
tions, en montrant que lintégraticm du système se ramène à la 
résolution du problème de Cauchy pour /■ équations du premier 
ordre, successivement; il montre ensuite, au moyen de la transfor- 
mation de Mayer, qu'il suflit de résoudre le problème de Caucliy 
pour une seule équation. Les deux derniers paragraphes du 
Chapitre sont consacrés aux systèmes de K'inig et aux intégrales 
singulières. 

Les systèmes linéaires et les systèmes complets forment la sub- 
stance du deuxième Chapitre. La notion féconde d intégrales 
princinales a été introduite; elle permet, grâce aux théorèmes 
d'existence des systèmes à une inconnue, d'exposer très simple- 
ment la méthode de Mayer; la méthode de Jaeobi bénéficie de 
nouveaux développements, tandis que, plus loin, ont été ajouté- 
un paragraphe sur L'intégration des systèmes linéa^ires avec seconds 
membres, et deux exercices importants sur la généralisation de la 
théorie des intégrales premières et les systèmes de Jaeobi. 

Dans le Chapitre 1(1, on trouve une démonstration directe du 
ihèorème d'existence des systèmes d'équations aux ditFérentielles 
totales complètement iutégrables et de nouvelles considératioii> 
sur les caractéristiques des systèmes complets, le facteur intégrant 



COMPII'IS UliNDDS Tî: 1 ANAl.VSllS. JiiS 

ei les sysl.èiiu;s (^réquiiUous jiux (il.illV'rciali elles loiaJes iioai couipW'Ie- 
tHcail, mléi;:i"a'UK-s. Léluclie géyjiuHriqiic des éc^ualions à Iroiiti 
\ailal)los, par une modilicalion heureuse! du plan j^énéiral, ebt pi>é- 
M'iilck' iiuiiMèdiaUnueni après rex|K+sé des m.éitJi(Ki(;s de La^rauge et 
( lltanpiLl ( Cliaj). IV) et de Cami-eJav (Cliap. \ ) : ila notiooa de carac- 
iirisJÙjue d'ordre S'ia^:)iériear y est iiiiiliK*duke -et rél(u«(d'e 4iu ooau- 
plexe des earacU'Tis)LiiC|ues j est biem développée. 

Les 4oux tiiélliiocjcs de Jacoliii. avec les perleclioiaiienieuls de 
\Javer cl de Lie, sont ex|)(.)i9ées ilans les Cliapili'es V ÏI el \ lll avec 
tiiic nouvelle dénaoïastraition du lli«'or>ènie de Lie, rxilAac'hé au tlhéo- 
rèiwe géuéi'al d'existeHiee, el une application aux systèmes 
linéaires. 

Quelcjues développeineials sur les équatioïis semi-liiaéaires ont 
• ■lé^vjouLés au (^lia,pilre l\, où se trouve traitée la théorie générale 
(le Lie. 

Enfin, il ne l'aul |>asmanquea' de sigmaler (Ohêiç). K) une démon- 
- Ira lion, ((ui ap;)>artieiit à l'aiiaiteair, -des relation.'S eK.is(tan..t entre les 
(onctions Z,/, V/;, V/i des trains.f'oM'naations de coButact et qui s'appuie 
>ui' un lemniie de caracLère ^yiiveomeml leil^'ébrique. 

Ou v(^).udrait avoir l'éiussi à monU'er combien les Maodifîcatioms 
[ue présiemte la aaotuvielle éditiooa «ont considéa'afeles et essentielles; 
mais il n'a pas élé .possible d'éauraérer tontes les améliorations de 
d(\lail, et elles sont nombreuses, qui témoignentcJaiez l'auteur d'iian 
-ouci constant de clanbén de simplicité et d'a^tiitalité. 

Dans la l*réface, M. Goursat amionce une suite à cet OuArage, 
sous la forme de LeçoMS soii- le problème de Pfaff; tous oeuxqui 
liront le prô-seat Volume souhaite-ront lire le simvant au plus tôit. 

G. 'Cerf. 



ROY (Locis). — Statiquiî ghaphiqui-: et RKSisrwct; des matériaux 
(Tome II ilii Cours de Mécanique appliquée de Flnslitut élecliolecli- 
iiique et ûv Mécanique appliquée de l'Université de Toulouse). Gr. iu-8. 
'ii'i pages, Paris, Gautliier-Villars, 19U. 

Dans <ce \'0)lnm;', rAntciw iiawus d(mne le Cours qu'il prolesse 
depuis plusieurs années à i'Jnstitut électrotechnique et de Méca- 
mque appliquée de rLni,\ersité de Toulotuse. 11 faut féliciter 



3i6 PREMIKKE PARTIE. 

M. Roy tl'avoir su condenser, en si peu de pages et d'une façon si 
précise, tout l'essentif^l de la Slaliqiie f^raplnqin; et de la Résistance 
des Matériaux. 

La Statique graphique |)roprenienl dite consiste en un 
ensemble de constructions résolvant des problèmes d'équilibre 
graphiquement, c'est-à-dire au mojen d'épurés. Elle s'appuie d(jnc. 
uniquement sur des considérations de Géométrie et de Slatiqm-. 
sans avoir besoin d'aucune hypothèse accessoire relative à la natur<' 
des corps solides supportant les forces, ceux-ci étant toujours 
supposés rigoureusement rigides. La statique graphique d<;s 
systèmes plans^ (|ui est de beaucoup la plus importante en pratique, 
repose presque entièrement sur la Construction de V arignon^ 
relative à la rédu(;ti()n d'un système de forces au movend'un poly- 
gone dynantique et d'un polygone funiculaire. Au début' dr 
l'Ouvrage, les propriétés de ces polygones sont étudiées en détail. 
Ils permettent la représentation graphique des moments, et, pour 
nn système supportant des forces données, la détermination des 
% réactions d'appuis », lorsque celles-ci sont complètenîent définie^ 
par la Statique seule, cas dans lequel le système est d'il isostatique. 
Comme exemples simples et importants de systèmes isostatiques, 
citons le cas d'un solide (plan) ayant une articulation et un appui 
fixe (sans frottement), ou ayant trois articulations (arc à trois 
l'otules); un solide encastré peut être aussi considéré comme iso- 
statique, en ce sens que l'on peut déterminer les « éléments de 
réduction » des réactions d'encastrement. 

La généralisation toute naturelle des polygones funiculaires 
attachés à un système de forces discontinues, consiste dans les 
courbes funiculaires attachées à un système de forces continues. 
Le cas le plus important est celui de forces parallèles verticales 
(pesanteur). En établissant, dans ce cas, l'équation difTérentielle 
de la courbe funiculaire, l'Auteur en profite pour montrer, en 
passant, comment on peut, inversement, intégrer graphiquement 
une équation différentielle de même forme par la construction d'un 
funiculaire. 

Un des problèmes les plus importants de la Statique est la déter- 
mination des tensions et compressions dans un sy^stème réticulain; 
articulé (plan). Dans un système « complet », strictement indéfor- 
mable, cette détermination peut être effectuée par la Statique seule, 



COMPTKS RENDUS ET ANAI.VSIîS. ^17 

le s\slt'nie U)ul eulier étant isostatiqiic. L'Auteur indique les deux 
méthodes classiques à ce sujet : méthode des sections et méthode 
des nœuds. Il donne plusieurs exemples simples et intéressants 
d'applicatiiin de ces méthodes. Parmi ces exemples, je citerai la 
l'eruie imaginée par M. Rov lui-même, qu'il appelle /V'/v??f en 
('renfdils. La particularité très reuiarcpiahle et très a\antai;euse de 
cet in<;énieii\ système est que la lriani;ulation est uniquement 
constituée [)ar des tirants. Or un tirant ayant, dans la pratique, 
une section toujours inférieure à celle d'un pt)inçon de même lon- 
gueur résistant au méuie effort, il est fort avantageux, au point de 
vxie de l'économie des matériaux, d'avoir une ferme uniquement 
triangulée par des tirants, et donnant lieu à des efforts de compres- 
sion sensiblement constants tout le long des segments d'arbalétriers. 
Ci'est à ce double desideratum que répond la ferme en éventails. 
Il se trouve même que les tensions de la pluj)art des tirants sont 
généralement très faibles : ces tirants pourront donc être réalisés 
au moyen de fils ou cables très fins; d'où diminution très sensible 
(lu poids total de la ferme. Bien entendu, il j aura lieu, dans ce 
cas, de prendre une précaution : c'est de s'assurer que, par suite 
des efforts accidentels et imprévus qui peuvent se produire, aucune 
de ces tensions ne pourra se changer en compression. Cette pré- 
caution est d ailleurs de rigueur toutes les fois qu'une pièce tendue 
est matérialisée par un fil, et non par une barre : il faut avoir la 
certitude que ce fil ne pourra, même accidentellement, être soimiis 
à une compression, si faible soit-elle. 

La théorie des systèmes articulés ne s'applique, en toute rigueur, 
que si les nœuds sont véritablement articulés (par exemple, au 
moyen de boulons). Or, dans la pratique, ils sont ordinairement 
rivés. M. Roy discute, avec sa clarté habituelle, la validité de la 
théorie dans ce cas, et les efforts secondaires qui résultent de la 
rigidité des joints rivés. 

Gomme dernière application importante des principes généraux 
de la Statique graphique, l'Auteur indique les procédés d'évaluation 
des aires planes (formules de Simson, de Poncelet, planimétrie), et 
de détermination des centres de gravité. et des moments d'inertie 
de ces aires. 



La seconde Partie de l'Ouvrage traite de la Résistance des 



Ml8 l'H l'i.Mir, li l': r.Mi 1 11-,. 

Malc/iau,i. Les corps solides naturels ne soixL |ainai.s rij^ourcu^e- 
ment rigides : ils subissent des déformations croiissjwat avec l'inten- 
sité des fo-rces f|iii leur sont applicjuées, juscju'à la rupture. Il 
importe de savoii- dél(M'iiiiiier les forces extérieures niaxinta rpiOii 
peut, en toute sécurité, a|)pliquer à un solide, ou inversement de 
savoir déterminer les diimen-sioiis minima ipi d sufliia de doiuier ;i 
un solide destiné à résister en toute sécurilé à des forces données. 
La solution de C(.' double pr(d:)lèine est le bul de la Iiésislanc(i des 
Matériaux. 

Comme c'es^t à 1'ex.périence (pi il faut demander les propriété^ 
élastiejues des corps, on observera (pie la ïvésislanee des Matériaux 
n"a pas, comme laStaticpie gTaphkpie. d'uuitiueslKi'se&géométrtcjues 
et stati(|Hes, inuiis re^vose aussi sur l'expérience, à latpieLle on 
adjoint, suivant les cas, certaines hvpolhèses plus cmi moins pisti- 
fiées par la théorie matliémaiticjue de lElastiicilé. 

En Résistance des Matériaux., on étudie d'ame fa^o-n totifce spéciate. 
à eause de leur grande importance pratitpie. les pièees « prisina- 
tiquses », c est-à-dire celles à libre movenne. La réduction des liorce> 
estéri-eures par rapport au centre de gravité d'urne section droite 
qiHielconqiae d'une telle pièce permet d'v délinir reflTord loBgitu- 
dinal Nr leffort trancbant T, le moment de flexion M, le m-omenl 
die torsion Mf. Les trois compo«amtes de la pression sur les diivers 
éléiaieikts plans de la section droite doivent, pour assurer l'équi- 
libre, vérilieF les six équatioiis générales de la Statique. Ces six 
équations ne suffisent naturellement pas poiir déterminer l;i 
pression stir chaque élémertt. Pour ajcbever cette déterminaticni. 
on fait, dans chaque Cit^, des hypothèses suggérées par la naturr 
des^ défoirmalioms observées. Ces hvpothéses, L'Auteur n« manqui 
paS' de les spécifier cluaque fois dune façon nette et explicite, dr 
les^ discuter, et d'iadiquer dans quelle mesure elles sont CfvMtir- 
mées par l'expérience ou inspirées j)ar la théorie. 

M. Roy étudie d'abord le ca.s des déformatUms ^■iimples, où une 
seiHiLe dies qtuatre quantités N, T, M, Mf diffère Je zéro. Après avoir 
fait l'étude spéciale de ces casjimrticuliers, avec exemples à l'appui, il 
traite le cas des déf or mations composées où^ aucuiie des quantités iN . 
T, M, Mf n'est nulle, en utilisant le « principe de su<perpositi<>n 
des petites déformations et des pressions ». Cette métJiode qui 
consiste à procéder du s-iiM:ple au composé, si elle n'est pas la plus 



COMPTHS U F. NI) US KT ANALYSES. ii;, 

riipldr, est à (-oui) sur la plus ualurellc vX lu plus facile à suivre 
|)our l'éttull;»iiJ ahordanl ces questions pour la première fois. 

La Jihre inoNcnne déformée d'uiit; |>ièce prismatique j)()rle te 
nom de ligne élaslitiiii'. Pour une poutre inilialeinenl droite et 
suhissant la llexiou plaivc; simple, son équation dillerenlielle est 
facile à formtM- : elle se trouve être de même lormeque celle d'une 
courbe funiculaire d un certain système de forces continues varia- 
bles : d'où une construction simple, souvent utilisée, pour la détermi- 
nation graphique de la ligne élastique. M. Roj indique tout d'abord 
quelques exemples particuliers simples de systèmes isostatiques : , 
poutre encastrée à une extrémité et portant une charge à l'autre 
(ressort à lames): poutre à deux apjiuis simples avec charges ver- 
ticales isolées ou réparties uniformément. Puis il montre, [)our 
certains systèmes hyperstatiques (poutre encastrée à ses deux 
extrémités, ou encastrée à une extrémité et ayant un appui fixe à 
l'autre), comment les conditions supplémentaires imposées par ces 
liaisons hyperstatiques permettent de déterminer complètement la 
ligne élastique et les moments d'encastrement. 

Ln exemple particulièrement important de système à liaisons 
h\()erstatlques est fourni par une Poutre à travées solidaires. 
Lorsque, pour une telle poutre, on connaît, en deux sections, le 
moment fléchissant, on peut en déduire facilement le moment 
fléchissant en une section intermédiaire. D'où l'on tire aisément 
une relation entre trois moments sur appuis consécutifs (théorème 
des trois moments). Il est alors facile de voir que le problème de 
la poutre continue à n travées est complètement déterminé. 

D'autres types de systèmes hyperstatiques, dont la Résistance 
des Matériaux permet de faire l'élude complète, sont présentés par 
les arcs à deux ou une articulation, ou sans articulation (arc 
encastré); tandis que l'arc à trois articulations constitue, lui. un 
système isostatique dont les réactions d'appuis sont déterminées par 
la Statique seule. 

Les colonnes chargées de bout sont des pièces travaillant à la 
compression simple. Mais, en pratique, il faut être assuré qu'une 
telle pièce ne pourra pas « flamber ». L'Auteur indique les condi- 
tions de non-flambement à remplir dans les divers cas. 

11 étudie ensuite les Charpentes métalliques, au point de vue de 
la résistance. L'étude des Charpentes « complètes » se trouve avoir 



Tio pRiîMrKiii' l'Airriii. - mélanges. 

été faitf en Statique <;ra|)lii(ju(', au ^ujct des systèmes arlieuN's : 
c'est une question (le Statique pure. Pour les Charpentes « sural)oii- 
(lantes », des considérations d'élasticité permettent d'ajouter aux 
équations de la Statique le nonihre cxael d'écjuation*- ([ui acliève 
de déterminer le problème 

L'Ouvrage se termine j)ar un Cliapilic consacré aux cnvclopprs 
rondes, minces ou épaisses, doul les cliaudiércs et les houches à 
feu olïreni l'exemple le plus usuel, et aux volants, très souNcnl 
assimilables à des anneaux minces tournants, pour lesquels la 
vitesse périphérique ne doit pas dé|)asser une limite bien ricleiminée 
par la nature du métal. 

On voit que dans ce Volunw;, d'allure pourtant assez élémentaire, 
aucune matière essentielle touchant au sujet n'est omise. Il convient, 
en terminant, de signaler la haute clarté d'exposition avec laquelle 
toutes les questions sont traitées. M. Roy a apporté, dans ce Livre, 
le même style soigné, net et précis que l'on apprécie tant dans ses 
Mémoires. II. Vf.iu;>k. 



MELANGKS 



SUR LA DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 

(suite et fin) ; 

Par m. g. FONTH.NÉ. 



12. Mass^ longitudinale et masse ti'ansie/sale. — ■ En déli- 
njssant l'accélération totale comme la dérivée par rapport à t du 
vecteur Wsh6 porté par la tangente, nous avons obtenu les 
formules 



r/0 \'î 

F'='jWch6 — , F'=a — cl.e. 

^/t ' 



Nous pouvons écrire, en introduisant 1 accélération tangentielle 

j. . rfV W dd 

ordniaire — t- ou -; — r -r > 
dt cli^O dt 

d\ V2 

F'== uLch^O-—, F"^ucl.O — 

dt ' p 





M K L 


ANGES. 


»»u encore 






(iS) 






<u |»osiml 






(19) 


ni — ]x cil'*'), 


»i" = IJL C 1 1 



Les fjuanlilcs m' cl wi" sont celles que les physiciens appellent 
niasse longiUtdinalc et masse transversale ; la niasse transver- 
sale ni' se confond daillenrs avec la iiiass(; dviiamlcpie ni des 
(orniules (i5), (lO), (17). Insistons sur ce j)oint. 

13. La force F définie ici esc bien celle que Von considère 
en Mécanique relaliviste. — Reprenons les laits précédents sans 
einplover l'argument 0; nous utiliserons pour cela les formules 



(-.io) cliG= — . sliO 



/ V2 / V2 



Les formules (2), (3) et (4), ou (a'), (3') et ( f) deviennent 

{•xï) (-/) ou ■ = — - / vecleui 



(2'i) 



dt / sT 

F _ d \ 

tji ~ dt / \l ' 



( '2 j 1 Y ou = 



les formules (7) deviennent 



V^ 
W^ 



(ai ) 



'' JJ. dt / Y -3 

On a encore (n° 10) 



' \N- 



d , V2 

H = -r\ ni V ), F" = m — > 

'^ , .. d 



il' l'IU-.MlKlM': PAiniK. 

(Il |)0!>anl 

'j. 

I :>. '> ) m = ' • 

On a enlin (a" 12) 

,,, . .dV „„ „V 

<// p 

en po^aril 



U 1/-^ 



{-^)' \ 



on voil ainsi ([lie ni cl /// sont, comme nn la annoncé, la masse 
Ioni;itii(linale el la masse Iransveisale des physiciens, que j)ar 
suite F' el V" sonl la force longitudinale et la force transversale 
que l'on considère ordinairement en Mécanique relativiste. 

Cela résulte d'ailleurs plus sim|)lement des formules. (24) 
puisque, |)our délernuner les coefficients m^ et m^ des formules 

V\ = ni\ —;- et r T = "lï — 

dt y 

écrites a priori^ les physiciens considèrent la résultante F des 
deux forces Fl et Fj et, en écrivant que les composantes X, ^ , Z 
de cette force donnent lieu à des formules de la forme (17), afin 
de généraliser un théorème de Mécanique ordinaire, trouvent 
pour m la valeur dcmnée par la formule (25). 

14. Je rappelle ici le calcul dont on \ ient de parler et qui est 
dû, je crois, à Poincaré. Si a, jj, v et )., u. v sont les cosinus des 
angles que la tangente à la trajectoire et la normale principale 
font avec les axes, on a 

dx II 

- / '^(-) ; ^ ■ v 

A r/y. \ \ I \ d f H \ \ Il — u\ 



p du (/s \ dt \ \ 

les accents indiquant des dérivées par rapport à /; on a ainsi 

.,-r " \ II' — Il \' 

(■27) A = .\| -+- AT = m\_\ - -f- in\ ;-^ 

u v 
= nifU -f- ( m\, — nif i -— -, .... 



.\ii:i.A\(ii:s. 

Coinnic oi) vent avoir 

^ <l , , , ^'^^ »-. 

\ = -7- I /»/M — mu -1- uni = mu -\- a --- V , 

on ohlicnl les dciiv rclalioiis 

tim m\ — 1)1 \- 

"'^"'" 77v=— V ' 

nous |)oser<ui^ 

^-. 

(i nous écrirons 

(//Il m\, -~- m I 



ni\ = m. 



,IL /, 



Il ni;iii(|iic tiiic ((iiiaiion, et rien n'empêcherai I de prendre^ pai' 

CX(M11|)I(\ 

m\, - i)i\=^ m = ccnist., 
.solution ('vidciilc a priori cl sans inicrcl. 

On admets pour des raisons sur lesquelles nous reviendrons 
au paraf^rajdw II, la relation 

m I. I 



m r 1 — /. - 
qui délerininc seule le jiroblènic : on a Ain>\ 



m\_ m I /«i — mj 



I I — A'- /, 2 

On oblienl donc 

m dm mil 



in r = 1)1. »iL = 



I — /v2 (/A ^ — k-^ ' 



en écnvanl 

dm k dk 



1)1 1 — /. ■ 
on a finalement, avec m= u pour \ - 









V'-wi V/'~w^ "- 



Ce sont les formules que Ton avait en vue. 



PKi:.Mii:iu-: l'Ainii-:. 



Si. anrrs a\ oir <il)lcnii la Ioi'iikiIc 



w 



ou al)and()nne ridée do masse loiiiiiliidinalc cl de masse IransNcr- 
sale (jui l'a amener, el si Ion cunlimie le calcul, on arrive à la 

lormule 

'/ / V 



^''■T, 



cest-à-dire à la formide ('^a), «'(juivalenle à la lormule (o) 1. 

lo. Observons (jue les formules (:>.;) peuvent maintenani 
s'écrire 

/c^m u\' 
(28) \ = mu ^ ,_^-, -y-' •••; 

on en déduit 

i: \ « = mW — V \ ' = T- 

1 — A- I — /> -^ 

OU 

{ 9,9 I s X aa: = — ■ — [i. NN - a 



y,.. V. 



Cette formule équi\aut à la formule (12). 

16. Mouvement produit par une force constante. — Si la 
force est constante, avec X = ;i.A, '^= ;j.B, Z = uC, les for- 
mules (24) donnent 



On a donc 



(A/-t- A')i "~ (B/^ B'/ (C/ + G'j2 W2 D2/24-2D7^D" 



MELANGES. 

d.r il y dz W dt 



A<-T A B^-IV- CZ-^C ^/L»v^4- ■'. Wt^ U" 

et l'on ol)lioiidra .r, y, :; eu fond ion de /. 
Si l'on suppose, par exemple, 

\ = uV, Y = o, Z = o, M = o poui- / = o, 
avec A non nul, ou a 

dx dy dz W dt 



A / B' C ^/x-î (i -^IVi^ ( ■ -i _ \\^ ' 

si / croît indélîninient, la valeur absolue de u lend vers W , tandis 
(fue r (;t n' tendent vers zéro. 



II. 

fj'eniploi de la vitesse de la lumière pour définir rart;unienl 
iivperholique d une vitesse par la formule 

et l'emploi de la relation 






= cli-^0 



pour légitimer après conp la déliniliou de l'accélération totale par 
la formule 

( Y) = -7-1 vecteur W shO ), 
^ ' dt ~ ' 

tels sont les seuls emprunts à la doctrine relativiste que l'on ail 
faits dans ce qui précède. Le système (S) dans lequel on a consi- 
déré le mouvement d'un point matériel était un système immo- 
bile; les formules de Lorentz n'ont pas eu à intervenir. 

Nous allons maintenant considérer la dynamique du point maté- 
riel dans un système (-2) animé d'un mouvement de translation 
rectiligne et uniforme par i-apport à un système fixe (S|). 

17. Les fcvmiiles de Lorentz. — La vitesse de la translation 



i/f-, PREMIKRK PART 11-:. 

t'Laul Ll, ï.i l'on pose 

les tonnnles tic LdiciiIz in-cnricnl la forme 

( a-, = a?2cli9 -I- \V /., sli5;, y, = j,, -i — -2- 
( 3o I 

I \V/i = .r., SI19 + W/, ciicp, 

et 1 ou à les tormules in\ erses 

( ^.> = Tj cil es — \\ /j sllS, J', = ^,, Z.2=:^ Zi. 

l J 1 I ■ ' ' ' ' , 

( W /, = — :r, slicp -H W /,(li'i; 

• 
ces deinlères foniitiles se défluiseiit des précédentes en écliani^caTil 

les indices 1 el 2 el en reniplaeanl 'i pai- — es. 

Si l'on se donne Xo <;l ^1, c'(;sl-à-dii'e si lOii eonsidèie le sys- 
tème mobile à la dale ahsolue /., el un |)(»inL d<; ce svslème, on 
peul calculei' it", et t.,^ c'(;sl-à-dir<; J'abscisse absolue de en point 
et la dale au clirononiéLiie ^,)ilacé en ce ^aiiiil^ cela cofrespond 
d'ailleurs à la façon dont on élablil les formules. 

La première des rormides inverses, mise sous la forme 

./, :=: W /i lli'^H- 4^, 
cl, 9 

traduit le inouçenient du système mobile et la co/?^/Y/c//o/t des 
règles divisées dans la direction de la translation : x-^ est une abs- 
cisse relativiste, — -^ est une abscisse absolue à la dale zéro. 

• Cll'i 

La seconde des tormules directes, mise sous la forme 

W cliç 

traduit le décalage <les ch.ronumèt.res auv divers points du sys- 
tème mobile [date locale) et r allon peinent de la seconde battue 
par ces vchrojaomèlres (ralenitissenienl des cliroiiométr.es mobiles ). 
Pour le cilironscmètre du point Oo-, orij^ine des axes mobiles, il 

huit iaire .r, = o, el l'oii a /> = — r-î— ; pour un elironomèlre place 

ch'^ ■ ' 

en \\\\ nijul dabscisse r,. il faut lel rait<liei' — ^tli'^. 



MÉLANGES. -Vi-; 

IS. Cas duii monvemenf rccliligne chtns la direclion de la 
traiislalion. Vitesses. — Considrrtms un [xuiil uuiléricl ru luou- 
vcuiont sur la droiti; (jui porle les ax(;s 0|.r, cl O^i^'..; nous 
poserons 

( Sv. ) -— !• = W ih (),, --- r= W iliO.,. 

dix dl-i 

I^es formules inverses donnent d'une paît 

dX';, := dry cil o — W dti sli 9 
= \V (//il tliOi cho — sli«p ) 

el d autre part 

\\' dti = W dix oh o — dxx sli cp 

= \Vf//',(chç — ihe, shç) 

W dtx , , 
c 1 1 ') I 
la division donne 

111^^2= tlM Oi— 9 ), 

e! lOn a ainsi entre les ari;unienls 0, et 0^ la relation simple 

(33) ,),= 0,__.^; 

on doit observer avec, soin que C3 est une constante. 

On serait arrivé plus rapideineiil à ee résultat en écrivant au 

début 

, , t/jr-., iIjO, — tlj c , , 

W dti 1 — ihU, tliç ' • ^' 

mais le calcul qui a élé fait nous sera utile. La formule (33) se 
trouve dans la Note de M. Bricard citée au début. 
On écrit d ordinaire 

!ii _ ii 

n.y _ w ~" w 

' w \^ 

pour /z,:=W, on a aussi «o = W: c'est le cas de la lumière. 
D'ailleurs », = W donne 9, infini, et alors 80 est éij;alem(^nt inlini, 
on a «2 = ^V . 

Si 6| est constant, 0^ lest aussi : le mou\emenl apparent est 
alors uniforme, comme le mouvemenl absolu. 



J'S PU KM 1ÈRE PARTIR. 

Il), .iccélé/alion et Jo/xe. — (.)n a (riiuc pari, pour c<; cas, 

ou a daiilrc pari, en Icnant coiiiple de la rclalioii (-^jS), 

\\ d/, \\ <lt. 



(.^5) 



cliO, cliOo ' 



en divisant iiicinhrc à membre ee^ deux relations, el en mnlli- 
plianl pai'AV-, on délinil une qiiiiulih' remaripialdc 

' dtx ' dt. 

OU mieux 

ri J 

' ^ dl^ ' dti 

et celte quantité se trouve être, pour le cas particulier envi- 
sagé, celle que l'on a désignée au début sous le nom d\iccélé- 
ration totale (*) : l'accélération totale est ici la même, soit que 
Von considère le mouvement absolu du point matériel dans le 
système (S|), soit que Von considère le mouvement apparent 
de ce point dans le système (S2). 
On a encore 

(■37) F, = F,= ;jiY. 

20. Emploi du diagramme de Minh(nvski. - .Si l'on écrit 

.Ti = Xi co%i — <ç ) -\- i\\ t , sini — iz ), 
iW/] = — X i si m — 19) -!- t W/2 cos( — îcp ), 
en posant 

les formules de Lorenlz (bornées à ce qui concerne x et <) 
prennent la forme suivante due à Minkowski : ' 

/, = /., cos( — iïp) — x.^ sini — i'o ). 
Xx == l-i sin( — io) -i- iTo cos( — t<p) ; 

ce sont les formules de transformation de coordonnées pour deux 

(') Je suis parti de la formule (''3) pour écrire la formule (a). 



MÉLANGES. iicj 

systèmes d'axes reetaugiilaires (0/|, OXf) el (O/^, O.ra), 
l'aii};le (O/,, O L, ) ayant la valeur — i'i. 

Si un poinl matériel se nieul sur la droite qui porte les axes 0| Xt 
el 02^:^2? comme il a été dit préeédemment, le dia^; ranime du 
mouvement absolu {système S() donné par les axes O/), Oa?(, 
et le diai>ramme du mouvement apparent [système T-^) donné 
par les axes O/o, Or^. sont une seule et même courbe (F). 

;2 l . On a, rcl;iti\ ement à la \ itesse, 

-— i == _ tliO| = — t thOi = taiig(— dJi), —-:: =.. .; 



ainsi — /f), et — iOo sont les anj;les (O/,, o) et OA,, o), o étant la 
langente à la eourbe (F), et cela donne immédiatement 

— «Oi = — «0,-t-(— t'ij ou Oi = f)_,-4-o; 
resl la formule ( lo ). 

2l2. Pour Taeeeléralion, ehacun des deux membres de la rela- 
tion (.)'i) multiplié par — i mesure l'angle de contingence de la 
courbe (F), cliaeun des rapports (3.)] multipliés par /, soit 

^//, ,11., 

-; ) —, 5 

COS I — t Uj ) CdSI — l Uj I 

mesure la dillerentielle de l'are, de sorte que l'accélération v est 
égale au produit par — V\- de la courbure de la courbe (F) 
qui est le diagramme du mouvement reciiligne considéré . 

Un peut écrire, en introduisant par exemple —. — , 

dt, 
= ch'Oi — — i = — W 2 clr^Oi 



dl'î di\ 

ou encore (je supprime liudiee i ) 

I I -t- x'-)- 

Ics accents indupicnt des dérivées prises par rapport à /; la trac- 
tion qui ligure au second membre de cette égalité mesure bien la 
courbure de la courbe {V ). 

Bull, des Sciences nialkéni.. a- :^ciie, t. XLV. (Noveinlne ir^i ) îo 



iio P 11 !•; .M I K Uli l'AUTIi:. 

!23. Iin/}ulsion ri tnivail . — On [x'iil ticiirtî 

* fil'), ~ sli '), rl.O. "" ili'i;, ' 

ou l'U (IimIii II 

dix d.r\ (ll-i . [t. 

Cl par .stiili' 
(38) rFrf/i= ;jL\V(siiO,— ...), fVdl,^=..., 

(Sç)) fvdvx^ a\\i[(cliO, — I) — ...] 

= •;...xW^/'sh2- -...I, / V dr-, -. 



-]■ /'•■ 



•24. *Ca6- d'une force vonstaiile. — Si la (orce es! couslaule, •'! 
si les condilions initiales (Md-rcspomlcnl au\ \alf'iir-. 

t\ = o, ./'i = o, 0] = (), 
^2=o, .r,= o, f). = — ç, 

on a par exemple dans le sjslènie (i])), oi'i la vii<'ssi; initiale est 
nulle. 

F/, = ;;l^\ sliO,, 
F:r, = ;ji\V2(cli6i— I i: 

si /, augmente indéiiniment. il eu est de même de h, de sorte que 
la vitesse Wth^, tend vers W ; x^ augmente iiidéliuimenl. 

L'élimination de H, enlre les deux relations préeédenles donne 
l'équation du mouvement; en éerixant 



^^ji,_.,__,/7-rTi-riï:v 



on a 



on a d ailleurs 



(il) «j 



/a- Il 



MELANGES. 



t2-). Cas il' un inot(\etnent, qti".lron<[iée. lilfsses. — iStms lais- 
seroas pour le inonictil les lonnules (!<■ Lorenlz sous lu foruie 



( A 



y. 


= 


.r, -H /, 


W (2 


v/i- 


- '/:' 


i,. 




^-4- A 


\\ 



1 = y 2 



s'^ -,.-- 






Un a (1 abord 



, Il , 

Tir, ^ ^/7zr>i 



pour prendre une d«''rivér par rapport à t^. on pourra [trendre la 
dérivée par r.ipport à ^_, et multiplier le résultai parl"in\erse du 
second membre de celte t'ornuile. 

Si Ton pose (avec la date locale pour l'indice ■>.) 



d.r _ cl y _ dz 



1 -Il (^ly dz , 1 -, 

en ODser\anl avec soin chm-. dans les r.ipports -7- > -7-) iltei>l relatu 
^ ^ '^ at lit 

au mouvement du point sur la trajectoire, de sorte que v et w 

sont des- projections de vitesse et non des vitesses de inoiwe- 

ment projeté^ ou a 



(P/, »,= 



on a les formules inverses en échangeant les indices et en rem- 
plaçant k par — )>. Ces formules ont été données pour la pre- 
mière fois par Einstein. 
On peut écrire 



«.>-f-ÀW 


'"i = - 


•,v/i~/^ 


tt'i 


w. 


/l-À^ 




- Il , 


1 


. IL, 





= 


1 — 

77 


W 


=- 


1 




dl. 


1 — /.- 


dix 


— /.- 


W 



r^2 PHEMIÈRIÎ PARTIIÎ. 

la rt'laliou qui lie a, cl «2 <^'St i<"i sous la fornu; 

(.-^|^)(->.t)— >.'. 

les relations 

sont inimédiafes. 

Si Ton calcule Vj, on Irouve 

' 1 — 






on, en séparant les deux leiines du second nu-mbre, 



V?— w 



Il 2 \- 



en divisant par \\ - et en chani^eanl les si<;nes des deux membres, 
il vient 



I — 






Cela permet de compléter les relations ci-de>sus et Ion a 



\" ) .1, 



!2(). Dérn^c^s de la rilessc. — Xous comparerons plus loin les 
composantes X|, \ ,. Z, de la force F, et les composantes Xo, Y^, 
L-, de la force Fo, ce qui revient à comparer, avec les indices 1 
et 3, les quantités Vj., y^., v^ détinies par les formules (^ ). Nous 
donnerons ici, bien que nous devions très peu en faire usage, les 
foimules de transformation relati\es aux quantités 

du I , du 5 



MÉLANGIiS. 



(^iCs l()riniil(>s sonl 

I I — À- )- 



W 



(C) < r', = (i->.2) 



('., 



I + / 






»■'.= {\ — >.2 



W 



w 






w 






on a les fonmiles inverses en échangeant les indices et. eu rem- 
plaçant À par — ).. 

•27. Force. — Nous appliquerons à cliacuu des deux sys- 
tèmes (^S,) et (S2) les cqualious (24) multipliées |)ar a, ou encore 
les équations (28) écrites sous la forme 



(4'2) 



\ = =:==^ Il -rr ; — Il 



128. Examen ci un cas particulier. — Considérons un j)oint 
matériel d'abord immobile dans le système (-2); on a alors 



1(2 = «'2 = n'-2 =^ o. 



Si Ton vif^nt à lui appliquer une force Fo aux composantes X2, 
Yo, Zo, à laquelle correspond dans le système (S,) une force F, 
aux composantes X,, \,, Z,, on aura au départ entre les accélé- 
rations les z'elations 



^43) 

Or on a d'une paît 

(44) \.^i}.ii'.,, 
et d'autre part 

(45) -x.= — iiiL_, 

( 1 - Xf )^ 



«'', = (!->■-) ''2, 

V,= a;/., 



v''i — X"^ 



Z) = 'J. d'', 



z,= 



v/T^rxi 



1 
ce 



PREMIERIi PAinili. 



(■> \iiJ('iiis peuvent se déduire des loruiules { ^2) dans lesquellc- 
011 lait, pour Tindiee 1, M|=\ , ^ />W. 
On ohlicnt donc 



(46) X,=.X2, Y,= Y.y/i — /,,, Z,=:Z, \/i — X^ 

'2\). Les loriiuiles (45 ) peuvent s'écrire 

(47) Xi=/«,. "'1, Yi^z/rrc^,. Z, = m|(i'', , 

///, et nij étant relatifs au système [^in l. La première de ces loi- 
Miules se compiend hien : la tangente à la trajectoire au début du 
luouvenunit élanl paialléle à OiJ',, on jieut écrire (n" 13) 

Xi= II. = n),,—j^; 
or la formule 

donne ici V , = «^ . 

I^ans l'opuscule de M. Léuieray [Le pi-incipe de relatiiHté). 

on écrit a p/'iofi les formules (H) ^^ (^y)- Comme, dans léttide 

de la Statique, en supposant le point matériel maintenu immohili; 

dans le système (S,) malgré l'action de la force Fo, on a é<'ril 

précédemment 

Y^ . Y2 ^ Z, . Z2 _ /- 



X. -x, -X, • \, -^^-''"' 



on obtient 



m j i\ ( 



: -7- = y/i — >■'. 



et les relations (4^) donnent dans le système (2() 

C'est de ce résultat particulier que l'on s'autorise pour écrire la 

relation générale 

nii, i 

qui sert à déterminer les valeurs des quantités /;?, et m, . 

30. Trajisformalion des forces dans le cas généra/. — On a, 



( 18) 



MELANGES. 

Loi 



:i3i 



Si l'on a|)pllque celle tonmile avec les indices i et a, les deux 
(|uantilés soumises au loi;ari(|jine «'Jant égales d'après les rela- 
lions ( B"), on a 





V, 

t'i 




^/\\2_ VH (/(,, 


1, 






^\V>_Vf (^fi 




e( |)ar suilo 






^. c, 






On peut écrire 




. "i 




v 






\i 


,., 11-^- 




A ^^. 


V^l — A* \'i «l'i 


SV2 


V., z. 


V ' 


— À- 




\/' 


\V2 



Avec ?/2=^ t>? d'où résulte Ut = ).W , on a 



V, Z, 



-î-i — — ■ = J ~ " 

comme dans les deux dernières lormules (4*^)- 

31. Pour \, et Xo. nous écrirons, en appliquant la formule (24 
avec l'indice 2, et les formules (B), (B'), (B"),- 



\> 



d / a-, 



' ■ dt. 



l/'-w^ 



a\/i— À- (/ / ?/ 1 — /. \\ 
"1 



iii 

^^ 1 



'j. d / H, — \ W \ 



"' '/^> / vT 



w \\/'-\v 



■rîo 



PREMIKRE PARTIE. 



SI Ton écril. 






d U\ /. , d 



'dti ^/._ w;' dti ^/. 



en appliqiiiuil la foiiiiiilc (9,\) avec 1 iiidici; i, cl la loiinnle < ac)), 
on obtient 



(D') \,= 



- "i 



Xi — y;;-("t -^1 -*- ''I ^1 — '»'i'/'i ' 



on peut échanger les indices i et 2 en remplaçant ), j)ar — ■).. 
On peut écrii-e 

( D ) \, — \o = _ = — 

\N . I' , W . Il , 



W 



w 



Avec i'2= <). (Vo= •■>, d'où résulte c, = o, ^v^ = o, on a \, ^ \^ 
comme dans la première des formules ( \(V). 



3:2. Emploi d'arguinenls hyperboliques. — Nous poserons, 
avec les indices i et 2, 



(49) 



- = thO, ^=tl.H. 



On a alors, comme au n" 18, 

(5o) Oi = Oi — (p 

et les formules (B') deviennent 

dt., chfJa c, (r, chW^ 



(5l) 



Après avoir obtenu comme au'n° 19 la relation 



on peut écrire 



che, clif), 



W2 11,20,= W2 lIl^O,. 



r/r- -+- f/c- 



X)u. en remplaçant o^/^ P^ïi' ^chOo et en multipliant par cli-O^, 
W2 ch2 0, 11,2 e., =: \V2 cii^ô., — ^\ ^ + ^-^' ^" ^^^' 



ou encore 



\V^ch2Ôj(i — thî0,, ) = W2 



0- 
dY-'-^dz^ 



MfiLANGKS. TJ7 

ou eu décluil 

ck'^O, cl. 20, 



(^ 



ch-e. cli-H| 

Ou peut écrire 

cliHi ^ sliB, ~ clifct. ~ slie/ 



ee qui géuérulise les relations (35) du n" 23; mais la rela- 
tion (34) n^a pas ici son analogie. 
La formule (9) donne 

F', = ■j.W cli(-»i -7-1 , 

F;= aW cil 0,-7-^, 

et l'on a 

r/t), d». 

// )■ « là un invariant iiitrj'cssaul . 

33. L'identité de Minkowsld. — Si l'on élimine (îp) entre les 
toruniles de Lorentz (formules 3o), on obtient 

x\ — \\ 2 1.] = x'à — \\- f'i 
soit en écrivant 

■r-i- \V/. , , 1 x,^Wt , 

-— — =; cil = — s lie = -; 1 — = rrrr^ 

j-,— \\t, ■ • cliç— sliç Xi — \\fi 

soit directement; on a donc l'identité 

l'ius généralement, on a l'identité 
I 3 ) ; XiX\-T-. . .-h . . . — W - 1 1 t\ =^ X i x'., -^ . . . -\- . ■ ■ — W- fi / 2 . 

On en déduit l'identité générale 

(56) {x\ — xi)^--h...-h...~\\h('i — tiy^ 

= [x'.2 — x,}^^. .. — . . .~\\Ht\~ tiïK 

Cette identité résulte immédiatement de la forme donnée par 
Minkow ski aux formules de Lorentz : la transformation de Lorentz, 
avec X, j', 3, et / = AV^, est une transformation orthogonale. 

34. Cela posé, si un point matériel parcourt dans le sys- 
tème (S2) le chemin apparent M ?<J, /pétant la date au chronomètre 



\Mi 



vnv.MW.HV. l'A iri 11',. 



(lu point M lors de son |)assuji,(! «-n M, ..., si d'iiiilre |)art il ;i 
|>arcoiiiii diitis \r ■^yslrmc (^ï| ) le rliriiiiii ;d>vi>1ii Ml\', (ni |m'iiI 



V.,=- 



,MN 



/'., - Il 



= \\ tli(-),, 






Wll.H, 



(iMJ\J <l«''sij;u;mt la mr'>mc d»i \(<I(mii- \1 N l'aiU; avec les rè^k-s 
conlra('t«''fs du syslrnie (-i>). l/idciitilt' i Vii dimur alors 



(/, 



M\ 



W -'( t\ — I, )-■ 



ou, en (:liani;eanl les sii^nes des deux membres, 

(/', — /, )-i( I — il.-(-)i )■■--..., 
ou cnliu 



/', 



;liH| 



7ûe7 



(5;) 



On ])eul ('(lire 

W(/^, — ii) _ \ÎV_ _ \V(/^. -/,) I MX J 

~ v|i«, " fil H. 



•j.fc», 



-l.H. 



et l'on coni|»i-end mieux ainsi ee (ju(; repiéx'Ule ffs., dans les tor 
mules (Sa). 

[L'identité de Minkowski lépoud à ce fait (|ui a élé le point de 
départ des idées relalivistes : la \itesse apparente de la lumi('r(î 
dans un sjslème en mouvement (2Co) est égale à la vitesse absolue 
de la lumière <lans un système en ixipos l^-i)-] 

.Yote sur la compositiun des vitesses. — Pour un point maté- 
riel en niou\ement sur la droite <[ui porte les axes O,:^) et O^j.fo, 
on a la formule (_)) ), (jue nous écrirons sous la forme 

0,= H.-r- ç. 

La vitesse du jjoinl par rapport -au sjslènu^ (-o) étant \\ ih^o. 
celle du système (^ So ) par iap|)ort au système (^S,) étant V\ tli'^, la 
vitesse du point j)ar rapport au système (^\^ est \\' tli (Oo-h x) : 
les argmnents hyperboliques sajoulenl. 

On peut dire encoi-e : les systèmes (S, ). (-s), (^3) étant soumis 
à des translations rectilii;nes parallèles, il résulte des formules (3i) 
que, si les vitesses du dernier système par rapport au second et 
du second par rapport au pi-emier sont W ihçj' et^\ lh'5, ht vitesse 
du dernier système par rapport au premier est VVth(o'H- '^). 



MKLANGliS. i59 

Sans l'iuplovcr ici les iiii^iimculs In pcrboliqucs, considrions un 

point mobile sur la dr«»ilo ([\ù porte les axes 0,.r,, OaJP^i suivaul 

la loi 

r,. = V_, /., : 

-i on laisse les l'oiinnles de l>oi'<'nlz sous la ionnc 













i; X, 






-rj — 1^2 




t. — 


\\ W 




■'"■ >/,->,= ■ 


\ 


1 — À- 


I\CC A 




1 on oblicnl 












r 


1 = 


v,/,, 




5î^) 




V,- 


l 


+ V2 

U V, 





Si la vitesse L est faible par rapport à W, ou a sensiblement 



V, 


= ( U -4- V, 1 f I - 


■'^)- 


oti encore 






('»«>) 


v,=^ v.2+i;(. 


-m- 


en posant 




1 ■ w. 

n ~ W 



U + Y.- 



\\1 \\2 



^; 



« Or, écrit M. Einstein ('), supposons que la lumière se pro- 
page dans un certain fluide immobile avec la vitesse V2 \ avec qtielle 
vitesse \ I se propagei^i-t-elle dans un tuyau parcouru parle même 
fluide avec la vitesse U? Nous devons supposer, conformément au 
principe de la relativité, que la lumière se propage toujours avec 
la même \hesse par lapport au fluide, que ce fluide soit en mou- 
\ement ou non par rapport à d'autres corps. La vitesse de la 
lumière par rapport au tuyau est alors donnée par la formule (58), 
ou d'une manière approchée par la formule (ag). C'est préci- 
sément le résultat obtenu par Fizeau il y a plus d'un demi-siècle 
et ensuite par Micbelson et Morley. » Ce résultat avait été prévu 
par Fresnel à l'aide d'autres considérations 5 il envisageait une loi 
de la nature, qui se tmuve vérifier le principe de relativité. 

(') Dans J'opu^cuJe qui u pour titre : La th'corie de la rehitivilé restreinte 
et i^ënéralisée. 



!^o p HK M 1 1: in- PAinii':. 

DISCOURS D'OUVERTURE DE LA SIXIÈME CONFÉRENCE GÉNÉRALE 
DES POIDS ET MESURES, PRONONCÉ LE 27 SEPTEMBRE 1921, AU 
MINISTÈRE DES AFFAIRES ÉTRANGÈRES, EN PRÉSENCE DE M. LE 
MINISTRE DU COMMERCE; 

l'Ai; M. I-:mii.i; I'ICMU), 

Sccri'laiic pcrin'-liicl de rAi'adéinic <lrs S(i<-iircs, 

Pii-sidfiit (le la ConfiM-fiici-. 



Mo.\sii:iii J.I-: MiMSTui:, Mkssikuus, 

En souvenir de la création du Système niétrl(juo par les savaiil> 
français de la fin du xviii'' siècle, la Convention internationale des 
Poids et Mesures de 1870 a décidé que la Conférence générale des 
Poids et Mesures se tiendrait à Paris, tous les six ans au moins, 
sous la présidence du Président en exercice de l'Académie des 
Sciences ou de son représentant. C'est un honneur dont l'Acadé- 
mie sent tout le prix ; à défaut de son Président retenu loin de 
Paris, elle a chargé son Secrétaire perpétuel pour les sciences 
mathématiques de diriger, cette année, les travaux de la Confé- 
rence. La dernière réunion de cette Assemblée a eu lieu en i()i3, 
mais les événements qui viennent de changer la face du monde 
n'avaient pas permis de vous convoquer plus tôt. Les traités de paix 
n'ajant pas modifié le fonctionnement de l'œuvre, à la fois écoi>o- 
mique et scientifique, que poursuit le Comité international des 
Poids et Mesures, et le Bureau de Sèvi-es ayant à peu près repris 
son activité coutumière, il a paru que la Conférence générale 
pouvait être utilement réunie. Aussi ai-je l'honneur, au nom de 
l'Académie des Sciences de Paris, de souhaiter la bienvenue aux 
délégués des nations adhérentes à la Convention internationale du 
Mètre, parmi lesquels j'ai plaisir à saluer les représentants de deux 
nouveaux pays adhérentes : le Brésil et la Finlande. 

Permettez-moi également de m'associer aux regrets qui viennent 
d'être exprimés, et que nous cause la perte des collègues disparus 
d-epuis la dernière session. Je tiens aussi à dire à M. Benoît, qui a 
demandé en 1914 i' être déchargé de ses fonctions de Directeur, 
que son nom reste à jamais inscrit dans l'histoire du Bureau Inter- 



ME LAN CI' s. 14 1 

iialioiinal dos Poids cl Mesures, *;t que hds lirs vives synipalliies 
suivent dans sa retraite l'éminent miliatciii' de tant de Iravatix 
entrepris dans la maison de Sèvres, d(»nt il reste \c Directeur 
lionoraire. 

Messieurs, la science est une arme puissante, indillérentc au mal 
comme au bien, on ne l'a ([ue trop vu pendant quelques années. Notre 
\(eu le plus cher, à nous tous (jui sommes ici réunis, est que, rendue 
à ses (ins bienfaisantes, elle ne cesse plus d'être cet outil de mer- 
Ncilleiix. service, dont parlait fléjà notre vieux Montaigne, qui con- 
tribue à Tanudioration des conditions de la vie et tournit un des 
sii;nes les moins contestables des progrès de l'Iuimanilé, tout en 
restant la grande parure dont l'idéal reflète la curiosité passionnée 
et désintéressée qui est l'honneur de l'esprit humain. 

Dans maintes recherches scientifiques, l'âge héroïque est passé, 
où avec un matériel très simple on pouvait faire de grandes décou- 
vertes. Quoiqui> tout reste possible au\ hommes de génie (jui, de 
loin en loin, ouvrent des voies nouvelles avee des moyens de 
fortune, le progrès scientifiques résulte le plus souxcnt aujourd'hui 
de longs et patients efforts, qu'il .s'agisse de laborieux calculs, ou 
de minutieuses observations et expériences. L'astronome trouve à 
peine suffisant le centième de seconde, et des mesures sur des 
rpumtités infiniment petites lui sont néces.saires pour évaluer l'infi- 
niment grand ; le physicien ajiporle une extrême précision dans 
la recherche des den,sités et trouve des gaz nouveaux dans l'atmo- 
sphère ; le chimiste modifie nos idées sur les éléments avec les 
noml)reuses décimales des masses atomi<pies et les cor[)S isotopes. 

Nous ne crovons plus guère au dogme de la simplicité des lois 
de la nature, qui enchantait nos prédécesseurs et qui a rendu tant 
de services aux sciences naissantes, tout en l'utilisant ce|)endant 
encore de façon j)lus ou moins consciente. Nous accumtdons 
approximations sur a])proximatlons, mais un des articles de notre 
foi scientifique est que ces approximations successives sont eon^ er- 
gentes, comme disent les niathéinaliciins, et que nous approchons 
sans cesse d'un petit nombre de vérités toujours j)lus compréhen- 
sives, synthèses des nondjreuses \érilés partielles j)eu à peu décou- 
vertes, ('/est peut-être une (diiniêre, mais elle soutient des généra- 
tions de chercheurs dans leur labeur jamais terminé. 

Où trouverait-on un plus bel e\em|)le de la patience inlassable 



3{'> PlUîMllilKK l'AUTIK. 

du sLivanl que j>:Miiii les inctrologisles, cii luLlr lous le.'s j(jur>> u\«( 
une matière en apparence inerle mais se transformant cepeaclaul 
comme un être vivant? Au milieu «le l'universelle mobilité, les 
inétrolof^istes veuleni réaliser des (Hafons permanents. Je siipp«i'Se 
qu'ils ne doivent guère être partisans de la théorie de la relativité, 
ni aimera entendre dire que les dimensions de leur règle changent 
avec l'orientation et que leur lonf;ueur d'onde elle-même ne repré- 
sente peut-être pas l'éléuient lixe sur letpiel ils comptaient. Ces 
variations, si tant est qu'elles soient réelles, sont heureusement en 
dehors de nos mesures, et les préoccupations <|ue peut avoir h- 
Bureau international tiennent à daulres causes. Je lis, par exemph', 
dans un des rapports qui vous ont été envoyés, qt»e les étalons 
d'usage du Bureau ont subi par rapport au prototype international 
et à certains prototypes nationaux un allongement d'environ quatre 
dixièmes de micron ; on a suggéré que cette variation s'est peut- 
être produite progressivement et qu'elle j>rovient d'une usure 
dissymétri(pie des traits, due aux netlovages IVéquenls. Quoiqu'il 
en soit, des causes nombreuses, dont plusieurs sont sans doute 
bien difHciles à déterminer, peuvent ainsi modifier étalons et 
prototypes, et des compai^aisons fréquentes et variées sont néces- 
saires, d'autant que 1 on a parfois, comme pour l'unité de mas»e. 
la prétention d'aller jusqu'au cent-millionième. 

Ce contrôle incessant est la partie* essentielle du travail que le 
Bureau international eft'ectue sous la direction de M. Guillaume, 
l'éminent physicien, qui vient de couronner ses recherches sur les 
alliages parla découverte d'une nouxelle combinaison métallique, 
Célinvar, précieuse pour l'horlogerie, dont le module d'élasticité 
est à peu prés indépendant de la température. 

L'étude des étalons à bout si utiles pour l'industrie, qui touche 
à des questions délicates d'élasticité, a été, dans ces dei^nières 
années, continuée à Sèvr.es avec un gi'and succès. On sait aussi 
l'intérêt que présentent les recherches sur les matières propres à 
la construction des étalons ; les travaux du Bureau sur ce sujet oui 
conduit également à des résultats remarquables. ^>ous pouvons 
donc iéliciter ceux qui collaborent à 1 oeuvre du Pavillon de 
Breteuil de raelivilé qu'ils ont dépensée dans des circonstances 
difficiles et des importants travaux qu ils ont réussi à mènera bien. 
A lire les publications du Bureau, on pourrait croire que le nombre 



MKLANGKS. iî3 

<ie.s !iri\ iiilleur> y »'bl l)f;m<oii|) |)lii> consKlriablf ; l'anicur <lii 
ChrF se ("orninnni(|u»' à ('eux. <jiii sonl iiiiloiir de lui. 

Messirnrs, la scission fie la r4»>nft''r«'ii('c (|iti soiivro aiijourcriuii 
ami proiirarurMf t-hari^M* cl iiri()<)ilaul . .Iiii.(jirici, cojnnu' nous le 
>a\r/, ractivilc <lii Hiiieaii .s»' lappidlr oKlçiellement ans. seules 
iifandt'iirs ins(•ril(•^ en iSy.'j clans It's l<»i> reialixcs a«ix unités, 
(■(•Ile (le loui^iicui- cl relie de niasse. nej»iii> lors, les lois sur les 
iiiiili's onl éh-, (lan> eetlaiiis |>a\>, qiiehjue peu «élargies, de 
nouvelles a|>|dicalions de la >cien<e réelaniant des unités spéciales; 
ainsi une loi IVaneaise (('cenie, relative an système M. T. S., délinit, 
outre les unités de loni;nenr, de nias>e et de temps, les unités de 
ti-^istanee ("lectrique el d'inteiisilé lumineuse, considérées comme 
nnilés |)ririci[)ales. Aussi la «{iiolion a-l-elle été de|>uis lon*«len)f)s 
>oide\ée d'élendre oKieielIrnieul le> al tribulious du Bureau à 
1 claMisseîiient el à la roiiMi\ alion des étalon> s<' rapportant à 
d("^ unite> iutén'ssani les divers d(»maines qui e\ii;t'uL des mesures 
|)i-ecise>, ainsi qu'à la nchorche de cerlaiues coustunles physiques. 
Il semble, en premier lieu, que 1 inq>ortance de l'éleclricité 
dans l'industrie mondiale soit assez «grande aujourd'hui pour que 
se> mesures aient, comme les longueurs et les masses, un Bureau 
central ; on jugera, sans doute, que l'idée d'avoir deux iirgaaes 
di-^linels ne serail pa-- lieiireuse à une époque où les diverses parties 
lie la science devieuneni de plus eu plus solidiiires. el que le 
Bureau de Sèvres doil èlrc (diargé de (-elte fonction convena- 
Idement dèliuiJtee. Quaul à la déleiniination des «'ouslanles phy- 
siques, elle a été de tcuil temps dan> les attributions du Bureau ; 
il sul'lit de citer les dilatations de l'eau, du mercure, du quartz et 
d'autres cristaux., des métaux el alliages, les recherches de densités, 
du volume ihi kilogianime d eau, et entin les longueurs d'ondes 
lumineuses qui sonl devenues le véritable micromètre de haute 
[>réeision. C est qu'en ellet les problèmes de métrologie sont 
extrêmement complexes. 1,'our conqiarer des longueurs et des 
masses, il faut, en dehors de l'opération, ramener les résultats à 
des conditions normales, et ceci exige la conn-iissance de constantes 
numériques, exprimant des propriétés de la matière, qui doivent 
èlre obtenues avec une |iréeision eorrespondani à celle de la 
comparaison elle-nK-me. El, comme celle précision s'accroît 
d'année en année, il faul, de ien)|)s à autre, faire une nouvelle 



;',^ imu:.\iii:kk i>aktii;. 

(léterminalioii (1rs coiihlaiilc' ; on [xuil ainsi gaj;ner, à ce quassurfiil 
les niélr<)l()i;isles les |>liis aiilorisés, une «h'-cnnalc environ loiis les 
einciiianle ans. La délerininalion des eonslantes jjlijsi(|ues a «lone 
loué un grand vole dans 1 aelivilé du Bureau depuis sa fondation. 
C'est pourquoi il inipoile (jue ce rôle soil indiqué d'une nianicie 
explicite dans la (Convention. Joui à la fois, on sanclionneia ainsi 
le passé, et l'on préparera les voies de l'aNcnir. 

Les questions de budget sont particulièrement difliciles en ce 
moment. Comme tant d'autres, le budget du Bureau internai ioual 
des Poids et Mesures ne j)eut être établi aujourd'hui dans les 
conditions antérieures, en supposant même que rien ne soit changé 
dans son fonctionnement. En fixant les augmentations nécessaires, 
vous aurez de plus à rechercher, au moins provisoirement, hi part 
due à l'extension des attributions du Bureau^ si celle-ci est décidée. 
Les transformations projetées demanderont beaucoup de prudence, 
mais nous pouvons compter sur la sagesse et l'esprit de réalisation 
du Comité international dont la gestion a toujours été si heureuse. 

Une question se posera, quant au nombre des mendjrc.s du 
Comité, qui était jusqu'ici de quatorze. Le noudjre des làats 
adhérents, primitivement de dix-huit^ sélcvant maintenant à 
ving-huit^ on pourrait augmenter le nomI)re des mendjres du 
Comité, accroissement qui paraît d'autant plus nécessaire que 
l'extension des attributions du Bureau exigera des compétences 
nouvelles. 

Sans parler des problèmes techniques, liés aux progrès de la 
métrc)logie (pii profite de plus en plus des admirables découvertes 
faites ciiaque jour en physique, problèmes qui font partie du 
programme courant de vos réunions, divers règlements d'ordre 
financier et administratd doivent encore vous être présentés. La 
Conférence saura mener à bien la solution des questions très variées 
qui lui sont remises, et qui sont d'une haute importance pour 
l'avenir de r(euvre internationale que nous poursuivons. L'accord 
sera facile dans le domaine serein de la Science; c est avec cette 
assurance que nous allons en toute confiance commencer nos 
travaux. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 345 



COMITES UKNOUS ET ANALYSES, 



L. SILBERSTEI\. — Éléments d'Algèbre vectorielle et d'Analyse vec- 
torielle, traduit de l'anglais par G. Matisse. i vol. petit in-8" de viii- 
1)0 p;iges et n fig. Paris, Gauthier-Villars et C'% 19 u. Prix : 8^ net. 

Le.s Ouvrages mit le Calcul vectoriel semblent se multiplier rapi- 
dement. Il fut un temps où les mathématiciens considéraient ce 
calcul comme une construction (pii i)ouvait permettre de brèves, 
svntlièscs, mais qui ne faisait jamais que réexprimer des choses- 
connues et d'une manière assez inféconde. 

Le progrès de la Physique moderne et le langage de l'école 
d'Einstein exigent maintenant, tout au contraire, que Ton mette les 
théories vectorielles au premier plan. 

Le Calcul fonctionnel les redonne d'ailleurs aussi et la classique 
théorie des fonctions analytiques d'une variable est l'étude d'un 
champ vectoriel à deux dimensions. Quant aux fonctions de deux 
variables, elles exigent un continuum à quatre dimensions fort ana- 
logue au très vectoriel espace-temps de Minkovvski. 

Ici nous ne dominerons point ces hautes régions. Le petit 
volume de L. Silberstein est manifestement un Ouvrage d'initiation. 
Il distingue une Algèbre et une Analyse vectorielles. L'algèbre, 
par ses opérations fondamentales combine les vecteurs comme la 
créomètrie élémentaire combine les éléments de ses figures et de 
nombreuses comparaisons avec la trigonométrie plane ou sphérique 
illustrent précisément ce point de vue en montrant que la théorie 
n'a même point besoin d'attendre la forme physique pour révéler 
son utilité. 

Le produit vectorieL qui change de signe par interversion des 
facteurs, n'a rien de spécial. Que, dans un planjOs, on trace un 
rectangle ABCD de côtés parallèles aux axes. Si l'on appelle aire 
du rectangle le produit de deux côtés consécutifs, cette aire peut, 
tout naturellement, avoir un signe. Ainsi AB =: a, BC = ^ eL 
X\^.\^C = ab étant positifs, il n'en sera pas >ide même de 
Bull, des Sciences niathéin., r srrie, t. XLV. (Décembre 1921.) >> 



34<) PHE.MIKIU' l'Ait! Ii:. 

BC.GD =^ ba parce que CD est eompLé. [)ar rappoil à Ox. (Jans 
lin sens contraire à celui de AB Que ce rectaii;;lc <lrvicmic I élc'- 
ment dxdy d'uiie intégrale (htiihlr cl il en sera encore ainsi, si 
bien qnapproloiidir ladite nolion lic prodiiil veeloriel. c'est abor- 
der eorrcricmcnt les notions d aire et d intéi;i"ale 'loiiLIc. 

|ja Udlioii (le produit vectoriel ^l'Ieiid (riiilleiir> dans 1 es|)ace 
avec un très élégant recours à la tlicorie des dcterminants. 

Les opérateurs vectoriels m, tels rpic 

r;T(A-+-B) = r;7A — ?7!B 

sont le point de départ d'une véritable algèbre avec invariants 
attachés à la considération (r(''(piali(»ns algébricpies. Avec les diades 
et diadiques^ nous j)arveii()ns i\ une algèbre polvnomiale en 
laquelle les niononies conslitutilV dépendent de lOrdre <le leurs 
facteui's mais (pu n est (pi'uue heureuse forme d une écriture où un 
algébrisle ordinanc intr(»duirait de grandes comj)lications ana- 
logues à des — I jxiurviis d expo^ant^ des phis toullus. 

L'anal vse \ectorielle se comprendra sans peine après de tels ]>ré- 
liminaires. 

Elle a trait à la diUercntiatiou et à l'intégration des vecteurs. 
Nous V retrouvons les opérateurs halutuels de la Phvsique 
mathématique, les formules fondamentales de Green et (Je Stokes. 
Sans doute celles-ci commencent à être franchement insuffisantes; 
les considérations modernes exigent qu'on les étende dans l'espace- 
temps. Mais répétons cjue l'élégant petit ouvrage de L. Silberstein 
est un ouvrage d initiation qui atteint d'adleurs son !)ut en ne 
demandant au lecteur que de bien minimes efforts . 

Le nom manifestement germanique de l'auteur ne Ta point em- 
pêché d'enseigner à l'Université de Rome d'où des (cuvres qui 
furent publiées en anglais et nous reviennent maintenant traduites 
en français. Ces transformations internationales ont quelque chose 
qui semble merveilleusement s'accorder avec le caractère universel 
des thé(5ries vectorielles. Adolphe Buhl. 



COMPTKS RENDUS KT ANALYSES. 347 

COTTON (IvMiLi:). — Cours dk Mkoamqde gknékale. Introduction a 
l'étude de lv Mécanique iM)USTKiEiJ.E(Bil)liotlièiiuc(le rElèvc-Ingonieur). 
Unités; Travail; Dynamique du point ol des systèmes. Tome H, j;r. in-8, 
i3S |)a;;es. Grenoble, Jules Roy: l'aris, Gauthicr-Villars el G'", 19^0. 

Ce second \ oliinic du (ours de Mécanique générale de 
M. Cotloii l'ail suite an pteniier l'aseiciile du même Ouvrage, paru 
en 191 1, et est rédigé dans le même but et dans le même esprit. 
Il s'agit iïun traité succinct, mais aussi clair et complet que 
possible, destiné aux élèves ingénieurs. L'Auteur ne suppose 
connues de ses lecteurs que les notions les plus élémentaires 
d'Analyse et de Géométrie analytique, formant les points fonda- 
mentaux du Cours de Matliématicjues générales. 

Le premier \ olume de ce Cours a été analysé ici même (') par 
M. G. Cotty, dont nous avons eu, peu après, à déplorer la mort 
prématurée, .le i-appellerai seulement, pour mémoire, que. dans le 
premier \ ohuue, après avoir exposé la théorie générale des vec- 
teurs et la Géométrie des masses, M. Cotton exposait, en quelques 
belles pages, les « Principes » de la Mécanique, puis développait 
la Cinématicjue et la Statique. 

La Dynamique du point et celle des systèmes forment l'objet 
principal du second Volume, dont nous nous occupons actuelle- 
ment. Toutefois l'Auteur consacre un Chapitre préliminaire aux 
Unités ( changements d'unités, homogénéité des formules), dont 
l'étude complète n'avait pas été faite dans la première Partie, et à 
l'importante notion de travail^ qu'il est indispensable d'appro- 
fondir avant d'aborder la Dynamique. Il donne, dans le cas le plus 
général, la définition et l'expression analytique du travail d'une 
force a[)plitjuée à un jioint, en insistant sur le cas important où il 
y ^fonction de forces. Les exemples proposés sont ceux du champ 
de la pesanteur et des forces centrales fonctions de la distance. A ient 
ensuite la notion de travail de Vensenible des forces applicpiées à 
un système, et la notion de puissance correspondant à la rapidité 
plus ou moins grande avec laquelle un travail est etlectué. 

Un important Chapitre traite de la Dynamique du point. Les 
trois équations générales du mouvement sont déduites du <( Prin- 
cipe d'inertie », et sont suivies des équations « intrinsèques ». Ces 
équations fondamentales se traduisent immédiatement par le 

(') Bulletin des Sciences malhénia/iqites, unnce i()i5, p. ii.')-i2i. 



348 l'HEMlEUE l'AUTlE. 

Principe de d'Alembert. Le tliéorèmc «Je la qitantiu'' de inou^'C- 
nient et celui du nioinent de la (juantilc de nioiiveinenl sont 
donnés des le début : il suffira de les <;énéraliser dans l'élude de la 
Dynamique des systèmes. C'est à propos de ces théorèmes (jue 
l'Auteur ti;aile le cas des percussions et chocs, on la vitesse du 
point varie brusquement. 

Suit le théorème de la lorce vive, |)oiir un point. «'I (pi<'lqii(;s 
exercices. 

Après ces généralités. M. Colton traite (picbpics problèmes 
concrets. Le mouvement rectiligne lui loui'nit plusieurs applica- 
tions : chute libre, avec ou sans résistance milieu, force fonction 
de l'abscisse, attraction proportionnelle à la distance, avec frotte- 
ment, résistance de milieu, d force perturbatrice périodique. Le 
mouvement curviligne esl l'objet d'autres exemples : cas de la 
trajectoire imposée (pendule sinq)le),ou du point libre (projectile 
dans le vide, ou dans l'air avec résistance jjropoiliounelle à la 
vitesseV 

Le Cha))ilr(' de la Dynamique du point se termine par l'élude 
sommaire du pendule sphérique, et j)ar celle du mouvement des 
planètes (attraction newtonienne) : ce beau problème, que l'étu- 
diant n'a pas le droit d'ignorer esl susceptible d'être étudié par 
des méthodes élémentaires très sinq^les et fournit, relativement 
aux théorèmes généraux, les applications les plus instructives et 
les plus intéressantes. 

L'Auteur arrive à la Dynamique des systèmes. Ln Chapitre 
spécial est consacré aux deux théorèmes «énéraux des quantités de 
mouvement projetées et des moments cinétiques, qui offrent 
l'avantage précieux d'éliminer les forces intérieures, et qui suffisent 
parfois, à eux seuls, à donner d'utiles renseignements sur le mou- 
vement des systèmes. Les applications de ces deux théorèmes sont 
choisies toujours de la manière la plus judicieuse et la plus instruc- 
tive, et empruntées aux exemples les plus familiers. Signalons en- 
core qu'à propos de ces deux théorèmes, l'Auteur étudie, comme 
il l'a fait dans le cas du point matériel, les percussions et chocs. 

Le cas, si important en pratique, d'un solide mobile autour d'un 
axe fixe, est traité avec détails : on donne le calcul des réactions 
exercées par les coussinets fixes sur les tourillon?, ainsi que l'indi- 
^ cation des propriétés des axes « spontanés » de rotation. 



C M PT K S R K N I) U S \VV A N A I. Y S E S . 3/49 

l.'liilerprélation cinématique du lhéorènu> des uiouients clné- 
li(ju('s en fait comprendre le sens très précis au point de vue 
i;é()inétri(pie. M. Cotton eu tire l'exi^lication élémenlaire très claire 
du si ciiiieux ellel g]roscopi(/ni'. Il termine le Chapitre par les 
•'•quations de mouvement d'un solide autour d'un point (ixe (équa- 
tions d'Euler), ou dun solide libre. 

Le Principe général des forces vives, pour les systèmes matériels, 
fait l'objet d'un Chapitre particulier. Dans ce théorème, les forces 
intérieures ne disparaissent pas, en général. L'étude dn travail des 
forces (tant extérieures ([u'intérieures) amène tout naturellement 
au Principe des travaux rirfi/e/s (ou des vitesses virtuelles), à la 
délinition des déplacements coin pal il)les avec les liaisons, aux sys- 
tèmes « sans frottement ». Suivenl |)kisieurs exemples, toujours 
choisis de la façon la plus lieureuse, d'applications du Principe 
des vitesses virtuelles à (juclques appareils simples (treuils, 
balances, etc.). 

Le Principe des vitesses virtuelles, lorsqu'on impose au système 
son déplacement /ee/, redonne le théorème des forces vives, dont 
l'Auteur indique quelques aj)plications : petits mouvements d'un 
système à liaisons complètes autour d'une position d'équilibi^e 
stable, théorie sommaire des volants. 

Le dernier Chapitre du Volume a trait à l'étude des Mouvements 
relatifs^ qui nécessite l'introduction de la force centrifuge et de 
la force centrifuge composée. Le principal exemple choisi est celui 
des régulateurs à force centrifuge. Comme autre exemple, l'Auteur 
cite l'intérêt de rapporter le mouvement d'un organe appartenant 
à une machine mobile, non pas au sol, mais au bâti de la machine 
(cadre de la bicyclette, fuselage de l'aéroplane, etc.), et fait 
remarquer à ce propos le fait imi)ortant que le travail de la force 
centrifuge composée disparaît toujours dans l'application du théo- 
rème des forces vives au mouvement relatif. 

Le Chapitre se termine par l'étude sommaire de quelques consé- 
quences dynamiques du mouvement de la Terre. 

Tel est le résumé de ce Cours de Mécaniciue générale. Les 
professeurs y trouveront avec satisfaction des exemples concrets 
toujours intéressants, pour illustrer les théories. Les élèves en 
apprécieront la réelle clarté d'exposition. H. Vergne. 



!5o PREMIÈRE PAHTIE. — MÉLANGES. 



MKLAN<1I':S 



SUR DES PROPRIÉTÉS RELATIVES A DES TORSIONS DE COURBES 
TRACÉES SUR LES SURFACES: 

Pai! m. s. MANGKOT. 



Le mode de eon.slrtuiiou que j ai décrit, flans uni' précédente 
Note à l'Académie des Sciences ('), du rayon de toision T et du 
centre F de la sphère osculalrice en un point O d'une courbe C, 
définie comme rinterseclion de deux sui'laces S, S', tombe en 
défaut si la tangente ()A à cette courbe est une tan<^ente asjmp- 
totique de l'une des deux surfaces, S. Dans ce cas, la solution de 
la question peut être obtenue par une méthode que je vais exposer. 

Une courbe quelconque d'une surface S qui touche l'une de ses 
deux tangentes asjmptotiques OA, en un point O, et dont h- 
rayon de courbure R en ce point est fini, a son plan osculateur con- 
fondu avec le plan langent de S au point O, et sa torsion y est 
égale au triple de la somme ou de la différence des deux quan- 
tités y, 2RL, où / et L sont deux constantes (-), qui ont les signi- 
fications suivantes : 

La première, /, est une longueur susceptible de ces trois inter- 
prétations géométriques : 1" elle est égale à la moyenne géomé- 
trique À des longueurs des rayons de courbure principaux de S 
en O ; 2" elle est la demi-longueur d'axe de l'un comme de l'autre 
des deux liyperboloïdes de révolution engendrés par la rotation 
de OA autour des axes des deux cercles de courbure principaux 
de S en O; 3" elle est encore le rapport, à la tangente de l'angle 
des deux tangentes asymptotiques, du diamètre du cercle oscula- 
teur de la section normale en O de S qui est perpendiculaire 

(') Comptes rendus, t. 163, 1916, p. 973. 

(-) C'est la difTérence, ou la somme, qui convient, suivant que le rayon de 
courbure a, ou n'a pas, la même direction que celui de la ligne asymptotique 
de S tangente à OA. 



r 



MÉLANGES. iïi 

sur OA. Quant à la constante I^, elle est l'inverse du carré du 
paramètre de lon^ueui- de la parabole cubique osculalrice, au 
|)oiMl (). de la socinm normale de S dont le plan contient OA : 

c'est ain>i le rapport constant de MP à ()V , où P désigne la pro- 
jection, sur OA, d'un point (pielconque M de cette cubique. 

Cela étant, rpie Ton prenne la section, tangente en O à OA, de 
la surl'ace S' par le plan ([ui touche S au point O, et que l'on 
construise son cercle osculateur en ce point ainsi que le dia- 
mètre Ol, issu de O, de sa conique (ou parabole) osculatrice, 
en O. Soit^ l'intersection de la normale en O à S' avec l'axe de ce 
cercle, qui est aussi le cercle de courbure de G. On doit avoir 
oT = V^>- X taiigO(0 = lOA) ( ' ). Lorsqu'on a L p^ o, la somme 
et la difTérence des devix quantités désignées ci-dessus, où l'on 
prend R égal au ravon de ce cercle, font connaître paz* leurs dis- 
tances au point _i^ quatre points de son axe dont Tun est le point F, 
cl l'on peut savoir lequel (-). 

Je suis amené, incidemment, à formuler ce théorème : Les deux 
lignes asymptotiques d'une surface issues de l'un de ses points ont 
leurs rayons de courbure en ce point proportionnels aux carrés 
des paramètres des deux paraboles cubiques qui osculent en ce 
point les sections normales de la surface tangentes aux deux lignes, 

le coefficient de proportionnalité étant :-j- 

Les deux branches de la section de la surface par le plan tan- 
gent en ce point auraient aussi leurs courbures connues par ce 
théorème. 

Je me place, actuellement, dans riijpothèsc où l'on aurait 
L = o. Ceci revient à supposer que la tangente OA rencontre S 
en plus de trois points coïncidant en O. Ici, le rayon de torsion T 

est égal à - / pour toute courbe C de S tangente à OA, au point O (•'). 



(') Loc. cit. Car le rayon de courbure en un point m d'une conique dont la 
noiinale en m a pour pôle p est égal au produit de la longueur rnp par la 
cotangentc de langle que fait la tangente rnp avec le diamètre passant en m. 

(-) Quand 6 = — , r coïncide a\ec ^r : l'anihiguïté n'est pas levée par ce pro- 
cédé en ce qui concerne T. 

(^) On excepte la ligne asymptoti([ue. 

Il est à remarquer que la construelion du rayon de torsion et de la sphère 



35) PREMIÈRE PARTIE. 

Le <;as où la droite OA serait tout entière sur S fournit alors cette 
propriété, 3 T = /, de toutes les eourlies C dune surface S fpii 
touchent une droite supposée lui ap|)artenir. I*; point de contact 
citant un point quelconcpie () de cette droite. Je vais en indicpiei- 
des conséquences et des a[>plications ('). 

J'cnvisa<ï;e la section C de S par un cylindre paraholicpie S' lou- 
chant la droite en O, per|)endi(ulaire au |)lau laii^enl (h- S en O, 

ci (h)nt la l)ase dans ce plan ail sou axe inclim'' de : - sur la 

4 

droite. On a, au point O de cette courhe C, 3 T := r^= A, ce (jui 
conduit à cette proposition. Quand une surface S est réglée, que 
l'on construise, dans son plan langent en un point O de l'une de 
ses génératrices, D, un carré (pielconque OOiOoOii ayant un 
sommet en O et son sommet opposé, Oo, sur J), puis, (jue l'on 
élève, sur le plan, une pcr])endiculaire O'H au point O' . qui est 
le symétrique de O par rappoil à l'un, O,, des deux autres som- 
mets : si a est un point d'une génératrice infiniment voisine de D 
dont la projection sur le plan est à la même distance de O, et de 
la droite OoOs, et si c est le point de O'H qui est également 
éloigné des deux points O, w, la distance O'r est une longueur 
qui a pour limite k (- ). 

L'ne.courbe de l'hyperboloïde à une nappe tangente à lune de 
ses génératrices, a son rayon de torsion au point O du contact 

osculatrici' en un jioiiit de l;i iniiilic (l'iiilcisiclioii ilr ilcux suifiiccs doiinr-ûs 
<l'une iiiaiiiL'i(^ (|ui'lionqiic est rc-ducl il)lc à cell'- ili' deux ii-rclcs cl de une <iu de 
deux paraljulo (dont ruiio jxut être culiiquc), situés dans des j)laiis connus cl 
ayant un contact dosculalion en ce point avec lune ou laulre surface. Il y a 
exception dans le cas où la tani,'cnte à la courlie serait une tangente asympto- 
tique de chacune des deux surfaces. Ici, le plan osculateur est indéterminé et 
il n'y a pas lieu de se poser la c|ueslion. 

(') Voici des résultais qui découlent iniinédiatenient de cette propriété: 

Lorsque deux surfaces sont telles qu'une des tangentes de Tune est située sur 
l'autre, si l'on fait tourner l'une ou l'autre d'un angle quelconque autour de 
( ette droite, leur intersection conserve la même torsion au point du contact 
après la rotation. 

Quand deux surfaces ont un contact d'ordre > i en un point d'une droite 
(|ui leur est commune, toute courhe de l'une et toute courbe de l'autre qui 
louchent la droite en ce point y ont la même torsion. 

(^) En envisageant aussi l'intersection de cette même génératrice avec le plan 
normal en O à D, on voit que l'on a là un moyen simple de construire approxi- 
mativement les longueurs des rayons de courbure principaux d'une surface réglée 
< Il chacun de ses points. 



MÉLANGIÎS. 35 5 

représcnir par l'expression -r-^ ? '^^^•" ^i ^'i ^ ^^^^^ '^^s demi-axes et 
o la distance de son centre à son plan tangent en O : de sorte que, 
si A et A' sont les deux diamètres de la surface parallèles à ses 
génératrices issues de O, le rayon de torsion de la courbe en O 
n'est aulic. aussi, (pie le rapport de 2 d<l' A » sin( A. A), d et r/' 
désignant les distances des deux droites A, A' au point où leur 
plan est rencontré par nne généi-alrice quelconque de l'hypcr- 
boloïdc. 

J'envisage vme courbe gauche définie d'une manière quel- 
conque. Elle jouit de la propriété suivante : en chaque point de 
la courbe, le rayon de torsion et la distance, au plan osculateur, 
du centime de la sphère osculatrice sont dans un rapport égal au 
tiers de la tangente de Fangle que fait la tangente à la courbe en 
ce point avec le diamètre conjugué de sa direction dans la conique 
(Ou parabole) osculatrice, en ce point, de la projection de la 
courbe sur ce plan. Si l'on connaît le plan et la sphère quiosculent 
la courbe en un point O, on connaîtra donc son rayon de torsion 
par cette propriété. Dans tous les cas, on peut parvenir à sa con- 
naissance par l'application de cette autre propriété : la torsion en 
un point d'une ligne donnée et la mesure de la courbure totale, 
relative à ce point, d'une surface non développable menée par la 
ligne et par sa tangente en ce point stnit deux nombres dont le 
second, indépendant de la surface, a pour valeur absolue la neu- 
vième partie du carré du premier. Enîin, on peut aussi, pour le 
même objet, appliquer les règles qui viennent d'être indiquées en 
prenant pour l'hyperboloïde une quadrique passant par la courbe 
€t sa tangente en O, s'il en existe, comme c'est le cas pour la 
cubique gauche, pour l'ellipse sphérique ('), ou une quadrique 



(') Eii partant de là, on esl ronduit à formuler celte règle particulière : 
O étant un point donné d'une cubique gauche et OO' sa tangente en ce point, 
<|uc Ton prenne, à volonté, trois autres points a, ]î, y de la courbe et une droite K 
la rencontrant deux fois; que l'on mène les trois droites aa', pjî', yy' s'appuyant 
sur K et 00', les trois droites aa", pt3", yy" dont chacune rencontre l'une et 
l'autre de celles-ci, et la droite 00" qui coupe deux quelcon(|ues de ces trois 
dernières; puis, que l'un construise les trois droites d'intersection du plan O'OO" 
avec les plans a'aa", |ï' fijà", y'yy", et le point de rencontre des trois plans menés 
respectivement par ces trois droites et par les milieux des segments Oa, Op, Oy; 
■«■nfui, que l'on tire, de ce point, le- deux parallèles A, A' à 00' et 00", et que 



;>/, PREMIÈRE PAiniE. 

qui ait un conlacl de sf'cond ordre en G avec une surface menée- 
par la courbe et celle tangente, laqui^lle sera située aussi sur cette 

qiiadrique ( ' ). 



Ton prenne rinlersi'cl ion n île leur |)hin ;i\ei- l\. Le rjiynii de loisiori île l;i 
cubique en () ser;i le r;i|)|)()il de >f/// ;i :iosin(A, A) si d, d' et o sont les dis- 
tances de m aux deux droites A, A et (elle de <) à leur plan. 

Pour construii'e le rayon de torsion d^uw; ii{,'n<- de eourlmre d une i|u:idrii|ue 
à eeiitieen un point (» où la l:inj,'enle esl <)()', il sufiil de j)rendi-e trois cordes 
de l;i (durlie ap|)iiilenant à Iroiv droites aa', jîp', -■■; , i|ui reneonlrent OO', et de 
mener une droite ()<)" qui eouiie i|en\ droites queleon(|ues s"appuyant sur ces 
trois dernières; j)uis de Iraei i. par le centre de la iiuadriciue, deux parallèles A,. 
A' à 00' et OO", et de eonsliiiire le point m où leur plan rencontre Tune ou 
l'autre des trois uièmes droites. Le r^iyon esl alois donné ])ai- le même ra])port 
(jue le précédent, les letlres (pii \ lii;urerit étant délinies dans les nièiries tcTines 

Dans l'un comuK' dans l'aulre cas, rii\ peiholoïde S (|ue délerniinenl les trois 
droites aa', jip', yy' contient la courlie tout entière et >;i tangente çn O. Le plan 
de ses deux };('n('-rat rices ()(»', ( M > " est le plan oseulateur de la courlie en O. En 
déterminant pareillement, pai' liois de ses droites, un hyperboloïde S' contenant 
la courbe et une autre <|u<lconque de ses tangentes, la section de ce plan 
dans S', i|ui est détermim'i' pai- quatre points et la tangente 00' à l'un d'eux, 
pourrait faiie connaître le i entre P de l;i sjdière osculalrice de la courbe en O au 
moyen de la formule écrite pin- liant (0=100'), puisque son rayon de tor- 
sion T est connu, et cela sans aniliiguili' si Ton faisait usage de deux de ces 
lij'perboloïdes S'. 

(') Si /(a;, ^, ^) = o, v^i^x^ y^ z) = o .sont des é(|uations développées suivant 
les puissances entière.s de x, y, s, de la courlie donnée rapportée à trois axes 0,r, 
Oy, O^, dont le dernier est sa tangente, ré((ualioii 

^~'[/(-^, r> 5)?(0, <>, -) — 5(37, .t-, ^)/(o, o, 2)] = o 

définit une telle surface et, limitée à ses termes de degrés inférieurs à 3, elle 
représente un tel hyperboloïde, lorsque Oz n'est pas une tangente asymptotîque 
de chacune des deux surfaces /=o, cp =o. Le plan tangent de l'hyperboloïde à 
l'origine O donnerait le plan oseulateur de la courbe. 

Parmi toutes les quadriques qui touchent au .second ordre une surface quel- 
conque en un point, il en est deux qui sont de révolution autour d'un axe paral- 
lèle à son plan tangent en ce point. Elles y ont entre elles un contact de troi- 
sième ordre. Leurs équateurs sont les cercles principaux de la surface en ce 
point. Elles ont la même longueur d'axe et celle-ci est égale au double de la 
constante >» de la surface en ce point. Si la surface est une de celles qui passent 
par une courlie donnée et par sa tangente en un point, celui-ci étant le point 
(■nvisagé, cette longueur d'axe représentera six fois le rayon de torsion de la 
courbe en ce point. 



MELANGES. •^55 



LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ ET SES APPLICATIONS 
A L'ASTRONOMIE : 

Pak iM. ÉMiLi; PICARD. 



1. On parle beaucoup aujourd'lnii de la relativité, elle grand 
public, cpii ne se préoccupe guère hai)ituellement des théories 
physiques, s'esl intéressé à cette doctrine en raison surtout des 
propositions d'allure ])arad(t\ale qu'on v rencontre. Il y a vu prin- 
cipaleinenl une niodilication dans les idées fondamentales de 
Ihumanité relatives à l'espace etau temps. Cependant les questions 
philosophiques que soulèvent la nature du temps et celle de l'espace 
ne datent pas d'hier. Pour Aristote « Le temps est le nombre 
relatif au mouvement, lorsque l'on considère celui-ci comme pré- 
sentant une partie qui précède et une partie qui suit », ce que, 
dans son histoire des doctrines cosmogoniques, Du hem paraphrase 
sous la forme suivante : Le temps est ce qui permet dénumérer les 
états pris par une chose en mouvement en les rangeant dans l'ordre 
de succession. Ainsi, pour le Stagyrite, les notions de temps et de 
mouvement sont indissolublement liées; il dit d'ailleurs explici- 
tement : « Nous mesurons le mouvement à l'aide du temps et le 
temps à l'aide du mouvement ». 

2. Lne question se ])Ose de suite : le temps n'est-il qu'une idée 
conçue par notre esprit, ou bien a-t-il une réalité indépendante de 
cet esprit ? Pour Aristote, la seconde alternative est à adopter. 
Il admet que, dans des choses réellementexislantes, il y a un carac- 
tère indépendant de toute intelligence capable de compter ; c'est 
ce qu'il appelle le nombre nombvable (ap'.0[j,cj;x£voç ) à distinguer 
du nombre compté ou nombre (àp'.6;i.r,-5;;). Mais une difficulté 
très sérieuse se présente, et qui a posé dans ces temps lointains un 
problème de relativité. Puisque tout mouvement peut nous donner 
la noti(»n du tenq)s, la considération de mouvements ditrérenls ne 
nous donnera-t-elle pas des temps diflerents ? Aristote répond par 
la négative. Il croit pouvoir établir que, quel que soit le mou- 
vement, on aboutira toujours à définir le même temps, mais sa 



35G PREMIERH PAUTIIÎ. 

démonslralion ne lïil pas, semble-l-il, iiuaniineineul admise. Il ne 
faut pas d'ailleurs oublier que jjour les |)éripalélieiens les substances 
vouées à la génération el à la ((triiipliou sont seules soumises au 
temps, les êtres qui dureni toujours n Clanl jtas dans le tenq)s; ce 
(jue reprendra j)lus tard la doclrinc <;atlioli([ue en distinguant le 
temps el Vélernitr. 

3. Les n«'()plal(iui(icns distinguaient deu.v temps. Siinant eu\, 
il y a en dcliors (bi temps pliysiqiie un autre temps, le temps pri- 
mordial qui est la eause (Jii premier; au sujet du temps physique, 
certains parlaient du temps de la lune, de celui du soleil et des 
planètes. On croirait presque entendre les relalivistes modernes 
parler du temps local. 

Les discussions commencées dans ranti(|uité sur la nature du 
tenq:)s n'ont jamais cessé durant le moyen âge elles temjis modernes, 
et les philosophes disserteront sans doute toujours sur son essence. 
On sait que pour Kant le temps et l'espace sont des ïormes a priori 
de notre sensibilité, formes à travers lesquelles nous voyons néces- 
sairement les choses, et cette oj)inion s'est trouvée ruinée, au 
moins en ce c[ui concerne l'espace, par l'étude des géométries 
non euclidiennes. lUus récemment, une distinction essentielle a été 
faite par M. Bergson entre la durée réelle c'est-à-dire la durée 
vécue que la conscience perçoit, et le temps paramètre qui ligure 
dans nos formules. 

i. En jjrésence d'opinions si diverses sur le temps, on est tenté 
de dire avec saint Augustin : « Qu'est-ce donc que le temps? Si 
nul ne me le demande, je le sais; si je cherche à rex|)liquer quand 
on me le demande, je ne le sais pas. » Ne pouvant définir le temps, 
il faut se borner à le nombrer. pour parler comme les péripatéti- 
ciens, c'est-à-dire à le mesurer. C'est donc reprendre le problème 
des temps différents, un instant soulevé dans l'antiquité. Ce préam- 
bule philosophique n'aura peut-être pas été inutile, car, il y a. je 
crois, intérêt à rappeler que certaines difficultés ne datent pas 
d'hier. 

Ceci dit, je voudrais essayer de tracer une esquissede la théorie 
moderne de la relativité, en vue d'indiquer les applications à 
l'astronomie. Je le ferai en narrateur impartial, si j'ose dire, 



MÉLANGES. }57 

n'ayant pas cncori' nne ()|)inion sni" la placf ijik; l'avenir réservera 
à l'édifice si séduisant [)ar eertains eôtés eonsUdil par l'Einstein, et 
ni(^ demandant si c'est un proj^rès que de elierelier à lainener la 
plivsique à la géométrie, mais plein d'admiration pour TeUort 
accompli dans cette audacieuse tentative. 

La théorie de la relativité est très abstraite, et c'est, à mon 
sens, une entreprise vaine que de vouloir l'exposer avec quelque 
précision sans enqilojer les svmholes mathématiques. Gomme on 
l'a dit, il y a des cas où il est plus facile d'apprendre les mathé- 
matiques que de s'en |)asser. .l'ai cherché seulemenl à indiquer ici 
les idées essenlielles. sans entrer dans le détail de calculs souvent 
très longs; d'ailleuis la première ihc'orie de la relativité (relativité 
restreinte d'Einstein) n'exige (|ue les éléments des mathématiques. 

1. 

o. Dans la vie courante, l'homme n'éprouve pas la moindre dif- 
ficulté en ce qui concerne l'espace et le temps. Il croit avoir une 
conception très nette d'un espace absolu à travers lequel se meuvent 
les corps. Cet espace est celui sur lequel raisonnent les géomètres. 
Quant au temps, il s'écoule d'une manière régulière et continue, 
entièrement indépendant de l'espace et indiflerenl aux |)héno- 
mènes physiques. A la vérité, j)Our qui réfléchit (|uelque peu, 
la définition de l'unité de temps n'est pas sans présenter de 
sérieuses ditticultés, exigeant divers [)oslulats sur l'égalité de durées 
de deux j)hènomènes regardés comme identiques; la difficulté 
est atténuée toutefois par le fait expérimental que plusieurs phé- 
nomènes de nature différente peuvent concourir d'une manière 
concordante à l'idée d'égalité de deux temps. 

C'est en partant de l'espace et du temjis absolus, que s'est peu 
à peu édifiée la physique moderne. D'après les principes mêmes 
qui sont à la base de notre Dynamique, aucune expérience méca- 
nique, à laquelle sont étrangers les corps extérieurs, effectuée 
dans un système animé par rapport à l'espace absolu d'un mouve- 
ment de translation rectiligne et uniforme, ne permet à un obser- 
vateur entraîné avec ce système de mettre le mouvement de celui-ci 
en évidence; c'est un principe de relativité. On peut aussi, au lieu 
de considérer le mouvement par rapport à l'espace absolu, envi- 



l'is PU KM ii: Il h: PAiriiK. 

sager le niouveineiit d un sysièmc par rapport à un autre, par 
exemple le mouvement de translation de la Terre pai- rapport au 
Soleil; aucune (liflieiilt('' n'est apparue, lanl (pTii ne s'est agi que 
de phénomènes iné{;aniques. 

6. Dès le temps d'Ara go et de Fresnel, la même question se 
posa pour les phénomènes lumineux. 11 résulta de leurs expé- 
riences, et de celles des physiciens qui les ont suivis, que les lois 
de la réfiaelion et de la réilexion d<; la lumière ne se ressentent en 
rien du mouvement de translation de la Terre ; mais aucune con- 
tradiclion iiapparut encore à ce sujet, avec les théories admises. 
Il n'en lut pas de même dune exjjerience. aujourd'hui célèbre, 
imaginée en 1887 par 1(> physicien américain Michelson. et trop 
souvent décrite pour cju(; nous y levenions. 

Si Ton admet que la loi habituelle de comj)(»sition des vitesses 
de la cinématique s'applique aux phénomènes lumineux, une con- 
tradiction ap|)araît avec le résultat de rexpérience de Michelson, 
un déplacement de franges d'interférence prévu par la théorie clas- 
sique ne se produisant pas. C'est en analysant cette expérience 
qu'Einstein fut conduit, en 190"). dans son premier Mémoire sur 
la relativité, à formuler riiypothèse suivante : la vitesse de la 
luiniè/ e, pour un obseivatear placé dans un système animé 
d'un mouvement de translation lecliligne et uniforme^ est une 
constante universelle c, indépendante de l'état de mouvement 
du système. Avec, ce postulat se trouvait exjdiqué le fait que 
l'expéiience de Michelson ne décelait pas le mouvement de la Terre 
par ra|)port à l'élher. regardé comme immobile, et l'on pouvait 
poser le principe de la relativité pour les phénomènes lumineux 
dans les mêmes conditions que pour les phénomènes mécaniques. 

A la vérité, certains doutes ont été émis sur l'interprétation de 
l'expérience de Michelson, le calcul fait à ce sujet prêtant à 
quelques objections; mais ces doutes ne paraissent pas partagés 
par la majorité des physiciens, et nous admettrons le principe 
d'Einstein de la constance de la vitesse de la lumière, d'où va se 
tii^er toute la théorie de la relativité restreinte ( ' ). 



('; Un point est encore a noter. Dans les théories classiques relatives à l'éther 
les équations sont réduites à la forme linéaire. Qu'adviendrait-il, dans les pro- 



MELANGES. :559 



IL 



7. Avant daller plus loin, il csl nécessaire de préciser plusieurs 
points. Nous avons parlé de leni[)s e\ de longueur. Cela n'a de 
sens que si les observateurs placés sur dillV-reuts systèmes savent 
mesurer ces grandeurs. Nous avons, |)ar liypotlièse, un système 
invariable S animé d'un mouvement de translation uniforme par 
rapport à un système o- ; ce sera, par exemple, une droite glissant 
d un niouvemenl uniforme sur une autre. 

8. Soit envisagé S; tout d'abord, quand dirons-nous qu un 
point M de S est à égale distance de deux points A et B de ce 
même système? Ce sera quand, des miroirs ayant été placés en 
ces derniers |)oints, un signal lumineux émis en _M reviendra en 
<e point au même instant après réllexions en A et B. 11 résulte de 
là {pi un observateur de S peut faire des graduations dans ce sys- 
tème, sans déplacer des règles. 

9. Une autre notion essentielle est ensuite celle de la simulta- 
néité (dans le système S) de deux événements se passant en A et B. 
Ces événements seront simultanés si des signaux lumineux, partant 
respectivement de A et B à 1 instant où ces événements se pro- 
duisent, arrivent si nuilta?i(hneiit au milieu M de AB. Le réglage des 
horloges résulte évidemment de là : deux horloges identiques du 
système S placées en A etB marcheront d'accord si elles marquent 
la même heure, quand deux événements se produisent simultané- 
ment en A et B. On peut encore dire, relativement à ce réglage, 
que si un signal, partant de A au temps zéro^ y revient au temps f) 
après réflexion en B, l'horloge en ce dernier point devra mar- 
quer - quand arrivera le signal lancé par A. Il reste, pour l'obser- 
vateur entraîné avec S, à faire choix d'une unité de longueur; il 
prendra pour cette unité une longueur relative à un phénomène 
physique produit dans le svstème, par exemple la longueur d'onde 

blêmes qui nous occupent, si l'ou m- si; liiniLait pas à cette approximation ? C'est 
une question à laquelle il n'est pas possible, actuellement, de répondre. On ne 
peut donc pas dire ((ue l'on a épuisé toutes les alternatives. 



30o IMIEMIÊUE PAUTIE. 

d'une radiation déterminée, émise par une source raltacliée au 
système, et pour unité de temps la période correspondant à cette 
onde. On voit le rôle essenli(d joué par les signaux liiniiaeiix dans 
les mesures de l'espace et du t(;uips. 

10. Ainsi donc, il y a pour le système S des unités déterminées 
et un temps local. Il en «!st de même pour le système n. Mais 
comment pourrons-nous comj)arerles longueurs et les temps de S 
et de a-? Il ne peut être question de transport d'appareils de mesure 
d'un système à l'autre, ce qui, sans parler des impossibilités, pour- 
rail donner lieu à des altérations dont on ne peut rien dire 
a priori . 

Cette comparaison va être faite en invocpiant le j)rincipe d'Ein- 
stein de la vitesse constante c de la lumière, cl en tenant compte 
de la réciprocité des deux systèmes. 

Soient O X la ligne des abscisses dans le système c. etOX la ligne 
des abscisses dans S; ces droites glissent l'une sur l'autre. L'ori- 
gine O des coordonnées dans S a une vitesse c sur Ox. Un point 
quelconque AI a respectivement les coordonnées x et \ par rap- 
port aux deux syslèmes; i^et T sont respectivement les temps 
correspondant à ceux-ci. On veut chercher les expressions de x 
et t en fonction de X et T, en supposant, comme il est permis par 
un choix convenable des origines, que x et t s'annulent 
pour X = T = o. 

Si le couple ( x^ t) correspond à une onde lumineuse, sa 

vitesse —r étant égale a c, on aura 
dt ^ ■ 

dx- — c-dt- = o : 



mais, d'après l'hypothèse d'Einstein, cette équation devra en- 
traîner 

<^X- — c-dT- = o. 

Une de ces équations entraîne donc l'autre. Les premiers membres 
de ces équations ne diffèrent donc que par un facteur, et la réci- 
procité (') des deux systèmes exige que ce facteur soit égal à 

('j Crtti' léciprocitc s'exprime en écrivant que la longueur, clans le systèmes, 
d'une longueur un immobile par rapport à S est égale à la longueur, dans le sys- 
tème S. d'une longueur un immobile par rapport à s. 



MELANGES. Mn 

I iinilc. ( )ii a donc 

( r ) c- dl- — cLv- = c- (l'V- — r/X-, 

(■(' ([m ([('termine les expressions cherchées, en [ajoulaul hi condi- 
tion ([ne la vitesse de il par rapport à () est ci;aUî à r. On troine 
ainsi 



/ X -\-4-pT 

don se dcdnit de snite 



,„ iX 
1 -1 



{'X 



(3) 






éqnations austjuelles on adjoindra )- ^ \ , c = Z, ces denx coor- 
données navant pas changé puisque S a, j)ar rap[)ort à a-, une 
translation dans le sens de l'axe des .x. 

Si le sens de la translation uniforme avait été quelconque, on 
aurait eu une transformation plus générale, se rattachant à lin- 
variance ( 4 >• qui généralise (i) : 

( ', ) c-^ dr- — dx- — dj-^ -~dz'-=c'- <r/T2 — d\'- — d\'- — r/Z^ , 

et le groupe corres|>ondant porte le nom de Lovent z. qui l'a le 
premier envisagé. 

il. Tirons diverses conséquences des équations (2) et (3). 
Soit une longueur M, Mo sur S, les abscisses des ^extrémités M, 
et Mo' sur OX étant X, et Xo. A un même temps t, M, et Mo 
occupent sur t les positions //? , et «io correspondant aux abs- 
cisses .r, et x-2 sur O.r. On a, d'après la première des équa- 
tions (3), 

X-, X> Xi 

C est-a-dire que 

m^mi= t/ • — ^ Ml M.. 
Bull, des Sciences niathém., a" S(irie, t. XLV. (Décembre 192 1.) afi- 



:î6i PKKMIKKK PAHIIE, 



l^ar suile, pour l'observalcui- .sur t. la longueur M, Mo <;sl, 
réduite, et cela d'autant plus que c est plus grand. 

Supposons encore qu'un phénomène se jiasse en Q(X =o), et 
dure un temps T j)Our l'observatciii- sur S. L'()ltst;r\alcui- sur t 
lui attribuera la durée plus longue 



V 



comme il résulte de la seconde des étpialions (2). Le temps avance 
donc moins vite |)our FoUscrvateur lixe que pour l'observateui- 
mobile. Un liomme on niouveinenl \ieillit par suite ]>his lente- 
ment, du moins à l'estime d'un iiomme au rej)OS. 

12. En dillV'rentiaut les fonnules (2), et en divisant, on voit 
que la loi de composition de deux vitesses u etV est donnée par 

la formule (on pose -^ = 



La cinématique de la relativité est donc différente de la ciné- 
matique classique, pour laquelle la loi de composition est m + r; 
les lois ne coïncident que pour c = 00. 

Divers phénomènes sont bien d'accord avec le résultat précé- 
dent. Citons seulement ce qui concerne la vitesse de la lumière 
dans un liquide en mouvement. Soit u la vitesse du liquide, 

- la vitesse de la lumière dans le liquide en repos (n étant l'indice 
de réfractionV La vitesse résultante est, d'après la formule pré- 
cédente, non pas u -\ > mais 



c'est-à-dire approximativement \- it ( \ -y, le second terme 

correspond au transport partiel de l'onde lumineuse proposé par 



MELANGES. J(V] 

l'nîsiK'l, cl ce l'ésulliil csï d'accord avec une expci inu e célèbre de 
h'izeaii faite en iSà i . 

13. I) apics la tiiéorie de la relalivitc reslrelale, il n y a pas 
pour les pliéiioinèaes d'éciielle absolue de mesure, indé|)eudante 
des systèmes dans lesquels ils sont observés. En outre, le temps 
et l'espace jouent des rôles analogues, sinon identiques, dans les 
équations. Il n'y a donc pas, dans la doctrine de la relativité, d'un 
côté un espace {3C,y, z)el un temps t, mais uneontinuum {a:,y,z,t) 
à (/i/((fre dimensions. Les phénomènes se passent dans ce conti- 
nuum que Minkowski appelle V U/iners. Cette idée a été exprimée 
parce géomclre dans une conférence faite en 1908, trois ans après 
l'apparition dn premier Mémoire d'Einstein, sous la forme sui- 
vante : ((Dés maintenant l'espace indépendant du tenrps et le temps 
indépendant de l'espace ne sont plus que des ombres vaines; une 
sorte d'union des deux doit seule subsister encore. » 

Un événement est représenté par un point de l'Univers, et il 
décrit dans ses modifications u/ie ligne d^ Univers. L'expression 

ds- = c- dt- — d.r- — dy- — dz- 

ne change pas quand on effectue sur J7, y, ^, t les transformations 
du groupe de Lorentz, et l'intégrale 



X 



ds 



prise sur une ligne d'Univers entre les événements correspon- 
dant à ses extrémités A et B est appelée l'intervalle entre ces 
événements. Guidé par des analogies avec la théorie des lignes 
géodésiques des surfaces et l'ordre d'idées se rattachant au prin- 
cipe de la moindre action, on pose qu'un mobile libre décrit une 
géodésique de l'Univers de Minkowski, et que par suite, pour la 
trajectoire de ce mobile, la variation de l'intervalle entre deux 
événements est égale à zéro, ce qui s'exprime par 

/ ds = o, 
ù étant le symbole ordinaire du calcul des variationi». 



{64 IMJKMIKHE i'AHTIE. 

Un <al<'iil lacilc inonlic <juc' ces Irajccloircs sont des lignes droites 
parcourues unil'orniémenl. L<'s rayons lumineux sont des j'éodé- 
siques de loni;iieiir indlc {^ds = o). 



Il 



14. Einstein a ('h' peu à peu conduit à une e\len<ioii considé- 
laljle de sa |)reinière ihéorie. Reprenons le ds- en'\isai;é plus haut 

( j ) c/."?'- = c2 r//2 — ctx"-— dy- — dz-. 

Si, au lieu des coordonnées j-, j^, :;, /, nous faisons usage de 
coordonnées généia Usées X(, .r^, rs, x,,^ de telle soiie «pie x^ y^ 
z, l soient des fonctions de X\^ x.,-, x-:^, x,,, ds- (lr\ieiidra une 
expression de la forme 

(6) </.«-= X^i,'//. dxidxi, { lin, = A'/.i)(i, /'■ = !, i, 3, 4). 

les g- étant des fondions de x, , x^, ^:,, X/, ; on peut, par exemple, 
supposer que .x',,^2i ^3 sont des coordonnées curvilignes dans 
l'espace ordinaire et x.^ une coordonnée relative à une horloge 
chargée seulement de définir Tordre de succession des événements 
autour du point (.f ,, X2, 0C3). A l'Univers envisagé se trouve ainsi 
attachée une certaine forme (6). 

Prenons maintenant la question en sens inverse, et donnons- 
nous arbitrairement dix fonctions gik de x,^ .r^, Xs^ Xr, et, par 
suite, la forme quadratique (6) de différentielles. Un problème se 
pose dabord : peut-on de (6) remonter à (5) en prenant pour 
les Xi des fonctions convenables de x.,y, s, ;?La réponse est néga- 
tive : la chose n'est possible que si les g' satisfont ù vingt relalfons 
renfermant les ^ et leurs dérivées partielles jusqu'au second ordre. 
Si ces conditions sont remplies, on dit que l'Univers correspon- 
dant à (6) est euclidien ('); il en est ainsi, en particulier, quand 
les g sont des constantes. 

(') A\fC plus de précision, une forme telle que ( 'i ) est diif euclidienne quand 
tlle est susceptible d'être ramenée à la forme 

dXî-i- d\l-h d\l-^d\l, 

les \ étant des fonctions des x, la transformation étant complexe aussi bien que 



MflLAXGES. 36") 

Sii|)|)osons-noiis niainLenanl dans le cas j^éucial, où rCuivers 
(loiinc par ( () ) ii'esL pas euclidien. Nous considérons aloi'S en un 
point (léleiniiné, d'ailleurs (pu'leonque, de cet Unix ers un iJnivers 
euclidien (jui lui soit tangent. Voici ce qu'on entend par là. Le 
point étant don/ié, lu forme quadratique (6 ) est une forme quadra- 
li(jue des dx/k coefficients constants. On peut -alors choisir f/x. dy, 
dz, dl fondions linéaires et homogènes de o?jC|, dX'^., dx-^, dx,.,^ de 
telle sorle que (5) se transforme en (6V Notre Univers initial a été 
ainsi liausfornié (Mi un l nivers euclidien, mais seulement dans le 
voisina i^i' du point e/ivisagr : cet Univers euclidien est r IJ niveis 
tangent en ce poii}t. 

Dans les univers eucdidiens tangents aux di\ ers points, supposons, 
pour fixer les idées, que les observateurs prennent pour unité de 
longueur une certaine longueur d'onde lumineuse et une unité de 
temps telle qu'elle donne à la vitesse de la lumière une \aleur c. 
Dans. ces conditions, une correspondance se trouve établie de 
|)roche en proche entre les observations faites dans notre L nivers 
<'t celle des observateurs des I nivers euclitliens tangents. C'est là 
un point fondamental, mais l'application de cette idée générale 
n'est pas sans présenter quelques difficultés, comme on le verra 
plus loin sur un cas particulier. 

lo. On pose en principe que toute loi physique doit être 
exprimée par des équations gardant la nuMue forme, quand on 
substitue aux coordonnées généralisées des fonctions quelconques 
de celles-ci, ce qui constitue sous sa forme générale le principe 
de relativité. Il en est bien ainsi pour les équations du mouvement 
d'un point libre ; elles sont obtenues en écrivant que la variation 
de l'intervalle entre deux événements A et B est nulle, c'est-à-dire 

et elles gardent manifestement la même forme invariante pai- rap- 

réellc; ceci correspond à ce que Hiomaiiii appelait espace plan. Si l'on reste dans 
le domaine réel, cerlaiiis carrés pourront élri; précédés du signe moins; c'est ce 
(jui arrixc pour la f(jrme ( >), et il peut arrixer alors (|ne loiile les variables ne 
jouent pas le ohmiic i-olc, Ici le temps dans celle dernière Inmie. \ussi faut-il 
parler d'analof^'ie et non d'identité entre l'espace et le temps. 



J66 IMJKMIKIUÎ l'AirriH. 

port an (h traiisfoiiiK'. Les ti ajccloires correspondantcis sont dites 
les gpodi'siqiics con-fspondaiit an ds. 

La physique d'un Univers dépend donc de son <ls. C'est ce qui 
a lait dite que Ift physif/itc, se trouve ramenée à la qéoTiiélrie. 



IV. 



1(). Dans un Univers eu(;lidi<'n, on dil <pi il \\ \ a pas de clianij) 
permanent de i^iavitalion. Donc dans un L niv<;rs, où il y a un 
clianij) gravitationnel, les ,ç ne satisfont pas aux vint;! équation- 
dont nous avons parlé plus haut. D'autre part, s'il y a, pour nn 
Univers, des relations entre les g et leurs dérivées partielles le 
caractérisant, les idées d'invariance imposées j)ar le principe de 
r(>lati\ ité exigent que l'ensemble de ces relations ait une forme inva- 
riante quand on fait un changement quelconque de coordonnées. 
C'est le grand mérite d'Einstein d'avoir su trou\ei' un .système de 
relations entre les g^ moins limitatif que les vingt équations rela- 
tives à l'espace euclidien, et capables, suivant lui. de caractériser 
un espace gravitationnel. 

Nous ne pouvons songer ici à indiquer les di\ erses hypothèses 
et les laborieux calculs qui ont conduit à ces relations, se présen- 
tant en nombre d'abord égal à ri/.r, mais réductible à sir. Disons 
seulement qu'Einstein a pris pour point de départ l'hypothèse 
qu'une transformation convenable de coordonnées est équivalente, 
dans le voisinage d'un point, à une force de gravitation; c'est là 
l'idée directrice c[ui permet de ne plus parler de force et, en fait, 
dans cette géométrisation de la physique, l'attraction n'est plus 
une force, mais une propriété de l'espace. 

Les propriétés de la matière se rattachent à cette géométrie à 
quatre dimensions par des généralisations de l'équation classique 
de Poisson dans la théorie du potentiel newtonien. 

Je n'ai pas cru devoir dans l'exposition qui précède parler de 
courbure dans l'espace à quatre dimensions, il n'y a là qu'un lan- 
gage plus ou moins commode, car nous n'avons pas l'intuition d'un 
tel espace. Peut-être même a-t-il conduit parfois à des assertions 
en opposition avec la pure doctrine de la relativité. Ainsi on peut 
lire chez certains auteurs que la présence de la matière produit 



MÉLANGES. u;- 

II ne c'oui'hurc de respaoe, laiitlis qu il est plus c'Oii'onne aux idcc.> 
(le siéofuetrisation de dire que l'existence de la matière est une 
eousécpicace de certaines déformations. Je n'ai rien dit non plus 
Ac la mass(\ notion qui ne joue pas de rôle direct dans les a[)pli- 
< allons faites ici à lasti-onomic ; ce qui la concerne doit, pour rire 
|ii('st'ulr dans toute son ampleur, (Hic rallachc aux rorimilcs coni- 
|)li(fiic('s Av la rclalivilé j^énérale. 

17. Les seuls contrôles expérimentaux auxquels a été soumise 
jusqu'ici en astronomie la théorie delà relativité se rapportent à un 
cliamp ponctuel de gravitation provenant d'un point qixe nous sup- 
poserons placé à l'origine. La recherche du ds coVrcspondant ren- 
lerme beaucoup d'indétermination. Le problème peut être précisé 
au moven de diverses hypothèses simplificatrices. Dans la forme 
la plus usitée, on appelle t la quatrième variable .zv,, et Xi, x^, x-i 
représentent les coordonnées polaires r, 0, 'b de l'espace habituel. 
On a alors 

( 8 ) ds-^ = 7 c2 (ifî '1 __ ,.2 (/(yî _ ,.•> sin2 d'^-, 

V ' 

( 

ou ^' = I ; m est une constante introduite dans le courant 

' /• 

du calcul. 

Le mouvement dun point libre dans l'espace (8) se détermine 
facilement. L'orbite est approximativement une ellipse, dont l'ori- 
gine est un foyer. Mais le grand axe de cette ellipse n'est pas fixe, 
comme dans le cas newtonien du problème des deux corps. Il 
tourne à chaque tour d'un angle sensiblement égal à 

(9) 



C2T2(I — eM 



rt, T, c désignant respectivement le grand axe, le temps de la révo- 
lution et rexcenlncilè ; de là se déduit la rotation séculaire. 

18. Une application de la formule donnant la rotation séculaire 
a eu un grand retentissement; c'est celle qui concerne le mouve- 
ment du périhélie de la planète Mercure. On sait que, dans la 
mécanique céleste classique, le mouvement de Mercure est approxi- 
mativement aussi un mouvement elliptique avec rotation du grand 
axe, mais cette rotation tient à l'action des autres planètes, parti- 



)(i8 IMII'MIKIIK l'AiniH. 

culitTeiiicnt de \enu.s. Oi' la lliOonc des pcrliiihaLioiis donne seu- 
lement jsour le périhélie une avance de 5.H:>/' par siècle, tandis que 
l'observation donne uiw avance de ^)~i'. Il y a donc nn résidu 
d'environ 4^', mais il me semble (pie ce nombre ne soit pas déter- 
miné avec une «grande précision. Malj^ré des lenlalives variées 
(changemeni de rex|)osant (lan> la loi 'de Newton, aj^latissement 
du Soleil, planète intramercurielle, lumière zodiacale, loi électro- 
dynamique, elc. ), on na pas réussi à e\pli(|uer diinc manière 
satisfaisante ce résidu (' ). 

Einstein s'est demandé ce que donnerait la théorie nouvelle 
appliquée à Mercure, en ce qui regarde l'action solaire, rien n'étant 
changé d'ailleurs dans l'aclion des planètes. Or il est remarquable 
que, en intioduisaiit dans la formule ( () ) les nombres relatifs à 
Mercure (-), on trouve 4'^' ^9 '■ c est la différence cherchée. On 
pourrait presque dire que ce résultat est trop satisfaisant, tant 
d'influences incomplètement analysées jusqu'ici devant s'exercer 
dans le voisinage du Soleil, si toutefois on considère le nombre 
de la" comme corres|)ondant réellement aux obser\ations. 

Pour les autres planètes, sauf jxiil-èlre Mars, la rotation du 
périhélie est très mal déterminée, à cause de la petitesse de 1 excen- 
tricité, car la quantité mesurée est le produit de la rotation |)ar 
l'excentricité; il n'y a donc pas lieu de leur appliquer la théorie 
précédente. Quant à Mars, il y a entre l'observation et la tliéorie 
classique un résidu de f , susceptible peut-être de s'expliquer par 
l'attraction des astéroïdes circulant entre Mars et Jupiter. Quoi 
qu'il en soit, si l'on applique la formule (9 ), on trouve pour la 



(M Tout récemment (Comptes rendus, 29 aoùl 1921), M. (jaston Bertrand a 
fait l'intéressante remarque quune infinité de lois d'allractioii. dépendant à la 
fois de la distance et de la vitesse, conduisaient à la formule (9), et rendaient 
compte par suite du résidu relatif à Mercure. Telle est en particulier la loi 

mm' [ 

ne différant de la loi de Newton que par le dernier facteur dépendant de la vi- 
tesse V. Cette loi et celles visées plus haut ont évidemment un caractère arti- 
ficiel, et ne se rattachent pas, comme il arrive pour lapplication fuite par Eins- 
tein, à une théorie générale conçue sans souci du cas particulier à expliquer. 

(-) L'unité de longueur étant le kilomètre et l'unité de temps le trois-cent- 
millième de seconde. 



MÉLANGES. îGg 

rolalion du i;riuul axe de Mars priidaul iiii sircle le nombre l'S^T); 
le rt'sidii non cxpliciué de /\" sérail donc tliminué <le cr noiidji-e. 

10. Un si-eond prohlrnie relalil" à l'espaee gravitationnel (8) 
appelle laltenlion. Quelle esL la Irajeeloire d'un rayon lumineux? 
il l'aut chercher, comme nous l'avons dit, les géodésiques de lon- 
gueur nulle. Le lavon lumineux esl approximativement hyperbo- 
lique. Si la distance du sommet de cette courl)e au centre de gra- 
vitation est U, on a pour l'angle a des asym[)totes 

I m 

et cet iingle esl sensiblemeni rang le de dé^'uition des rayons 
luniineux. Ceci trouve son application dans le cas d'un rayon 
lumineux venant d'une étoile et rasant le bord du Soleil. Il est 
naturel d'admettre tjue le sommet est à la surface du Soleil ; Pi étant 

alors le ravon solaire et m étant égal à \7z-—-y=-{a et T corres- 

pondent à la terre), la valeur de a est égale à 1,75. Le rayon 
lumineux est donc dévié de cet angle. 

Les étoiles ne pouvant être observées prés du Soleil, il faut 
chercher à profiter d'une éclipse totale de cet astre pour observer 
cette déviation. C'est ce qui a été fait avec succès dans l'expédition 
organisée par l'éminent astronome anglais M. Eddington pour 
observer l'éclipsé de Soleil du 29 mai 1919- L'accord avec la théorie 
semble s'être montré satisfaisant, mais il est à souhaiter qu'une 
éclipse prochaine confirme ces mesures délicates. On doit désirer 
aussi que l'action de la matière sur la lumière puisse être mise en 
évidence dans des conditions plus facilement observables. 

20. Une dernière application de la théorie de la relativité à 
l'astronomie concerne le déplacement vers le rouge des raies du 
spectre solaire par rapport à celles des sources terrestres, sous 
l'action du champ de gravitation |)rovenant du Soleil. Les consi- 
dérations faisant prévoir ce déplacement peuvent être [)résentées 
de la manière suivante : 

Plaçons-nous en un point donné ( /•, f), 'l. t) de l'L ni\ers corres- 
pondant à (8 ). D'après ce que nous avons dit (i^ Li ), on doit iden- 



570 PREMIÈIUi PAUTIE. 

tifier (3) avec le cair('^ 

do l'espace euclidien, où Idcsipicra le temps dans l'I nivers eucli- 
dien lani^enl. On ohtieni ainsi iininédialemenl 



dT =1 ,//. 



Considérons alors un atome vibrant placé au point considéré. 
Si (q et 1,) sont les d(>uv durées des vibrations correspondant res- 
pectivement à un point de (8) à la distance /•„ du Soleil et à l'Univers 
tancent, on aura 



T.= (,-i^)%„. 



Or on admet, ce (pii peut être contesté ( c'est à cette difficulté «pn- 
nous faisions allusions à la lin du paraj;ra[die 14), que T,, est fixe; 
ceci revient à supposer qu'il y a chute libre dans l'Univers tangent. 
Par suite, pour deux points situés à des dislances /'o et z^'^,, on a, 
entre les temps ((, et z'^, la relation 



'" = '■-71 '» 



Si le second point est sur la terre, on peut regarder /'^ comme 
infini, et en se bornant à la première puissance de /■„. on peut 
écrire pour un point sur le Soleil 



m \ , 



où /'o représente le rayon solaire. 

La durée de la vibration /y pour l'observateur sur le Soleil est 
donc plus grande que la durée t\^ pour l'observateur sur la terre. 
Il doit donc. y avoir une dé^dalion vers le rouge. En passant aux 
nombres, on a 



/,, = t... 1 ,0000021 . 



On attacliait une grande importance à la vérification expérimen- 
tale de ce résultat, sans doute parce qu'il paraît tenir à des pro- 



MELANGES. iy i 

lUMÔtôs iuLinics (1(^ la niallèrc. ^fais crlle vrrKioahon ('tait diUicMlc, 
car au déplacement prévu j^ar Einsleiu peut, s'ajoiilor un (léj)lac('- 
nicnl des raies pai- la pression, sur l'imporlance duquel on n'est 
pas li\<''. Toutefois, M. l*erot eroil avoir établi que pour rerlaincs 
raies du magnésium l'eftel de pression est néoligeahle, et rpie 
réeart entre les raies du spectre solaire et celles de l'arc sous (ailtie 
|)ression a la valeur prévue par la théorie d'Einstein. Dautre pari 
MM. Fabry et Buisson, en examinant d'anciennes mesures laites 
par eux à une époque où l'on n(; souj)çonnail pas rinlluence de la 
grasitation, ont constaté que leurs résultats étaient en concordance 
parfaite avec la théorie de la relativité. Pour les raies du fer qu'ils 
ont examinées, comme pour celles du magnésium étudiées par 
M. Pecdt, la pression de la couche renversante serait négligeable, 
et l'effet Einstein serait seul en cause. Mais il est sans doute pru- 
dent d'apportei- quelque réserve dans cette affirmation. 



^l. Telles sont les applications faites jusqu ici à l'astronomie 
des vues d'Einstein sur la gravitation. Elles se rapportent toutes 
les trois, on doit le remarquer, à des phénomènes se passant sur 
le Soleil ou à une distance-relativement faible de cet astre. Pour 
que la phvsique s'engage définitivement dans la voie ouverte |)arla 
théorie de la relativité, il faudra probablement que de nombreuses 
expériences, d'un caractère positif, aient été effectuées dans les 
laboratoires. Lne expérience se rattachant aux questions qui nous 
occupent, fut faite, il j a une dizaine d'années, par M. Sagnac. 
Elle présente quelque analogie avec celle de Michelson, et se passe 
dans un système auquel on .donne un mouvement de rotation, 
mais elle se rapporte aux éléments du premier ordre. Dans cette 
expérience, on observe un déplacement de franges d'interférence 
qui met en évidence la rotation. Il est d'ailleurs possible d'expli- 
quer la belle expérience de M. Sagaac au moyen de la théorie 
générale de la relativité, comme au moyen des théories classiques. 
' Terminons ])ar quelques remarques générales. Certains trouvent 
qu'il Y a dans l'établissement de la théorie de la relativité einstei- 
luenne des points obscurs et des hypothèses insuffisamment for- 



Vp. PU i: M 1 1: K !•: l'AirriE. 

iniilrcs, et cclii ;'St cxacl. M;ii> r<'llc cnlKiiic tniiclic yvw <:cii\ (iiii 
pciiscnl (|ii nue t IicWitm' ne doil jtas ;i\(>ir lit jii('lciil khi de (loiiiicr 
(les iijj|)ai('u<;cs une cxplical imi conlonne à la léalilr, cL que .seuls 
ini|)orlenl. les formules linalcs el leur accord aussi exact que possible 
avec un ensemble de lois expérimentales, le but essentiel étant de 
sauve}- les plicnoinèncs, ':ù)".v.v -.y. Ç3;'.vi;;.;vz. siiivanl une expression 
qui remoulc à Plalon. cl la j)ailic csscnlicllc dune; lliéoric étani 
suiloul le uioule analvli(|ue dans lequel elle enierme les cboscs. 
A ce poiui, de vue, on |)eul diii' (pic ce qui roiisliliic une tliéoi'ie 
de la relalivite, c'est le ds- (pu lui correspond. Celui-ci obtenu, on 
peut faire abstraction de la manière dont on j a été conduit. 

I) autres, attaclu-s aux idées Iradilionnelles, ne |)rcnnent pas faci- 
lemenl leur parti d'une sorte de i-upture avec le sens commun. 
Laveuir dira dans quelle mesure, si de nouveaux faits expérimen- 
taux leur apportent un appui, les idées nouvelles pourront s'incor- 
porer dans ce bon sens moyen di' rimnianité, où J)escartes mcllail 
le fondement de la certitude, et (pii était pour lui le trait d union 
entre notre pensée et le réel. Sans cet accord, il n'y a que scepti- 
cisme; c'est un ecueil rpu' n'ont pas toujours évité les théoriciens 
de la plivsifjuc. Emijj- I'icaiid. 



riN DU LA PREMIERE 1>ART1E ÎU TOME XI.V. 



TABLES ALPHA HÉTKll ES 



TOMI{ \L\, -r SI^KIE (LAF DK LA COLLhXÏION) : 1921 



PREMIÈRE PARTIE. 



1 TABLE DES OUVRAGES ANALYSÉS, PAR NOMS DES ADTEURS. 

I Lr iiiiiii (lu rcchu-tciii- ilf l'aiialvse est iiidiiinc' cm ihirK|Mr. i 

Page? . 
Adiié.mai; (Robert d'). — Résistance des niutériaux {Jean Villcy) .... ^17 

Appell (P.). — Traité de mécanique rationnelle. Tome IV : Fi§ures 

d'équilibre d'une masse liquide homogène en rotation sous l'attrac- 
tion newtonienne de ses particules [R. Tliiry) 2S1 

Berzolari (L.). — Geometria analitica. T. I, a» éd. {Joseph Pérès).. 12 

BoussiNESO (J. )• — Cours de physique mathématique de la Faculté 

des Sciences ( Marcel Brillouin ) 29S 

Blhl (A.). — Géométrie et analyse des intégrales doubles {Georges 

Giraud ) iî3 

Blrf.au des longitudes. — .\nnuairc pour l'an 192 1 (Ernest Lebon).. '>()\ 

CoTTOX (Emile). — Cours de mécanique j;énéi-ale. Introduction à 

l'étude de la mécanique industrielle {H. Vergne) -^'iT 

Drzewiecki (Stéphane). — Théorie générale de l'hélice ( //. Vilhit).. 121 

Giraud (Georges). — Leçons sur les fonctions automorphes {Pierre 

'BoLitroux) i^'j 

GouRSAT (E.). — Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées 

partielles du i" ordre ( G. Cerf) 3i3 

GLOB.A.-M1KHAILENK0 (B.). — Contribution à l'étude des mouvements 

d'une masse fluide en rotation (thèse) (P. Appell) 10 

Hatton (J. L. s.). — The theory of the Iniaginary in Geometry 

( E. Cahen ) "3 

Hilton (Harold). — Plane algebraic curves {Robert d'Adheniar). . . i85 

HuYGENS (Christiaan). — OEuvres, tome XIV {Pierre Boutroiix) 218 

Jeans (J. H.). — Problems of cosmogony and stellar dynamics {René 

Garnier ) / 2^9 

Leveugle ( R. ). — Précis de calcul géométrique (-4. Bulil ) 57 

Mittag-Lepeleu. — Institut Mathématique {La Rédaction) 89 

iVIoRDiîLL ( L. J. ).— Three lectures on Fcrmat's last theorem {E. Cahen). 284 



ri PREMIÈHK PAHTIE. 

OcAfJ.N'K (M. I)'). -- Principes usuels «le NomoKiapliic ( /'. Apjnll ). . . . 

Oi'PKiîMANM (A.). —Premiers cli'iiiciiis d'une Iht'iirie du (luadrilali-re 
complet ( Joseph Pérès ) 

lîiGNANO {M.). — Psjcliologic (lu raisoiincmcn L {Gino Lorid ) 

UoY (Louis). — Statique ^lapliiijuc et rûsistancc des matériaux 
( H. Ver g ne ) 

SiLBEiîSTKiN (L. ). — Klcmenls dalgèbrc veclorieilc et d'analyse vec- 
torielle {Adolphe Biihl ) 

Stieui;s (Thomas Jan)- — Œuvres .ouipléles, publiées par les soins 
de la Sociétiî malliématique d'Atiislerdam. Tome II (Émite Pieard). 

ViVANTi (Giulio). — Lezioni di aualisi infinitésimale. Parte prima 
( /. l-'érès ) 

— Lezioni di^ aualisi infinilesiuiale: fasciculo seconde { Joseph Pc-rcx) . 

WiTEHUAD (A. N.). — An enquiry concerning the princjples of nalural 
kuosvIei.lge ( Pierre Boiilrou.i ) 



60 
61 



3i5 

.V,-. 



•)0 

28 



2" TABLE DES AUTEURS D'ANALYSES. 



Adhk.mak (Hoberl d"). i85. 
Appell ( Paul ). 7, 10. 
BouTHOux (Pierre). 28, 186, 21S. 
Brillouin (Marcel). 298. 
BuHL (Adolphe). .17, 345. 
€ahen (E.). i3, 1^. 
Cerf (G.), 3i3. 
Garnier (René). 249. 
Giraud (Georges). i53. 



Lebox (Ernest). 2(|4. 

LoRiA (Gino). 61. 

l'ÉHÈS (Joseph). 12, 25, 60, 90. 

Picard (Emile). 5. 

Tmiry (R.). 281. 

Vergne (H.). 3i5, 347. 

ViLLAT (H.). 121. 

ViLLEY (Jean ). 217. 

La Rédaction. 89. 



3- TABLE DES MÉLANGES. PAR NOMS D AUTEURS. 



AuRic. — Sur un perfectionnement à apporter aux statistiques 

Bertrand de Fontviolant. — Sur le théorème de Menabrea 

Chazy (Jean). — Sur les courbes définies par les équations difleren- 
tielles de second ordre 

Delassus (Et.). — Sur le principe fondamental de la Mécanique ana- 
lytique 

Fatou ( P.). — Sur l'évanouissement dune branche de fonction uni- 
forme aux points d'une ligne singulière 

Flamant (Paul). — Sur les systèmes d'équations difTérentielles 
linéaires en nombre infini 

FoNTENÉ (G.). — Sur la dynamique de la relativité Sog, 

Frkchet (Maurice). — Remarques sur les probabilités continues 

Gambier (Bertrand). — Applicabilité des surfaces réelles. Étude spé- 
ciale de la correspondance entre point réel et point imaginaire. Sys- 
tèmes cycliques réels et systèmes triples orthogonaux correspon- 
dants 137, 1 56, 



i3ô 

3o5 



23l 

65 



81 
120 



189 



TABLE ANAIATI(,)U1-: DES MATIÈRES. iyS 

l'UKes. 
t'iODKAUX. ( L' L.). — Sur une siiif;icc aljjélii'iciue considérée par 

M. G. Iluinbert l 'l 

.Iankt (Maurice). — Sur la recberclie i;ént''rali' des fonctions primi- 
tives à n variables »38 

.l.\Ns (G. dk). — Sur une généralisalion du problème de Barlow 4' 

r.iKNARD ( ^[.). — Sur le théorème de Menabrea .20 

Mangkot (S.). — Sur des propriétés relatives \\ des torsions de courbes 

tracées sur les surfaces j5o • 

Ogura (K.). — Sur la lliéorie do riiii.er|)olatiou de Stirling et les 

zéros des fonctions entières Ji 

Picard {Emile). — Discours d'ouverture de la sixième Conférence 
générale des Poids et Mesures, prononcé le -.i- septembre 1921, au 
Ministère des Affaires étrangères, en présence de M. le Ministre du 

Commerce 34o 

— La théorie de la relativité et ses appiiialioiis à l'astronomie.... 355 

RiNDi (Scipione ). — Sur la valeur moyenne ^07 

Smiunoff (V.). — Sur les équations dillerealielles linéaires du second 

ordre et la théorie des fonctions automorplies 9-3, i-2fi 

Valirgn (Georges). — Sur les fonctions entières d'ordre fini 258 

Waard (C. de). — Une lettre inédite de Roberval du G janvier 1G37, 
contenant le premier énoncé de la cycloïde 206, 2:fo 

BCLI.IÎTIN BIBLIOGRAPHIOL'K 24 



FIN DES TABLES DE I.A PREMIERE PARTIE DU TOME XLV. 



64182 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER- VILLARS ET C". 

Ouui des Grands-Augiislins, Ô5. 



BULLETIN 



SClEl^CES MATHEMATIQUES. 

(SECONDE PARTIE.) 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



MM. EMILE PICARD, Président. 
P. APPELL. 
E. BOREL. 
J. H ADAM A H D. 
E. GOURSAT. 
M. BRILLOUIN. 
D. TOMBECK, Secrétaire. 



AVIS. 

Toutes les commiinicalions doivent être adressées à M. Emile Picard, Secré- 
taire perpétuel de l'Académie des Sciences, quai Conti, n" 25, Paris, VI'. 



6ii82-ii Pai-is. — Imprimerie Gauthier- Villahs et C", quai des Grands-Augustina, 6J. 



lUnLlOTMKOUE DE L'ÉC(3I.H DES 11 A U I ES ETUDES, 

l'UllLIKh; sous l,i:S AUSPICKS du MINISTÈIUÎ UIÎ i/iNSTUUCIMON l'UBLIQUE. 



BULLIÎTIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

UÈDIGI- PAU MM. É. PICAIID liT P. APPELL, 



VVEC I.A CUI.r.ABOIlATION DE 



MM. BRILLOUIN, E. CARTAN, J. UUACH, E. GOURSAT, C. GUICIIARD, J. HADAMAUD, 
G. KŒNMGS, G. LORIA, S. RINOr, H. VILLAT, V. VOLÏKKRA, ETC., 

ERN. LEBON, Secrétaire de la Rédaction. 

Sous la direction de la Commission des Hautes Études. 

l'DKI.ICAHOX l'0\Di;ii li.V 1870 l'AU M. (1. DAltBOllX, 

CONTINUÉE ItE 187I A 187J PAR MM. (i. DAIlBOl X ET J. HOUKL, 
DE 1876 A 1886 l'AR .M.M. G. DAUROUX, J. IIOUEL ET J. TANNEUV, 

DE 1886 A 1905 PAR MM. G. DARBOUX ET J. TANNERY, 

DE igoS A I9IO PAR MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNERV, 

ET DE 19 10 A 1917 PAR MU. G. DARBOUX ET É. PICARD. 



DEUXIEME SÉlilE. 
TOME XLV. - ANNÉE 1921 

(l,V' VOLUME Di; I.A COLLECTION.) 



SECONDE P.\IVHE. 




PAKIS, 

GAUTIIlliK-VILLAHS ET C'% ÉDITEUUS, 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l' ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
Quai des Gr.inds-Aiigiistins, 55. 

19^21 



(iULLKTIN 



SCIIÎNCIÎS MATHIÎMATIQUKS. 



S 



SECONDE PAiniE. 



REVUE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES 
ET PÉRIODIQUES. 



COMPTES RENDUS hebdomvdaires des séances de i/Académie 

DES Sciences, publiés par MM. les Secrétaires perpétuels. 

Tome 169, 2* semestre, 1919 (*). 



Kogbetliantz {E.). — Sur la sommation des séries ultrasphé- 
riques (54-57). 

La sommabilité (G, S) de la série 



■1 ~ 

1 = 0./ j^/g [sin^O' sin-(9 — -3')] 

en un point M de la sphère S, dépend de l'ordre y d'infinitude de F(6, ç) au 
point diamétralement opposé à M, mais seulement lorsque S < 2>.. L'auteur 
montre, d'une manière plus précise, que la série n'est pas sommable 
(G, )> < 5^ Y — 1) ; elle est sommable (G, 5<2X) pour 3>-)' — i; elle l'est 

aussi (G, o>>>) si y^'X + i. Pour a= ~i on obtient ainsi un résullat intéres- 
sant la série de Laplace de la fonction F (9, tp). 

(') Voir Bull, des Se. math., 2'- série, t. \LI\ , 2' [jartie, igjo, p. 89. 



fi SEG()Nr)K PAiniK. 

Boussinesf/ (J-)- -- Existence d'une lelalion approchée, signalée 
pai' M. Carvallo dans le quartz, entre les deux pouvoirs rolatoire 
(oi'dinaire) et dispersif des corps (109-1 i/j)- 

En se bornant aux icrines du second ordre, lauleur dtMiiontrc une relation 
trouvée expérimentalement par M. Carvallo : le pouvoir rolatoire est égal 

à Â"'(N- — const.), |)oiir les radiaiinns simples à pt-riode -7^ et d'indice de 
éfraclion N. 

Giroud (G.). — Sur la classification des substitutions de certains 
groupes auloniorphes à n variables, et sur les relations algé- 
briques qui existent entre (/i-\-\) fonctions quelconques cor- 
respondant à certains de ces groiqies {\?>i-i'n\). 

T^'aulctir considère les groupes aulomor|)lies à n variables, isomorphes aux 
groupes des substitutions semblables d'Iiermilieiis tels que 

ou bien avec deux carrés négatifs; il indique une classification des formes cano- 
niques relatives aux substitutions fondamentales et en déduit que, sous cer- 
taines conditions, (»-(-i) fonctions automorphes de ces groupes sont liées par 
une relation algébrique. 

N<irlund (A'.-E.). — Sur les polynômes d'Euler (166-168). 

Soient to,, (o„, ..., m„, 11 nombres quelconques, et posons 

oV„, F(j:) = F(^-h<.)) + V(x)\ 

?w. o.„F(a;) = ro,„ [Vw7.'... '■)„.., F(-ï)]- 

Il v a alors un seul polynôme, qui est de degré v, satisfaisant à l'équation 

V"), (o„ F(^) = x''\ 

on l'appellera polynôme d'Euler d'ordre n et de degré v. Ces polynômes satis- 
font à de remarquables relations de récurrence; leurs coefficients généralisent 
les nombres d'Euler. 

Plâtrier (Ch.). — Sur l'équilibre élastique d'un corps de révo- 
lution homogène isotrope soumis à des forces rayonnantes, soit 
proportionnelles, soit inversement proportionnelles au rayon 
(169-1-1). 

En supposant les forces extérieures dirigées suivant les rayons des parallèles 
elles tensions nulles sur la [surface extérieure du corps, l'auteur établit les 
conditions pour que les tensions T et N3 (notations classiques) soient identi- 



REVUE DES PUBLICATIONS. - 

tiufiiieiu milles : cela arrive, en parliciilicr, clans le cas où les forces sont pro- 
portionnelles ù rou .^ -; on retrouve en passant les résultats de M. Lecornu 
pour l'équilihre relatif il'un cylindre de révolution très plat. 

Ilumhert (G.). -— Sur la formation du domaine fondamental d'un 
groupe aulomorphe (200-21 1). 

L'auteur montre, par des exemples, que la méthode théorique du rayonne- 
ment, par laquelle on établit l'existence du domaine, peut être rendue assez 
maniable pour être utilisée pratiquement, que le groupe admette ou non un 
cercle principal. 

Denjoy (./.). — Sur l'intégration rlemannienne (219-221 ). 

En remplaçant, dans la définition de lîiemann, le maximum et le minimum 
d'une fonction par le maximum et le minimum d^épaisseur dans le même 
intervalle, on obtient une définition de l'intégrale aussi générale que celle de 
M. Lebesgue et conduisant à la même valeur. L'auteur indique encore deux 
autres extensions possibles de la méthode de Riemann, fondées sur la notion 
lie mesure, et dont l'une au moins s'applique à des fonctions non sommables . 

Nôrliind ( \ .-E.). — Sur les polynômes d'Euler (221-223). 

La définition, donnée par l'auteur dans sa Note précédente ( uoi'r plus haut), 
peut s'étendre au cas où Vordre est négatif; l'auteur indique de nouvelles pro- 
priétés de ces polynômes : en particulier, chacun d'eux est la solution ration- 
nelle d'une équation diderentielle à coefficients constants. 

Garnier i R.). — Sur les singularités irrégulières des équations 
différentielles linéaires (22.3-226). 

L'auteur a déjà montré qu'une singularité irrégulière peut être considérée 
comme limite de plusieurs autres, régulières, tendant à se confondre; mais il 
avait supposé distinctes les racines d'une certaine équation caractéristique; il 
montre ici que cette restriction est inutile. Toutefois, s'il en est ainsi, il y a 
des intégrales canoniques et des invariants du groupe de monodromic de l'équa- 
tion régulière qui disparaissent sans laisser de trace. 

Kogbellianlz {K.). — Sur l'intégrale de M. Angelesco (226-228). 

Généralisation d'une propriété relative à la continuité d'une intégrale consi- 
dérée par 'S\. Angelesco dans sa thèse. 

Hiimbert {G.). — Sur les représentations propres d'un entier par 
les formes positives d'Hermite, dans un corps quadratique ima- 
ginaire (oog-S 1 5). 

Lauteur rappelle ce que l'on doit entendre par représentations ordinaires et . 
étendues d'un entier m, d'un corps idéal \, par une forme positive d'Hermite, 



8 SECONDE PARTIE. 

et indique les relations entre les représentations appartenant à des idéaux équi- 
valents. Cela posé, la recherclie du nonnbre de représentations propres, appar- 
tenant à I, de m perdes formes d'Hermite d'un corps quadratique imaginaire, 
proprement primitives et de discriminant donné, se ramène à celle du nombre 
de solutions d'une certaine congruence ; ce dernier problème se résout lui-méim- 
en une élégante formule. 

Ajidoyer {11.). — Sur le développement d'une fonction lrè.s géné- 
rale du rayon vecteur et de l'anomalie excentrique dans le mou- 
vement elliptique (3jj-oi jj. 

L'auteur montre comment on ])eut déduire, d'une manière très simple, du 
théorème de Caucliy relatif au développement d'une fonction périodique quel- 
conque de l'anomalie excentrique suivant les sinus et cosinus des multiples de 
l'anomalie moyenne, la formule donnée par Tisserand pour développer une 
fonction du rayon vecteur suivant les cosinus des multiples de l'anomalie 
moyenne et les puissances de l'excentricité. 

l\oi;l)elliatilz {E.). — Sui- le.s séries iiltrasphériques (322-324 )• 

Étude de la série qui fait l'objet de la première Note du même auteur [voir 
plus haut), lorsque X — i £ o < a. Dans ce cas. la sommabilité (C, o) dépend 
de l'allure de la fonction F(0, ;). non plus en un point particulier, mais sur 
toute la sphère. 

(iariiier {H-}- — Champs vectoriels à directions asjmptoliques 
indéterminées (324-320). 

Solution par l'analyse du problème suivant : « Déterminer tous les champs 
tels que la dérivée du vecteur dans une direction perpendiculaire à ce vecteur 
est perpendiculaire à la direction de la dilTérenliation. » 

Jouguet {E .). — Sur un problème d'hydraulique généralisée. 
Ecoulement d'un mélange gazeux en combustion (326-328). 

Etude théorique de la variation qui se produit dans le débit, pour un mélange 
gazeux s'écoulant sans perte de charge par un ajutage, lorsqu'on enflamme le 
gaz à la sortie. 

Véronnet {A.). — Figures ellipso'idales d'équilibre d'un liquide en 
rotation, variation du grand axe (328-33 1). 

L'auteur discute les formules données par M. Appell {Annuaire du Bureau 
des Longitudes, 1919), en introduisant comme paramètre le grand axe. 

Humbert {G .). — -Sur les représentations d'un entier par les 
formes positives d'Hermite dans un corips quadratique imagi- 
naire (36o-365). 
L'auteur étend une formule de Dirichlet relative aux formes quadratiques 



UKVllh: DKS PUBLICATIONS. 9 

binaires positives en levanl certaines restrictions in.posées au di^cnniinan., en 
.Lliau.nt le résullal ainsi obtenu à la formule donnée .lans sa dernuie Note 
. V Xs haut), .1 aboutit à .ne forn.ule fonclan.entale, qu. comprend 
comme', as particulier celle qua donnée M. Fatou pour le corps quadra- 
tique /'. 

Aôr/>nu/ (A-.-/S'.).- Sur une équalion aux dinerences Hnies 
(3:.-/>7.>). . 

Soielit o(x) une fonction donnée, <-, un nombre positif. La recherche de la 
sofu ion "^néraieG(,r) de l'équation G (^ + «) + G (x) = . ? (:r) se ramené 
lledCe solution articul.ère; celle-ci sera évidemment représentée parla 
4!eU(- D-çCx + '.o), si cette série est convergente; l'auteur montre que, 
m^ème lorsqu'elle diverge, on peut en déduire la solution fondamentale en uti- 
lisant la théorie des séries divergentes de M. Borel. 

^^^,y ^/>.,. __ Sur la notion de moyenne dans le domaine fonc- 
tionnel (/>-.')-.)" ). 

Si l'on remplace la fon.tion ,r ( O . définie et continue entre o et ., par une 
fonction d'approximation penant des valeurs constantes .r., ..., o:,,, dans 

/ i\ / " ~ ' , À toute fonctionnelle de x(0 devient une 

intervalles ^o, - ), [ ^ ,i^, iji.tc 

f .tinn de r x„ dont on sait former la valeur moyenne; la limite de. 

:r:rsetr;a;-.;rfniUon, la n^oyenne de la fonctionnelle dans le doma.ne 
o i ré.S la fonctionnelle est uniformément continue a la surface (ou 
à ri ur) d'une sphère, elle y est presgue partout égale à sa moyenne; on 

en d"dut de euneuses propriétés de la courbure des surfaces des sur a es 
Lila et d'importantes conséquences dans la théorie des fonctionnelles ha.- 

moniques. 
Plaine,- (Ch.). - Sur les efforts intérieurs dans un corps homo- 
gène isotrope en équilibre élastique (37S-380). 

En écrivant les conditions d'intégrabilité des équations différentielles d'un tel 
corps on obtient des relations entre les efforts intérieurs et les coeJfi-„ ts de 
Lamé dont la forme conduit à des propriétés remarquables des efforts et des 
déformations. 
//,/m6^rf ((;.). -Sur la mesure de l'ensemble des classes posi- 
tives d-Hermite, de discriminant donné, dans un corps quadra- 
tique imaginaire (4o7-4i4)- 

L'expression de cette mesure se déduit, par un passage à la limite, de la for- 
n.u,tCdamenta.e donnée par l'auteur dans sa .ote P-edente ^^^^^^^^^^^ 
h-.ut)- celui-ci en indique quelques applications à des corps remaïquables et 
"trouve nsi des propositions de Liouvillc et de MM. Kle.n et Inncke. Les 
m .d s développées'dans les dernières Notes du -f ^ .^ P^^'^'f " , : 
lement fécondes pour l'étude des formes dHermite plus générales, en part.cu 



lo SKCONIMÎ PAU TIF.. 

lier, l'élude des rcprésenlalions par la forme x.r^-i-yy^-h zz„ conduit à une 
d rnonstralion anlhinclique du nombre de décomposilions d'un nombre impair 
en une somme de six carrés. 

Kogbetliaulz {E.). — Nouvelles observations sur les séries ultra- 
sphériques (423-42G). 

On peut considérer le développement ullras()hérique de f{x) comme cas 
particulier des fonctions de deux variables étudiées par l'auteur dans ses Notes 
précédentes (toj'r plus haut); on obtient ainsi divers résultais relatifs à la 
convergence des développements dans le cas des fonctions à variation bornée. 

Ilulubeil (G.). — Sur la mesure des classes d'Hennile, de discri- 
minant donné, dans un corps quadratique imaginaire, et sur 
certains volumes non euclidiens (448-454)- 

SoitCO le domaine fondamental du groupe modulaire du corps; en appliquant 
la formule de la mesure obtenue dans sa Note préccdenle {voir plus haut), 
l'auteur obtient, suivant les cas, le volume non euclidien de CD dans le demi- 
espace de Poincaré ou du domaine de Picard. 

Stuyvaert . — Elimination d'une inconnue entre trois équations 
algébriques (439-462). 

Soient F, G, G' trois polynômes de degrés respectifs in2.n2^n\ et trois poly- 
nômes auxiliaires P, O, Q' de degrés h, m -i- h — n, m -h h — «' ; on suppo- 
sera h^n' — i; considérons Tidenlité FP -1- GQ -t- G'Q' = o. qui se traduit par 
{m-hh-hi) équations entre les coefficients des polynômes auxiliaires, et soit 
M la matrice des coefficients de ces équations; l'auleur démontre que la con- 
dition nécessaire et suffisante pour que F, G, G' aient un plus grand commun 
diviseur de degré a est que JM soit de rang ni-h h -h 1 — a. 

Nôrlund (^N.-E.). — Sur la solution principale d'une certaine 
équation aux difterences finies (462-465). 

L'auteur indique plusieurs représentations par des séries de natures très 
diverses, pour la solution fondamentale de l'équation étudiée dans sa dernière 
Notp {voir plus haut). 

Goursat (E.). — Remarques sur un problème de géométine vec- 
torielle (493-493)- 

Le problème proposé par M. Guichard et résolu en partie par M. Axel Egnell 
et AL H. Garnier dans leurs dernières Notes {voir plus haut), se ramène, par 
une analyse très rapide et très simple, au suivant: Trouver tous les complexes 
de droites pour lesquels le cône du complexe relatif à un point quelconque 
de l'espace est un plan. Sous cette forme, la solution est immédiate : on 
obtient soit le complexe linéaire, soit le complexe des droites tangentes à. une 
surface développable. 



FIKVUE DES PUHLIGATIONS. ii 

Foch {.i .). — Au sujet de la période propre des conduites à carac- 
téristique unique munies d'une poche d'air (5o2-5o5). 

La poche d'air étant située à rextrémité aval, le calcul se fait en partant des 
équations d'Alliévi et en introduisant deux hypothèses : l'une au sujet de la 
relation entre le volume et la pression dans la poche, l'autre conduisant à repré- 
senter la pression par les piemicrs termes d'une série de Fourier. La formule 
obtenue se vérifie expérimentalement; on y voit, en particulier, que les petites 
oscillations sont sinusoïdales. 

Nôrlund (N.-E.). — Sur les polynômes de Bernoulli (5'2i-524)- 

L'extension donnée par l'auteur anx polynômes d'Euler dans ses Notes pré- 
cédentes {voir plus haut) fournit, en faisant (i) = i, une extension des poly- 
nômes de Bernoulli; on trouve ici les principales propriétés de ces polynômes 
généralisés : relations récurrentes, équations dilTérentieiles satisfaites, etc. 

Robinson {L.-B.'). — l^n système symrtrique de polynômes 

L'auteur donne une méthode nouvelle pour obtenir les conditions sous les- 
quelles un polynôme de degré au plus égal à 4 se décompose en deux facteurs 
dont l'un est linéaire; elle est susceptible d'applications importantes dans la 
réduction des systèmes différenliels aux formes canoniques. 

Chazy (J-)- — Sur les solutions du problème des trois corps où 
les trois corps forment un triangle isoscéle (526-529). 

Ce problème, qui intervient en particulier dans l'étude des chocs du problème 
des trois corps, est susceptible, en général, en dehors des solutions connues de 
Lagrange (triangle équilatéral) et d Euler (ligne droite), de trois autres solu- 
tions dans lesquelles le mouvement admet soit un axe de symétrie, soit un 
plan, soit un axe et un plan (mouvement plan). 

UolfiJ.). — Sur les suites de fonctions holomorphes (566-509). 

Soit une suite convergente de fonctions holomorphes dans un domaine D 
f^{z), ...,/„{■:), ...; l'auteur démontre que, pour que la fonction limite 
soit elle-même holomorphe, il faut et il suffit que la suite de fonctions 

, . , _ (r-z)f„ix)-i-(z - x]/Jy) + (X -y).fjz) 

converge quasi uniformément dans tout ensemble E borné et fermé que l'on 
peut former en associant des valeurs x, y, ^ de D qui évitent les triples 

{x = z,y7^z) et i^x::^z,y = z). 

On en déduit d'importantes conséquences, en particulier, pour la suite formée 
par les dérivées de la suite donnée. 



12 SIÎCONDK PAUTIK. 

Focli {A.). — Sur la j)éii()(lc (l(:;s coudullcs ]>oss(';dnnl une podu; 
d'air (iVic)-;')- i ). 

L'auleur Iraile le même problème que dans sa Noie précédente {voir plus 
haut), mais en supposant la poche placée en un point quelconque de la con- 
duite et non plus à l'exlrémilé aval. 

Norlund [N.-K .). — Sur une extension des polynômes de Ber- 
noulli (608-610). 

Après avoir indiqué quelques propriétés récurrentes et sommatoires de ces 
polynômes généralisés qu'il a définis dans ses récentes Notes {voir plus haut), 
l'auteur est conduit à généraliser la notion d'ordre du polynôme, lequel peut 
être non seulement négatif mais quelconque. 

Sloïltuv. — Sur la représentation analytique des fonctions de 
plusieurs variables complexes (0 10-6 12). 

On connaît la mélhode de .M. MiLlag-I.efder pour former une fonction uni- 
forme, connaissant ses points singuliers; lauleur montre ici comment on peut 
généraliser cette méthode aux fonctions de deux variables, lorsque les niulti- 
pliciUçs singulières données sont linéaires. 

Cerf (G.). — Sur les transformations des équations linéaires aux 
dérivées partielles à deux variables indépendantes (6i3-6i5). 

Soit une équation / = o; si l'on connaît une autre équation F = o ayant avec 
la précédente des intégrales communes, on peut en déduire une transformation 
de la première, qui sera plus ou moins simple suivant la nature de la solution 
du. système des deux équations; l'auteur en indique quelques exemples; on 
peut ainsi, dans certains cas, obtenir une 'suite de transformées analogue à la 
suite de Laplace relative aux équations linéaires du second ordre. 

Leblanc {M.). — Sur les rotations rapides (ôaj-ôSS). 

Pour éviter les trop vives réactions d'un rotor sur ses appuis, on est parfois 
conduit à laisser une certaine flexibilité à son axe, mais il faut alors que sa 
flèche demeure toujours très petite; l'auteur étudie analyliquement la variation 
de celte flèche suivant la vitesse du rotor et en déduit les précautions à prendre 
dans la pratique pour éviter les vitesses critiques. 

Boutroux {f*-)- — Sur une famille de fonctions multiformes, 
intégrales d'une équation différentielle du premier ordre 

(635-638). 

L'intégrale de l'équation zz' = "imz -\- 2x'^+ bx + c est multiforme; ses 
diverses branches correspondent aux diverses valeurs d'un paramètre C; lauleur 



KliVUlî DliS l'UBIJCATlONS. i3 

a montré ( l. IGS, ignj, p. ii5o et '■io-) que l'éluflc îles pernuilalinns de ces 
branches, autour ilu point x' = oc, s-e ramène à celle d'un groupe de sulislilu- 
lions 'I'(C); il étudie ici les coupures du plan de C qui rendent '^'(C) hoio- 
inorplie et diverses-propriétés de celte fonction correspondant à des contours 
particuliers décrits par C. 

Pélroi'itc/i (M.). — [ntégrales dcfiiiies doiil la partie décimale 
s'exprime à l'aide de nombres ])remiers (683-G85). 

L'auteur indique plusieurs exemples d'intégrales (simples et doubles ) dont la 

valeur numérique a même partie décimale que i — \ —, les n- rcprésenlant 

les nombtes premiers d'un certain intervalle. Il en résulie, en particulier, les 
conditions sous lesquelles ces intégrales seront égales à un uouiiire entier. 

Kolossoff [G.). — Sur le mouvement d'un solide dans un liquide 
indéfitii (GSo-ôS^). 

En supposant qu'il n'y a pas de forces accélératrices, le problème se ramène 
à l'intégration d'un système de six équations dilTérenlielles dont on connaît les 
trois intégrales algébriques de Fvirchhoft"; l'auteur en indique une quatrième, ce 
qui ramène le problème aux quadratures. Les cas d'intégrabililé connus jusqu'à 
présent ( Slekioir, Liapounoiï) se retrouvent naturellement comme cas parti- 
culiers. 

Cliâtelet {A.). — Sur les nombres hypercomplexes à multiplica- 
tion associative et commutative (-08-- 1 1 ). 

Divers auteurs ont rencontré récemment, dans leurs travaux, les systèmes de 
nombres X = .r, e^-\-. . .-\- x„ e„, où les e, sont des symboles vérifiant une loi de 
multiplication e e = ^Liii '' e,; l'auteur en entreprend une élude générale en 
supposant que les x sont, non plus des nombres ordinaires, mais des éléments 
d'un corps quelconque. 

Bell (E.-T.). — Sur les représentations propres par quelques 
formes quadratiques de Liouville ( "-i 1-^12). 

L'auteur donne une formule générale reliant le nombre total de représenta- 
tions et celui des représentations propres, pour des formes quadratiques à 4 
et 'i indéterminées; elle permet de retrouver les nombreuses formules de Liou- 
ville relatives à ces questions. 

Bouligand [G.). — Sur les fonctions bornées et harmoniques 
dans un domaine infini, nulles sur sa frontière ('y63-'y66). 

Soit D un do/naine infini, d'un seul tenant, dont tes diverses parties n'em- 
piètent pas les unes sur les autres, et appelons » sa frontière; soit \ {x, y, z) 



ij SIÎCONDIi PAiniE. 

une fonction harmonique et bornée dans D ; l'auteur démontre, moyennant une 
iiypotiièse restrictive faite sur le domaine, que, si V^ est nulle sur 9, elle l'est 
en tout point de U. 

<S(oïloiv (S. ). — Sur une classification des ensenijjles de mesure 
nulle (7()(i-7()8). 

La méthode proposée pour comparer et classer ces ensembles repose sur la 
correspondance qu'il est facile d'établir cnire les points d'un segment d'axe et 
ceux d'un carré, d'un cube, etc. 

Kogbetluuilz i^Ë.).—^ Sur l'unieiLé des développements ultra- 
sphériques ( 763-7 7<^0- 

Soit S une série ullrasplicrique qui converge dans l'intervalle ( — i, -4- i) avec 
une somme égale à /{x). sauf peut-être aux frontières et en un ensemble 
réductible de points intérieurs; l'auteur démontre que, moyennant .certaines 
hypothèses sur f{x), la série S est alors le développement ultrasphérique 
de/(x); en particulier, s'\ f{x) ^ o, les coeflicienls de S soflt nécessairement 
tous nuls. 

Norhind (N.-L\). — Sur le calcul aux différences finies 

(770-773). 

Soit l'équation F(.r + w) — F{x) ~ u) ■■i(x-). y(.z) étant connue; certaines 
solutions, dites principales, jouent un rôle fondamental dans la recherche 
de '''(j:") ; cette solution sera 



/ '.piz ) dz — 0) y o(x ^ noi 



si l'intégrale et la série convergent séparément; mais, même si elles divergent, 
il est remarquable qu'une même méthode de sommation appliquée à l'intégrale 
et^ la série donne, pour la dilFérence ci-dessus, une expression qui tend vers une 
limite dans des cas très étendus; cette limite est indépendante de la méthode 
de sommation choisie et définit la solution principale. 

Carie/non (T.). — Sur les équations intégrales ( 77^-770 ). 

L'auteur montre que le théorème fondamental de M. Fredholui est une con- 
séquence directe d'un théorème de M. Hadamard relatif aux séries qui repré- 
sentent une fonction méromorphe. 

Hamy {M-}- — Sur un cas de diffraction des images des astres 
circulaires (821-825). 

Ln astre circulaire étant observé au foyer d'une lunette diaphragmée par une 
fente rectiligne de largeur a, l'auteur a calculé précédemment la valeur de 



HKVUE DES PUBLICATIONS. i5 

riiUcnsilc liiiiiiiieiise le long de l'axe de symétrie de l"iiiiaj;e parallèle à celui 
de la iV-nle, dans une direction quelconque, mais en supposant a très petit; il 
reprend ici la question dans toute sa généralité. 

Boinj)iani {l^-}- — Surfaces de translation et surfaces luinima 
dans les espaces courbes (84o-843). 

La notion de parallélisme dans les espaces courbes, donnée par M. Levi-Civila, 
permet à l'auteur de généraliser aux espaces courbes, à un nombre quelconque 
de dimensions, la définition et quelques propriétés des surfaces de translation, 
et par suite des surfaces minima. 

Bouligand {G.). — Sur les solutions de l'équation lu = /di, 
analytiques et bornées dans un domaine infini, nulles sur sa 
frontière (893-89 f). 

L'auteur généralise aux solutions de l'équation Au = Xm (X >■ g), le théorème 
qu'il a démontré pour les fonctions hcrmoniques dans sa dernière Note {voir 
plus haut). 

Ndrliffid {i\.-E.). — Sur le calcul aux différences finies 
(894-896V 

L'auteur étudie diverses représentations analytiques de la solution principale 
qu'il a donnée à la fin de sa dernièi'e Note {voir plus haut); il en indique, en 
particulier, une expression asymptotique et un développement en série trigo- 
nométrique. 

Dulac (H.). — Sur les cycles limites (89--899). 

Soit l'cqualion V {x, y) clx + <l{x, y) dy = o, cù P et Q sont des poly- 
nômes; toute courbe intégrale (C) s'appellera caractéristique en général, cjKc/e 
si elle est fermée. 

Dans ses célèbres travaux sur la forme de ces courbes, Poinoaré a laissé de 
cùté le cas où (C) passe par un col ou un point singulier mobile; l'auteur a 
étudié ces ca», ce qui l'a conduit à des résultats très importants : les cycles 
limites sont en nombre fini ; il existe des cycles séparateurs qui divisent le plan 
en un nombre fini de régions dans chacune desquelles il n'y a qu'un nombre 
fini de cycles, à moins que toutes les caractéristiques ne soient des cycles. 

Mayer [O.). — Sur les surfaces réglées du quatrième ordre 
à deux droites doubles (899-901). 

En choisissant convenablement le tétraèdre de référence, ces surfaces 
admettent une équation réduite très simple, d'où l'on déduit beaucoup de pro- 
priétés; l'auteur étudie spécialenaent celles de ces propriétés qui sont relatives 
aux quadiiques inscrites. 



i6 SËGONDIÎ l'Airnii. 

Ihinihcil {!*.). — Sur le calcul ii|)j)r()(;li('' àvs ch-iiiciils des jaco- 
hicus critiques (l'or(lr<; él<;vé (()o:i-()().) ). 

La résolution appiocliée de I oqualion dont dépend ce calcul est très pénible; 
l'auteur montre ([uil est plus commode de lui substituer une méthode de 
récurrence permettant de trouver les éléments d'ordre a quand on connaît ceux 
d'ordre (« — i). 

Kogbetlianlz {I^-}- — Sur luiuciLé des (h-veloppeiuenls ullra- 
sphériques (9.50-953 ). 

L'auteur étend ([uchiues-uns des résultats obtenus dans ses Notes précédentes 
{voir plus haut) au sujet des séries ultrasphériqucs convergcnles, en particu- 
lier celui qui est relatif à lunicité du dévebjppeinenl d'une fonction, aux séries 
divergentes nrais sommables (C, 0). 

Brouwer ( L.-E .-J.). — Sur la classilicalion des eiisend)les fermés 
situés sur une surface (95.*3-;)5 ^). 

La classification proposée s'appli{iue à toute surface d'ordre de connexion 
fini. 

BouUgand (G.). — Sur le problèij^e de Dirichlet pour uii domaine 
infini (io20-i023). 

Dans une Noie récente {voir plus haut), l'auteur a démontré que la solution 
est unique pour un domaine D satisfaisant à des conditions très générales; il 
démontre ici son existence, lorsque la frontière de U admet en chaque point 
à distance finie un plan tangent variant continûment; pour cela, il considère 1) 
comme limite de domaines finis; les fonctions de Green de ceux-ci tendent vers 
une fonction limite qui peut, par ses propriétés, être considérée comme la fonc- 
tion de Green du domaine D. 

Valiron {G-)- — Sur les ensembles réguliers de mesure nulle 

(1078-1081). 

L'auteur démontre que les points fondamentaux, qui interviennent dans la 
notion introduite par M. Borel d'un ensemble liixeaire régulier de mesure nulle, 
sont des points de condensation de l'ensemble; la démonstration met en évi- 
dence une relation entre la décroissance des intervalles correspondant à chaque 
point fondamental et la densité des points de l'ensemble; l'auteur en déduit 
une classification de ces ensembles qui se généralise aux ensembles à n dimen- 
sions. 

Mesnager. — Solution élémentaire de la plaque rectangulaire 
encastrée, portant une charge uniformément répartie ou con- 
centrée en son centre (io8i-io83). 
La méthode de l'auteur consiste essentiellement à décomposer le problème en 



RKVUE DES PUBLICATIONS. 17 

plusieurs auUes. chacun de ceux-ci fournissant un déplacennent élémentaire 
dont la somme constitue le déplacement vertical cherché; on obtient ainsi la 
solution sous forme d'une somme de trois séries trigonométriques dont la loi 
de formation des coefficients est connue. 

Plancherel {M.). — Sur la mélhode d'intégration de Ritz (i i52- 

ii55). 

La méthode de Uilz peut s'étendre aux équations aux dérivées partielles, 
linéaires, du type elliptiiiue. mais d'ordre quelconque et de forme assez géné- 
rale. Elle fournit un moyen pratique pour obtemr, dans un domaine, les solu- 
tions définies par des conditions aux frontières, La démonstration n'est ici 

. . • ... • . ... à'^u d'^u - /■ 11 . u • 

qu esquissée sur I équation particulière — :; H — 5—5 + Au = /; elle est basée sur 

la théorie des formes quadratiques à une infinité de variables. 

Diacli (J.). — Détermination des intégrales premières de l'équa- 
tion différentielle des lignes géodésiques, rationnelles par rap- 
port à la dérivée première de la fonction inconnue (1 i55-i i58). 

Dans une Note antérieure (t. 168,1919, p. 497), l'auteur a exposé une méthode 
pour déterminer les cas où l'équation y" — f(x, y) admet une intégrale pre- 
mière rationnelle en y'; il montre ici que sa méthode s'applique aussi à l'équa- 
tion des lignes géodésiques écrite en coordonnées symétriques 

^ X rju A <)v 

Carlson (F.). — Sur tine propriété des polynômes d'une variable 

(i 388- 1390). 

Soient t et ô arbitrairement petits; l'auteur démontre qu'il existe un. poly- 
nôme P{x) vérifiant les conditions 

P(o) = i, |P(e'=P)|<T pour — - -t-ol s^TT— 0. 

Il annonce, comme conséquence, que toute série de Taylor à coefficients 
entiers, et dont le rayon de convergence est l'unité, représente soit une fonction 
rationnelle de x, so'it une fonction admettant le cercle de convergence comme 
coupure. 

Mesnasey- — Mélhode de détermination des tensions existant 
dans un cylindre circulaire (1391-1393). 

Après une critique des formules employées actuellement, qui ne tiennent 
compte que des tensions parallèles à l'axe du cylindre, l'auteur obtient, par une 
analyse plus exacte, des formules faisant intervenir les autres tensions; il 
indique en terminant lo moyen de mesurer expérimentalement les quantités qui 
y figurent. 

. E. G.4U. 



Bull, des Se. math., 1" série, t. XLV. (Février 1921.) R.2 



i8 SECONDE PARTIE. 

ANNAF.liS SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. 
3» série, Tome XXXIII, 1916 (i)- 

Picard (Emile). — Sur les intégrales abéliennes de seconde 
espèce el sur leur périodicité (i-i5). 

M. Picard indique la manière très simple dont il a présenté, dans son Cours 
de ir)i5, la théorie des intégrales abéliennes de seconde espèce, et les probIèn)es 
relatifs à leur périodicité, sans recourir à la considération des surfaces de 
Riemann. Le Mémoire se termine par la remarque que, si l'on considère une 
courbe algébrique 

/(a:. >-, a) == o, 

dépeudanl rationnellement de a, et une intégrale de seconde espèce dépendant 
rationnellement de a, les 2/) périodes de celles-ci, considérées comme fonctions 
de a, satisfont à une équation dill'érentielle linéaire d'ordre 2/>, à coefficients 
rationnels. 

Brilloaiii (Léon). — Sur une méthode de calcul approché de 
certaines intégrales, dite méthode de col (17-69). 

Soit à étudier l'intégrale 



/ 



où ■s{x) est une fonction lentement variable dans le plan complexe, el déve- 
loppable, ainsi que w{x), en série de Taylor. La méthode de col consiste 
à intégrer sur des lignes où la partie imaginaire de w{x) est constante; quand 
ces lignes vont à l'infini, on s'arrange pour que la partie réelle de w{x) tende 
vers —oc. Le nom de la méthode vient dune analogie avec les cartes géogra- 
phiques, où les cols, c'est-à-dire les points où 

dw _ 
dx 

jouent un rôle très important. M. Brillouin applique îa méthode au calcul des 
intégrales 

/ e' » ' dx, I e' ( ' '- '■ • ) dx , / e' i»^+ " » '- ' •'' dx, 

prises entre des limites finies ou infinies, qui se présentent dans la théorie de 
la diffraction. Il obtient des développements dont les uns convergent, et les 
autres sont seulement asymptotiques, mais se prêtant bien aux calculs numé- 
riques. 

(') Voir null. des Se. math., 2' série, t. XLIV, igao, 2' Partie, p. bj . 



RRVUE DUS PUBLICATIONS. «9 

Délassas i Kl.). — Sur les mouvements holonomes dont les équa- 
tions admettent des formes multiples de Lagrange (^i-iaS). 

M. Delassus recherche les mouvenienls pmir lesquels il est possible de rem- 
placer la force vive 2T et le travail virtuel G par d'autres fonctions conduisant 
à un système de Lagrange équivalent; il écarte les fonctions qui conduisent 
à des équations de Lagrange équivalant chacune à une des équations du pre- 
mier système de Lagrange, car on est conduit ainsi à des transformations appli- 
cables à n'importe quel mouvement. Par contre, il admet des fonctions donnant 
des systèmes qui soient seulement des conséquences du système donné, sans 
entraîner celui-ci : ce cas se rencontre, car l'auteur ne suppose pas que 2T. soit 
une forme quadratique définie. L'auteur trouve, comme seuls mouvements 
à deux paramétres, ceux qui se ramènent aux équations du mouvement d'un 
point dans un plan. Il considère en outre des mouvements analogues à plus de 
deux paramètres, sans pouvoir affirmer qu'ils répondent seuls à la question. 

Plusieurs cas d'intégration par quadratures sont ainsi découverts; les uns 
sont déjà connus. les autres sont nouveaux, par exemple, les lois de force cen- 
trale 

\ Y 

- = - = F(a.r-4- 3t), 

X y ~ 

, - = - = F(a.r--f- 2^xr + -y-), 
X y 

où a, ?, y sont des constantes; ces dernières lois contiennent comme cas par- 
ticuliers des lois indiquées par Darboux et Halphen. 

Denjor {Arnaud). — Mémoire sur la totalisation des nombres 
dérivés non sommables (127-222). 

Ce Tome ne contient que le début de ce Mémoire, qui est lui-même la suite 
de deux aulrts {J. de Math, pures et appL, i<^\h; Bull.rle la Soc. math., l'^ib). 
L'auteur résout complètement le problème de déterminer une fonction primi- 
tive d'une fonction dont on sait qu'elle est une dérivée. Dans ce début de 
M.'moire, il introduit la notion, capitale pour son objet, de fonction résoluble, 
notion qui se rattache à celle de variation d'une fonction sur un ensemble 
parfait. Il démontre à ce sujet diverses propositions qui montrent l'importance 
des fonctions résolubles. 

Montel (P.). — Sur les familles normales de fonctions analy- 
tiques (223-302). 

Dans le premier Chapitre de ce Mémoire, qui en contient quatre, M. Montel 
rappelle les propriétés des familles normales, ce qui le conduit à redémontrer 
le théorème de M. Schoitky, en appliquant à une famille de fonctions la 
méthode de M. Borel pour démontrer le ihéorème de M. Picard sur les fonc- 
tions entières Dans le deuxième Chapi're, il étudie la disliibulion deî zéros 
de f(x)—a au voisinage d'une singularité essentielle isolée admettant une 
valeur exceptionnelle. U éien.l le résultat à des ensembles parfaits discontinus 
de points singuliers, et étudie les [propriétés des fonctions holomorphes qui ne 



9.f) SJiCONDIi rAHTIK. 

prennent pas deux valeurs données h l'inlcritMir d'un angl<'. Dans le ChapitreJU. 
l'étude des familles normales de polynômes le conduit en particulier aux résul- 
tats de M. Hadamard sur les fonctions enlicres de genre fini. Dans le dernier 
Chapitre, l'élude des familles normales de fonctions méromorphes le conduit à 
de curieuses propositions, par exemple qu'il n'existe pas trois fonctions entières 
X, V, Z telles que 

X"'-)- V"-4- Zc — u 

si la somme des inverses des entiers m, n, p est inférieure à un. 

Giraad (Georges). — Sur les groupes des transformations -sem- 
blables arithmétiques de certaines formes quadratiques quater- 
naires indéfinies, et sur les fonctions hyperabéliennes corres- 
pondantes (3o3-329). 

L'auteur démontre que trois fonctions hyperabéliennes, invariantes par un 
même groupe semblable au groupe des substitutions semblable* arithmétiques 
d'une forme quadrati(|ue quaternaire du type 

à coefficients entiers, sont liées par une relation algébrique. Cette démonstra- 
tion nécessite l'examen des points du polyèdre fondamental dont l'une des deuv 
coordonnées complexes est réelle; on trouve que la nature de ces points dépend 
de la possibilité de représenter zéro par la forme quadratique donnée, comme 
on le savait depuis M. Picard, et en outre du fait que cette forme, égalée à zéro, 
r^présenie une quadrique qui possède, ou non. des génératrices rectilignes 
rationnelles. 

Giiaud [Georges). — Sur les groupes des transformations sem- 
blables arithmétiques de certaines formes quadratiques quinaires 
indéfinies, et sur les fonctions de trois variables indépendantes 
invariantes par des groupes isomorphes aux précédents 
(33i-362). 

Après un paragraphe destiné à compléter son Mémoire du Tome précédent du 
même Recueil, l'auteur fait une étude analogue à celle du travail précédent 
pour les formes quadratiques quinaires du type 

"i "^ Mj-t- ii\ — ui — u\. 

Les fonctions de trois variables qui s'en dédui?ent sont liées quatre à quatre 
par des relations algébriques. 

Picard (Emile). — Sur certains groupes discontinus correspon- 
dant aux formes quadratiques ternaires (363-37 i). 
M. Picard considère le groupe des transformations subies par les variables 
u = X : z, \> z= y ; z, 



HKVUR DRS PUBLICATIONS. 21 

quand x, y, z subissent une substitution à coefficients entiers réels conservant 
la forme 

x"^ -\- y'' — z' . 

Il démontre que ce groupe est discontinu pour tout point non réel situé à dis- 
tance finie, et pour tout point réel tel que 

a' -^- i'' < I . 

Il correspond à ce groupe des fonctions automorphes se comportant comme des 
fonctions rationnelles en dehors de la surface 

( u^ i', — i/, Cj Y — (u\-+- vl ) = o, 
où l'on a posé 

a = «,+ iM,, V = v^-\- {fj. 

En outre, ces fonctions se comportent de la même façon pour les points lëels 
tels que 

Picard {Emile). — Sur la nature algébrico-logarithmique des 
intégrales de difTérentielles totales relatives aux surfaces algé- 
briques régulières (S^S-S^g '). 

M. Picard rdppelle brièvement la démonstration de l'existence du nombre p, 
nombre des « courbes algébriques irréductibles pariiculières Cp C,, ...,C », 
tracées sur la surface, « telles qu'il n'existe pas d'intégrales de din'érenlielle 
totale de troisième espèce, ayant seulement pour courbes logarithmiques la tota- 
lité ou une partie de ces courbes C, mais telles qu'il existe une intégrale ayant 
seulement pour courbes logarithmiques une ( p + i)'*"^ courbe algébrique irré- 
ductible quelconque F de la surface, et la totalité ou une partie des courbes C ». 
De l'analyse même qui l'a conduit à la notion du nombre p, il déduit le théo- 
rème de M. Severi que, pour UTie surface algébrique régulière, toute inté- 
grale de différentielle totale est une expression algébrico-logarithmique. 

Gronwall (F.-U. ). — Sur les zéros des fonctions P(^) et Q_{z) 
associées à la fonction gamma (oSi-SqS). 

L'auteur considère les fonctions 



P{z)= y ' '' -, Q{:.)= f x^-ie-r-dx, 

-^ m'.(z + m) Ji 



y (-1)" 



dont la somme est la fonction gamma. En prenant d'abord la somme des pre- 
miers termes de la série P { z) jusqu'à une valeur impaire de m, puis en passant 
à la limite, il redémonlre que P{z) a un zéro réel et un seul dans chacun des 
intervalles 

7 m — I,— am ), ( — 2 m >— 2m— 2) (m = 2,3, 4, .••), 



résultat déjà établi par M. Haskins; et, en outre, il prouve que P(-) a exac- 



9. SECONDE PAHTIH. 

tcment quatre zéros complexes, résultat ('nonce, avec une démonstration insuf- 
fisante, par Bourguet. En terminant, il donne pour rexislence d'une infinité de 
zéros de Q{z) deux démonstrations très courtes, surtout la seconde. 

Georges Gikaud. 



THE QUARTEREY JOURNAL 
OF PURE AND APPLIED MATHEMATICS. 

Vol. XLI (rgio) (•). 

Hardy (G. -II). — The maximum motlulus of an intégral func- 
tion [Le module maximum d'une fonction entière] (1-9)- 

So\t f{z) une fonction entière. On suppose que - décrive le cercle de 
centre O et de rayon /•, et l'on marque sur ce cercle le ouïes points où \f{z) \ 
a sa plus grande valeur. Puis on considère le lieu de ces points formé de courbes 
que l'on appelle courbes maximum. On appelle valeurs exceptionnelles 
de /■ àe première espèce les valeurs /„ pour lesquelles les courbes maximum 
sont analytiquenient différentes pour /• < r„ et /•>r,'i, mais passent par les 
mêmes points du cercle /• = /•„, On appelle valeurs exceptionnelles de r de 
seconde espèce, les valeurs /•„ pour lesquelles cette seconde condition n'est pas 
réalisée. M. Blumentlial avait donné des exemples de valeurs exceptionnelles 
de première espèce, iM. Hardy donne des exemples de valeurs exceptionnelles 
de seconde espèce. Il prend pour cela y(s ) = e— 2'— ^"2°— ^'''z qui, mt«yen- 
nant certaines conditions sur a et b. donne des valeurs exceptionnelles de 
seconde espèce en nombre fini. En prenant f {z) =^ e'<^^'-^^''"^\ il trouve des 
valeurs exceptionnelles en nombre infini. 

Watson [G.-N.). — A Note on the solution of the linear difTe- 
rence équation of the first order [Note sur la solution de léqua- 
tion aux diflférences finies, linéaire, du premier ordre] (10-20). 

L'objet de cette Note est de montrer la forme de la solution de Téquation aux 

différences finies 

z{x) f {X + 1) — -/iix) f {X) = o, 

— — ■ étant une fonction uniforme de x pour laquelle le point x = ^ est un 
point ordinaire ou un pôle. En posant 

'ùiîEl = x-v{x), 

'■S{X) 

A, A- 

V (x) - \ H 1 H ^ -f- • . . , 

XX- 



(') Voir Bull, des Se. math., 2" série, t. \LIII, 1919, 2^ Partie, p. 74. 



IVEVUK DKS PUBLICATIONS. -^3 

on a lii solution 

, , X, Fur) 00 >, 



l'{x) = [l'{x)r'e ° ^0 ^'-"'l^ 



K>{X -\- p) 

et aussi la solution , _, 

, , A, T'II— r) co — >.i 
.rIogAo+— rr V(x — p) \ 

K.(^) = [r(^)]-e '0 I .1-.., JJ ^£__^e>.o(.-r. 

/» = ! 

I/aulcur ilonue les expressions asymptotiques de F(^) et de l\{x), x étant 
grand et assujetti à certaines conditions. 

Basset (A.-B.). — Singular tangent planes lo autotomic surfaces 
[Plans tangents singuliers aux surfaces autotomiques] (21-49). 

Dans un iMémoire précédent, l'auteur a donné des formules pour évaluer les 
nombres de plans doublement tiingents des différentes espèces aux surfaces 
unautntomiques. 11 montre ici comment ces formules se modifient pour les sur- 
faces aulotomiiiues. 

Watson {G.-i\.). — On a certain dlfierence équation of the 
second order [Sur une certaine équation aux différences du 
second ordre] (5o-55). 

Il s'agit de l'équation 

L'auteur donne deux formes de la solution. Application aux développements 
en série entière de [J„(^)]\ [J„ (^ )]'J-„(-z^), J„ (^) [J_„(^)]'. [J_„(^)J'. 
in{x) étant une fonction de Bessel. 

Follett (C.-IV.). — The thêta functions as definite intégrais [Les 
fonctions thêta comme intégrales définies] (56-62). 

Application du calcul des l'ésidus de Caucby. En intégrant, par exemple, 

T. colg-^ <7=' e2 2''' dz 

le long d'un rectangle dont les côtés sont parallèles à Ox et Oy, et dont le 
centre est en 0, le côté parallèle à Ox étant infini, on obtient pour 63(3;) 
une expression trop compliquée pour être reproduite ici utilement. Formules 
analogues pour 0„, ©p Q^- 

Salmon (H .-//.). — On certain properties of the triangle [Sur 
certaines propriétés du triangle] (63-65). 

Soient un triangle ABC et un point O. Il existe un angle w tel qu'en faisant 
tourner OA, 08, OC autour de de l'angle w, les droites obtenues coupent 



24 SECONDE PARTIE. 

AC, BA, CB en trois points en ligne droite. Si l'on fait tourner OA, OB, OC de 
l'angle — w, les droites obtenues coupent AB, BC, CA en trois, points en ligne 
droite. Enfin, si l'on fait tourner OA, OB, OC d'un angle droit, les droites 
obtenues coupent BC, CA, AB en trois points en ligne droite. Diverses pro- 
priétés de la figure ainsi obtenue. Cas où est le centre du cercle inscrit, etc. 

Meadowcrofl (L.-V.). — On the proof of Lancret's iheorem and 
other theorems on Unes of curvature [Sur la démonstration du 
théorème de Lancrel et autres théorèmes sur les lignes de cour- 
bure] (66-69). 

Deux démonstrations nouvelles de ce théorème: le long d'une ligne de cour- 
bure, -la variation de l'angle formé par le plan osculateur et le plan tangent à 
la surface est égale à l'angle de deux plans osculaleurs infiniment voisins. 

Démonstration de quatre autres théorèmes sur les lignes de courbure, d'ail- 
leurs connus. 

IVatson (G.-N.). — The cubic transformation of the hjpergeo- 
melric function [La transformation cubique de la fonction 
hypergéométrique] (70-79). 

Démonstration de la formule 

1 

2i:(i-z')H-z)-'-< f y.'.l. -A I -"'^"''" F ('y - i, y + ^ i- z-^\ 



TAi-z'yie-'i--' ,, ,' _^ '. 2_ .,\ , ze 3 „/ I 3. 't 



dans laquelle 



|a'-g(-^)I<ô^. |arg(i--^)I<-, 



X — 



{Z I ) ( OJ (■/-) 



3 ' ' ^- / I -• ' (3 — w2) (W-I) 

\x\->i, R(j:)>J, |arg(-a;) I <-, | arg(i - a;) |< -, 

w, to' racines cubiques imaginaires de l'unité. 
Cas particuliers où 2 = o et ^ = 00. 

Yùun^ (IV.-II.). — A Note on monotone functions [Note sur les 
fonctions monotones] (80-86). 

Il s'agit de fonctions de deux variables. Une fonction bornée de deux 
variables qui est monotone (toujours croissante ou toujours décroissante) par 



RKVUIL DIÎS PUUMCATIONS. 2) 

rapport à cIku|uc variable séparément, a une intégrale double, de sorte que les 
points où elle est discontinue forment un ensemble de mesure nulle. Il en est 
de même d'une fonction monotone par rapport à l'une des variables et inté- 
grable par rapport à l'autre. Extension au cas de plus de deux variables. 

Une série de fonctions de deux variables a?, jK) continues par rapport à {x,j), 
monotones par rapport à x et y séparément, et dont la somme est une fonction 
continue par rapport à {a:, y), est uniformément convergente. 

Si tous les termes dune série à multiple entrée conver^nle sont positifs, si 
chacun des termes et la somme elle-même sont fonctions continues par rapport 
il un ensemble des variables, la convergence est uniforme. 

Young [Il .-IL ) aiul Chishotin }oiini^- (Grâce). — Disconli- 

nuous ftiiictlons cuiilinuoiis willi respect to everj straight liiie 

[Fonctions disconlliiues qui sont coiiliuues sur toute ligne 

droite] ( 87-93 ). 

Soit 

f{x, y) = — si jK ^ a:^, x ^ o, 

■)' 
f[x, y) = '— si oQy<,x^,x^o, 

f{^, — y) = /(-^, r). 

/(o, 0) = o. 

Cette fonction est discontinue à l'origine et cependant continue sur toute ligne 
droite passant par l'origine. 

En sommant une infinité de fonctions de ce genre, on arrive à des fonctions 
continues sur toute ligne droite et discontinues parnpportà l'ensemble des 
deux variables pour un ensemble de points plus que numérable et cela dans 
toute région, si petite soitelle à l'intérieur du carré unité. 

Gldisher (J.-JV.-L. ). — Formula' for the nuinber of partitions of 
a nuniber into the éléments i, 2, . . ., /i, up to /i = 9 [Formules 
])0ur le nombre des partitions d'un nombre en termes de la suite 
1 . 2 , .... /i , j usqu'à /« := 9 ] ( 94" I 1 1 ) . 

Dans des Mémoires" précédents ( Quarterly Journal, vol. 40), l'auteur avait 
donné de telles formules et indiqué qu'elles se simplifient par l'introduction de 

la variable x — j n(n -hi) au lieu de x ( j; = nombre à partager). L'objet du 

présent Mémoire est de donner ces formules simplifiées. 

Forsyth {A. -/{.). — ■ Plane curves in\ariantive under lioiiiogra- 
piiic transformations [Courbes planes invariantes par des trans- 
formations homographiques] (iiS-ia^). 

Les transformations en question sont de la forme 

_ aw -h b _ _ af,i\\,^^ b„ 

~ cw -i- d '" Cf,(\\-{- clf) 

Bull, des Sciences niathem., 2' série, t. XLV. (Mars iij->i.) H. 3 



26 SliCON Dli l'Ainili:. 

{:=:x-hij', <i'=-\-l-/V, a,b,c,d coeflicients (|uelconf|ucs, z„, i\\, a„, ... 
quantités conjuguées de z, (v, a, ...). 

La question n'est résolue que dans des cas particuliers, pour des quarliques 
bicirculaircs. 

IliUiJ.-M.) and \\ij)j)leiF.-J.-]\.). - A rcciprocal relation 
lielween gencralised hypergeomelric séries [Une relation réci- 
proque entre séries hypergéomélriques généralisées] (128-1 35). 

Soit 

/a, fl \ _ I «p 



II 



VY,o/ (y_,)(o_,) (y_,).;(S-l)0 

a(a-^0|î(?^i) 



Alors 



(T-')T(T-t-')(ô->)^:(' 

■/ — a ■' — 3 



Applications à la recherche de la valeur as^ mptolique de la série lorsqu'elle 
cesse d'être convergente, au calcul numérique de la série dans les cas où elle 
est peu convergente. Résultats analogues pour des séries du même genre dépen- 
dant de six paramètres au lieu de quatre. 

Barnes (E.-W.). — A transforniation of generalised liypergeo- 
nietric séries [Transformation de séi'ies hypergéomélriques 
généralisées] (i3G-i4o). 

Même sujet que le précédent. 

Escolt {E d\vard-B ri nd) . — Logarilhmic séries [.Séries logarith- 
miques] (i4i-i56). 



On a 



( \-\-d \ Vd i /d\' 1 



Si l'on prend pour \ un polynôme en x, ei pour d une constante de façon 
que \-h d et \ — d aient des facteurs communs, on obtient des formules utiles 
dans le calcul des logarithmes. 

L'auteur retrouve ainsi des formules connues et quelques-unes nouvelles. 

Escolt [Edward-Brind). — The calculation of logarilhms [Le 
calcul des logarithmes] (157-167). 



Les séries 



, \ + rf ^Vd li'dX^ "I 



REVUE DES PUBLICATIONS. 27 

et d'autres analogues donnent, quand on remplace X et cl parles entiers conve- 
nablement choisis, des relations entre les logarithmes des facteurs de X -1- rf 
et \ — rf. 

Mi/lcr {G. -A.). — Gciieralizalions ol" ihe icosahedral i^roiip 
[Généralisations du groupe de Ticosaùdre ] ( i(\%-\-\). 

Le groupe de l'icosaèdre est complètement défini par l'une des trois séries de 
relations 

S\ = S\ = {S,S^y-=l, S^ = s5 = (S,5,)^ = I, s; ^ 5'j = (5,S.,)^= I, 

entre deux de ses générateurs. On considère ici les relations plus générales 

s]=sl, (5,5,)^=: (s, s,)'; s\=s\. ( 5, S,)= = ( 5„5, )' ; 

s\=s\, (s,Sj)^= (S,5,)\ 

Il y a une infinité de groupes pouvant être engendrés par deux éléments 
satisfaisant à l'une quelconque de ces trois séries de relations. 

Les équations correspondant à ces groupes peuvent se ramener, au mojen de 
radicaux, à l'équation générale du cinquième degré. 

ioung (fV.-IJ.). — On bounded, not necessarily continuous 
solutions of intégral équations [Sur des solutions bornées, non 
nécessairement conlinues, d'équations intégrales (1-0-192). 

Généralisation de résultats classiques, les solutions étant astreintes seulement 
à être bornées. Conditions nécessaires et suffisantes pour que de telles solutions 
existent. 

Jackson (F. -H.). — • On q defînile intégrais [Sur les intégrales 
définies d'indice <y] (i93-2o3). 

La dilTérentiation d'indice q est l'opération 

<I> ( ^ J7 ) — <^(x) 



y^{x) 



qx — X 



qui se réduit à la différentialion ordinaire lorsque q = i. L'intégiation d'in- 
dice q est r(jpération inverse. 

Di.ron [A .-C .). — Note on tlie double six [Note sur le double six] 
(203-209). 

Forme symétrique pour les équations représentant les douze droites d'un 
double six (voir Quaterly Journal, vol. XL, p. 38i-384). 

Dixoii (A.-C). — The bitangents of a plane quartic [Les tan- 
gentes doubles à une quartique plane] (209-213). 

Les méthodes de Hesse et de Aronliold sont au fond les mêmes et conduisent 



9.S SKCONDE PARTIE. 

iliiecleiiiciil <i lii foiiii'^ (iDrinrc par Rioin:iiin pour les ('iiiial iuiis des tyiigcntcs 
doubles. 

J()U](l(iiii (P/uli/f-h\-/i.). — A llieoieni in ihe |^encr;il ihcorv ol 
ordered aggregates \\n tlHMjrèmc de la tli('orie générale des 
ensembles ordonnés] (:>-i 'j-r^if)). 

L'auteur montre comment on peut éviter l'usage rie l'axiome de multiplica- 
tion dans la démonslration de l'existence d'ensembles dérivés d'ordre transfini. 
Il élend ce ihéorème aux séries d'élémenis autres que des nombres. 

liiu-nsidc I [f .). -- On llio coefficients in gronps of lliicar sidjsli- 
Uilions of finile order | Sur les coelficicnts dans les gi-onpes de 
siibsliliilions linéaires d'ordre fini] (2i9-;>'>o). 

Etant donnée une représentation iiréduclible d'un groupe, le domaine algé- 
brique d'ordre minimum auquel on peut supposer qu'appartiennent les coeffi- 
cients des substitutions de ce groupe est-il déterminé? L'auteur montre, par un 
exemple, qu'il n'en est pas ainsi. 

Steintluil [A .-Eruesl). — Note to a papcr bj l'rof. For.svtli on 
plane ciirvos invarianlive under homogi\tpliic transformation 
I Note sur un mémoire du professeur Forsvlh relatif aux courbes 
planes invariantes par une transformation homographique | 

( 2 2 I - 3 2 2 ) . 

Le professeur Forsyth a donné la solution de la question (voir plus haut) 
pour des quartiques bicirculaires particulières. L'objet de la présente Note est 
de résoudre le problème pour les quartiques bicirculaires en général. 

Biirnside {IV.). — The most gênerai metabelian group of finite 
order virth two generators [Le groupe métabélien le plus général 
d'ordre fini avec deux géïK-raleurs] (223-226). 

Soit un tel groupe avec deux générateurs P, O, d'ordres p et g. Soit m 
Tordre de PQ P~- Q~', l'ordre du groupe est pqm'i'-^'' (■?-'). 

Hardy {G. -H.). — On certain definite intégrais considered bj 
Airv and bj Stokes [Sur certaines intégrales définies considé- 
rées par Airj et par Stokes] (226-240). 

Il s'agit des intégrales 

/ cos(j7^ — 7.x) dx, I sin(a:^ — olx) clx 



IIKVUIÎ DKS lUJItLlCATlONS. 9.9 

(H de (|iiol(|iics aulrcs reliées à colies-ci. L'aulcur les discule d'une nianicre 
syslématique el retrouve les résultats roiinus : éc|ualions dilTérenlielles aux- 
quelles satisfont ces intégrales considérées comme fonction de a, expressions au 
mo3en des fonctions de Hessel. 

\lrlinlsiiii ( fr .V — The asynipLotic expansions of Lei^endre fiinc- 
tions I Les développement s asyinploilqnes des fonetions de 
Legendre] [i/\\-i(S\). 

Des dé\el()[ipements as} inptotiquos des fonctions Pj"(;x) et (^>h' ([->■) ont déjà 
été donnés dans le cas où m n'est pas grand par rapport à n et à [x. Le cas où 
cette condition n'est pas remplie est cependant important aussi dans les appli- 
cations à l'analyse harmonique. C'est ce cas que l'auteur traite. Ayant princi- 
palement en vue ces applications, l'auteur ne se préoccupe pas toujours de la 
détermination des limites dans lesquelles ses formules sont valables. Les varia- 
bles sont supposées réelles. 

Glaisher [J.-M'^.-L.). — Bernouillian numbers and other coefH- 
cients expressed in ternis of numbers of the form A'"o" [Nom- 
bres de BernouUi el autres coefficients exprimés en fonction de 
nombres de la forme A"'o"J (2()5-3oi). 

Le titre de ce Mémoire indique suffisamment son objet. Les nombres aulres 
que les nombres de Bernoulli dont il est parlé sont les nombres d'Euler, coef- 
ficients du développement de -; — et les coefficients des développements de 



Bat email {U-)- — The linear différence équation of the third 
order and a generalisatioii of a continued fraction [L'équation 
aux différences linéaires du troisième ordre et une généralisation 
d'une fraction continue] (3o2-3o-). 

De même que l'équation aux diderences 

est en relation avec la fraction continue 

1 I I I 

' «-j -+- I ('■ +1 ' - 

de même l'équalion 

X„= a,.\„_i+6„X„_2-l-X„_3 

est en relation avec un algorithme qui, si l'on dispose ses éléments dans l'espace 
à trois dimensions, apparaît contme une généralisation des fractions continues, 
rielation de ces algorithmes avec l'équation du troisième degré. L'extension à un 
nombre quelconque de dimensions est immédiate. 



;<) SRCONDK PARTIR. 

Ilarareaves (/?."). — Tlic dynainical System of tlie splicrcs niovin};- 
in iiifinilc li(|ui(l | Le svslrmc dMianiuju»; de doux sphères 
mobiles dans un liquide tie dimensions iidinies] (^/)0<S-.j?.4)' 

Le niouvcmenl relatif d'une splu rc par rapport à laiitrc nest pas loujouis 
plan; il n'est pas, en général, indépendant du niouvenient du système. Condi- 
tions pour que ces circonstances se présentent. 

Jdiinliiiit [Pliilip-E .-li.). — Tlie dcvelopuienl oC llieoiies of" 
mallicmalical logic and llie j)iinciples of nialhemallcs | Le déve- 
loppement des théories sur la lo<;ique mathématique et les prin- 
cipes des mathématiques] (32'j-352). 

Histoire de ce développement depuis Leibnitz jusqu'à nos jours. 

Young {W.-H.). — On a form of ihe pai^allel axiom [Sur un(.' 
forme de Taxiome des parallèles] (353-3()3 ). 

L'énoncé ordinaire du poslulatum a cet inconvénient qu'il fait intervenir une 
propriété de deux droites (ne pas se renconlrer) qui ne peut se constater sur 
une figure de dimensions finies. L'auteur propose l'énoncé suivant : // existe 
au moins un triangle tel que la longueur de la droite joignant les milieux 
de deux côtés soit égale à la moitié du troisième côté. Il montre que l'énoncé 
e?t équivalent à l'énoncé ordinaire. 

Vacca (G.). — A new séries for tlie eulerian constant r = 0,577... 
[Une nouvelle série pour la constante d'Euler ': = 0,5" . . .\ 
(363-364). 

C'est la série 

.=Vi('_L L_^... i_v 

^dn^-2" 2"-f-i 2"+' — I.' 

n — l 

Glrfis/ier (J.-JV.-L.). — On Dr ^ acca's séries for v [Sur la série 
précédente] (365-368). 

Autre démonstration de la formule précédente. 

Basset (A.-B.). — On the descent of a sphère in a viscous liquid 
[Sur la descente d'une sphère dans un liquide visqueux] 
(369-381). 

L'auteur avait déjà obtenu l'équation du mouvement. Des perfectionnements 
avaient été obtenus par MM. Picci^li et Boggio. L'auteur résume tous ces 
résultats. 



iiiîviii': niîs iMJinjcATioNs. 3i 

Milicr i(î.-.t.). — On a mctiiod dur \o (înlois |Suiiiii(; iiiciliodc 
duo à Cal.iisl (:î,S2-384). 

Soient G lin tjroupe, H un sous-groupe. G peut èlre représenté de Tune des 
deux manières suivantes : 

G = 11 -+ 11 S,+ Il S3 + . . .-f- H S^, 
= 11-1- T.. S -H y. S 4- . . .-h 'l\ H. 

L'auteur montre qu'on peut s'iinanger de façon ([ue les S soient identiques 
aux T. 

E. CjAHEJV. 



COMPTES RENDUS HEBDOMAnAiRF.s des séances de l'Académie 
DES Sciences, publiés par M\\. les Secrétaires perpétuels. 

Tome 170, i*^'' semestre uj'2o. 

lliimbert (P-)- — Les calculs de G. -11. Darwin sur la sLabilité de 
la ligure piriforme (38-4o). 

Liapounov a trouvé que la figure piriforme d'équilibre d'un fluide en rotation 
est instable; Darwin, au contraire, en utilisant les travaux de Poincaré, a cru 
pouvoir conclure à la stabilité; mais l'auteur montre ici que cette conclusion 
n'est pas légitime : les calculs de Darwin sont exacts, mais il a considéré à tort 
certains termes comme négligeables. 

Véronnet (A.). — Formation d'un astre isolé dans une nélju- 
leuse homogène indélinie (4o-4?.V 

VjU supposant, en un point d'un milieu liomogéne indéfini, l'introduction 
d'une masse créant un centre d'attraction des molécules du milieu, l'auteur 
calcule la durée de formation de l'astre ainsi obtenu; il applique les résultats 
au système solaire. 

Pomey (L.). — Sur les nombres de Fermai ( loo-ioi). 

L'auteur énonce diverses conditions nécessaires et suffisantes pour que les 
entiers de la forme 2'"zhi soient premiers; il en indique aussi quelques appli- 
cations. 

Hadamard [J.). — La solution eleinenlaire des équations aux 
dérivées [)artielles linéaires hyperljoliques non aiialytirpies 

(i49-i54). 

L'auteur désigne sous ce nom la solution fondamentale de M. Picard; il a 



32 SECONDK PAiniR. 

(Ii'jà (loiiiic une rnélliode pour (ormuc celte solution dans le cas où les coefCi- 
cieiits sont ynal yii(]ues ; il indique ici coniirienl cette iriéthode peut s'adapter 
au cas des coefficients non analytiques, mais admettant des dérivées partielles 
jusqu'à un certain ordre.' 

Les relations qui existent entre le ras où le nomlire de variables indépen- 
dantes est pair et celui où il est impair, permettent d'olucnir directement les 
résultats de MM. llilbert et E.-E. Lévi. 

Boulroiix (P-)- — Sur une fimiillc de fondions niulliformes 
associées à une équation diHéienlielle fin |)renHer ordre 
(164-167). 

Dans des Notes antérieures (t. 1G8 et 169), l'auteur a montré que l'étude des 
fonctions qui satisfont dans tout leur domaine d'existence à Tcquation 

zz' ^=^2ni z -h 2x^-{- bx -h c, 

dépend d'un certain groupe discontinu de substitutions; celui-ci peut être 
engendré au moyen d'un nombre limité de branches de fonctions substitu- 
trices que l'on peut choisir de plusieurs manières. Il indique ici une solution 
simple de ce problème en prenant b = o, c = — 2; les branches en question se 
déduisent de deux d'entre elles par un automorpiiisme qui caractérise ces fonc- 
tions. 

Va/iron (G.). — Le lliéorèine de M. Picard et les généralisations 
de M. Borel (167-169). 

L'auteur donne une démonstration directe du célèbre théorème relatif aux 
valeurs que peut prendre une fonction uniforme f{z) dans le voisinage d'un 
point singulier essentiel isolé; elle s'applique aux fonctions de genre infini et 
fournit, au sujet des modules et des arguments des zéros de /( c) — A dans les 
diverses régions du plan, des renseignements plus complets que ceux qu'ont 
obtenus ALNL Monlel et Julia. 

Ocagne {M. cV). — Sur la distribution des cotirbiires autour d'un 
point d'une surface (16J-171). 

L'auteur démontre, comme conséquence d'une formule donnée par lui anté- 
rieurement, qu'en un point M d'une surface, la surface des axes de courbure 
des contours apparents coïncide, par rotation de 90° autour de la normale en M, 
avec l'inverse de la surface de Meusnier (lieu des centres de courbure en M), 
la puissance d'inversion étant égale au produit des rayons de courbure princi- 
paux en lAL 

Pesloilaii {L. de). — Sur une congruence entre les nombres de 
Bernoitlli ( 267-269 ). 

L'auteur indique diverses formules dont on peut tirer des applications; en 



Ur.VUE DKS PUBLICATIONS. 33 

particulier, on voit que le numérateur d'un nombre de Bernoulli est divisé par 
tout diviseur de son indice qui est premier avec son dénominateur. 

Rabat {C/i.). — Sur la réduction des transformations de contact 

(3i3-3i(i). 

Appelons orthique le produit de la transformation par polaires réciproques 
d'une transformation ponctuelle. En utilisant la connaissance des invariants 
diirérentiels du groupe ponctuel et du groupe des transformations de contact, 
l'auteur démontre que toute transformation de contact dans le plan est le 
produit d'une orthique par une ponctuelle. 

Birkeland (R.). — Une réduction des intégrales abéliennes 
(3i6-3i8). 

L'auteur démontre, par une analyse simple, une formule d'où il découle 
immédiatement que toute intégrale abélienne peut être ramenée à une somme 
de: 1° uue fonction rationnelle.de x et y, 2° un nombre fmi de logarithmes 
de fonctions rationnelles de j;; 3° des intégrales abéliennes des \ypes 



jx^Ux,y)da:, J^^^,dx, 



où [1 et V sont des nombres positifs, a une constante et 6 une fonction ration- 
nelle arbitrairement choisie, mais contenant y (par exemple 9 =y). 

Hambert (G.). — Sur les formes quadratiques positives d'Hermite 
dans un corps quadratique imaginaire (349-355). 

Cette Note a pour objet d'affranchir de certaines restrictions et d'étendre les 
résultats indiqués par l'auteur dans plusieurs Notes du Tome 169; en particu- 
lier, la formule qui donne la mesure de l'ensemble des classes positive» 
d'Hermite proprement primitives ou imprimitives, de discriminant donné, dans 
un corps donné. 

Hadamard (/.). — Sur certaines solutions d'une équation aux 
dérivées fonctionnelles (355-359). 

On peut déduire des différents problèmes qui se posent pour une équation 
aux dérivées partielles E autant de solutions d'une certaine équation fonction- 
nelle e (Hadamard, Mémoires des Savants étrangers, l. XXXllL); mais, en 
général, les solutions obtenues jusqu'ici supposent connue la loi de déformation 
d 1 contour C dont dépend l'inconnue de l'équation s. M. Black a réussi à s'af- 
franchir de cette restriction et à obtenir une vraie solution de e dans le cas 
où E est parabolique; en s'appuyant sur ses travaux antérieurs, l'auteur fournit^ 
la solution pour le cas d'une équation hyperboli<iue et sa méthode s'étend aux 
équations elliptiques a deux variables indépendantes. 

Bull, des Sciences mathém., 2' série, t. XLV. (Avril 1921.) R.4 



34 SECONDE PARTIE. 

Cerf (^G.). - - Remarques sur une gcnéralisalion fin prohlènic de 

Pfa(r( 374-376). 

Soit Wp= 2.\a,, a, (Xp dxa., Uxol-^- ■ ■ tf^a..,; le problème de Pfyll généralisé 

consiste à trouver dans l'espace à n dimensions toutes les multiplicités M, 

à t dimensions {p^t%n) telles que l'intégrale / oj , étendue à une multipli- 
cité quelconque d'ordre p située sur M,, soit nulle. L'auteur détermine le 
maximum x de t, qui est dans le cas général le plus grand nombre entier tel 
que n — T ^ Ct . 

Fontviolant {B. de). — Calcul des ponls circulaires, comportant 
un seul conlreventemenl et des entreloisements transversaux 
dans toute leur longueur (3-6-379). 

L'auteur établit les équations d'équilibre et en déduit la marciic à suivre j^our 
le calcul. 

Pompeiu (D.). — Sur une condition écjuivalente à la monogé- 
néité et sur la démoiislration du théorème fondamental de 
Cauchy (379-38 i). 

Si la fonction /{z) est monogène au point M, l'expression 

(z,- z,) f{z,) -i- (z,- z,)f (z,) + (z,- z,) / (z,) 

tend vers zéro lorsque les trois points z^. z.,. ^3 tendent vers M, ainsi que cela 
résiilte de l'interprétation géométrique de la condition de monogénéité; en 
décomposant le plan en triangles, par trois familles de droites parallèles, l'auteur 
en déduit une démonstration du théorème de Cauchy sur l'intégrale Atf{z) le 
long d'un contour ferme. 

Andoyer (//.)• — Sur la méthode de Gauss pour le calcul des 
perturbations séculaires (418-420). 

Le calcul numérique des inégalités séculaires du premier ordre se ramène 
à celui de deux fonctions elliptiques: l'auteur donne ici une expression de ces 
fonctions au moyen de deux séries très simples dont la convergence est très 
rapide; une Table facilite encore le calcul. 

Sakellariou {N.). — La courbure linéaire et aréale oblique d'une 
surface (446-448). 

Sous ces noms l'auteur donne deux formules générales qui contiennent 
comme cas particuliers un grand nombre de formules classiques : courbure 
tangentielle, normale, totale, torsion géodésique, etc., pour la première; cour- 
bure de Gauss, courbure géodésique totale de Rodrigues, etc., pour la 
deuxième. 



HRVUlî DKS PUBLICATIONS. 35 

Villat (ff.)- — Sur certains mouvements cycliques avec ou sans 

tourbillons ( /j iQ-i-^ ')• 

L'auteur étudie ces mouvements dans un domaine lluide annulaire, d'où l'on 
peut passer d'ailleurs par une transformation conforme à un autre domaine S 
ayant la connexion de l'anneau, et en utilisant une méthode de M. Caldonazzo. 
Il étudie en particulier le cas où S est limité par deux polygones réguliers con- 
centritiues, malgré la difficulté qui provient de ce qu'en chacun des angles du 
polygome intérieur, la ligne de courant quitte le contact avec la paroi plane 
pour la rejoindre plus loin. 

Ilumbei't (G.). — Sur le nombre des classes de formes quadra- 
tiques positives d'Hermite,' de discriminant donné, dans un 
corps quadratique imaginaire (48i-48(3). 

L'auteur traite d'al)ord la question pour l'anneau i ^/3, puis pour le corps ou 
l'anneau / /P. En utilisant des formules qu'il a données précédemment, notam- 
ment pour la mesure des classes d'Hermite de discriminant donné, il dén^ontre 
que dans le corps ou l'anneau t v P une forme d'Hermite positive, primitive ou 
non mais propre, de discriminant A, n'admet que deux automorphies quand A 
nest pas résidu quadratique de tous les facteurs premiers impairs de P. 

I\ôrlund (N.-E.). — Sur la convergence de certaines séries 

(5o--5o9). 

On sait que la série alternée !(— i)"/(/!) est convergente si la fonction 
positive f (x) tend vers zéro en décroissant; l'auteur démontre que l'on peut 

supprimer cette dernière condition si l'intégrale / j/t'"' (s) [ rfc est conver- 

gente {m, arbitraire). On peut même décider, par une voie analogue, de la 
convergence de certaines séries multiples. 

Rosejiblatt {A.). — - Sur un théorème de A. Liapounoff (5 io-5 1 1). 

LiapounolT a démontré que parmi tous les corps homogènes de même volume, 
dont les points s'attirent suivant la loi de Newton, la sphère a la plus petite 
énergie potentielle; l'auteur annonce une démonstration de ce théorème libérée 
des hypothèses admises dans la précédente. 

Huber (M. -T.). — Théorie rationnelle des hourdis en béton 
armé, considérés comme des plaques minces, d'une simple ani- 
sotropie orthogonale (5ii-5i3). 

L'auteur donne l'équation diflférentielle de l'équilibre et les formules des 
déplacements verticaux, qui se simplifient beaucoup dans le cas d'une charge 
concentrée. 



36 SECONDE PARTIE. 

Humberl (C). - • Sur une extension du groiipc; modulaire dans 
un corps quadratique iniaj^inaire (54 1-547)- 

Soit /{x, y) = axx„-h bx^y -4- b^xy;,-+- cyy„ \ ne forme d lleiinile, à coef- 
ficients cnliers, du corps i y P où P = i, 2 ou 3 (mod'j); soient I un idéal du 
corps; >>, ;x, v, p des entiers de 1; si, dans /, on remplace x el y respective- 

X u V p , ... 

ment par -x->r^y. -x-h-y, el x^y,^ par les expressions con)ugu.;es 

Y^x„ + ..., le résultat formel, après que l'on a écrit au dénominateur norme 

de I au lieu de Ho, est une forme d'Hermitc f à coefficients entiers; on a 
défini ainsi des substitutions symboliques appartenant à I, qui forment un 
groupe comprenant, comme cas particulier, le groupe modulaire, et dont l'au- 
teur étudie les propriétés. 



Guic/iard (C). — Sur une propriété caractéristique des con- 
gruences qui appartiennent à un complexe linéaire ( 552-554)- 

Soient C et D les foyers dun rayon; C,, C, les réseaux déduits de C par la 
méthode de Lapiace en allant de v vers u: D,, Dj les réseaux déduits de D en 
allant de u vers v. L'auteur démontre que le point D, est dans le plan CC, Cj, 
et le point C, dans le plan DD,Dj; cette propriété caractérise les complexes 
linéaires; il termine par une application relati^e aux réseaux de M. \Vi,linsky. 

Gambier {^■). — Surfaces de translation applicables Tune sur 
l'autre (56o-5(53). 

L'auteur cherche les couples de surfaces de translation S, S, applicables 
l'une sur l'autre de manière que les deux réseaux de translation C et r tracés 
sur S s'appliquent respectivement siu- les deux réseaux analogues de S,. Il 
démontre qu'il faut et suffit pour cela que les indicatrices des courbures de C 
et r soient des coniques sphériques hpmofocales distinctes; en dehors des cas 
banaux, cela correspond à quatre groupes de solutions parmi lesquels deux 
donnent une d'formation continue de la surface S. 



Fréchet {M. ). — Sur la famille complète dérivée de la famille des 
ensembles « bien définis » (563-5(34)- 

A propos d'un Mémoire de M. Sierpinski, l'auteur rappelle qu'il avait déjà, 
et pour des ensembles plus généraux, attiré l'attention sur certaines propriétés 
des ensembles mesurables qui différent suivant que l'on entend la mesure au 
sens de M. Borel ou au sens de M. Lebesgue. Il montre en terminant la rela- 
tion précise qui existe entre la famille des ensembles (B) et celle des ensem- 
bles (L) précédents. 



RKVUE DES PUBLICATIONS. 3; 

Hnrnhert ( P.). — Sur les fonctions de l'hypercylindre parabo- 
lique (5G4-56(3). 

Si, dans l'équation de Laplace à quatre variables, on pose 

a:=uvco%'^, y = m'sin:p, -i z = u"^ — v'' ., t = l, 

les surfaces m =: C et v = C sont des liypcrcylindres parabolitiucs ; on obtient 
alors une équation admettant une certaine solution qui est un cas limite d'une 
fonction liypergéométrique à deux variables; c'est là une extension naturelle 
des propriétés de la fonction dite « du cylindre parabolique », que l'on obtient 
d'ailleurs par une voie analogue en partant de l'équation de Laplace à trois 
variables. 

Rénaux. — Sur un problème d'itération (56--5(3g). 

Soit une fonction ç ( a ) = m [i -t- i]/( u) ], '^(m) étant déveioppable en série 
de puissances positives de - pour | « | > H, et considérons l'équation 

[?(U)-?(")] : (U-«)=o; 

u étant donné, elle lui fait correspondre un nombre fini ou infini de racines 
en U qui sont F, (a), ¥^{u), ... et constituent des substitutions de u. L'auteur 
étudie le problème suivant : soit un point u, on prend son symétrique u' par 
rapport à l'axe Ox et l'on applique à u' les substitutions F; on recommence 
l'opération pour les nouveaux points et ainsi de suite; éiudier la répartition 
des points après un nombre fini ou infini d'opérations. Il étudie particulière- 
ment le cas où »;«) est une fonction rationnelle. Ce problème est intimement 
lié à l'étude des singularités des fonctions fondamentales qui proviennent 
d'équations intégrales à noyau imaginaire. 

Kampé de Fériet (•/•). — Sur une application des dérivées géné- 
ralisées à la formation et à l'intégration de certaines équations 
différentielles linéaires (oÔg-o-a). 

En désignant par D'''/(j:) (X réel quelconque) la dérivée généralisée 
d'ordre 'k àc f{x), l'auleur montre que si u{x) est solution d'une équation 
dillërentielle linéaire, homogène, d'ordre /j, dont les coefficients sont des pply- 
nomes, sa dérivée d'ordre ( — X — n) {n convenabLment choisi) vérifiera une 
autre équation de même nature, d'ordre n -\- p. On peut ainsi obtenir, en par- 
tant d'une équation du premier ordre, l'équation hyp'^rgéomélrique de Gauss 
dont on obtient ainsi une soliiiion sous une forme nouvelle. 

Peslouan {L. de). — Sur l'extension de la règle de l'Hôpital à 
certaines quantités arithmétiques (.5^2-5^5). 

Etude des nombres C^ qui expriment des combinaisons généralisées et de 
certaines congruences auxquelles conduisent leurs difTérences. 



38 SECONDE PARTIE. 

Cliazy (J-)- — Sur les shif^nlarilés impossibles du prohlème des 
n corps (5'^D-578). 

L'un des premiers piol)lèmes à résoudre est de savoir si, Ji l'approclic d'un 
instant quelconque T, les distances mutuelles /\ ^ des n corps tendent vers des 
limites ou si certaines d'entre elles peuvent cHrc indéterminées; l'auteur montre 
qu'une telle particularité n'est pas une liypotJièse a'hitraire, mais cela ne peut 
se produire que si £m,mj /•; ^. tend vers ■+- <x> quand t tend vers T. 

Hiimherl {G.). — Sur les groupes de M. Bianchi ((325-63o). 

L'auteur montre que les groupes qu'il a étudiés dans sa dernière Note [voir 
plus haut) comprennent comme cas particulier les groupes étendus qu'a fait 
connaître M. Biaiiclii {Math. Annalen, t. 'il, 189.3 ). Il indique en outre quel- 
ques applications arithmétiques. 

Gambie/- (^•). — Sur les surfaces applicables ((34.0-647)- 

L'auteur obtient tous les couples de surfaces de révolution applicables l'une 
sur l'autre de telle sorte qu'un point réel de l'une ait pour homologue un point 
imaginaire de l'autre; il en indique aussi qucl(|ues exemples pour des surfaces 
non de révolution et termine par quelques remarques au sujet des surfaces 
applicables sur elles-mêmes soit complètement, soit partiellement. 

Rabut [Cil.). — Sur le groupe des transformations planes dans 
lesquelles toute ligne droite reste droite (648-65o). 

L'auteur forme les équations explicites de ces transformations et montre 
qu'elles résultent d'une transformation ponctuelle précédée "et suivie d'une 
même polarité réciproque; on peut, en partant de là, former les invariants 
différentiels du groupe et étudier ses propriétés. 

Cliâtelet {A.). — Sur les corps abéliens de degré premier 

(65i-653). 

L'auteur indique quelques propriétés de ces corps, touchant à leur constitu- 
tion et à leur nombre suivant la valeur du discriminant; il démontre en parti- 
culier que si le nombre premier q est décomposable daus un corps abélien de 
degré premier, de discriminant D"-', tout nombre premier congru à q [moàV)) 
est décomposable; cela conduit à une intéressante propriété des valeurs numé- 
riques que prend le premier membre f{x) d'une équation abélienne pour x 
entier. 

Villat {H.). — Sur le mouvement variable d'un fluide indéfini 
avec sillage, en présence d'un corps solide (653-(355). 

M. Bénard a montré que le sillage n'est pas pernianent et qu'il se produit 



U;iVUIi DIÎS l'UULICATlONS. Sg 

sur ses bords un délacliemenl périodique et alternatif de tourbillons; l'auteur 
montre ici que l'introduction de res tourbillons dans le calcul permet justement 
de résoudre le problème et d'obtenir une solution qui c^i'iiend du temps; la dis- 
cussion conduit à des configurations qui se rapprochent beaucoup de celles 
qu'a notées M. Bénard. 

TIliry (/?•). — Sur un problème d'hydrodynamique admettanl 
une infinité de solutions (656-658 j. 

M. Villat a déjà mis en évidence une solution différente de celle de M. Levi- 
Cività, répondant au problème plan d'un courant, uniforme à l'infini, rencon- 
trant un obstacle constitué par deux lames planes formant un angle concave 
vers le. courant; la solution de M. ^'illat supposait une certaine relation F = o 
entre les constantes du problème ; l'auteur montre qu'elle reste valable sous la 
condition F^o et qu'il y subsiste un paramètre arbitraire; il y a donc uneinfi- 
nité de solutions reliant les deux précédentes que l'on retrouve comme cas 
limites. 

Norlund {l\.-E.). — Sur un théorème de Cauchy (712-7 18). 

Soient 0);, ..., u„ des nombres positifs; l'auteur généralise un théorème de 
Cauchy en démontrant que la série à n entrées S/(a; + SiW[ + . . .-H s„oj„ ), 
où S est étendue à toutes les valeurs entières non négatives des s, est unifor- 
mément convergente pour x^a si \im x"^^ /'■"'^ (x) — {t > a) et si l'inté- 

grale / dt„... l /(« H- f, -t-. ..+ /„) rf^, est convergente. 

Il en déduit une généralisation d'un théorème de M. Borel en démontrant que, 
sous certaines hypothèses, les séries S/(/i) et S/['y „)]'!('„) sont en même 
temps convergentes ou divergentes. 

Julia (G.)'. — Sur les familles de fonctions de plusieurs variables 

(79'-793)- 

L'auteur étend aux fonctions de plusieurs variables la notion connue de 
famille normale dans un volume; les critériums sont d'ailleurs les mêmes que 
pour le cas d'une variable. Cela étant, soit une famille de fonctions holo- 
morphes dans V ; l'ensemble E des points de V où la famille cesse d'être normale 
jouit de propriétés remai-quables, analogues à celles des singularités des fonc- 
tions analytiques de plusieurs variables et qui se résument en un théorème 
dont l'essentiel est que les points de E ne sont pas isolés. 

Mineur {H.). — Sur les solutions discontinues d'une classe 
d'équations fonctionnelles (793-796). 

L'auteur étudie certaines solutions y —f{x} des équations fonctionnelles de 
la forme /[9{x,y)] = '|'[/(^), /(r) ], où s et <\i sont données, qui consti- 



4o SECONDE PARTIE. 

tuent un ensemble ayant la puissance du continu. Cette étude fournil en par- 
ticulier la propriété suivante : tout groupe comrnulatif à ur paramètre ayant 
la puissance Hu continu est semblable au groupe des '.ranslalion':, moyennant 
certaines hypothèses d'uniformité. 

Fonti'iolant (/?. de). — Calcul des ponts circulaires, à travées 
continues, comportant un seul conlreventement et des entreloi- 
sements transversaux dans toute leur louj^ueur (^796-^98). 

L'auteur établit, pour le cas des travées continties, le calcul déjà fait dans sa 
Note précédente {voir plus haut) pour le cas des travées indépendantes. 

Rémoundos {G.). — Sur les fonctions croissantes et les fonctions 
entières (829-8.32). 

En utilisant les inégalités fournies par un tiiéoréme fondamental de M. Borel 
sur les fonctions croissantes, l'auteur obtient une série de propositions qui 
précisent et étendent certaines propriétés des fonctions entières, de genre fini 
ou infini, et en particulier le théorème de M. Hadamard sur le nombre des 
zéros intérieurs à un cercle. 

Humbert (P.)- — Sur une nouvelle application de la fonc- 

tionWA,a,v(^,j) (832-834). 

Cette fonction a été définie par l'auteur dans sa dernière Note {voir plus 
haut) : elle est un cas limite de la fonction hypergcométrique F^ de M. Appell ; 
il montre ici comment elle peut servir à former des solutions de l'équaiion de 
Lapldce à quatre variables. 

Bromver [L.-E .-Z.). — Enuméralion des classes de transforma- 
tions du plan projectif (834-835). 

Une transformation est de première ou de deuxième espèce suivant que, 
appliquée à une courbe simple fermée et unilatérale, elle donne naissance à 
une image uni ou bilatérale; l'auteur divise ces transformations en classes et 
montre que ces classes sont caractérisées par leur degré ou par leur parité 
suivant qu'il s'agit de transformations de première ou de deuxième espèce. 

[A suivre.) 



KKVUK DES PUBLICATIONS. /|i 

COMPTES RENDUS hebdomabaires des séances de L'AcAnÉMiE 
DES Sciences, publiés par MM. les Secrétaires perpétuels. 

Tome 170, i" semestre 1920 (/in). 

Andrade (/.)■ — Extension des systèmes conservatifs et généi-a- 
lisation d'un théorème de M. Painlevé (835-837). 

Considérons un milieu où Ion aurait, entre la force, la masse, l'accélération 
et la vitesse, l'égalité vectorielle F = knii 5(V^); l'auteur montre que les con- 
séquences du théorème des forces vives seraient encore valables et que cette 
loi permettrait l'emploi de la balance et la mesure mécanique du temps fondée 
sur les lois des petits mouvements. 

JuUa {G.). — Sur les familles de fonctions de plusieurs variables 

(875-8-7). 

Les points où une famille de fonctions f{x, y), holomorphes dans un vo- 
lume V, cesse d'être normale forment un ensemble parfait dont l'auteur a 
indiqué quelques propriétés dans sa dernière Note {voir plus haut); il en con- 
tinue ici l'étude en ce qui concerne surtout d'importantes et lemarquables pro- 
priétés métriques. 

Bianchi {L.). — Sur les couples de surfaces à liones de courbure 
associées (878-880). 

L'auteur désigne ainsi des surfaces rapportées à leurs lignes de courbure : 

ds"- = Hj du\ -r- H I du-,. rf.s'- = Hf du\ -f- H'| du\ 
et telles que 

ïl, Ou, " \\'^ du, ^'' -''^^' 

c'est-à-dire ayant les mêmes rotations mais permutées. Il indique plusieurs 
moyens d'obtenir de tels couples lorsqu'on en connaît déjà un; dans certains 
cas il suffit d'une inversion par rapport à l'origine; la considération des images 
sphériques du couple conduit alors aux transformations de Ribaucour et aux 
congruences de M. Guichard. 

Julia (G.). — Propriétés nouvelles de certaines classes très géné- 
rales de fonctions entières ou méromorphes (917-919). 

Soit une fonction méramorphe /(z, douée de valeur dsymptotique; à tout 

nombre a [ |a | > [] correspond un ensemble E^ de points pour lesquels la famille 

de fonctions /( j"z ) n'est pas normale; l'auteur a étudié antérieurement E^ et 

montré son utilité {voir t. 168, p. 718); il montre ici que si /(z) est d'ordre 

Bull, des Sciences niathém., 1' série, t. XLV. (Mai 1921). K.5 



\>. SECOND K PAirriE. 

lion nul, E^ existe toujours sauf si la suiie de valeurs /(-z^t") est dense dans 
tout le plan, quel que soit z^. On peut étudier de mêreie la famille de fonc- 
tions/(3 -t-/?a),-(-Ç(i).,), où p et q prennent toutes les valeurs entières, ce qui 
fournil en particulier d'intéressantes propriétés des fonctions elliptiques. 

Sierpinski {W.). — Sur les fonctions de première classe (Ç)';»- 
922). 

Laulcur généralise un théorème de .M. Lebesgue en démontrant que pour 
qu'une l'onction discontinue d'une vaiiable réelle /(a;) soit de première classe, 
il faut et il suffit que les enseml)les de points (x, y) définis l'un par f{x) >^', 
l'autre par f{x) <y, soient sommes d'infinités dénombrables densembles 
fermés. 

Lange-iSielseii K^^ •)• ■ — Sur une généralisation du théorème de 
RoUe (922-924). 

Soit une fonction /(z) liolomorphe dans un domaine fermé A limité par une 
courbe >ans point multiple C, et telle que |/(z ;| = k sur C. Si /(2) s'annule en 
plusieurs points de A,/' (z) s'annulera au moins en un pointde A, lequel sera 
un point multiple du système de courbes défini par les équations \ /( z)\ = const. 

Maillet {E .). — Sur quelques propriétés des nombres transcen- 
dants (983-986). 

L'auteur étudie les nombres de Liouville au moyen d'un procédé nouveau 
(suites complètes) et en indique quelques propriétés relatives à la nature algé- 
brique de diverses relations qui peuvent relier ces nombres, soit entre eux, 
soit avec d'autres nombres transcendants. 

Jalia {G.). — Sur les familles de fonctions de plusieurs variables 
(1040-1042). 

Posons X = x^+ ix^, y =z y^-h ir^ et soit ç (Xi, a:,, ^p ^^2)^0 une hyper- 
surface S; dans le voisinage dun de ses points, cette surface divise l'hyper- 
espace en deux régions qui se distinguent par le signe de ?. L'auteur montre 
que pour qu'il existe dans l'une des régions une famille de fonctions holo- 
morplies y ( j;, _y), normale en tout point intérieur à la région et cessant d'être 
normale sur S. il est nécessaire qu'une certaine expression F(9), formée avec 
les dérivées de z jusqu'au deuxième ordre reste ^ sur toute la portion de S 
considérée; il ne pourra exister de famille normale dans les deux régions que 
si F (ç) = 0. 

Jekhowsky {B.}. — Sur les équations différentielles du second 
ordre vérifiées par les fonctions de Bessel à plusieurs variables 
fio42-io45V 

Ll's fonctions de Bessel à n variables vérifient équations linéaires 



MRVUK ORS PUBLICATIONS. 43 

du deuxième ordre disiincles, donl quelques-unes ont une forme con^ipliquoe; 
l'auteur indique un procédé simple pour les forniec li)ut(>s. 



Kampé de Fériet (/.)• — Sur l'emploi des dérivées généralisées 
pour la formation et l'intégration de certaines équations difi'é- 
rentielles linéaires (io'î5-io48). 

L'auleur étend les résultats énoncés dans sa dernière Note (voir plus haut) ; 
cela permet en particulier d'obtenir une relation intéressante entre les fonc- 
tions d»; Bessel ; la méthode peut d'ailleurs s'appliquer à certains systèmes 
d'équations aux dérivées partielles, tels que celui qae vérifie la fonction hyper- 
géométrique F; de M. Appell. 

Hondros (D.). — Sur l'intégration â^ l'équation de î^aplace entre 
deux sphères non concentriques (io5i-io53). 

L'auteur fait un changement de variables, les nouvelles surfaces de coor- 
données formant un système triple orthogonal con-titué par deux familles de 
sphères et une famille de plans; en cherchant alors une solution de forme 
particulière, il ramène le problème à l'intégration de l'équation hypergéomé- 
Irique à une variable, dont toute solution permet ainsi de former une solu- 
tion de l'équation de Laplace, contenant une constanie arbitraii'e. 

Guichard (C). — Sur les réseaux et les congruences conjugués 
par rapport à un complexe linéaire (logS-iogô). 

Soient A une droite qui décrit une congruence, A et B ses foyers; A^, A,, . . . 
et B,, B2, ... la suite de réseaux déduits de A et B par la transformation de 
Laplace; soient enfin A' la conjuguée de A par rapport à un complexe linéaire, 
A/, B'i les analogues de A,, B,. L'auteur étudie les relations qui existent entre 
ces divers réseaux en les projetant sur un plan perpendiculaire à l'axe du com- 
plexe; le cas où A fait elle-même partie du complexe est traité à part. 

Boutroux {P.)- — Sur une famille de fonctions multiformes 
définies par des équations différentielles du premier ordre 

(i 098-1 100). 

La méihode qui a permis à l'auteur {voir plus haut) d'étudier les intégrales 
de l'équation zz' — imz -\- 'iX'+ bx -\- c peut s'étendre aux équations de la 
forme générale 

{W,+ Q,z+...+ \i^^z'\)z'=\-\-P^,z-h...-\-\j,zi-, 

où A, et B; sont des polynômes en x; l'intégration de ces équations se ramène 
à l'étude d'un groupe de substitutions eiïecluées sur un paramètre. 



U SRCONDR PARTIR. 

Janet (M.). — Sur les svsièmcs d'éqnalions niix dérivées j)ar- 
tielles (i I (»i-i I o.'i ). 

L'auteur indique un procédé nouveau et simple pour écrire les conditions 
d'intégrabilité d'un système f|uelconque d'éqiiaiions aux dérivées partielles et 
déterminer le degré de généralité des intégrales. 

Cerf (G.). — L'analyse des tenseurs antisyniétriques et les formes 
symboliques de dilTérentielles (i io4-i io6). 

En considérant les cumiiosanles l-'y.^ d'un champ de tenseurs antisymélriques 
d'Einstein comme les coeflicienls d'une forme dillérentielle symbolique 

et en utilisant les réductions d^ette forme à une forme canonique, l'auteur 
détermine des systèmes de coordonnées qui donnent des expressions simplifiées 
pour un tenseur donné. 

Donder [T. de) et Vandeilinden {H.). — Les nouvelles équa- 
tions fondamentales de la gravifique (i lo^-i 109). 

Dans la théorie gravifique .idmise, la force généralisée est toujours nulle; les 
auteurs indiquent comment on peut la modifier, tout en conservant le principe 
d'Hamilton, de manière que cette force soit en général différente de zéro. 

Hamberl (P-)- — Sur la solution générale du système auquel 
satisfait la fonction WA,(i,t,(j7, y) (1 102-1 i55). 

L'étude des fonctions de l'hypercylindre parabolique, poursuivie par l'auteur 
dans ses Notes précédentes, le conduit à la solution générale du système 

/ X- XV , I A 

x-r — qxy -h z[ j — + 1^ x + j — \i.-\— o, 



y-t 



I T- xy I A\ 

— pxy -h z\— —, — hAK-1-7— v-=o 



qui dépend linéairement de quatre constantes arbitraires; il indique diverses 
expressions des fonctions qui la constituent au moyen des polynômes d'Hermile 
et des fonctions hypergéométriques de deux variables. 

Nils Pippitig. — Un critérium pour les nombres algébriques 
réels, fondé sur une généralisation directe de l'algorithme d'Eu- 
clide (i i55-i i56). 

Soient n H-i nombres positifs v'o^ ^1= ^2 = - • •= ''.."> oi ^''^ sont tous différents 
nous formerons n autres systèmes analogues au précédent en remplaçant dans 



REVUE DES PUBLICATIONS. 15 

celui-ci f„ par v^ — t' (a=:r, ..., n). Si aucun de ces systèmes ne renferme 
deux nombn-s égaux, nous appliquerons à chacun d'eux la même règle, ce qui 
donne «- systèmes, etc.; l'alsoriilime s'arrête lorsque l'un des systèmes contient 
deux nombres égaux. L'auteur annonce que pour que le nombre positif w soit 
algébrique de degré p, il faut et il suffit que l'algorithme, appliqué au sys- 
tème I , u), w-, . . . , to", s'arrête pour n = p et non pour n = p — i . 

Drach (/•)• — Sur le mouvement de l'axe d'un solide homogène 
pesant de révolution qui a un point fixe sur cet axe (i i56-i log). 

Soit P le point à la distance i du point fixe; ce point sera déterminé par 
deux angles : la distance zénithale 9 et l'azimut w; les équations qui déter- 
minent cos9 et ti) peuvent se discuter très simplement et fournissent uue mé- 
thode élégante et élémentaire pour l'élude du mouvement de l'axe, faite habi- 
tuellement au moyen de fonctions elliptiques. 

Goursat {E.). — Sur quelques transformations des équations 
aux dérivées^ partielles du second ordre (121--1222). 

Appelons résolvante d'un système de PfalT (S) une équation aux dérivées 
partielles du sec «nd ordre E, à deux variables indépenJanies, telle qu'à toute 
intégrale de E correspondent des intégrales à deux dimensions de S ne dépen- 
dant que d'un nombre fini de constantes arbitraires; lorsqu'un même système 
admet plusieurs résolvantes, celles-ci se correspondent par une transformation 
de Bâcklund. En remplaçant une équation donnée E par le système de Pfaff 
équivalent et par les systèmes prolongés qui s'en déduisent, on obtient des 
systèmes (S) qui peuvent admettre des résolvantes nouvelles, autres que E, 
ce qui fournil des transformations de E. Cette théorie éclaire et étend considé- 
rablement le champ des transformations des équations du second ordre. 

Guichard (C). — Sur les congruences qui appartiennent à un 
complexe linéaire et telles que les lignes de coui^bure se corres- 
pondent sur les deux surfaces focales (i23o-i233). 

Soit P un plan perpendiculaire à l'axe du complexe; l'auteur démontre que 
tous les réseaux qui ont même représentation sphérique qu'un réseau ont 
pour polaires réciproques, par rapport au complexe, des réseaux qui ont même 
projection sur P. Il en déduit diverses transformations des réseaux O et 
quelques propriétés caractéristiques des réseaux transformés. 

Jiilia (G.). — Sur les familles de fonctions de plusieurs variables 
(i234-i236). 

Dans sa Note précédente, dont on conserve les notations {voir plus haut), 
l'auteur a démontré une proposition qui revient à dire que : les points P de 
l'hvperespace V où la famille de fonctions /(a;, jk) cesse d'être normale sont 
les points limites de l'ensemble des continus f {x, y) = o; il démontre ici une 



46 SlîCONDIi PAiniE. 

propriété réci()roque en formant une funiille de fonctions »„(^, .7'^ Imlo- 
morphes dans V, ayant mêmes zéros qu'une suite de fonctions /„ (a;, j') et qui 
ne cesse d'être normale dans V qu'aux points P limites d'une infinité de con- 
tinus /„ {x, y) = o. 

Janel (M.). — Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles 
et les systèmes de formes algébriques (1236-1239). 

La théorie développée par l'auteur dans sa Note précédente {voir plus haut) 
met en évidence ceitaines propriétés des systèmes linéaires d'où l'on peut tirer 
des résultats qui complètent la théorie des formes algébriques de M. Hilberi. 

Véronnet (A.). — Figures d'équilil)re d'un liquide en rotation. 
Ordre de succession des figures critiques de bifurcation {i?>o'i- 

i3o5). 

L'auteur généralise la démonstration qu'a donnée M. Appell du théorème de 
Poincaré sur le premier ellipsoïde de bifurcation et détermine ainsi très sim- 
plement l'ordre d'apparition des autres figures de bifurcation. 

Huber ( M. -T.). — Sur la généralisation dun théorème de 
M. Mesnager concernant le sens des déplacements d'une plaque 
rectangulaire (i3o5-i3o8). 

M. Mesnager a démontré qu'une charge appliquée en un point quelconque 
d'une plaque isotrope rectangulaire posée provoque l'abaissement de tous les 
points de la plaque; l'auteur montre que dans le cas d'une anisotropie simple 
orthogonale (béton armé, tôle ondulée, etc.) ce résultat n'est exact que si 
une certaine inégalité est vérifiée; sinon, quelques parties de la plaque peuvent 
se soulever. 

Julia {G.). — Les fonctions de deux variables complexes et les 
fonctions limites de fonctions analytiques, uniformes ou multi- 
formes, d'une variable (1 363-1365). 

L'auteur applique les propriétés des suites de fonctions f„{x, y) étudiées dans 
ses précédentes Notes {voir plus haut) à l'étude des suites de fonctions j'„ (a;) 
déduites de /^ {ce, y) = 0. 

TIliry {R-). — Sur la représentation conforme de domaines 
doublement connexes à contours rectilignes (i366-i368). 

En généralisant la méthode de Schwartz, l'auteur donne le moyen de réaliser 
effectivement par le calcul la représentation conforme d'un domaine doublement 
connexe, limité par deux polygones, sur un anneau circulaire. 



REVUR DES PUBLICATIONS. /,; 

\illat (//.). — Sur la représentation confoi'me des aires double- 
ment connexes (i368-i.Vi). 

L'auteur montre que la solution du problème résolu ci-dessus par M. Tliiry 
peut s'obtenir par une méthode qu'il a publiée antérieurement ; celle-ci s'applique 
même si les frontières ne sont plus polygonales mais quelconques. 

Gambier {B.). — Surfaces de translation de Sophus Lie (l'^'i- 

L'auteur détermine toutes les surfaces de translation algébriques, dans l'espace 
à trois dimensions; elles se réduisent à neuf types dont deux sont composés de 
surfaces susceptibles d'une infinité de générations; il termine en donnant un 
exemple de surface de Lie unicuisale dans l'espace à n dimensions. 

Guichard {C .). — Détermination des congruences C et des con- 
gruences 2O qui appartiennent à un complexe linéaire (1429- 
.433). 

Ce calcul se ramène à la résolution d'un système couplet et à celui des élé- 
ments d'un déterminant du quatrième ordre qui satisfait à diverses conditions; 
la méthode se généralise aux congruences />C et (/>-(-i)0 qui appartiennent à 
un complexe linéaire. 

Ccutan {^E .'). — Sur la déformation projective des surfaces (i43g- 
1442). 

Deux surfaces sont projectivement applicables, au sens de M. Fubini, si l'on 
peut établir entre elles une correspondance ponctuelle telle que deux portions 
infiniment petites correspondantes soient projeclivement égales, aux infiniment 
petiis près du troisième ordre. L'auteur démontre ici que les surfaces non 
réglées ainsi déforinable? sont exceptiunnelles et dépendent de six fonctions 
arbitraires d'un argument; les caractéristiques du système différentiel qui les 
définit ont des propriétés remarquables; enfin les déformées d'une telle surface 
constituent une famille dépendant de trois constantes arbitraires au plus, 
autres que les constantes de position. 

Andrade (/• )• — Sur les droites spéciales de contact des hélices 
générales ( 1 44 2-1 4^4)- 

En dehors d'un cas évident, une droite invariablement liée au trièdre fonda- 
mental d'une courbe gauche donnée, C, n'admet d'enveloppe que s'il existe une 
certaine relation du deuxième degré, entre la courbure et la torsion de C; cette 
relation est vérifiée pour les hélices et l'auteur étudie dans ce cas la congruence 
formée par ces droites, laquelle admet un cône directeur à base circulaire. 



48 SECONDE PARTIE. 

llunibert (P.). — Fonctions de l'hyperparaboloùJe de révolution 
et fonctions hyperspliériques (i 48'i-i484)- 

T^e même calcul, qui met en évidence la manière dont les fonctions du 
cylindre parabolique dérivent des polynômes de Leg^ndre, permet de voir une 
connexion semlilable entre les fonctions de Ihyperparaholoïde de révolution, 
étudiées par l'auteur dans ses Notes précédentes, et les polynômes hypersphé- 
riques zonaux d'Hermite. 

Rémoundos (G.-J.). — Sur le module et les zéros des fonctions 
analytiques (i 557-1 56o). 

Soil/(s) une fonction holomorplie dans un domaine fini; l'auteur énonce 
deux théorèmes relatifs au nombre des zéros et au module minimum de f{z). 
Dans le cas où/(z) est algébroïde, ces théorèmes conduisent à des générali- 
sations de ceux de M. Schottky et de MM. Picard-Landau. 

Chazy (/•)• — Sur l'allure du mouvement dans le problème des 
trois corps quand le temps croît indéfiniment (i56o-i563). 

Les trois distances niuluelles peuvent être soit bornées, soit infiniment grandes 
et dans ce cas il y a lieu d'étudier l'ordre d'infinitude. L'auteur donne l'énu- 
mération des seuls cas reconnus possibles, lesquels d'ailleurs correspondent 
(sauf peut-être l'un d'eux) à des trajectoires existant réellement. 

E. Gau. 



KEVUE DES PUBLICATIONS. 49 

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES. 
6' série, Tome VIII, 1912. 



Duliern (P-)- — Sur le principe d'Optique géométrique énoncé par 
Fermât (p. i-58) : Lorsquon remplace le trajet suivi par an 
rayon lumineux par un trajet infiniment voisin^ la varia- 
lion première de la durée du parcours est égale à zéro ; ce 
n'est point du tout ce qu'on est convenu d'appeler Principe de 
Fermât, d'après lequel la lumière suivrait un trajet tel que 
son parcours ait lieu dans le temps minimum. 

En l'absence de tout enseignement sur le signe de la variation seconde, on ne 
peut décider si la durée de parcours du rayon lumineux est ou non un 
minimum. 

Duhem détermine avec précision certaines conditions où Ion peut affirmer 
que le trajet correspond à une durée minimum, et certaines autres où cette 
durée n'est pas un minimum. 

Quelques résultats sont transportés à la Mécanique. 

G ronwall {T .-H .) . — Sur les équations entre trois variables repré- 
sentables par des nomogrâmmes à points alignés (p. Sg-ioa). 

Les équations dont le premier membre est mis sous forme de déterminant ont 
de précieuses propriétés et se prêtent à d'intéressantes études : les équations 
indéterminées, par exemple; c'est un vaste champ de recherches encore peu 
exploré. 

L'auteur étudie les conditions pour qu'une équ;ition 

V{x, y, z) = o, 

où F est une fonction analytique des trois variables .r, y, z, puisse être ramenée 
à la forme 

f,{JC) g,{-^) Ihi^) 

Aiy) g,iy) ihiy) 
f,{z) g-A-) fhi^) 

qui est assez particulière, il est vrai. Ces conditions sont essentiellement 
qu'il existe une Intégrale commune à deux équations aux dérivées partielles. 
Puis un procédé de calcul des fonctions/,, g-, h- est donné. 

Bull, des Sciences mathém., 1' série, t. XLV. (Juin 1921). K.6 



5o SECONDE l'AKTIE. 

Kœnigs{G.). — La loi des courbures des profils su()ciiicicls con- 
jugués dans les mouvements à un seul paramètre (p. io3-i58). 

Les couples formés par tieux courbes (conjuguées) qui, solidaires chacune 
d'un corps en niouveincnl, r(îstent tangentes entre elles au cours de leurs 
mouvements relatifs, avaient déjà fait l'objet de travaux de M. Kœnigs; en 
limitant l'étude des circonstances du mouvement à ce qui se passe j)our une 
surface plane ou sphérique glissante, on se trouve dans le cas particulier du 
mouvement d'une figure plane ou sphérique se déplaçant sur son plan ou sur 
sa sphère. Toute courbe solidaire de celte figure possède naturellement une 
enveloppe sur le plan ou sur la sphère regardés comme fixes. 

De là naît la double théorie des profils conjugués curvilignes jilaiis ou sphé- 
riques, qui remonte à Kuler. 

La généralisation de ces théories, qui a préoccupé divers géomètres, dé])end 
d'un problème comportant trois inconnues et se réduisant à un autre problème 
à une seule inconnue, mais (|ui présente de grandes difficultés. 



Borel {E.). — Le calcul des intégrales définies (p. 159-210). 

« Les applications ne sont pas l'unique but des mathématiques et, admet- 
trait-on ce point, il n'en resterait pas moins que certaines spéculations, aujour- 
d'hui sans rapports visibles avec aucune application, se révéleront peut-être 
demain comme très fécondes en résultats pratiques », et il y a le plus grand 
intérêt à distinguer, entre les calculs qui peuvent être réellement effectués et 
ceux qui ne peuvent pas l'être, à étudier à part les nombres et les fonctions 
effectivement calculables. 

Un nombre a est effectivement calculable quand on sait obtenir un nombre 

rationnel qui diffère de a de moins de — % n étant un entier connu. Premier 
^ n 

problème : égalité ou inégalité de deux nombres calculables; deuxième pro- 
blème : un nombre, tel que e, t., la constante d'Euler, appartient-il ou non à 
une catégorie définie ? 

Une fonction sera calculable quand sa valeur pourra être calculée pour toute 
valeur calculable (_voir ci-dessus) de la fonction; aux fonctions calculables, on 
peut opposer les fonctions à définitions asymptotiques, par exemple celles qui 
sont égales à o ou à 1, suivant que la variable x est un nombre rationnel ou 
irrationnel. 

Ici s'introduit la théorie nécessaire des ensembles, en commençant par la 
théorie de la mesure, dont M. Borel avait donné la définition dès 1898, défini- 
tion qui a été le point de départ de la théorie tout entièie, mais dont M. Borel 
donne un mode d'exposition nouveau, plus simple, plus général; des notions 
jusqu'alors confuses peuvent être désormais précisées, dans les Chapitres rela- 
tifs aux définitions des intégrales, à leurs calculs effectifs ; l'intégrale de Cauchy 
peut enfin être généralisée, problème qui a été l'origine des principales 
recherches de l'auteur sur cette belle question de la mesure. 



Boussinesq (J-)- — Théorie géométrique, pour un corps non 



REVUK DES PIJBIJCATIONS. 5i 

rigide, des déplacements bien continus, ainsi que des déforma- 
tions et rotations de ses particules (p. 21 1-227). 

Les problèmes, étudiés avec une extrême simplicité, sont classiques : dépla- 
eeinent et déformation d'une particule élémentaire; existence dans la particule 
d'un trièdre de fibres principales et de feuillets principaux, qui reste rectangu- 
laire. Rotations de ce triédre et dilatations principales de la parlii iilc. Cas 
particulier. 

Roy {L.). — Sur la propagation des ondes dans les membranes 
flexibles (p. 229-329). 

L'étude de l'équilibre et du mouvement des membranes a fait l'olijet de très 
nombreux travaux depuis Euler, Lagrange, Poisson, Lamé; Duhcm a donné 
une forme entièrement satisfaisante des conditions d'équilibre, en partant du 
principe de la Thermodynamique. 

Euler, puis Lagrange, l'oisson se sont occupés du mouvement transversal, 
Poisson, Lame et Duhem des équations du mouvement tangentiel. 

Les résultats de ces géomètres supposent la température uniforme et cons- 
tante et la viscosité nulle, ce qui fait que l'élude du mouvement des mem- 
branes est en retard sur celle des fluides. 

L'auteur obtient les équations générales du mouvement des membranes, en 
tenant compte de la viscosité et des variations de température, puis il s'occupe 
de la propagation des ondes en s'inspirant des travaux de Duhem; il arrive à 
des résultats qui ont leurs analogues en hydrodynamique. 

Véronnet (A.). — Rotation de l'ellipsoïde hétérogène et figure 
exacte de la Terre (p. 33i-463). 

L'auteur s'est proposé de reprendre et de compléter les travaux sur la figure 
d'équilibre de l'ellipsoïde hétérogène en rotation. I! étudie le cas général de 
vitesse et d'aplatissement, puis le cas pratique d'une vitesse lente, d'abord en 
première approximation, en négligeant e^ ou X*, puis en seconde approxima- 
tion; il tient compte des limites imposées à l'aplatissement de la Terre par la 
considération de la préces»ion et de l'attraction. 

Il soumet ces difl"ércnts problèmes à des calculs pratiques et numériques, afin 
de vérifier les calculs théoriques. 

Le cas général des ellipsoïdes de révolution est traité et, ce qui est extrême- 
ment intéressant, une limite supérieure de - (297, ^fo) est obtenue; cette limite 

est abaissée à 297,22 par des calculs numériques, cependant que la limite infé- 
rieure (297,10) de M. Poincaré est reportée à 297,18. En tenant compte du 

terme en V, on trouve - = 297,12^0,38, à 0,01 près. 



R. DE MoNTESSUS DE BaLLORE. 



5:.. SECONDE PARTIE. 

ATTI DELLA K. AGCADEMIA DELLE SCfENZE DI TORINO. 
Tome LI, i(jr>-uji(J ( ' ). 

Catania {S.). — [VI] Sulle condizlonl che caratterizzano una 
classe di grandezze [Sur les condilioiis qui caraclérisenl une 
classe de grandeurs] (27-37). 

Cette Note présuppose que le lecteur ail connaissance des travaux suivants: 

liurali-Forti (C). — Sulla teoria générale délie grandezze e dei numeri 
(Atti di Torino, i(jo!\). 

Burali-Forti (C). — I numeri reali corne operatori per le grandezze 
(/?. Ace. dei Lincei, marzo igiS). 

Catania (S.). — (jrandezze e numeri (Catania, igiS). 

Les huit conditions posées dans les deux premiers de ces travaux ne sont pas 
suffisantes pour établir une tliéorie générale des grandeurs et des nombres; il 
faut y joindre la proposition 

X, y t u '^ i o .y < X : D : a: -t- y y- a: , 

ou bien la propriété conimutative pour l'opération +. 

Tavani {F.). — [El] Intorno alla teoria délia funzione r(p) e 
sue relazioni con altri integi^ali definiti [Sur la théorie de la 
fonction r(o) et sur ses relations avec d'autres intégrales défi- 
nies] (38-5o). 

La méthode de l'auteur pour l'étude de l'intégrale 

r(p) = f oc^' 'e 'dx 

<- 

consiste à considérer comme un nombre complexe cette fonction ainsi que la 
fonction 

Z(o) = i-H — -h :j- -•-• ••= .-r^^ / -7 dx, 

2? 3? 1(0) ,\ e' — I 

où la partie réelle de p est >i. Il obtient l'expression de nouvelles intégrales 
relatives à la théorie des r(p) et des Z(p). 

(') Voir Bull, des Se. math., 2' série, t. XLIV, 1920, p. 79. 



«HVUB DES PUBLICATIONS. 



53 



Ricci (C.-L.). — fT!2] L'equilihranK'nlo délie niasse rotanti a 
Jurande veloeilà |L'c(jiiiIil)icm('ul des masses tournant à grande 
vitesse]. Note l''^ (avee nue Table) (83-i 17). Note 11'^ (avec une 
Table) (188-226). 

Cantelli {F.). — [C2y| Resti nelle formule di quadralura [Sur 
les restes dans les formules de quadrature] (i 18-142). 

Vitali (G.). — [1^ le] l teoremi délia média e di Rolle [ Sur le 
théorème de la moyenne et sur le théorème de Rolle] (143-147). 

Se rapporte à la Note de INI. F'uhini dans ces Atli, t. L., p. agS, et à une 
autre Note aussi de M. Fubini dans les Rendiconti des Lincei, t. XXIX, igiS, 
i" semestre, p. 69. 

Sans faire de restrictions sur la fonction additive considérée, on peut démon- 
trer les deux théorèmes en limitant convenablement la nature du cliamp. 

Vergeino (A.). — [H 11 c ] Sull' equazione intégrale di Fredholm 
di seconda specie [Sur l'équation intégrale de Fredholm de 
seconde espèce] (227-287). 

Dans l'équation 

m(s) = /i(s) -i-7v / K{s()htdt 

<- a 

on suppose que, pour le noyau I\(s^), il existe un nombre fini n tel qu'entre 
les noyaux itérés d'onlre £n on ait la relation à coefficients constants 

a^ Iv„( s<) + o, I^„_i (sC) -+- . . .-h a^_^K^{st) + a„_, K{st) = o. 



Ayant posé 



= A„, 



l'auteur trouve que, lorsque A„ ^ 0, l'équation a une solution unique. Si A„=o, 
il y a seulement un cas, qu'ih indique précisément, dans lequel on a des solu- 
tions (en nombre infini). Il trouve une nouvelle formule de résolution en se 
servant des résultats obtenus par lui dans une Note insérée aux Rendiconti 
des Lincei, 191 5. 



Peano (G.). — [X] L'esecuzione tipografica délie formole mate- 



54 SECONDE PARTIE. 

matiche [L'cxéculioii typographique des formules inalhéina- 
tiques] (279-286). 

Manière d'('vilcr Ifs iiotalions Iroj) <uiii[)liquées cl qui occupent j)lusieurs 
lignes de coniposilion. 

Jadanza {N.). — [T3â!] Il annocchiale panfocale dl Porro e 
due probicnii di anallanisino [Sur la lunetle panfocale de l\)rro 
et sur deux problèmes d'aiiallactismej (^^S-^S-). 

Albenga (G.). — [T2| Sulle lineo d'influenza délie tensioni 
interne negii arclii [Sur les lignes d'inlluence des tensions in- 
ternes dans les arcs] (454-457). 

Somigliana (C). — [R5aa] Sulle derivate seconde délia fun- 
zione potenziale di superficie [Sur les dérivées secondes de la 
fonction potentielle de surface] (5oi-5o8). 

Formules relatives aux ciiscontinuilés, trouvées par la méthode employée par 
JNeumann (Math. Ann.. Bd XVI), et Beltrami (Ann. di Mat., série 2», t. X, 
1880). 

Panetti (M.). — [R8t'] Sul problema dinamico dei rotismi epi- 
cicloïdali [Sur le problème dynamique des rouages épicjcloïdaux] 

(5o8-5i2). 

Vacca (G.). — [lv9/>] Sul poligono regolare di 17 lall [Sur le 
polygone régulier de 17 côtés] (5 1 3-5 17). 

Exposition en forme nouvelle et plus simple de la démonstration d'Ampère 
{voir Catalan, Théorèmes et problèmes de Géométrie, Paris, i858). 

liossi (A. -G.). — [T7c] Un trasformatore dinamico per cor- 
renti alternate [Un transformateur dynamique pour courants 
alternés] (624-642). Note II (807-823). 

Tenacini {A.). — [B9c] Sulla rappresentazione délie forme 
quaternarie mediante somme di potenze di forme lineari [Sur la 
représentation des formes quaternaires par des sommes de puis- 
sances de formes linéaires] (643-653). 

Excepté les cas de « = 2 et de n — !\, la forme quaternaire générale de 



REVUE DES PUBLICATIONS. 55 

degri- n peut se représenter par la somme des «ièmes puissances do /?„ formes 
linéaires, étant 

_ (n + j) (n -h 2 ) ( ra -+- 3 ) 4- 6 Ti 

/''■ ^4 ' 

où T, est le plus petit entier positif ou nul pour Icqur! p^ devient entier. 

Pour « = J et rt = 4, on a respectivement />j = 4 et p^— lo. 

Ce résultat, obtenu par Campbell {Messenger of Math., vol. \XI, 1891-1892, 
p. i58), est démontré par l'auteur par des considérations géométriques. 

TenacuiL {A.). — |Q!2] Alcune questioni sugli spazi tangenti 
e osculatori ad una varietà [Sur certaines questions relatives aux 
espaces tangents el osculatcurs à une variété]. Note II (695-7 1 4). 

Faisant suite à la Note de même titre du Tome XLIX de ces Atti, p. 214. 
Le problème de déterminer les variétés \\ représentant des équations de Laplace 
linéaires el indépendantes de nombre inférieur à 

2 

et t. 'Iles que la variété de leurs Sj tangents ait la dimension 

2/>— / (o</<A— i), 
a été résolu pour A < 4. L'auteur le résout pour yt = 4. 

Somigiiana (C). — [R5«| Sulle derivate seconde délia fun- 
zione potenziale di doppio strato newtoniano [Sur les dérivées 
secondes de la fonction potentielle d'une double couche newto- 
nienne] (800-806). 

Application de la méthode Neumann-Beltrami, comme dans l'autre Note 
(p. 5oi), pour déterminer les discontinuités. 

Bottasso (M.). — [R2Z>-, Aa\ Teoremi sui massimi e minimi 
geometrici e su normali a curve e superficie [Théorèmes sur les 
maxima et minima géométriques et sur des normales à des 
courbes et à des surfaces] (844-86n). 

Démonstration, par le calcul des formations géométriques de Grassmann- 
Peano {voir Pkano, Cafcolo geometrico seconda VAusdehnungslehredi Grass- 
mann, Torino 1888), des théorèmes énoncés par M. Peano dans les liendiconti 
del Circolo Mat. di Palermo, t. IL i888, p. 189. Autres théorèmes nouveaux 
démontrés par la même méthode. 

t'ubini {G.). —- [de] I teoremi di Bernstein e Pringsheim per 
lo sviluppo in série di Tajlor [Les théorèmes de Bernstein et 



56 SKCON DE FAUTIE. 

de Pringshciin pour le développement en série de Tajlor] 
(896-898). 

Poli [C). — [HllcJ Un teorema di eslstcnza per equazioni 
Integrali non linearl [Un théorème d'existence pour des équa- 
tions intégrales non linéaires | (912-922). 

M. Fubini {Ann. di Mat., 'QO^, p. 217) a démontré le théorème suivant : 
« Soit H,, «2, . . . une succession de fonctions de r variables, telles que 

/ {u„ py dp ait une limite supérieure II-; il y a une succession v^, t'j, ... 

contenue dans la précédente et une rnncliDn w. telles que 

« 

J(^vpYdpÇ\\'- 

'[^'1 / (//') i^nP) dp = f ifP) i^'^P) dp, 



et aussi 



quelle ((ue soit la foni-tioii /, pourvu qu'elle soil inlégrable au carré. La 
fonction w est appelée fonction quasi-limite des v. » 

En se fondant sur ce théorème, l'auteur démontre l'existence d'une fonction -^ 
rendant minimum nu maximum l'expression 

/ ••• / l^' {x^. . .x^) {^x^) . . .{'£X^) dx^. . .dx,., 
•'0 ''0 

et d'une rendant maximum l'expression 

" t 1 

y / .../ F,{x,...x.^;) ('fX^)...(o2i)dx^...dx^i, 



1 
avec la condition 






) dx — I . 



De là il tire comme conséquence l'existence d'une solution pour les équations 

\^x+ f ...f F(.r, i-,...jv) (?ri)---('-?rJc()'i---«'rr = 0.. 

>.'f.rH-y / .../ F,(j7,jKi...r2.-i) (?rl)•••(?J'3^-l)^J^'l•••^r2■-l=o• 
Albenga [G.). — [Ta] SuUa trave continua inflessa e solleci- 
tata assialmente [Sur la poutre continue infléchie et sollicitée 
axialement] (987-990). 



Cf UiM^J 



UKVDH DKS l'UBMCA TIONS. 



fiosa(i[C.). — (M|2<?| Siillo corrisjjOiidcnzc pliirivaleiili ira i 
puuli di iiiia cmva algehrirji [Sur les ooi-rcspoudaaces pliiriva- 
lenlcs onire les |)i)iiils d'niic couilje al^fhricjue | (991-101 \}. 

,M. Iliii'wil/. (Math. l/i//.. I . \\\ III. I.SSG ) ;i assorié à limtc (■iiii-cs|)iiii(J;iiiic' T 
l'iilic les |)()inls (rniir rmirlic C. di- ;;(Mir //. \ jr iiuiii liirs ciiliiis 



/'.o .^'.o ",;' <'a "'• /' 



P)^ 



a|)|)('lés Ifs nombres Cftractéristù/ites dr la ri)ri<'s|iiiiidanic, I^nlic ces iidiiiltrcs 
et les piTicicics iKiimalcs de la lourlic il y a jj- iclaliinis, dotil M. HnscHi {Ann. 
di Mat-, I. \\V, i<»i.5) a dimné iiii<- iiiliT|)rétalinii j^éuiiiclriqur en ronsidi'Tanl , 
dans lit) S., , ,, riioinograpliic ralioiiin'llc il ayaiil pour iiiodnie li- déti'rriiiiiaiil 






Il a ti'duvc que ces relalioiis ('xi)i'irnciil que il Irarisfurmc en lui-riiêiiic un 
S , imaginaire <lél(M'ininé dans S.,., , par les périodes mirniales de C. lin 
cmplnyanl celle iiUerprétal ion, il iiilrodiiil iiiainicnani la <onsidérali<)ii de 
\'e(/unlion niininiinn à laquelle sal isfail une correspondance. i"esl-à-ilirc l'équa- 
li<ui (|ui dérive de l'ensenilile ininiinuiii, formé pai' dis |)iiissanccs de 'Y, t|ui 
donne naissance a une corri'>pon(lance à laJence nulle, (ne racine rationnelle 
ih' ri'i|ualion minimum esl iiéccssaiicnnril entière, et si ■' est une telle racine, 
il y a sur i'. un système régulier ré.hict il)le, par rappoil auquel la correspon- 
dance 1' a la valence — -'. Les correspondances tlonl les écjuations minima ont 
toutes les racines rationnelles sont les correspondances />/M/7\'a/e«<e.s, |)our les- 
quelli's raut<'ar trouve la (oriiiule donnant le nomhre des coïncidences. 

lùilin, il monli-e comment on |)eul construire «les courbes sur lesquelles il y a 
des coire--i)on(lances à autant de valences que l'on veut. 



Jiidanza ( .\. 1. — | ^ «^M l!-;ii'i>^'<' l'orro. ^i<»lIzi(■ hi(ti;iali(li<' (avec 
[jorlrail ) ( i 077- 1 090 1. 

Voir li's note- illustral ives it la page i255. 

lioccdidiiG.). — |J'^| (^ueslionl di proKahililà | (^)iic.sli{»ns de 
|)i'(il)alnlité I (1 i.î()-i 1,52 ). 

l'articulicrcmcnl sur le prolilème n " \! à la page ■> du ('(ilriil des prohabililcs 
de lierlrand. 



Tanturri {A.). — f ^ ' | Radiei di numeri approssiniali ed estra- 
zinue ahl)reviala della radiée qiiadrala [Racines de nombres 
a[)prochés et e.x.tracLion abrégée de la racine carrée | ( 1 i ;V'>- 
1174). .. 

Btill. des Sciences nuUhéni., j' série, l. \L\'. (Juillet i|)ii.) Ii.7 



•,S SI>:c,()NI>l': PARTIE. 

l>('lla('<IS(l kL.). — I ' -^> I I»il|>|>iMl(J (li l;riin(l<'ZZf' r|cl(ii;<;iHr 

[Rapport do grandeur.s liélùro^rin'S | ( i i j.')-i i (^fl i. 

Cicconelli' ( G .). — Slniiiinili iliolliici inl i>bl)l(.'llivo <;um|)()sl(t 
usali in Geonu'lria pialica | In^liiinifuls diopLricjiies employas en 
Géoinélrie piali([iic |. Noh- I ( i i ()--r^ i 3). Noie U (i r^^ i-i .îoçj). 

Jaddiiza (/V. ). — f^ -M J^''»t<' illu>liali\(' alla l)i()j>ra(ia fli F^nazlo 
PniTd I \\)l('s illu>.lrali\c> à la hioi^iaplilc de I. l'oiro (iv.55- 

1 :■•.-(> I. 

Vvi( la lislr ilr-; piililica I inii<. l,a liinjjraphii' sr Iroiivc à la pafjr irt~~- 

SomigliaiKL (C). - \'V't rcl". I{oc-| Sidle disconliniiità dei 
polcnzlall claslicl ( Sur les disconliniiilés des potentiels élas- 
tiques | f 1 33o-i .'^52 ^. 

\a iiiiiNcn «IfS pinpi'icli's des puictilicis iiiwlciiiii-iis, on Iroiivr Ccllis tics 
|)(iliiiiirls l>ilianiu)ni(]ues ri de leurs dérivées. 

'l'oulcs les dérivées premières cl secondes des pnlrnlicls i(iliarmi)iiii|iies de 
surface sont etititinues à travers la surface. Soii 



-f 



\ = / hrds 



le poliiiliel en (|ueslion. Kn supposant que Taxe ; ail la direclion de la nor- 
iiiale et que les axes x, y soient tangents au\ lignes de eourbuie, on trouve 

([ue, des troisièmes dérivées, la seule — -^ esl diseoiilinue et que lésant corres- 
pondant est — St. h. 

Soit , 

L = / K r (/S 



un |)iitenliil liiliaririonique d'espace. Ces potentiels et leurs dérivées premières, 
secondes et Iroisiémes, sont continus à travers la surfaie. 
Les potentiels bili^irmoniques de double couclie 

J " On 

oui cinq des dl\ troisièmes dérivées continues, iii supposant les axes orientés 
l'oinme ci-dessus. l^es cinq autres, 

i)-\\ iPW <)'■ \\ (P W fP W 

II:' i)x- <)y itxdz- ôy''- <)z ày ûz- 



HKVIJK l)l<:S l'IJ Itl.ICA I IONS. 

int n-;pi'i I i\ c'iiioiil les saiils 



",) 



'"'" V K, "^ I! 






Les i'(>mi)osanli's a, i', n' du (h'plitnonifnl cliistii|iir |i(iivriii se iiicllic sons 
une forme dépiMidaiil des (li'rivi'cs sicondt-s de trois imiciilicls l>ili;u'iii()ni<|ucs cl 
des dérivées prcmioros de (|iialre |n>liiiiicls ncwioniciis. I.es résulHils i)ré(édents 
servent par cela à trouver les ilisroiil imiilés de //. r, iv et aussi des compo- 
santes de déformation cl de l(iiBi<iii. Celle élude csl fail<' en décomposant la 
déformation générale en (|uatrc types di' tléformations, étudiées séi)arémenl. Les 
résultais obtenus conduisent aussi à une interprétation mécanique des formules 
intégrales de représentation, cl connue coiiiid^idii on a (|nc : 

Toute déformation est la su])ei posil ion de linis defornialions produites rcs- 
pectivemcnl : i" par un système de forces de niasse agissant dans l'espace du 
corps; ■>'• par des forces superficielles agissant à la surface; 3° par une distor- 
sion, obtenue en faisant une eoupnri' dans la surfa<-c du corps et en effectuant 
aux points de civile coupure des déplacements relatifs égaux aux valeurs super- 
lieielies lin tiéplaeemenl. 



T. Ml. i9i(>-i(ji7. 

Paiielli {^f^)• — [P*^^./| Rcndliiienlo dei rotismi eplclcloïdali 
con un asse principale lisso | Piendement dc^ roiiajies éplcvcloï- 
daux avec un axe principal ftxe| (6-28). 

Insolera [F.). — [J2^/J Su una rclazione Ira rannualilà \ila- 
lizia di gruppo e l'anniialità seinplice n^ll' ipotesi di Makehain 
[Sur une relalion entre l'annualité viagère de groupe et l'annua- 
lité simple dans riiypotlièse de Makeham] (55-6(3). 

Sannia {G. ). — [D^] Nnova trattazione del inetodo di Borel 
per la sominazione délie série [Nouvelle tractation de la méthode 
de Borel pour la sommation des séries [ (67-80). 

Afin qu'à une série on puisse appliquer le théorème de Caucliy sur le pro- 
duit, il n"esl pas nécessaire de lui imposer toutes les conditions indiquées j)ar 
fiorel^ et il suffit de l'unique condition que l'intégrale 

/ e ' it' ( .r ) clx 
soit simpliTOcnl convergente. 

Giiidi (C). — [T!2[ Sollecitazioni nell' arinaliira dcH' ala di un 
l)iplan() in linea di volo, prodolle del sostegno dell aria [Actions 



(„, SKCONDI-; l'AUTIK. 

(liins riinniiic de I ;n(l<' d Un l)i|ilim en lii^iir de vol. piiidiiitivs 
|»iir ra|)|Hii (le liiir | i "^J-y*) )• 

Sibirani { F.). - \^\i\ti\ Inlorno iid un |ir()l)l(;ni;i an;il(t<^o a 
(iiicllo risli'Ollo (Ici lie coi'i)! | Sur un inoblrnic analo<;iic an pro- 
blèmo rcslroinl des li-ois ('()i'|)s| i i.i.Vifji i. 

Un pniiil 1*1 iillirc un puiiil I'., iM I',, ri-|)uusse I', avec uiir furcr |)i upiirtion- 
nellc aux masses cl inverscmcnl pruijcniidiincllc aux carrés des clistaiic<-s. Si lu 
masse de P., csl muindrc ([ue idlc dr I',. cl sous cerlaiiies conditions, les 
points P,, P., loiii'iu'hl auloui' d'un point fixe t). Un point P de masse telle que 
l'on i)uisse négliger son action sur P, cl P., se meul sous raetion de P, et de P,. 
F^es |)ositions d'équilihre relatif de P par rapport au mouvement de rotation di' 
l'i et de F*., sont appelées les centres de libration. Il y en a cinq, et l'auteur 
étudie les mouvcnienl< qui maint ienneiit P dans le voisinage d'un centre de 
libration. 

Jadanza (.A-)- — [U 10] Siil calcolù délia dislanza li'a due pnnli 
di noie posizioni «eo^falit lie |Siir le calcul de la distance entre 
deux points dont on connaît les positions j^éoj^raphiquesj 
( 2 1 i-^îàS ). 

Peano (G.). — ['M Valori decimali ahreviali e arrolondali 
I Valeurs décimales abrégées et arrondies] r'i-a-.jHa). 

Comparaison entre le cas où l'on néglige les cliiiïrcs successifs à un chiffre 
déterminé et celui où Ion prend ce chiffre augmenté s'il y en a lieu. Influence 
dci deux méthodes sur les opérations. 

Pico/ie [M.]. — [S6èJ Formole razionali per la correzione del 
liro [Formules rationnelles pour la correction du tir] (43o-449)- 

Jadanza (A .). — |^2| Per una edizione nazionale di tavole di 
logaritmi [ l^uir une édition nationale de tables de logarithmes] 

(45o-'î5a). 

Peano { G.). — - [II] Approssimazioni numeriche [Approxima- 
lions numériques]. Note I (453-468). Note 11 ( 5i3-528). 

Jadanza il\ .). — [T3rtJ Teoria elemenlare del cannocchiale 
terrestre accorciato [Théorie élémentaire de la lunette terrestre 
accourcie| (5oj-5i2"). 



KhVUE DKS PUBLICATIONS. (.i 

ro^lldtli I A'.-O. ). — I I' i irl. (^)!2| Siii tasci di rcciprocilù 
il('i;('neri Ira spazi ad n diinciisioni [Siii- les faisceaux de réci- 
procités dégénérées entre des espaces de ii dimensions] (628-(343). 

Ihirzio (F.). — |S06| Una sohizionc dcl |)rol)l('ma dclla slabi- 
lila dei prdjetli fLne solution du problème de la siahilité des 
piojecliles] ((3()3-()-(), une planclic). 

To^liatti {E.-G.). — [Pl2refQ2). Su alcune classi di sislemi 
liueari di reciprocità degcneri tre spazi ad n dimensioni [Sur 
certaines classes de systèmes linéaires de réciprocités dégénérées 
entre des espaces de n dimensions] (7'>9-7^>8 ). 

Burali-I'orti (C . ). — [0| Equivalenti omograliche délie for- 
mule di j-renet. l.inee e superficie parallèle [Equivalentes homo- 
graphiques des formules de Frenet. Lignes et surfaces parallèles | 

(83i-8i(i). 

\])plicijtion des lioiiiograjjhies vecloricllcs, 

Frisone ( /?.). — [^-J ^^^^ leoria semplice dei logaritmi [Lne 
tliéorie simple des logaritlimes[ (8 '{(3-853). 

Capetti (//.). — [T2] Contrihuto allô studio dell" equilibra- 
mento délie masse rotanli [Contribution à l'étude de l'équili- 
brement des masses tournantes]. Note I (886-894). Note II 
(90^-966;. 

Albenga (G.). — [T2] SuUa trave continua intlessa e soUeci- 
tata assialmente [Sur la poutre continue inlléchie et sollicitée 
axialement] (895-901). 

tliie |ircmiéie Noie c>t dans le Tome LI, à la pagr 987. 

Tantuiri (A.). — [IlOj Délia partizionc dei nunieri. Ambi, 
terni, quaterne e cinquine di data somma [Sur la partition des 
nombres. Groupes de deux, trois, quatre et cinq nond^res de 
somme donnée] (902-918). 



(]■,. SKC-ONDI-: l'AiniK. 

liiirzio {F.). |S(IA| l"'()iiH(ilc raziijiiiili |)(;r il (^iilc.olo <l«'ll;i 

(Icriviizionc dci' |»r(»i(il i | l-'oi-miilcs raliomiellcs pour le calcul de- 
là (I ('•[•! va lion dos projrctilcs | f () i ()-(>)(), avec une plaiiclic ) . 

Albciii;<i ( (î .). - |P»*,)a| Sull' allrilo voiveule iici vcicoli ordi- 
iiari [Sur le Ciolteincnl de rotation dans les véhicules ordiiiair(s| 

(()()()-! on 1 ). 

Ilossi i A .-(i.). — I'"'! ^ '1 liasCoi'iiialofe dinaiiiico |)ei- cor- 
l'cnli alleinale | l ii I lansfoiiualeiii- djnamifjne pour courants 
alternés | ( i oo:^- lo 1 3 y . 

I". Mil, i.,i:-i.,)i8. 

Rosati (C .). — fM,î2| Sidlc \alcnze délie çorrispondenze alf^e- 
briclie fra i puuli di una curva alj;el)rica [Sur les valences des 
correspondances algébriques entre les points dune courbe algé- 
brique] (^5-22). 

Sur une ciuirlx; C (\c genre p, soil une correspondance («,v) et soil T l'opé- 
ralioii par laquelle on passe duii poinl œ aux v peints homologues y, et T" ' 
l'opération inverse. Soient ff un eyele de x sur la surfai e de Ricmann R, image 
de C, et a' le cycle homologue de <t pour l'opéralion T; on suppose que l'on ail 
la relation 



entre les périodes t, t' d'une intégrale de première espèce u suivant les eyeles 
T et t', 7 étant un nomlire réel ou eoînplexe indépendant du cycle cr. Alors la 

somme 

u [y' ) -T-.. .+ u{ y ) -^ y u ( J" ) 

est une constante. En indiquant par I l'identité, on dit que la fonction linéaire 
de T. 

est de niveau constant pour l'intégrale u, ou bien que y est une valence de T 
par rapport à u. Les intégrales par rapport auxquelles l'opération T a une 
valence y forment un système linéaire que l'on dit associé à cette valence. 

Cette notion de valence avait été introduite par l'auteur dans sa Note du 
Tome Ll (p. 991) de ces Atti. Ici, après avoir donné de la valence la définition 
plus générale que nous avons reporté, il démontre que deux correspondances 
T, T ' nul des valences imaginaires conjuguées ; et que la condition pour que T 
soil symétrique est que ses valences soient toutes réelles et que chacune de 
celles-ci soit, pour T et pour T~', associée au même système linéaire d'inté- 



KKVUK DKS PU HLICA riONS. (.5 

craies, l'oiir i|ia- 1' soil li('iiii>> iiirlriiiur, la (tiiidil iuii csl (juc ses \ ak'iii'cs soiciil 
imaginaires |>urcs. 

lùiOii il (ir'iiiiiiiti'e (juc, sur imi' rdiiilie (lépoui'viio t'e svsicines réguliers rédiK- 
lililes, loule eurrcspnndaiK e est leili- (|ue les syslètnes linéaires d'inléi^rales de 
|ii(inière espère assdrices à ses valiMices appnri ienneni au système toliii zr.l'-\ 



/^c/is(l ./. . |H l!2| Su iiliimc (iluom'jilir spccuili c sii<;li ope-- 

raloii ()iii(ii;i'ii(ici ( ,. 1» |Siii- cerlaines honiograpliics spéciales ri 
sur 1rs (»pci-alciii's li()in(>i;rapln(ni('s C, R | ( :^3-.^(i ). 

(iiiiJiiC.). — r^ - J Stillr (Icloiiiiazioni dt-llc (lij;lu' a \ olta [Siii' 
les (léfonualions des dii^ues à voùle | (?)-j-:\(V). 

Pensa {A.). - - |B 1^] Sull" opcralorc om()i;ralie(t 1\ |.Siir lOpf-- 
raleiir liomo^iapliupie R'| ('(Si-().)i. 

G/fissi (G.). — l'^'^^l ^ prôposito di «lue iSolc del prof. 
Guglielnu) « SuUa legge di Poisson e sull' esperienza di Clément 
e Desornies » [A propos de deux INiotes de M. le professeui- 
Guglielmo et sur l'expéiMence de Clément et Desormes | 
( 9^1-106). 

h'ii/ali-Forfi { C). — [O ^')c'\ Alcuni ^islemi di linee su di una 
suj)erricie |Sur certains sv^tèmes de lignes sur une surface] 
( 1 I i-i :i3 ). 

Uoverio { E : ). — | ^ '^ | So[)ra la deiivazione dei canali [Sur la 
dérivation des canaux | ( 1 ^4- 1 ■> i )• 

Sannia [G . ). — [Dl2«] Le série di potcnze di una variabile 
sonimate col metodo di Borel generalizzato | Les séries de puis- 
sances d'une variable, sommées par la méthode de Boi-el géné- 
ralisée I ( 1 35-1 48 j. 

La genéralisalion de la méthode de Hoiel a été d'oiinée par laulcur dans un 
Mémoire qui sera inséré aux RendicontL del Circolo nialemalico di /hile/ nio, 
lorsque eeux-ci reprendront leur' pul>Iiealion. Un résumé se trouve dans les 
Itendlconli des Lincei^ l. \X\ (5« série). 



(il SKCONDH PAiniK. 

(illidi (('.]. I ' -| ■'^"1 «iilcolo (Icir iircii clcslicii srii/,;i cci'- 

iiierc jSiii" le cnlciil de liirc ('•l;ibli(|iic nmii:? (•|i;iniirrf.s | 
('4î)-'')1)- 

liossi (^j\ .-(i .). I I Tc'l l 11 tiaslniniiil(»r<' (liii;iiiiit<) pcr coi-' 
jeiili Jillcinalc | Un Iranstoriiialciii' <l\ iiamunic |)()iir cituraiiU 
ullern«',s|. rviolc I \' (ir)5-i64). 

Moii-lireda {Ci. ). | ' ' | l'-^liazionc ^radiialc (Ifllc radiée ([ua- 
(liala I l'2\l liM'tioii Liiadiicllc (h' la l'aciiic carrée j ( :^^i.")-a.U3 ). 

Slraneo ( P.). | l I c/ | lielazioni i;enerale Ira teorie lisiche e 
coslaïUi iiiii\ crsali | Uelalidiis <;(''n(''rales entre les lln-ories pliy- 
siqiu's et les coiisLanles iiniveiselle>| (->. 1 5-264 )• 

Les dimensions des conslanlcs universelles d'une lliéorie ne peuvent, en 
général, être données arliitrairenienl ; le lien uuquel elles sr)nl assujellies est 
caraeléi'islique pour la théorie et l'on peut en général en déduire les traits 
fondanienlaux de la théorie. 

Barali-Forli {C .). — l^^'^l l>inea in oj;ni eiil ptinto è asse- 
gualu una direzione in\ ariabilnicnlc coUegala allriedro princi- 
pale I Courbe en lout jxjint de laquelle est donnée une direction 
liée Iii\ ariablenienl au liièdre principal | ( .5 '("-.358). 

Frisone [ II. ). -- |\ {a\ Le varie deliiiiziom di j)rodoLlo | Sur 
les diverses délinilions du |)roduil | ( lao-i^- ) 

Lagneau (Le capitaine). — |A \a\ J>Oiiique(les' propositions 
( en français) ( 4^8-444 )• 

Rossi [A.-G.). — |T7cJ Ln trasfornialore dinaniico per cor- 
renti alternale j l n transformateur dynamique j)our courants 
alternés J . Note V ( ooy-o 1 8 ). 

Barzio {/''■). — [S66J Sopra alcune formule del Majevski rela- 
tive al 2" problenia balistico fondamentale | Sur quelques for- 
mules de Majevski, relatives au second problème balistique 
fondamental | (6)3-6i)- ). 



RIÎVUR DKS PUBLICATIONS. 65 

Sofniolia/K( (C). — SuUc (iii(l(! di Rajlcigh [Sur lt;s ondes de 
RajleighJ (() 18-628). 

Soient 

s — l.jc -+- y\y -\- ^ z = coiist. 

les plans d'otirle ( L, M, N des constantes), 11, v, iv les composantes d'un vec- 
teur vibrant de direction fixe; on doit avoir 

M=rA9(S,^), V = li'^is, i), iV = C(f{S, l) 



avec A, B, G constantes. 
Ayant posé 



L=+ \'F-f- N2= A, 



et X, a étant les constantes de Lamé et p la densité, les valeurs de la vitesse de 
propagation sonl 



''=\/y' p^=[/ 



■' ( >v -+- -2 a ) A 



Dans le premier cas les ondes sonl transversales, dans le second elles sont lon- 
gitudinales. 

En supposant L, M, S complexes 

L = / -t- < a, M = m H- / jî, N = n -+- t y, 

le cas des ondes transversales conduit à des ondes que l'auteur appelle rectî- 
lignes et dont celles de Rayleigh sont un cas parliculier (celui où les direc- 
tions /, ni, n et a, 3, y sont orthogonales. 



Jadanza (vV. ). — [^^9] Cenni necrologici su Paolo Pizzetti 
[Notice nécrologique de P. Pizzetti] (671-676). 

Avec la liste des travaux. 

Peano {G.). — [^'^] Interpolazione nelle tavole numericlie 
[Interpolation dans les tables numériques] (ôgS-^iô). 

Bottasso [M.). — [0 3^'J Generalizzazione délia trasformazione 
di Conibescure perle curve [Généralisation de la transformation 
de Combcscure pour les couibes] (717-730). 

Pincherle {S.). — [[ 1] Sulle catene di radicali quadratici [Sur 
les chaînes de radicaux quadratiques] (745-763). 
Bull, des Sciences mathém., 2" série, t. \LV. ( AoiU 1921.) H. 8 



66 SKCONDli PARTIE. 

Gcrhtildi (/'•)• — I D 2 réf. F3c/a) Slmmelria (; pci-iodicità nelle 
(Viizioiii coiiliiiLie di lhil|)li('ii |SviiK'-lrie <■! [x'^rlodicllr dans les 
fractions conllnucs (rilalpheu] (767-784)- Note II ( .S()i)-<S87). 

Taillai IL [A .). — |Dî2r| Sul prodolii inliniù 

(l — x){[ — x'-){\. — x'^)... e (\ -\- X){\ -r- x"^ ){\ + x^). . . 

[Sur les produits infinis 

i\ — x){\ — x'^){i x^)... el. (i -t- a7)('i -(-.r*) (1 H- .r3 . . . 

(785-79'2). 

Burzio {F.). — [S 6^) l.a :>'' a[)prossimazione délia soluzione 
del 2" problema balistico [La deuxième approximation de la 
solution du second [)roijlème l)alisti(jue] (888-S(j5). 

Scorza (G.). — [G 3] Sopra alcune notevoli matrici rieman- 
niane [Sur certaines matrices riemanniennes remarquables] 

(1008-1017). 

La théorie générale des matrices riemanniennes a été faite par l'auteur dans 
les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (t. \LI, 1916, p. 268-379). 
Ici il traite le cas suivant : 

Soit 

a^,.x-i' - ... H- a^ =0 

une équation de degré 2/> à coefficients entiers, dépourvue de racines mul- 
tiples, à racines toutes imaginaires et ayant toutes pour module le carré d'un 
même nombre rationnel a. Alors, si 



sont p racines distinctes de cette équation, dont deux quelconques ne soient pas 
imaginaires conjuguées, la matrice 

w = Il (. a^. a2 a^/'-i 1] {j = i, 2, . . ., p) 

est une matrice riemannienne de genre/) pour laquelle on a 

A--P — I , h 2 2 p — i, 
k et h étant les indices de singularité et de multiplicabilité. 



RKVDIi: DKS PUBLICATIONS. (i- 

Laura (E.). — |T2j Sopra i moti quasi llbcri di un (luido elas- 
tico [Sur les mouvements quasi libres d'un iluide élastique] 
(ioi8-io:^/j)- 
Ces mouvements sont ou périodiques ou bien apériodiijues à type amoindri. 

Fitbini [G.). — [^^1 Fondamenli délia geometria proiettivo- 
difl'erenziale di una superficie [Fondements de la géométrie 
projectivo-diflérentielle d'une surface] ( io32-io4^). 

Kn prenant comme élément linéaire une forme quadratique, considérée par 
lui dans deux Notes insérées aux Bendiconti dei Liiicei, l'auteur réussit à cons- 
truire une géométrie métrique invariante par collinéations et à étendre les 
notions de courbure, etc. 

Quarra (P-)- — f ' M Calcolo dçlle parentesi [Calcul des paren- 
thèses] (io44- 1047) • 

En combien de manières peut-on exécuter la somme (ou le produit) de 
n nombres dont l'ordre est fixé? 

Viriglio (L.). — [II] Estrazione graduale délia radice cuhica 
[Extraction graduelle de la racine cubique] (1067-10^8). 



T. LIV. 19.8-19.9. 

Fubini [G.). — [C^a] I differenziali covarianti [Les difléren- 
tiels covariants] (5--). r 

Cicconetti (G.). — [T3a] Sulle determinazione dell' ingrandi- 
mento di un cannocchiale col dinametro [Sur la détermination 
du grossissement d'une lunette au moyen du djnamètre] 

(8-12). 

Boccardi {G.). — [-^oj Su di un problenia d'inlerpolazione [Sur 
un problème d'interpolation] (i3-22). 

Comi {7\-T.). — [II] Formole sommatorie [Formules de 
somme] (23-38). 



08 secondh: pahtii:. 

Colo/ineffi (G.). — [T2] A|)[)li(;izi()iii a piohhîini tecnici di un 
niiovo teorfima sulle (^oazionl elasliclie [Applicalions à des pro- 
blèmes techniques d'un nouveau théorème sur les coaclions 
élastiques] (69-83). 

Deslcfanis [M.). — [^^\ Estrazione délia radiée quadrata 
[Extraction de la racine carrée] (84-96). 

Tanlurri (A.). — fï'0| '^^^ numéro délie partizioni di un 
numéro in potenze di a | Sur le nombre des partitions d'un 
nombre en puissances de '.>.\ (97-1 10). 

Sibiiani {F.). — [Roa] Ulteriori ricerche intorno ad un pro- 
blema analogo a quello ristretto dei tre corpi [Recherches ulté- 
rieures sur un pr()l)lème analogue au problème restreint des 

trois corps] (1 1 i-i 2 i). 

Del Re {A.). — [Q2] Sul carattere invariantivo di certi opera- 
tori nella analisi estensiva ad ji dimensioni [Sur le caractère 
invariant de certains opérateurs dans l'analyse extensive à n di- 
mensions] (i56-i~o). 

Il faut voir sur cela les Noies de Taulcur, publiées dans les Fendiconti délia 
R, Ace. di Napoli, 1916; Bendiconti dei Lincei, 1916, 1917 et 1918; Rendiconti 
delV Istituto Lombardo, 1917. 

Sannia (G.). — [D2«] Série di funzioni, sommabili uniforme- 
mente col metodo di Borel generalizzato [ Séries de fonctions, 
sommables uniformément par la méthode de Borel généralisée] 

(i-i-i85). ■ 

Boggio [T.). — [Q 1, 2] Sulla geometria assoluta degli spazi 
ciirvi [Sur la géométrie absolue des espaces courbes] (186-200). 

Lazzarino (O.). — [R8«] Sulla generalizzazione dei moti alla 
Poinsot e sulla stabililà degli assi permanenti di rotazione in 
detti moti [Sur la généralisation des mouvements de Poinsot et 



KliVDIi DKS PUBLICATIONS. 69 

sur la stabilité des axes [xM-nianenls de loialion en ces mouve- 
ments] (:>.oi-'^. 19). 

Sa/uiia {(j.). — [D2rt] l^e série di Dirichlet sommate col 
metodo di Borel generalizzato [Les séries de Dirichlet sommées 
par la méthode de Borel ^généralisée] (3i5-3a3). 

lidcili {C .). — [QS2ref. M28J Soj)ra una classe di varietà abe- 
liane a.tre dimensioni [Sur une classe de variétés abéliennes 
à trois dimensions] (4 13-44;) )• 

Variétés admettant une transformation birationnelle périodique, représentée 
analytiquement par une substitution linéaire sur les paramètres, ayant pour 
multiplicateurs trois racines de l'unité distinctes cl appartenant toutes à un 
même exposant. 

Tan tu ni (A.). — [IH] Sulla funzione di Dirichlet e sulla 
funzione signutn x del Kronecker [Sur- la fonction de Dirichlet 
et sur la fonction signutn x de Kronecker] (4;)<>-4'^7)- 

Mori-Breda {G.). — [I H Sviluppo délie radicl in prodotto 
décimale [Développement des racines en produit décimal] 

(533-542). 

Conii {T. T.). — [II] Sviluppo délie radici'in prodotto déci- 
male [Développement des racines en produit décimal] (543-548). 

Maiorana {0-). — [Roo'] Nuove ipotesi cosmogoniche e nuovo 
fenomeno gravitazionale [Nouvelles hypothèses cosmogoniques 
et nouveau phénomène de gravitation] (667-669). 

Il paraît que ioo''s de mercure dislril)ués symétriquement autour de i'= de 
plomb produisent sur celui-ci une augmentation de poids de 3.io-\ 

Peano [G.).- — [A3^'] Pilsoluzione graduale délie ecpiazioni 
numeriche [Résolution graduelle des équations, numériques] 

(795-807). 

Albenga {G.). — [T!2] Sul problema délie coazioni elastiche 
[Sur le problème des coactions élastiques] (864-868). 



70 SKCONDli PARTIE. 

Somigliana {C). — [T3r/| Siille relazioiil fia il principio cJi 
Huygens e l'ollica geomelrica | Su ries relations entre le principe 
de Hujgens et l'optique géométrique] (()-4-()79). 



Pour que i'étjualion 

ait une intégrale pour laquelle les surfaces z, — const. soient en tout instant 
des surfaces parallèles, celte série doit être formée par des surfaces à courbure 
inojenne constante. 

Zavagiia (/.). — f^2] Calcolo dei logaritjiii natuiali con la 
série esponenziale [Calcul des logarithmes naturels an moyen de 
la série exponentielle] (loo i-io i 2). 



T. LV. 1919-19V.0. 

P icône {M.). — [C2] Sul camhiamento délia variabile d'inte- 
grazione nell' intégrale di Lebesgue [Sur le changement de la 
variable d'intégration dans l'intégrale de Lebesgue] (3i-45). 

Sibivani {F.). — [D 4ea] Espressioni analitiche che defîni- 
scono più funzioni analitiche ad area lacunare [Expressions ana- 
lytiques définissant plusieurs fondions analytiques à espaces 
lacunaires] (46-5o). 

Brusotti (L.). — [B76] Sulla scomposizione di una forma 
binaria biquadratica nella somma di due quadrati [Sur la décom- 
position d'une forme binaire biquadratique en somme de deux 

carrés] (63-68). 

Maiorana {Q-)- — [Ro^] Sur la gravitation (69-88). 

La force de gravitation est peut-être diminuée par une absorption de la part 
de la matière. 

ZanolLi-Bianco (O.). — [U \0a] I concetti moderni sulla figura 
matematica délia terra. Appunti per la storia délie Geodesia. 
Nota IX. Il divario fra l'ellissoide e la terra fluida [Les vues 



UKVUE DRS PUBLICATIONS. 71 

modernes sur la ligure malhématique de la Terre. Note IX". La 
dillerence entre l'ellipsoïde et la Terre duide] (i 58-171). 

Jadanza (A'^. ). — [V9] Commemorazione del Socio corrispon- 
dente proi. Viiicenzo Reina .[Commémoralion du membre cor- 
respondant professeur \. lleinaj (254-258). 

Avec la liste des travaux. 

Gerbaldi (F.). — [B7Z>] Sulla scomposizione di una forma 
binaria biquadratica nella somma di due quadrati [Sur la décom- 
position d'une forme binaire biquadratique en somme de deux 
carrés] ( 259-268). 

San/iia {G.). — [D!2(i] Série di funzioni sommabili uniforme- 
meule col metodo di Borel geueralizzato [Séries de fonctions 
sominables uniformément par la méthode de Borel généralisée]. 
Note II (3 10-322). 

Segve {C). — [^'9] H. -G. Zeuthen. Commémoration (32^- 

328).' 

« 

Colonnetti (G.). — [R. i] R.iso!uzione grafica di alcuni problemi 
relativi ail' equilibrio délie funi pesant! [Résolution graphique 
de quelques problèmes relatifs à l'équilibre des cordes pesantes] 
(345-352). 

Sesifii (O.). — [T!2] Le oscillazioni torsionali degli alberi di 
trasmissione, con massa propia e con masse concentrate in punti 
intermedi [Les oscillations de torsion des arbres de transmission 
avec masse propice et avec des masses concentrées en des points 
intermédiaires] (365-3-5). 

Terracini [A.). — [Q^J Alcune question! sugii spazi tangenli 
e osculatori ad una varietà [Quelques questions relatives aux 
espaces tangents et osculateurs à une variété] (48o-5oo). 



72 SKCONDE PARTIK. 

Panelti (M.). — [V9] Note aulobiografiche fil N. Jadanza 
[Notes autobiographiques dcN. Jadanza] (()33-G4y). 

Avec la liste des travaux. 

SciPIONE RlNDl. 



RENDFGONTO DELL'AGCADEMIA DI'LI.K SCIENZE FISICHE 
E MATEMATICIIK. 

(Classe dalla Società reale di Napoli.) 
Série III, vol. XXII à XXVI, igiG-ig-io. 

Vol. \XFI, 1916, fascicules T-fi. 

Del Re (A .). — Gli haniiltoniani ed i gradienli neirAnalisi générale 
ad n dimcnsioni di Grassmann (Les hamilloniens et gradients 
dans TAnalyse générale à n dimensions de Grassmann) (99-106). 
Haniiltoniani e gradienti rispetto a formazioni non intera- 
mente libère (Hamiltoniens et gradients par ra|)porl à des 
formes non entièrement libres (139-1 43). 

L'auteur étudie, de façon très complète, comment on peut généraliser, dans 
le cas de n dimensions, la définition de ces opérateurs. 

•Vol. XXIII, 1917. 

Pascal (Ernesto) Su di un derivatore polare da servire nella 

radiotelegrafia (Sur un dérivateur polaire pouvant servir dans 
la radiotélégraphie) (09-62). 

Basé sur la propriété de la sous-normale polaire. 

Pascal (Ernesto). — L'integrazione doppia nel campo complesso 
(L'intégration double dans le champ complexe) (63-66). 

Il teorema di Cauchy-Morera esleso agli intégrait doppii délie 
funzioni di variabili complesse (Le théorème de Cauchj-Morera 
étendu aux intégrales doubles des fonctions de variables com- 
plexes) (73-78). 

Intéressante exposition, en suivant une méthode différente, des résultats 
classiques de Poincaré sur cette question. 



KKVUE DKS PUBLICATIONS. 73 

Cipolhi [ Mic/irle). — Sullc série semplieenienle coiivergenli 
(Sur les séries sim[)lcmciit eonveri;entes) (88-C)4)- 

Parmi les résultats de l'aulcm' nous citerons les suivants : si le terme général 
d'une série tend vers zéro, l'ensemble des points limites comprend un point ou 
un intervalle: en modifiant l'ordre des termes d'une série simplement conver- 
gente on peut obtenir ainsi un irilervalle assigné quelconque. 

Amalo ( V incenzo). — Sui f;i'ii[)|)l linili di lipo \ (Sur les groupes 
("mis (le Ijpe 4) (•f'J"' '3). 

Le type d'un groupe étant k s'il y a A' -+- 2 sous-groupes fondamentaux, 
M. Amalo montre que tous les groupes de type 4 sont de rang i. 

Scorza [Gaelano). — Sulle série col termine générale conver- 
gente a zéro (Sur les séries dont le terme général tend vers zéro) 

(i i4-i 2 i). 

De propriétés générales des ensembles l'auteur déduit l'extension, dans le cas 
d'une série à termes imaginaires, du premier des résultats précédemment cités 
de AL Cipolla. 

Vol. XXI\', 1918. 

Montesano [Dojuenico). — Le corrispondenze birazionali piane 
emmisimmetriche (Les correspondances biralionnelles planes 
lîémisjmé triques) (31-78). 

Une correspondance birationnelle entre deux plans est dite hémisymétrique 
si, dans chacun des plans, elle présente seulement deux groupes de points fon- 
damentaux, constitués chacun de points d'égale multiplicité. Détermination de 
tous les types de telles corx'espondances; propriétés fondamentales. 

Morales [Adde). — Sopra un teorema di Poisson nel calcolo 
délie probabilité (Sur un théorème de Poisson dans le calcul 
des probabilités (83-g4). 

Il s'agit du cas où, dans une série d'épreuves, la probabilité d'un événement E 
n'est pas la même à chaque épreuve. On connaît la formule approchée de Poisson 
pour la probabilité d'un écart compris entre des limites fixées. L'auteur, recti- 
fiant et complétant un calcul de Laurent, donne une évaluation du reste de 
cette formule, plus simple que celle donnée par LiapounofT. 

Torelli [Gabriele). — Determinazione dei numeri primi nella 
progressione aritmetica (Détermination des nombres premiers 
dans la progression arithmétique) (1 16-120). 
Bull, des Sciences mathéni., 2° série, t. XLV. (Septembre 1921.) R.9 



74 SKCONDH l'AUTlE. 

Déteriiiiiialion du /;'■''"'' p;iriiii les nombres preipiers {|iii figurent dans une 
progression arilliinélique dont le premier terme el la raison sont premiers entre 



Amalo ( V.). — ^ Sui griippi di ranj^o 2, d'ordinc niininio (Sur les 
groupes de rang 2, d'ordre minimum) (i2i-i3i ). 

Ils sont lioloédriqucmcut is(jmorplies au groupe des suhstilulions de quatre 
éléments. 

Briiiielli i^P.-E .). — Sulla velocità crilica di un alliero rotante, 
in un caso non peraneo posto a calcolo (Sur la vitesse criticjue 
d'un arbre tournant, dans un cas pas encore traité par le calcul) 
(i 32-1 35). 

Aniato {V.). — Sul lipo minimo dei gruppi di rango 2 (^Sur le 
type minimum des groupes de rang 2) (i36-i44)- 

Les groupes de type 5 et 6 sont aussi de rang i. Exemple d'un groupe de 
type 7 et de rang 2. 

Nol. XXV, 19KJ. 

Pascal (Ernesto). — Ln teorema sui determinanti di ordine pari 
(Un théorème sur les déterminants d'ordre pair) (3G-39). 

L'auteur établit le tliéoréme suivant : Tout déterminant d'ordre pair peut 
être mis sous forme d'un pfaffien. Notons que ce résultat, attribué ici à Saal- 
scliùtz. remonte à l3rioschi. 

Andreoli [Giulio). — Sulla derivazione applicata iteratamente a 
funzioni analitiche (Sur la dérivation réitérée des fonctions ana- 
lytiques) (39-48). 

M. Vitali avait indiqué la forme nécessaire et suffisante d'une fonction ana- 
lytique /{z), pour que sa dérivée n'*"" ait une limite pour n infini. L'auteur 
généralise cette recherche, étudiant complètement le cas où il y a, non pas 
une, mais/» limites et le cas où n tend vers l'infini en prenant seulement une 
suite déterminée de valeurs. 

Trapani (Emma). — Calcolo del moto medio asintotico délia 
longitudine del nodo lunare (Calcul du mouvement moyen 
asympto tique du nœud lunaire) (49-69). 

Calcul dépendant d'une équation du type Gyldén, analogue à celle que Ion 
considère dans la théorie de la longitude de la Lune. 



«EVUH DIÎS PU BLICA riONS. 75 

Pascal {Mario). — l^c funzioni monogene di linee complesse 
(Les fonctions monogènes de lignes complexes) (69-77). 

L'auteur obtient les conditions de nionog.-uéilé pour une ligne complexe 
fonction d'une ligne complexe; il établit l'équation qui, dans celte théorie, 
jouera le rùle que joue l'équation de Laplace dans la théorie classique des fonc- 
tions de variable complexe. 

Andreoli {Giulio). — SnU'ilerazione di opcratori differenziali 
lineari (Sur l'itération d'opérateurs dillerentiels linéaires) 
(77-86). 

Suite de la Note précédente; étude des fonctions pour lesquelles existe la 
limite 

lim 0"-j- (e? = a„te-}-a, J +...-+- a„, -j^; a^ constantes 



Pascal {Mario). — Il teorema e la formola di Cauchy per le 
funzioni monogene di linee complesse (Le théorème et la for- 
mule de Cauchj pour les fonctions monogènes de lignes com- 
plexes) (87-95). 

Très complète extension, aux fonctions de lignes envisagées par l'auteur dans 
sa Note précédente, des théorèmes et formules qui sont à la base de la théorie 
des fonctions d'une variable complexe. 

Sannia {Gustavo). — Sviluppo di una funzione analitica in série 
sommabili col metodo di Borel (Développement d'une fonction 
analytique en séries sommables par la méthode de Borel) 

(125-137). 

Un théorème sur l'intégration terme à terme, le long d'une ligne rectifiable, 
d'une série uniformément sommable de fonctions de deux variables complexes. 
Applications diverses; notons surtout celles à la formule de Lagrange et aux 
séries de polynômes de Painlevé. 

Andreoli {Gustai-o). — Slstemi dilTerenziali ad una variabile 
generalizzanti l'equazione di Riccali (Systèmes difFérentiels à 
une variable généraUsant l'équation de Riccati) (i54-i^2). 

Généralisation obtenue en partant d'un système de n + 1 équations linéaires 
et homosèneset en formant le système que vérifient les rapports de n fonctions 
inconnues ;t la (n-+-i,'*"". 



SECONDE PAUTIR. 



Vol XXVI, lyvio, fascicules l-(j. 

Monlesano (/>.). — Su la teorla (Jolie congrucnze lineari dl coniclu; 

nello spazio ( Sur la théorie des congruences linéaires de coniques 

dans l'espace) (60-68). 

Exposé de résultais déjk anciens de l'auteur sur la détermination des divers 
types de ces congruences. Critiques d'objections faites par Godeaux et S. Kantor. 

AndreoU {Giidio). — Sopin alciinc proprielà di cerll slsteml 
differenziali generalizzanli l'equazione dl Rlccali (Sur quelques 
propriétés de certains systèmes dilTérentiels généralisant l'équa- 
tion de Riccati) (66---). 

Dans sa Note précédente (1919), M- Andreoli a généralisé, pour les systèmes 
envisagés, la relation classique du rapport anharmonique constant entre quatre 
solutions de l'équation de Riccati. Il examine ici l'existence d'autres relations 
(indépendantes de la variable) entre systèmes de solutions. 

Cipolla (M.). — Sul crlterio dl convergenza di Hardy (Sur le 
critère de convergence de Hardy) (96-107). 

C'est le critère daprès lequel : étant donnée une suite 'a„l, telle que M„ 
(moyenne des n premiers termes) converge vers a, si l'on a 

n |«„ — a„_, I < k, 

la suite convergera vers a. L'auteur en donne une démonstration très directe, 
dont il déduit d'autres critères plus généraux. 

Picone { Mauro). — Suirintegrale di Rlemann e sua relazione con 
rintegrale di Lebesgue (Sur l'intégrale de Rlemann et sa relation 
avec l'intégrale de Lebesgue) (i 29-1 35). 

Définition directe des intégrales par excès et par défaut d'une fonction définie 
sur un ensemble limité quelconque E. Leur expression comme intégrales (L) 
étendues à TE' des points non extérieurs à E. Conséquences diverses. 

Cipolla (M.). — Sul crlterio di convergenza di Hardy (Sur le 
critère de convergence de Hardy) jNote H (i5i-i6o). 
Notables extensions des critires envisagés dans la première Note. 

Tricomi [Francesco). — Sulle série di funzioni di linee (Sur les 
séries de fonctions de lignes) (160-169). 
Tliéorèmes sur leur continuité et dérivabilité. 



IIKVUE DlîS PUBLICATIONS. 77 

Ainodco il''-)- — T^fî rircrclic di un matcmalico napolelaiio del 
settecento su alcuni Icorcml di Aicliimedl e sidle loro esten- 
sioni (Recherches d'un nialhénialiclen napolitain du xv m'' siècle 
sur quelques tJHîorènies d'Archiniùde et leurs exlensions) 

(1-0-177). 

Pascal (Mario)- — Grinle^rali /i-upli nel campe complesso (Les 
intégrales /^-uples dans le champ complexe) (iSS-iga). 

Géiieialisalion du Ihéorème de Caiichy-Morera pour les fonctions monogènes 
de n variables. 

Trico/ni {Francesco). — Le série di potenze nel campo délie 
funzioni di linee (Les séries de puissances dans la théorie des 
fonctions de lignes) (igS-i^oa). 

Pascal (Mario). — SuU'integrale mulliplo di una forma diffe- 
renziale (Sur Tintégrale multiple d'une forme différentielle) 

(2o3-2lo). 

Conditions pour qu'elle ne dépende que de la frontière du domaine d'inté- 
gration. Application à l'extension du théorème de Cauchy-Morera. 

Joseph Pérès. 



COMPTAS RENDUS hkbdomasaires des séances de l'Académie 
DES Sciences, publiés par MM. les Secrétaires perpétuels^ 

Tome 171, 2' semestre 1920. 

Sicrpiiiski ( W.). — Sur les ensembles mesurables B (24-26). 

En adoptant pour ces ensembles la classifiration de M. HausdorfT, l'auteur 
démontre que toute transformation Ijiunivoque et continue conserve la classe 
d'un ensemble mesurable B. 

Carlan (E.). — Sur l'appHcabilité projective des surfaces (27-29). 

Dans une Note précédente (t. CLXX, 1920, p. 1439); l'auteur a étudié la 
déformation projective des surfaces non réglées; il ajoute ici tout d'abord 
quelques remarques complémentaires, puis il prend le cas des surfaces réglées 
qui donnent lieu aux résultats suivants : Toute surface réglée non dévelop- 
pable admet une infinité de déformées dépendant d'une fonction arbitraire d'un 



78 SECONDK l'AHTlK. 

argument; deux surfaces dont les génératrices ;ippiirliennenl a une congruence 
linéaire, deux surfaces développal)les, sont toujours applical)l€s projecli\enienl 
et la correspondan((! dépend de trois fonctions arl)itraircs d'un argument. Dans 
riiypercspace à /i >> 3 dimensions, les surfaces sont toutes projcclivement indé- 
formables, sauf les développa hies. 

Fubini (G.). — Sur les surfaces projeclivemenl applicaljles 

(88-89). 

A la suite de la première Note de M. Carlan, (itée ci-dessus, l'auteur fait 
remarque)' que la méthode qu'il a indiquée permet de traiter le prolilème. 

Brouwer [L.-E .-J.). — Enumération des classes de représen- 
tations d'une surface sur une autre surface (89-gi). 

Soient deux surfaces it et p d'(jrdre de connexion fini; l'auteur étudie les 
classes de représentations uniformes et continues de - sur p, au sens de l'Ana- 
lysis situs, en faisant intervenir des groupes de courbes continues fermées sur 
it et p; une classe de représcnlations donne lieu, entre ces groupes, à un sys- 
tème de formules de transformations que l'auteur appelle image formelle de 
la classe; à une image formelle < oirespond, suivant le i as : une, deux ou une 
infinité de classes. 

Galbrun. — Sur l'application des équations de l'élasticité aux 
déformations d'un ressort en hélice (91-98). 

On suppose ici la masse du ressort négligeable et les forces extérieures appli- 
quées seulement aux extrémités; on ne conserve, dans la variations des para- 
mètres, que les infiniment petits du premier ordre; le problème dépend alors 
d'une équation différentielle du quatrième ordre, linéaire et à coefficients cons- 
tants, dont on peut discuter la solution suivant que le ressort est soumis à une 
traction ou à une compression. • 

Jouguet {E .). — Remarques sur la résistance des fluides (96-99). 

Après quelques indications historiques, l'auteur montre le profit qu'on peut 
tirer dans cette théorie des considérations de similitude et d'homogénéité des 
formules. 

Fubini {G.). — Sur les fonctions automorphes (i.^ô-iS'j). 

Rappel des travaux de l'auteur, à propos des Leçons publiées par M. Giraud 
sur ce sujet. 

Réinoundos [G.-J.). — Sur le module et les zéros des fonctions 
analytiques (1 5^-169). 

L'auteur ajoute ici quelques résultats à ceux de sa dernière Note (t. CLXX, 



KKVUK DIÎS PUBIJCATIONS. 79 

i()P.o p. 1557); en particulier, il grturalise le célèhre lliéorènie de M. Picard 
par l'énoncé suivant : Une fonction analytique, ayant un noral)re fini v de 
branches dans le voisinage d'un point singulier transcendant isole, prend dans 
ce voisinage toutes les valeurs, sauf iv au plus, l'infini compris. Il étend aussi 
un tliéorèrne de MM. Caratlicodory et Landau sur les suites de fonctions liolo- 
mnrphes. 

Petot {A .). — Sur la représentalion sj)hériqiie des surfaces cl la 
correspondance par plans lanj^enls parallèles (iSg-iCh). 

L'auteur établit d'abi)rd trois formules générales d'où l'on lire facilement 
plusieurs propriétés connues des surfaces: il en déduit quatre expressions qui 
prennent la même valeur sur deux surfaces qui se correspondent par plans 
tangents parallèles, a\ec correspondance des coordonnées («. w). 

Hutnbert (G.). — Sur la représenlalion d'un entier par les formes 
d'Hermite indéfinies, dans un corps quadratique imaginaire 

( 28--293). 

L'auteur a déjà étudié les représentations propres par les formes positives 
d'Ilermile, et obtenu à ce sujet une formule fondamentale {voir t. CLXIX, 
i()i9, p. oi4); la même voie le conduit à une formule analogue pour les formes 
indéfinies. L'application de celle formule à des cas particuliers donne des pro- 
positions importantes sur la représentalion des entiers par certaines catégories 
de formes quadratiques. 

Petot. — Extrait d'une lettre de M. Petot à M. Appell (336). 

L'auleur indique une simplification qu'on peut apporter dans une formule de 
sa Note précédente (voir plus haut). 

Delaunay {ti.). — Sur le nombre des représentations d'un 
nombre par une forme cubique binaire à discriminant négatif 

(336-338). 

En posant .\x^ -{- ^x-y -\- Cxy'^-\- Ey^ = {A., R, C, D), la résolution de 
(A, B, C, D ) = j revient à celle d'équations de la forme (i, «, — p, q) = \ ; 
l'auteur démontre que celle dernière n'a que deux solutions au plus, sauf dans 
quelques cas exceptionnels oi^i elle peut en avoir trois ou quatre. 



Carlson (^•)- — Sur les zéros des séries de Dirichlet (339-34i). 

Soit une série de Dirichlet /(s) = Sa,,^-'; posons s = -j + it el désignons 
par N ( ti, w) le nombre de zéros de / (5) dans la bande o < a < p, | t | < co. 

L'auleur démontre que l'on a : N - + A' -h 5, w < w' + e--**.,- oj '+'-'> *(*+'^), oià 



8o SECONDE PAIMIE. 

pour 5 > o fixe, lime = o (|uarul <•> — ce. On en déduit en parliculier que pour 

la série Ç(«) on a : N( ; — h 5, w 1 ' oji-t-î— 4Ô- dans les mêmes conditions; celle 

inégalité, qui est plus avantageuse que celle de MM. IJoiir et Landau, n'est 
donc pas une propriété spéciale ;» la fonction Ç(.s). 

Bah/ (A .). — Sur les symétries du cliimij) électromagnétique el 
gravi (i (j u e ( '.\/\ 5-348 ) . 

L'auteur montre que le symbolisme qu'il a utilisé dans des Mémoires anté- 
rieurs sur les extensions et applications de la formule de Stockes, permet de 
mettre sous une forme très simple et très symétrique les formules donnc'es par 
M. de Donder dans son Ouvrage sur la Théorie du champ électromagnétique 
de Maxwell-Lorentz et du champ gravi/irjue d'Eimtein. 

Hamherl (G.). — Expression de l'aire non- euclidienne du 
domaine fondamental lié à une forme d'Hermile indéfinie 

(377-382). 

Soit une forme /(:r, y) = xx^, — L);)"k„ du corps i y/p ( P = i ou 2, mod 4)» 
D étant positif sans facteur premier impair (>i) commun a\e< P et non mul- 
tiple de 4; l'auteur olitient. pour l'aire en question, l'expression 



où 6 et u> désignent respectivement les diviseurs premieis impairs (> i; de D 
et P. 



Carleman (T.). — Sur les équations intégrales singulières à 
noyau réel et symétrique (383-386). 

Soit l'équation zi{x)—-^ i K{x, y) ^ {y)d}' = /{x), où K est réel et 
symétrique et tel, en outre, que la fonction de x : I [l<{-r, y)]-dy soit 

•■ cl 

bornée dans le plan des .r, sauf en un nombre fini de points. L'auteur étudie 
les valeurs caractéristiques a du noyau ( nombres pour lesquels 



r'' 

■^{x)—\ K(^,JK)?(r)«'r = 

'-'a 

a une solution | et démontre que : ou bien les a sont tous réels, ou bien tout 
nombre non réel est une valeur caractéristique. 



5. ^ P^-.- v^ - 

RIÎVIIH l)I<:S PUBLICATIONS. 8l 

Oa/hn/n. — Détonnallon d'un ressorl eu In-lice donl les exlré- 
iniU'^ stMit eucaslrces ( 0(SG-38() ). 

On suppose (]ue les exlrémilés sonl encastrées dans des pièces (jui les 
obligeiil à rester sur une même s;énéralrice du cylindre et empt'clienl la section 
du ressort de pivoter autour de son centre. Au moyen des formules de sa der- 
nière Note, dans lesquelles certains termes peu\ent être négligés, l'iuitciir 
détermine alors les expressions des composiinlcs du déplacement de Tune des 
extrémités du ressorl par rapport à l'autre. 

Frcdlioliii [I.). — Sur la réducliou d'un problème de la Méca- 
nique l'alionnelie à une équation intégrale linéaire (426-428). 

Pour contribuer à réaliser une idée émise par l'oincaré, l'aiiltMii montre que 
le système d'é(|uations didérenlieiles 

peut se ramener à la r(''solution dune l'quation intégrale linéaire de deuxième 
espèce. 

Humbci't {P.)- — r>a fonction W/,,j., a„ (-2^15 •••5 ^n) (4^8- 



L"auteur généralise la tléfinition et les propriéii'-s de la fonction W^ Jj;, j') 
qu'il a étudiée dans une Note antérieure (t. CL\X, 1920, p. 833); cette nou- 
velle fonction, comme la précédente, se présente comme un cas limite de la 
fonition hypergéométrique à a \ariables. 

Hnmbert (G.). — Sur une liaison arithmétique entre les formes 
quadratiques ternaires réelles et les formes d'Hermite indéfinies 
( 445-45o). 

L'auteur donne une nouvelle démonstration de la formuJe de l'aire obtenue 
dans sa Note précédente (voir plus haut), basée sur les propriétés de la forme 
quadratique ternaire indéfinie Dx^ — y- — P^;-. 

Jouguet (E.). — Sur les ondes de choc dans les corps solides 

(461-464). 

L'auteur établit les formules qui régissent la propagation des ondes de choc 
dans les solides : elles sont analogues à celles qu'a trouvées Duhem pour les 
fluides visqueux. 

Gdlbriin. — Déformation d'un ressort en hélice (464-466). 

L'auteur reprend le problème qui a fuit l'objet de sa Note précédente {l'oir 
Bull, des Sciences inathém., ^' série, l. XL\ . ( (Jctobre igii.) H. 10 



82 SECONDIi l'AHTIK. 

plus haut), mais en supposant libres les exlrriiiitr-s du ressort: il iruu\c aiti.>-i, 
en particulier, que la variation de distance des extrémités est pr<-.s(mc le double 
de celle de l'autre cas. 

IftnnberL {P.}. — Stir les fonctions hypcrcylindriques {^(jo-^g2). 

Soit AU = o l'équation de Laplace à quatre variables dans laquelle on a fait le 
changement a; — osinÙsin'!/,y — psinO cos^^, ;; = p cos 0, / = ^. 

On peut y satisfaire en posant U = e:*' cosvyV(p, 6); la fonction V .sera dite 
alors hypercylindrique. L'auteur montre que cette fonction peut s'exprimer à 
l'aide d'une certaine fonction G qui se déduit, dans un cas limite, ilc la fonc- 
tion hjpergéoniétrique à deux \arial)les de .M. Appell. 

SinirnoJ] ( V. ). — Sur t|iirltju('.s points de la théorie des équations 
diflérentielles linéaires du second ordre et des fonctions aiito- 
morphes (oio-Dia). 

appelons r, le quotient de deux ititi'-gralcs in(l('-|)endantes de l'équation 
_)'" -hp{x )y' -+-g(x)y = o; 

la fonction inverse x = o{r^) sera en général multiforme, mais il y a un 
intérêt particulier à trouver les cas d'uniformité quand celle fonction est auto- 
morphe. L'auteur donne la solution pour l'équation à quatre points singuliers et à 
intégrales régulières, qui se ramène d'ailleurs à la forme type 

ÏLÎ- L •■*■ ( •^' — « ' ( -t' — ' ).r' ] -H ( j: -+- A )y = o. 

Jouguet (E.). — Sur la célérité des ondes dans les solides élas- 
tiques ( 5 1 2-5 1 4)- ' 

En utilisant les formules de sa dernière Note (voir plus haut), l'auteur 
obtient une expression de la célérité des ondes ordinaires dans les milieux peu 
déformés, qui s'applique à des cas plus généraux que ceux qui avaient été 
étudiés auparavant par Laplace, Poincaré, Duhem et M. Roy. 

Humbert {P.}- — Les fonctions livpercjlindriqucs dans lespace 
à {n-\-2) dimensions (53--.")38). 

En partant de l'équation de Laplace à (m -<- j ) variables indépendantes et en 
opérant comme il l'a fait pour le cas de quatre variables dans sa dernière Note 
{voir plus haut), l'auteur définit une nouvelle fonction V(p, 0) qui a des pro- 
priétés analogues à celles du cas précédent et qui s'exprime au moyen de la 
fonction G déjà considérée. 

Stoilow ('S'.). — Remarques sur les ensembles de mesure nulle à 
plusieurs dimensions ( 539-54ij. 

Soil E un ensemble de points situés dans un plan, supposé borné cl de mesure 



UKVUIÎ DIÎS rUUIJCATIONS. 8} 

siipcrficielle nulle; si l'on projette ces points sur un axe, on obtient un ensemble 
K' qui ne sera pas en général de mesure linéaire nulle. 

L'auteur démontre ([ue si les ensembles E' sont de mesure nulle pour deux 
directions de projection différentes, il en sera de même pour toutes les di-rec- 
tions. Cette propriété, qui intervient dans la classification des ensembles E, 
peut se généraliser au cas d'un nombre quelcon(|uc de dimensions. 

Sonia (/. ). — Remarques sur la lechctxhe des poinls singuliers 
trune fonclion définie par un (l(\clo|)pcnienl en série de Taylor 
(541-543). 

Soient f{x), 3(^), H(jr), les fonctions analytiques définies respectivement 
par les séries de Taylor Sa^.r", ^b„x" et S(7,,/;„a-"; on sait que les seuls points 
singuliers possibles (mais pas certains) de H sont de la forme a|î, a étant sin- 
gulier pour /et ,3 pour a. Cela permet à l'auteur de distinguer, parmi les points 
singuliers d'une fonction 'j(j")> ceux qui donnent toujours lieu, quel que soit/ 
et a, à un point singulier pour U et qu'il nomme />ri/>cipai/x ; il indique un 
critérium pour les reconnaître et en il('duit ([uelques applications à la recherche 
des points singuliers d'une fonction. 

Buhl (A.). — Sur la formule de Stokes dans l'espace-temps 

(547-549). 

L'auteur rappelle une formule obtenue par lui et qui généralise dans l'espace 
à quatre dimensions la formule de Stokes; il montre ici, comment on peut en 
déduire les équations de M. de Donder au sujet du champ gravifique d'Einstein 
et du champ électromagnétique de Maxwell-Lorentz : il est remarquable que 
l'établissement de la formule fondamentale ne repose que sur la notion d'espace 
géométrique, conforme au principe du calcul intégral. 

Appell (P-)- — Sur une équation aux dérivées partielles de la 
théorie des fonctions hypergéomélrlques (557-56o). 

L'auteur indique de remarquables propriétés des intégrales de l'équation 

{x — x-)r— -îxys + (_v — JK-) i -+- [y — (ai-h i -i-i)x]p 
-i-[y'— (a H- 5 -i-t)y]q — a oj = o. 

En particuiier elle donne les fonctions z qui annulent la variation d'une cer- 
taine intégrale double; cela permet de lui appliquer les résultats obtenus par 
M. E. Picard et de la ramener à la forme r -^ t^i-f{x, 7- ) c = o. 

Gevrey {M.). — Sur la détermination des fonctions de Green 

(6 10-61 p.). 

En se bornant aux équations du second ordre du type elliptique, à n variables 
indépendantes, l'auteur montre que la construction de la fonction de Green 
pour le problème de Dirichlet peut être ramenée à dépendre uniquement de la 



84 SKCONDK l'A HT I H. 

résolution d'une équ;itioii de Fredliohn du type classique ; la méthode i>t v;diil>le 
pour des contours iiyanl des points singuliers coniques. 

Varo(>o(tLos ( Th.). — Sur (jikUjucs théorèmes de M. Rcmoundos 

(()i3-()i4). 

L'auteur indique sans démonstration, au sujet de la croissance des fonctions 
entières, des inégalités plus précises que celles qu'a données M. Hémoundos 

(t. CLW, 170, I.)?.), p. 829). 

Sonia (J.). — Généralisalion (riiii lliéoi-rmc de M. Leau relatif à 
la recherche des points sinj;idl(;rs d'une f'onclion déliniepar une 
série de Taylor (()i4-6i<j). 

Soittj5(<) = ^((,J" une fonction qui n'admet que t — i comme singularité à 
distance finie; on ne eonsidère qu'une branche de cette fonction et l'on suppose 
(ju'il existe < /. ; I tel (]ue {i — t)'' -^{t ) leste borne en module au voisinage 
de t = i. M, Leau a démontré (lue si g(u) est une fonction entière, la fonc- 
tion }^g{a,^)t" n'a que le, point singulier i à distance finie; l'auteur démontre 
que ce résultat subsiste si g(if) est holomorphe pour a = o et 

u — a„{n = 1,2, .. . ). 

Biliitiovitch (.in.). — Sur les équalions intrinsèques du mouve- 
ment d'un corps solide (6i()-6i8). 

L'auteur établit les cquatums générales du mouvemenl d'un solide, rapporté 
à des axes quelconques, en utilisant les notations vectorielles ; elles se simplifient 
quand on prend des axes en liaison avec les circonstances du mouvement. 

Vâlcovici ( V.). — Sur les forces hydrodynamiques dans des mou- 
vements différant entre eux par une rotation uniforme de tout 
l'espace (619-621). 

L'auteur démontre que le système des forces exercées sur un solide il, par 
un lluide incompressible qui tourne unifprmément autour d'un axe fixe, est 
équivalent au système des forces exercées par le fiuide en repos sur le solide 
tournant dans les mêmes conditions mais en sens inverse, auquel il faut adjoindre 
le système des forces centrifuges de la masse du fluide déplacé par 2 dans le 
même mouvement de rotation. 

Cliâtelet {A.). — Enumération et constitution des corps abéliens 
quelconques (658-6<iiV 

L'auteur a constaté que la classification et la constitution des corps abéliens 
s'obtiennent plus naturellement par la considération des facteurs du discrimi- 
nant que par celle du degré; il indique alors un procédé de composition des 



HKVUI': DIÎS PUBLICATIONS. 85 

corps et d.'m..i.lie que tout corps abélien résulte d<- la composition de corps 
simples, dont les discriminants sont des puissances de nombres premiers dide- 
renls; il donne quelques propriétés de ces corps simples et étudie la décompo- 
sition d'un nombre premier dans un corps abélien. 

Antoine (L.). — Sur la possibilité (l'étendre l'homéomorphie de 
deux figures à leur voisinage ( 6(n-i)i)^).. 

Soient F ei / deux fitîures hi)méoniorpbes dans des espaces E et e ayant n 
dimensions; peut-on déterminer deux figures F„ /„ homéomorphes, telles que 
F et / se correspondent dans leur homéoniorphie, chaque point de F ou / étant 
centre d'une hypersi)l:èrc à (n — i) dimensions, de rayon non nul, dont tout 
l'intérieur appartienne à F, ou /, ? L'auteur montre sur de nombreux exemples 
que cela n'est pas toujours possible et il en lire d'intéressantes propriétés des 
ensembles fermés, discontinus et bornés. 

Andrade (J.). — Les frottements et risochronisme (664). 

Soit un mouvement pendulaire simple, troublé par une résistance propor- 
tionnelle à la valeur absolue de l'écart au point mort : les semi-amplitudes 
décroissent alors en progression géométrique et les oscillations sont rigou- 
reusement isochrones. 

Appell (P.). — Sur les oscillations ellipsoïdales d'une sphère 
liquide (761-766). 

Soit une sphère liquide homogène, immobile, soumise à l'attraction newto- 
nienne de ses particules et à une pression constante sur sa surface; l'auteur 
étudie les oscillations infiniment petites du liquide pour lesquelles la surface libre 
reste ellipsoïdale; sa méthode, qui diffère de celle de Poincaré, s'applique de 
même à l'étude des oscillations ellipsoïdales autour d'un ellipsoïde d'équilibre 
relatif de Mac Laurin ou de Jacobi. 

Birkeland {R.). — Résolution de l'équation algébrique trifiome 
par des fonctions hjpergéométriques supérieures (778-781). 

IJauteur donne les expressions explicites des racines de l'équation z" = gz- -+- 3, 
au moyen des fonctions hypergéoniélriques supérieures, en utilisant la théorie 
de ces fonctions qu'adonnée M. Goursat. 

Zervos. — Sur quelques transformations des équations aux dérivées 
partielles du second ordre (781-783). 

L'auteur étudie les cas où la transformation 

p = f{x,y, -•, />, q)-\-a{x.y, p. </):■', 
q — -fix, y, z, p, q) -hOiJT, r, />, q ) :■' 

conduit à une équation ne coiil( nant pas z' . 



86 SECONDK PARTIE. 

Camichel (C), Eydoux {0-) <'f Foch {A.). — Sur la transmis- 
sion de l'énergie par les vibrations de liquides dans les condiiiics 

(783--S6). 

La méthode d'Alliévi, pour le calcul des coups de bélier, peirnel l'élude delà 
transmission de l'énergie au moyen d'ondes vibratoires envoyées dans une con- 
duite pleine par un piston animé d'un mouvement alternatif; les auteurs 
élablissenl les calculs donnant la puissance moyenne transmise, suivant les dis- 
positifs que l'on peut adopter. 

Bu/il [ji .). — Sur les symélrics du {:liani|) j^ravifiquc cl If-xlen- 
sion lorentzienne du principe d'Hamillon (-86--88). 

L'auteur ajoute quelques résultats à ceux de sa Note précédente (voir plus 
haut): en particulier il obtient une forme L, généralisant la forme quadratique 
qui permet, en .Mécanique classique, de passer du principe d'Hamillon aux 
équations canoniques : cette forme L conduit précisément à l'extension qu'a 
donnée Lorentz du principe d'Hamillon. 

Jouguet {E.). — Sur la variation d'entropie dans les ondes de 
choc des solides élastiques (78()-"9 0. 

En utilisant les équations données dans ses Notes précédente» (voir plus 
haut), l'auteur étudie la variation d'entropie dans le cas des petites disconti- 
nuités de propagation; il démontre ainsi que dans ce cas la loi adiabatique 
dynamique d'Hugoniol est très voisine de la loi adiabatique ordinaire. 

Sparre {M. de). — Sur le coup de bélier dans les conduites 
forcées alimentant des turbines à forte réaction (833-835). 

La formule employée habituellement pour le calcul du coup de bélier 
maximum peut donner une valeur de 60 pour 100 trop faible quand il s'agit 
d'une turbine à forte réaction; l'auteur établit la correction très importante 
qu'il faut apporter dans ce cas. 

Gevrey (M.). — Sur la résolution des problèmes aux limites 
relatifs aux équations du second ordre des types elliptique et 
parabolique (839-842). 

La méthode indiquée par l'auteur dans sa Note précédente (voir plus haut) 
permet d'obtenir la fonction de Green, pour le problème de Dirichlet m/eWeîw, 
au moyen d'une équation intégrale, dans le cas des équations linéaires du type 
elliptique; l'auteur l'étend au cas de divers problèmes aux limites, en parti- 
culier au cas du problème extérieur; il traite également le cas de l'équation 
parabolique à deux variables. 



UKVUli l>HS PUBLICATIONS. 87 

Gambier (B.). — Couples de deux surfaces mininia se corres- 
pondant comme focales d'une congrueiu<' recllligne, avec con- 
servation des lignes asjmptotiques et des lignes de longueur 
■ nulle (84a-845). 

L'auteur donne la solution la plus générale He ce problème, qui est constituée 
par le lieu des milieux de MM' et M, M', lorsque les points M. M, M,, M', 
d.'criveni respectivement quatre courbes minima particulières; il en étudie 
quelques propriétés : par exemple, la réalité simultanée ou non des points homo- 
logues sur les deux surfaces; il étudie enfin une solution composée de deux 
surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution. 

Bisser. — Sur une application de l'équation <le N'olterra au pro- 
blème de la répartition par âge dans les milieux à effectif cons- 
tant (845-84;). 

Soient !p(^) la loi caractéristique des entrées à l'âge x. l{\) la loi de survie 
à l'àee \: on a à résoudre l'équation 



/(X)-f- / »(.r)/(\ -.r) <rte = 1. 

En remplaçant /(X) par une série d'exponentielles uniformément convergente 
dans l'intervalle considéré, on est ramené à une équation du type de Volterra. 

Lecornu (L.). — Sur le mouvement permanent des liquides 
(881-885). 

L'auteur montre que, si les forces extérieures dépendent d'un potentiel, les 
trajectoires moléculaires vérifient une condition spéciale, en sorte qu'un 
ensemble quelconque de courbes ne peut en général constituer un système 
possible de trajectoires. Il donne rette condition sous forme analytique et sous 
forme géométrique, et il étudie quelques ensembles de courbes particulière- 
ment remarquables. 

Joamœt {/£.). — Application du principe de Carnot-Glausius 
aux ondes de choc des solides élastiques (904-907 ). 

Ce principe permet d'ajouter quelques conditions d'inégalité aux équations 
données par lauteur dans ses Notes précédentes {voir plus haut); en négli- 
geant certains termes petits, on peut ainsi obtenir des résultats sur les célé- 
rités relatives de l'onde de choc et des diverses oncles d'accélération. 

Varopoulos {Th.). — Sur les fonctions algébroïdes et les fonc- 
tions croissantes (991-992 j- 
Soit ;< = 9 (:;) une fonction à v branches, définie par /{u, z- ) = o, / dési- 



88 SECONDE PAHTIE. 

gnanl un polynôme de degré v en u dont les ( oefCicienls suni des fondions 
entières ou méroinorphes de z: on ap|)ellera ra/ew/- exceptionnelle de »(;) tout 
nombre a tel que ^{z) = a admette un nombie fini de racines; l'auteur 
démontre que, sauf exceptions, le nombre des valeurs txeeptionncllcs ne dépasse 
pas V + 1. Il ajoute quelques autres résultats qui (:omi)lctenl ceux de M. Hénioun- 
' dos sur ce sujet et sur la croissance des fonctions. 

Birkeland (/?•)• — Résolnlion de l"(''(|iiiili()ii griKTalc du ciii-, 
( j u le n le degré (1047-1 o 49 ) . 

Un théorème de Yerraid permet, en résolvant une équation du troisième degré, 
de ramener l'équation générale du cinquième degré à la forme J7'= gx -\- p, qui 
appartient à la forme trinôme résolue par l'auteur dans sa Note précédente (^voir 
plus haut); l'auteur donne la solution explicite, au moyen de fonctions hyper- 
géométriques supéiieures, et les formules obtenues pcrmetlenv d'étudier les 
points critiques fies racines et les substitutions (|u"elles subissenl quand on 
fait varier |i et g. 

Gainbier {B.). — Applicalioii imaginaire de deu.v surfaces réelles 
ou imaginaires. Systèmes cycliques ou systèmes triples ortho- 
gonaux réels correspondants ( 1049-1 o52). 

L'auteur montre que, comme il arrive pour beaucoup de pioblèmes éloignés 
en apparence de celui de la déformation des surfaces, la détermination des 
systèmes cycliques réels se ramène à celle de deux surfaces applicables S et S', 
les points réels de S ayant pour homologues des points imaginaires de S'. Les 
lignes de courbure réelles des trajectoires orthogonales des cercles forment 
avec ceux-ci un système triple orthogonal réel; l'auteur en étudie diverses 
propriétés et traite l'exemple qui dérive de la développée de la surface d'Enneper, 
laquelle admet une infinité d'auto-applicalions. 

Dumas [G.)el CJiuaid {J-)- — Sur les homologies de Poincaré 
(i I i3-i 1 16 ). 

Ces homologies interviennent dans beaucoup de questions A' Analysi$ situs; 
les auteurs se proposent d'en expliquer la nature et les diverses combinaisons, 
qui sont analogues à celles des équations. 

Hunibert [P.). — L'équation de Laplaee en coordonnées hyper- 
loroïdalcs ( 1 1 16-1 i 19). 

L'auteur fait le changement de variables suivant : 



l),i — usliT, Dy = vshs. D z = \ i — «'-— »-s/ts, D^ = — sinO 

(avec D = cha — chO), dans lequel les surfaces ï = const. sont des hypertores; 
l'équation de Laplaee à quatre variables indépendantes x, y, z, t donne alors une 
nouvelle équation dont certaines solutions particulières généralisent les 
polynômes '^>iii n{x, y) d'Hermite et de Didon. 



n \A*/-^ 



KKVUE DES PDIJLICATIONS. 89 

Axel Egnell. — Congruence de droites dont lu surface moyenne 
est une surtacc donnée (i i i()-i wxi). 

En utilisant les notations vectorielles, l'auteur montre que le problème 
dépend de l'inlrgration d'une équation de Riccati; les propriétés connues de 
ces intégrales fournissent alors divers résultats intéressants pour ce problème. 



Fontviùlant (A?. dc\ — Calctd des ponts circulaires à une seule 
travée, comportant deux contreventements et des entretoise- 
ments transversaux sur leurs appuis seulement (i 122-1 124). 

Dans des Notes antérieures (t. CLXX, 1920, p. 876 et 71)6), l'auteur a établi 
le calcul des elForts pour un pont à entretoisements transversaux dans toute la 
longueur; il montre qu'on peut supprimer ces derniers à condition de munir 
le pont de deux contreventements; les résultats du calcul se résument en deux 
tliéorémes donnant le moment composé et les efTorts tranchants. 

Guichard (C). — Sur les réseaux qui comprennent une famille 
de géodésiques et tels que leur polaire réciproque par rapport à 
un complexe linéaire soit un réseau O (1 187-1 190). 

La solution de ce problème se ramène ii celle de divers autres, traités par 
l'auteur dans des Notes antérieures, et à la recherche de trois solutions d'une 
même équation de Moutard, telles que la somme de leurs carrés ne dépende 
que d'une seule des deux variables. 

Bahl (A.). — Sur les intégrales doubles en lesquelles les pseudo- 
lignes d'infini sont lignes de zéros (i 198-1200). 



Si l'oû pose 



l'identité 



prend la forme 



--m&v ^- -■<>•'■ 



f'xdy = f f dXilY 

Je i- J s 



A dx dy 



et l'auteur a établi antérieurement les conditions pour que A soit divisible 
par {x — <xy-; il étudie ici le cas où A contient (.r — «)' en facteur, de sorte 
qu'une ligne d'infini située sous l'intégrale simple correspond au second 
membre à une ligne de zéros sous l'intégrale double. Ce cas est très important 
pour le dénombi'eiMcnt des intégrales doubles de seconde espèce attachées à une 
surface algébrique. 
Bull, des Sciences mathéin., 2' série, t. XLV. (Novembre 1921.) H.n 



go SECONDE PAKIIE. 

Varopoulos [Th.). — Sur un(3 classe de (oiiclions à un aoinhrc 
infini de branches (1200-1202). 

Considérons les fonctions u{z) définies pur 

.\„(c) + A, (c) «+...-+- \„_,(^)H"-' + /(.^ u) =0, 
/(.-, u) = 9, (//)«, (c)-+-...-f-9,,(M)fl^(^), 

où les 9,{«) sonL des fondions uniformes et les «,(-) des fonctions enliércs 
d'ordre inférieur au plus grand ordre e^' ' ') de* fonctions entières A,( 5 ) ; l'auteur 
étend à ces fonctions les résultais de sa Note précédente (i.o//' plus haut) rela- 
tivement aux valeurs exceptionnelles de ces fonctions. 

Takngi. — Sur les corps résolubles algébriquement (i202-i2o5). 

L'auteur généralise de la manière suivante un tliéorènie de Dedekind : soient 
k un corps de d«gré premier résoluble algébriquement, K„ le corps cyclique 
correspondant; si l'on définit les classes d'idéaux de K„ suivant le module F, le 
groupe de ces classes coiilienl un sous-groupe / tel (]ue, parmi les nombres pre- 
miers rationnels ne divisant pas le discriminant de /. et se décomposant en fac- 
teurs premiers du premier degré dans K,,, ceux qui se décomposent en fadeurs 
premiers du premier degré dans /•■, et ceux-là seuls, sont égaux à la norme d'un 
idéal de K^ faisant partie de ce sous-groupe. 

Dickson [L.-E.). — Les polynômes égaux à des déterminants 
(i36o-i362). 

L'aulcur démontre que les seuls polynômes homogènes et généraux qui soient 
égaux, à des déterminants, dont les éléments sont des fonctions linéaires, sont : 
les formes à deux ou trois variables, les formes quadratiques et cubiques à 
quatre variables. 

Bays (S.). — Sur les systèmes cycliques de triples de Steiner 

(i363-i365). 

Les systèmes de triples de Steiner sont les ensembles de combinaisons trois 
à trois de N élémenls, contenant une fois et une seule chaque couple de ces 
éléments: un tel syslèrne est cyclique s'il comprend N = 6rt-+-i éléments dont 
les /jN triples sont répartis en n séries cycliques de la" forme a-hx, b-^x, 
c-\-x, {x-=.\, ..., N). L'auteur indiifue un moj'cn pour former les différents 
systèmes cycliques correspondant à toute valeur de n. 

Giraul {G.). — Réponse à une Note de M. Fubini sur les fonc- 
tions automorphes (i 365-1 3(36). 

L'auteur montre par un exemple la nécessité de la restriction qu'ila apportée 
à un énoncé de M. Fubini, au sujet des groupes de collinéations réelles conser- 
vant les formes quadratiques du type ,z-J -h a;^ — {xl-\-. . .-^ x)i). 



i{i<:vni<: niis imjim.ications. gi 

Ifiiinbcrt (P.). — ^ Sur les fonctions liyperloroïdales et leur lien 
avec les fonctions hjpcrsphéri'ques (i 066-1. )68). 

Un changement de variables analogue à celui de la Note piécédente du même 
auteur {voir plus liant), dans la même équation de Laplace, conduit à une fonc- 
tion qui généralise le polynôme Xm,n{j^, y) d'Hermile; ces fonctions hyperto- 
roïdales sont aux fonctions hypersphériques exactement ce que les fonctions 
toroVdaii's sont atix fonctions sphériques. 

Vitropoulos [Th.). — Sur les zéros des intégrales d'une classe 
d'équations dillérentielles (i368-i369). 

L'auteur étend les résultats donnés dans ses Notes précédentes {voir plus 
haut) aux intégrales de l'équation 

A,(;) -t-A,(^)«-+-...-t- Aj^^,(;;)«;^-"' H- «;*-*-=«!• («, u', ..., ?<« ) - q, 
où les A,(c) sont des fonctions entières et 'I> un polynôme. 

Birkeland (/?•)• — Résolution de l'équation algébrique générale 
par des fonctions liypergéométriques de plusieurs variables 
(1370-1372). 

Appelons avec Fauteur « fonction hypergéométriquc de /> variables » la fonc- 
tion — lvn„no,...«,,^"> ••• -2!',''., dans laquelle les rapports de deux coefficients K 
quelconques sont des fonctions rationnelles de leurs indices; l'auteur démontre 
alors que les n racines d'une équation algébrique générale de degré n peuvent 
s'exprimer par une somme de fonctions hypergéométriques de n — i variables, 
qu'il indique explicitement. 

Fontvioianl {B. de). — Calcul des ponts circulaires, à travées 
continues, comportant deux, contreventements et des entre- 
toisements transversaux sur leurs appuis seulement (1372- 
'3-4). 

L'auteur établit le calcul des ponts du même tj'pe que celui dont il s'agit 
dans sa Note précédente (roi;- plus haut), mais comportant des travées conti- 
nues au lieu d'une travée unique. 

BlocJi (L.). — Remarque sur la théorie de Lorentz comparée à 
celle de Mie (1 379-1380). 

L'auteur a remarqué que la théorie de Fokker-Lorenlz utilise des équa- 
tions qui impliquent contradiction; on ne peut la rendre cohérente qu'en intro- 
duisant une fonction inconnue (que les auteurs supposent nulle); mais alors 
cette théorie ne présente plus d'avaniagc sur celle de Mie-Hilbért. 

£. Gau. 



tyi SECONDE PARTIE. 



RENDfCONTO DELLE SESSION! DELLA K. ACGADEMIA. 

DELLE SCIENZE DELL'ISTITUTO DI BOLOGNA. 

Classe di Scienze fisiche. 

Nuova Série, Vol. XVI, loii-igri ('). 

Enrîques (/'■). — [M2 8rt] Alcune osservazioni inlorno aile 
superficie razionali reali [Quelques observations sur les surfaces 
rationnelles réelles] (^o--3). 

Soit une surface 

f{x, y, z) =z o 

représentable sur le plan par les relations 

X = (f {u, r), 

y = 4'("i ^)y 

z = yAu, ^')- 

L'ordre de connexion de la surface est l'unité augmentée du nombre des points 
de base du système . 

(•) '9 + î-^'t' -^ '/. — o 

et diminuée du nombre des courbes exceptionnelles fondamentales du même 
système. 

Toutes les surfaces algébriques réelles d'ordre impair ont au moins une 
nappe d'ordre impair unilatérale. Une surface rationnelle réelle d'ordre pair 
est unilatérale si la somme des ordres des courbes exceptionnelles fondamen- 
tales de (i) est paire. 

Pincherle {S.). — [^^^9] Commemorazione del prof. Arzelà 
[Commémoration de M. le prof. Arzelà] (i 5g- 1^9). 

Avec la liste des 4^ travaux de M. Arzelà. 



Vol. XVII, 191-2-1913. 

Enriques (F.). — [L|8^] SuUa teoria geonietrica degli imma- 
ginari [Sur la théorie géométrique des imaginaires] (69-72). 

La correspondance entre les points réels et imaginaires d'un plan et les points 
réels de S^ conduit à la représentation de Slandt. 

(>) Voir Bull, des Se. math., t. XXXVIII3, p. 16. 



UlîVUH l>IÎS PUUIJCATIONS. 98 

Donali (A,.). — Y^'^] Dia^rainma per i motori sincroni e alter- 
natori [Diaj^ranune pour les inolcurs synchrones et allerna- 
teurs] (8i-()o). 

Vol. XVIII, i9i3-i«)i.1. 

Pincherle {S.). — [Tl 1 1 ] Appunli di calcolo funzlonale [Noies 
de calcul fonctionnel] (20-22). 

Rectification au Mémoire de même titre inséré au Tome \'III (0° série), 191 1, 
(les Mémoires de cette Académie, page 117. 

Pincherle (5'.). — [H 11] Alcune osservazioni sulla iterata di 
una funzione data [Quelques observations sur l'itérée d'une 
fonction donnée] (-5-88). 

Généralités sur l'opération 

Donati {L.). — [T7] Sulle forze ponderomotrici e le tensioni 
elettromagnetiche [Sur les forces motrices et les tensions élec- 
tromagnétiques] (i24-i34). 

Vol. XIX, 1914-191J. 

Enriques {F.). — [Mol, réf. Q2] Sulle intersezioni di due 
varietà algebriclie [Sur les intersections de deux variétés algé- 
briques] (90-92). 

Une surface d'ordre ni et une courbe d'ordre n ont mn points communs. La 
démonslration de Poncelet {Analyse des transversales, n" '241; Journ. de 
Crelle,l. 8, et Traité, 1866, t. II, p. 224) peuf être généralisée et appliquée 
à deux variétés V,'-", V/^_,. de S„. 

Donali {L.). — [T7] Sul fenomeno d'inversione nei trasfor- 
matori a corrente alternativa [Sur le phénomène d'inversion 
dans les transformateurs à courant alterné] (98-106). 

Vol. XX, 1915-191G. 

Pincherle (-5".). — [H 11] Sopra alcuni nuclei analitici [Sur 
certains noyaux analytiques] (85-ioo). 



f)', SECOND K PAHTIK. 

Sur la théorie des équations intégr;ilcs dans le clianip des fondions analj- 
tiques et ;"» noyanx de la fni'ine 



2- 2- j"-" 



1 = v = o 



Donati (/-•). — [T^T] Sul comporlaniento niagnetico cd ener- 
getico di corrcnli elellriche con circuiti privi dl resistenza 
[Sur le comportement magnétique et énergétique de courants 
électriques à circuits dépourvus de résistance] (loS^-ioç)). 

Enriques {F.). — [MoS^/] L'intorno di una curva sopra una 
superficie algebrica [Sur le domaine d'une courbe sur une surface 
algébrique] (109-1 12). 

Le domaine d'une courbe algébrique sur une surface algébrique peut être 
regarde comme une surface rationnelle avec un ordre d'approximation aussi 
grand que l'on veut. Applications à la théorie des singularités des surfaces. 

Burgatti {D.). — [T2] Il principio di Arcbimede nei mezzi 
solidi [Le principe d'Arcliiméde dans les milieux solides] 
(120-124). 

Corps rigide dans un milieu solide élastique. Les conclusions sur le mouve- 
ment du corps expliquent les désagrégations qui ont lieu parfois dans certains 
matériaux. 

VoL XXI, 1916- 1917. 

Donati (L.). — [T7] Le correnti alternative e la legge di reci- 
procità [Les courants alternés et la loi de réciprocité] (55-6i). 

Pinchcrle (S.). — [H 11] Appunti su alcuni problemi d'itera- 
zione [Notes sur certains problèmes d'itération] (86-97). 

Enriqiies {F-)- — [Mo8«] Osservazioni sidle falde di una 
superficie algebrica nell' intorno di un punto singolare [Obser- 
vations sur les nappes d'une surface algébrique dans le doipaine 
d'un point singulier] (102-103/). 

La surface, dans le domaine d'un point r-uple, est constituée par une seule 
nappe lorsque les r valeurs de la fonction algébrique z{x, y) forment (par 



IIKVUI-: DliS PUBLICATIONS. 95 

( DiUiiuialioii ) une l'oacti'Hi unatylique iri'ccluctilile Jans ce doinaiiie. Si ^ (.r, _)' ) 
esL rcilucLil)le, la surfaire se tlécotnpose en plusieui's nappes. Cas du point l)ipla- 
naire. Le domaine d'un point t-uple peut être approché autant qu'on veut 
par une surface rationnelle à point /-uple. 

Burgatii (P- )• — [S2eaJ Sopra un paradosso iiella teoria del 
molo iiiiiforiiie d un solide inimerso in un fluido perfette [Sur 
un |)ai'a(loxe dans la théorie du niouvciucnt d'un solide plongé 
dans un lluide parfait] (i i5-i 19). 

lilant />„ la pression li ydrostalique, il ne peut exister de mouvement de 
translation avec une vitesse supérieure à v'^/'o- 

SciPIONE RiNDI. 



MEiMORIE DELL,V AGGADEYHA DELLE SCIENZE 
DELLISTITUTO DI BOLOGNA. 

Série ^ I. T. X, I9i2-i9[3 ( ' j. 

Razzaboni {A.). — [0 6/t] Deterininazione délie curve in oui 
si trasfoiina lellisse di gola dell' iperboloide ad una falda per 
defonnazione continua délia superficie [Détermination des 
courbes en lesquelles se transforme l'ellipse de gorge de l'hjper- 
boloïde à une nappe par déformation continue de la surface] 
(ii-i5). 

Équation intrinsèque fies courbes transformées. Pour l'h} perholoïde de rota- 
tion on retrouve le résultat obtenu par Laguerre. 

Guardiicci {F.). — [-*^^] Sopra un nuovo planimetro polare 
[Sur un notiveau planimètre polaire] (iy-20). 

Righi [A.). — [T6] Nuove ricerche sulle rotazioni ionomagne- 
tiche [Nouvelles recherches sur les rotations iono-magnétiques) 

Uurgalti (P-)- — [R-8c[j] Ricerche analitiche std molo dei 
giroscopi in un campo potenziale [Recherches analytiques 



(') Voir Bull, des Se. nialh., t. XXXIX,,, p. 5G. 



96 SECOND lî PAUTIIÎ. 

sur le mouvement des gyroscopes dans un chani|) polenllelj 
(i55-i64). 

Reclicrclic des intégrales algél)riqucs pour des champs poleiiliels dilTércnls 
du champ de gravitation. 

Série \ II, T. I, 1913-1914. 

Giiarducci (/*•)• — [U] Determinazione délie latiludine aslro- 
nomica di Modena [Détermination de la latitude astronomique 
de Modène] (4i-43). 

Razzaboni {A.). — [05/| SuUe superficie nelle quali i circoli 
osculatori délie linee di curvalura di un sistema tagliano un piano 
fisso sotto angolo costante [Sur les surfaces dans lesquelles les 
cercles osculateurs des lignes de coui^bure d'un système rencon- 
trant un plan fixe sous un angle constant] (1 i.3-i35). 

Enriqiies (/*.). — [.M,2J Sul teorema d'invarianza délia série 
canonica g'l~p^_^ appartenente ad iina curva algebrica di génère /> 
[Sur le théorème d'invariance de la série canonique g'^jZi appar- 
tenant à une courbe algébrique de genre/?] (iSg-igS). 

Burgatti (P.). — Sulle deformazioni continue dei corpi continui 
[Sur les déformations continues des corps continus] (237-244)- 

Tractation au moyen du calcul vectoriel. 

T. II, I9r4-(9i5. 

Canevazzi {S.). — [T2rt] Determinazione grafica dell' asse 
neutro nei solidi molto curvi soggetti a flessione [Détermina- 
tion graphique de l'axe neutre dans les solides très courbés 
soumis à une flexion] (5i-58, une planche). 

Righi {A.). — [T6] Sul moto dei ioni (ed elettroni) in un 
campo elettrico e magnetico e su diversi fenomeni che ne dipen- 
dono [Sur le mouvement des ions (et des électrons) dans un 
champ électrique et magnétique et sur divers phénomènes qui 
en dépendent] (iô3-i83). 



RRVUE DKS PUBLICATIONS. y; 

Raj'na (M.). — [U] Passaggio di MtM'curio sul discd solarc a 
di - novembre 1914 osservato nclla speeola délia R. Univcrsilà 
(11 Bologna [Passage de Mercure sur le disque solaire du 
~ novembre 191 1, observé à l'Observatoire de l'Université 
rojale de Bologne] (1 85- 186). 

Guoj'ducci (F.). — [U 10] Sopra un caso spéciale di determi- 
nazione geodetica di un punto [Sur un cas spécial dé détermina- 
tion géodésique d'un point] (aô 1-255, un Tableau). 

Burgatli {P.). — [Roa] Osservazionl sull' origine délie comète 
[Observations sur l'origine des comètes] (3o5-3i2). 

Razzaboni {A.). — [0 3] SuUa trasforniazlone délie curve a 
flessione costante [Sur la transformation des courbes à flexion 
constante] (345-35 1). 



T. III, 1915-1916. 

CanevazzL (S.). — [T2] Metodo abbreviato di calcolo per le 
Iravi quadrangolate ad asse rettilineo e ad altezza costante o 
variabile [Méthode abrégée de calcul pour les poutres quadran- 
gulées à axe recliligne et à hauteur constante ou variable] 
(3-22, une Planche). 

Righi (A.). — [To] Sulla fase iniziale délia scarica in campo 
magnetico [Sur la phase initiale de la décharge dans un champ 
magnétique] (93-112). 

Guarducci {F.). — [UIO] Sul trasporto délie coordinate geo- 
grafiche lungo archi di geodetica dell' ellissoide terrestre [Sur 
le transport des coordonnées géographiques sur des arcs de 
géodésique de l'ellipsoïde terrestre] (193-199, un Tableau). 

Razzahoni (A.). — [0 3] Considerazioni sulla trasformazione 
délie curve a flessione costante a centro di curvatura idéale in 
Bull, des Sciences matliém., 2" série, t. \LV, (Décembre 192 1.) U.12 



SFiCONDE l'AUTIE. 

Geoinclria iperbolica [Considéralioiis sur lu Irausforinaliou des 
courbes à flexion conslante à centre de courbure idéal en Géo- 
mélrie hjperbolitjuc | (201-20^). 



T. I\', i9i(>-i()i7. 

Razzahoni {^A.). — [Oo/J SuUa superficie con un sistenia di 
linee di curvatura a flessione coslante [Sur les surfaces dont lest 
lignes de courbure d'un sjstènie sont à flexion constante] 

(29-41). 

Canei-azzi{S.). — fTi2J Archi elastici ribassati. Metodo abbre- 
vialo di calcolo | Arcs élastiques rabaissés. Méthode abrégée de 
calcul] (43-5 1, une Planche). 

Righi {A.). — [T6] Sulla ionizzazione prodotta dai raggi X 
nel campo niagnclico [Sur l'ionisation produite par les rayons X 
dans le champ magnétique] (53-^o). 

Guarducci (F.). — [U 10] Sui Iriangoli formati da tre geode- 
tiche suir ellissoide terrestre [Sur les triangles formés par trois 
géodésiques sur l'Ellipsoïde teri^eslre] (99-102). 

Burgatti (/*•)• — [Roa] 1 teoremi del gradiente, délia diver- 
oenza, délia rotazione, sopra una superficie, e loro applicazione 
ai potenziali [Les théorèmes du gradient, de la divergence, de la 
rotation, sur une surface, et leur application aux potentiels] 

(io3-i 12). 

Les formules pour l'espace 

/ grad Y ds =— j 'yii ds, 

/ div uds = — I u X n rfs, 

/ rotu ds =— I u /\ n ds 

peuvent s'appliquer aux aires planes. Pour les surfaces courbes limilées par un 



UEVUE DES PUBLICATIONS. 99 

coiiloiir, elles sont substituées pcTr les suivantes : 

/ di\„u cl- — I (u X n ) divn ch — 1 u x v ds, 

I gradua </5= / andivn^/'T— / i-v ds, 

I lot^u (la = j (u /\ n ) divn f/î — / u A v ds. 

SciPIOJSE PlIMJI. 



FIN DE LA SECONDE PARTIE DU TOME XLV. 



TABLES ALPHABÉTIQUES 



TOME XLV, 2^ SÉRIE (LVP DE LA COLLECTION) : 192 



DEUXIÈME PARTIE. 



1- TABLE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES ET PÉRIODIQUES ANALYSÉES. 



( Le nom du rédacteur de l'analyse est indiqué en italique. 



Pages. 

i8 



Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 3'' série, t. XXXUI, 

1916 ( Georges Giraud ) • 

Atti délia R. Accademia délie Scienze di Torino, (. Ll, 1915-1916 (5a- 

pione Hindi ) 

Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 

t. 169, 2° semestre 1919 {E. Gau)... 

— Tome 170, 1" semestre 1920 {E. Gau) 3 

— Tome 171, 2' semestre 1920 (E. Gau) 

Journal de mathématiques pures et appliquées, 6» série, t. VIII, 1912 

( /?. de Montessui de Ballore) 

Memorie délia Accademia deile scienze dell'Istitiilo di Bologna. 6''série, 

tome X, 191 2-1910 (Scipione Bindi) 

Rendiconto dell' Accademia délie scienze fisiche e matematiche (classe 

della Società reale di Napoli), série III, vol. XXII à XWI, 1916-1920 

( Joseph Pérès ) ; 

Rendiconto délie sessioni della R. Accademia délie scienze dell' Isti- 

tuto di Bologna, classe di scienze fisiche. Nuova série, vol. XVI, 191 1- 

1912 (Scipione Hindi) 

The quarterly journal of pure and applied matheinatics. Vol. XLI, 1910 

( E. Calien) 



92 



2° TABLE DES AUTEURS 
DONT LES NOTES OU MÉMOIRES SONT ANALYSÉES. 



Albenga (G.). 54, 56, 61, 62, 69. 
Amato (Vincenzo). 70, 74, 74- 
Amodeo ( F.). 77. 
Andoyer (H.). 8, 34. 
Andrade (J.). l\i, l\~, 85. 



Andreoli (Giulio). 74, 70, 76. 
Antoine ( L.). 85. 
Appell (P.). 83, 85. 
Axel Egnell. 89. 
Barnes (E. 'W.). 26. 



SECONDE PAiniE. 



Bassel (A. B.)- y^, 3(). 

Batenian ( H. ). 2(). 

Bays (S. ). 90, 

Beil (E. T.). i3. 

Bianchi (L.), /ji. 

Bilimovitch (An.). B^. 

Birkeland (R.). 33, 85, 88, pi. 

Blofli (L.). 91. 

Boccardi (G.). .07, G7. 

Boggio (T.). 68. 

Bompiani (E.). i5. 

Borel (E.). 5o. 

Bollasso (M.). 55, 65. 

Bouligand (G.). i3, i5, 16. 

Boussinesq (J.). 6, 5o. 

Boulroux (P.). 15, 32, 43. 

Boverio (E.). 63. 

Briilouin (Léon). 18. 

Brouwer (L. E. J.). iG, ',0, 78. 

Brunelli (P. E.). 7/',. 

Brusotti (L.). 70. 

Buhl (A.). 80, 83, 86, 89. 

Burali-Forti (C), èi, 63, 64. 

Burgatti (D.). 94, 94, 95, 96, 97, 98. 

Burnside (W.). 28, 28. 

Burzio (P.). 61, 62, 64, 66. 

Camichel (G.), Eydoiix (D.) el Foch 

(A.). 80. 
Canevazzi (S.). 96, 97, 98. 
Cantelli (P.). 53. 
Capetti (A.). 61. 
Carleman (T.). i4, «o. 
Carlson (P. ). 17, 79. 
Cartan (E.). 47, 77. 
Catania (S.). 52. 
Cerf (G.). 12, 34, 44. 
Chàtelel (A.). i3, 38, 84. 
Chazy (J.). n, 38, 48. 
Chuard (J.) el Dumas (G.). 88. 
Cicconetti (G.). 58, 67. 
Cipolla (Michèle). 73, 76, 76. 
Colonnelli (G.). 68, 71. 
Comi (T. T ). 67, 69. 
Delassus (Et.). 19. 
Delaunay (B.). 79. 
Délia Casa (L.). 58. 
Del Re (A.). 68, 72. 
Denjoy (Arnaud). 7, 19. 
Destefanis (M.). 68. 
Dickson ( L. E.). 90. 



Dixon (,\. C.). 27, 27. 

Donali (L.). 98, 93,9^,94. 

Donder (T. de) et Vanderlinden (II.). 

44. 
Drach (J.). 17, 45. 
Duiiem (P.). 49. 
Dulac (H.). i5. 

Dumas (G.) et Ciiuard (J.). 88. 
Enriques (P.). 92, 92, 98, 94, 9^, 96. 
Escott ( Edward-Brind). 26, 26. 
Eydoux (D,). 86. 
Pocii (A.). II, 12, 86. 
FolleM (C. W.). 23. 
Pontviolant (Bertrand de). 34- V'- ^'*- 

9'- 
Forsytli (A. B.). 25. 
Prêchât (M.), 36. 
Predholm (I.). 81. 
Frisone ( R ). 61, 6'(. 
Fubini (G.). 55, 67, 07, 7^, 78. 
Galbrun. 78, 81, 81. 
Gamhier (B.). 86, 38, 47, 87, 88. 
Garnier (R.). 7, 8. 
Gerbaldi (P.). 66, 71. 
Gevrey (M.). 83, 86. 
Giraud (Georges). 6, 20, 20, 90. 
Glaisher (J. W. L.). 20, 29, 3o. 
Goursat (E. ). 10, 45. 
Grassi (G.). 63. 
Gronwall (P. H.). 21. 
Gronwall (T. H.). 49. 
Guarducci (P.). 95, 96, 97, 97, 98. 
Guichard (C). 36, 48, 45, 47, 89. 
Guidi (C). 59, 63, 64. 
Hadamard (J.). 3i, 33. 
Hamy (M.), i^. 
Hardy (G.-H.). 22, 28. 
Hargreaves (R.). 3o. 
Hill (J. M.) et Wipple (F. J. W.), 26 
Hondros (D.). 43. 
Huber (M. T.). 35, 46. 
Humbert (P.). 16, 81, 87, 40, 44,48, 81, 

82, 82, 88, 91. 
Humbert (G.). 7, 7, 8, 9, 10, 33, 35, 36, 

38, 79, 80, 81. 
Insolera (F.). 59. 
Jackson (P. H.). 27. 
Jadanza (N.). 54, 57, 58, 60, 60, 60,71. 
Janet (M.). 44, 46. 
Jekhowsky (B.). 42. 



TABLE DES NOMS D'AUTEURS. 



io3 



Jougiiel (K.). 8, -8, 8i, 8-j, 86, 87. 

Jourdain (Fliilip E. B.). 28, 3o. 

Julia (G.). 3r). 41, 4'^ ^'^, 45. 4*'- 

Kaiiipé de Fériet (J.). 37, 43. 

Kœnigs (G.). 5o. 

Kogbetliantz (E.). 3, -, 8, 10, il, ili. 

IvolossolT (G.). i3. 

La g n eau, 64. 

Lange-iVielsen (F.)- 4^- 

Laura ( E.). 67. 

Lazzarino ( O.). (58. 

Leblanc (M.). 13. 

Lecornu (L.). 87. 

Lévy (P.). !> 

Maillet (E.). 42. 

Maiorano (Q.)- 'J9. ~'>- 

Mayer (0.). '5. 

Meadowcroft (L. V.). 24. 

Mesnager ( A.). 16, 17. 

Miller (G. A.). 27, 3i. 

Mineur ( H.). 39. 

Montel (P.). 19. 

Montesano (Gaetauo). 73, 7G. 

Morales (Adèle). 73. 

Mori-Breda (G.). 64, 69. 

Nicholson ( W.). 29. 

Nils Pipping, 4i 

Nôrlund (N. E.), 6. 7, 9, 10 ,11, 12, i4, 

i5, 35, Sg. 
Ocagne ( M. d'). 32. 
Panelti (M.). 54, 59, 72. 
Pascal (ErnesLo), 72, 72, 74. 
Pascal (Mario). 75,75, 77, 77. 
Peano (G.). 53, 60, 65, 69. 
Pensa (A.). 63, 63. 
Peslouan (L. de). 32, 07. 
Petot (A.). 79, 79. 
Pétrovitch (M.). i3. 
Picard (Emile). 18, 20, 21. 
Picone (Mauro). 60, 70, 76. 
Pincherle (S.). 65, 92, gS, 94. 
Plancherel (M.). 17. 
Plâtrier (Ch.). G, 9. 
Poli (G.). 56. 
Pomcy (L.). 3i. 
Pompeiu ( D.). 34. 
Rabut (Ch.). 33, 38. 
Raciti (G.). 69. 
Rajna (M.). 97. 
Razzaboni (A,). gS, 96, 97, 97, 98. 



Uémoundos (G.). 4o, 48, 78. 

Henaiix. 37. 

Ricci (G. L.). 53. 

Righi (A.). 95,96, 97, 98. 

Hisser. 87. 

liobinsou (L. B.). 1 1. 

Rosati (C.J. 57, 62. 

Hosenblatt (A.). 35. 

Hossi (A. G.)- 5^, 6>, 6',, 6^ 

Hoy (L.). 5i. 

Sakellariou (N.). 3^. 

Salrnon ( W. H.). 23. 

Sannia (Gustave). 59, 63,68. 69, 71, 

75. 
Scorza (G.). 66, 73. 
Segre (G.). 71. 
.Sesini (0.). 71. 
Sibirani ( F.). 60, 68, 70. 
SierpinsUi (W.). 42, 77. 
SmirnofT (V.). 8:>. 
Somigliana (G.)- 54, 55, 58, 65, 70. 
Soula (J.). 83, 84. 
Sparre (M. de). 86. 
Steinthal (A. Ernest). 38. 
Sloïlow(S.). 12, i4, 82. 
Straneo (P.). 64. 
Stuyvaert. 10. 
Takagi. 90. 

Tanlurri (A.). 57, 61, 66, 68, 69. 
Tavani (F.). 52. 
Terracini (A.). 54, 55, 71. 
Thiry (R.). 39, 46. 
Toglialti (E. G.). 61, 61. 
Torelli (Gabriele). 73. 
Trapani (Emma). 74 
Tricomi (Francesco). 76, 77. 
Vacca (G.). 3o, 54. 
Vâlcovici (V.). 84. 
Valiron (G.). 16, 82. 
Vanderlinden (H.) et Donder (T. de). 

44. 
Varopoulos (Th.). 84, 87, 90, gj. 
Vergerio (A ). 53. 
Vérohnet (A.). 8, 3i, 46, 5i. 
Villat (H.). 35, 38, 47. 
Viriglio (L.). 67. 
Vitali (G.). 53. 
Watson (G. N.). 22, 23, 34. 
Wipple (F. J. W.) et Hill (J. M.). 26. 
Wolf (J.). ,1. 



io4 



SKCONDIÎ PA UTIK, 



Young ( VV. II.). 2|, :!5, 27, 3o. 
Zanolli-lîianco (O.). 70. 



Zavagna ( I.). 70. 
Zervos 85. 



3 TABLE DES AUTEURS D'ANALYSES. 



CaIIEN (E.). 23. 

Gau (E.). 5, .'îi, 77. 
GiRAUD (Georges). iS. 



MONTESSUS DE BaLLORE ( R. DE). 49» 

PÉiîks (Joseph). 72. 

IliNni (Scipione). j2, 92, g.j. 



FIN DES TABLES DE LA SECONDE PARTIE DU TOME XLV, 



64182 Paris. — Imp. Gauthier-Villars et C'% 55, quai des Grands-Auguslins. 



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